UNIDAD DIDÁCTICA I: POLINOMIOS

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1 UNIDAD DIDÁCTICA I: POLINOMIOS. ÍNDICE. Itroducció: Cojutos uméricos y expresioes algebraicas 2. Cocepto de poliomio 3. Operacioes co poliomios a. Suma y diferecia de poliomios b. Producto de poliomios c. Divisió euclídea de poliomios d. Regla de Ruffii 4. Resolució de ecuacioes poliómicas a. Teorema del resto b. Factorizació de poliomios c. Resolució de ecuacioes lieales o de grado uo. d. Resolució de ecuacioes cuadráticas o de grado dos. 2. INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO E esta uidad didáctica se estudia e geeral, los poliomios e ua variable. E particular, las operacioes co poliomios. Especialmete, se estudia el caso de la divisió de los poliomios etre el biomio (x-a), la regla de Ruffii y la factorizació de poliomios. Seguidamete describimos el proceso geeral de resolució de las ecuacioes poliómicas de primer, segudo y tercer grado. La uidad termia co la realizació de distitos ejercicios y problemas de aplicació sobre el tema. 3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Recoocer los distitos cojutos uméricos Recoocer los poliomios e ua variable y sus operacioes básicas Coocer el teorema del resto y la regla de Ruffii. Apreder a descompoer u poliomio e factores simples Recoocer ecuacioes de primer, segudo y tercer grado. Resolver ecuacioes de primer,segudo y tercer grado co ua icógita e forma umérica. Aplicar los métodos de resolució aterior a problemas prácticos.

2 4. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS ) Itroducció: Cojutos uméricos y expresioes algebraicas El cocepto de úmero es ta atiguo o más que las propias Matemáticas. El sistema umérico tal cual lo coocemos hoy e día es el resultado de ua evolució gradual. El primer cojuto umérico del que se tiee coocimieto es el de los úmeros Naturales N = {,2,3,K }, usados utilizados para cotar y, que o siempre se ha represetado co los mismos símbolos. Por ejemplo, los romaos utilizaba los símbolos I, II, III, IV,... La operació suma a+b y producto a b de dos úmeros aturales a y b so tambié úmeros aturales, es decir, dichas operacioes so cerradas e el cojuto de los úmeros aturales. Si embargo, para poder resolver ecuacioes de la forma x+a=b co a y b úmeros aturales ecesitamos ampliar dicho cojuto, itroduciedo los llamados úmeros eteros egativos {, 2, 3,K} cero obteiedo así, la solució de la ecuació aterior como x = b - a. Al cojuto de lo úmeros aturales o eteros positivos, eteros egativos y el cero se les deomia cojuto de úmeros eteros y los deotamos por Ζ. Las operacioes suma y producto de úmeros eteros tambié so operacioes iteras. Por otra parte, ecesitamos itroducir los úmeros racioales o fraccioes b a a y b so úmeros eteros cualesquiera co b 0 que os permite resolver ecuacioes de la forma ax = b. El cojuto de los úmeros racioales ormalmete se deota por Q. Dicho cojuto tambié es cerrado respecto de las operacioes suma y producto. La medida de magitudes platea problemas para cuya solució los úmeros racioales tampoco so suficietes. Por ejemplo: La resolució del problema plateado por los griegos de buscar el lado del cuadrado que tuviera el doble de área que el cuadrado de lado uidad precisa de la resolució de la ecuació x 2 = 2 cuya solució sabemos que es x = 2. y el A los úmeros, que al igual que 2, es decir, que o so racioales, o lo que es m equivalete, que o podemos represetarlos de la forma co m y úmeros eteros, se les llama úmeros irracioales. Al cojuto de los úmeros racioales e irracioales se le deomia cojuto de los úmeros reales y, ormalmete los deotamos por R. Las operacioes suma y 2

3 producto de úmeros reales tambié so operacioes cerradas. Los úmeros reales puede represetarse por putos de ua recta, llamada eje real. Recíprocamete, para cada puto situado sobre la recta hay uo y sólo u úmero real. El puto correspodiete al cero se llama orige. Si u puto B sobre la recta correspodiete a u úmero real b está situado a la izquierda de u puto C represetado por u úmero real c, decimos que b es meor que c y lo deotamos por b < c ó c > b y que cumple las siguietes propiedades: Se verifica ua y sólo ua de las relacioes b = c, b < c, b > c b < c b + d < c + d para todo d R. b > 0 y c >0 b c > 0 Es decir, el cojuto R es u cojuto totalmete ordeado. Si embargo, las 2 ecuacioes poliómicas como x + = 0 o tiee solució e R. Para resolver este tipo de ecuacioes teemos que itroducir los úmeros complejos, los cuales de mometo o va a ser motivo de estudio. Por otra parte, e esta breve itroducció a los diferetes cojutos uméricos os ha aparecido expresioes e las que se utiliza letras, úmeros y sigos de operacioes. Ua expresió de este tipo recibe el ombre de expresió algebraica. Por ejemplo, para expresar el valor del perímetro y del área de u terreo rectagular. Si supoemos que mide "x" metros de largo e "y" metros de acho, obtedremos: Perímetro: 2x + 2y ; Area: xy. Ambas so expresioes algebraicas (recuérdese que el sigo de la multiplicació acostumbra a o poerse). Si e ua expresió algebráica se sustituye las letras por úmero y se realiza la operació idicada se obtiee u úmero que es el "valor úmerico" de la expresió algebraica para los valores de las letras dados. E el ejemplo del terreo rectagular, si el largo del terreo fuera 50 m ( a = 50) y el acho 30 m (b = 30), el valor umérico de: Perímetro = = = 60 m Área = = 500 m 2 Naturalmete debe observarse que el valor umérico de ua expresió algebraica o es úico sio que depede del valor que demos a las letras que iterviee e ella. 3

4 2) Cocepto de poliomio Los poliomios de ua variable so expresioes algebraicas e las que aparece uos úmeros determiados, llamados coeficietes, relacioados co ua variable mediate las operacioes elemetales de suma, diferecia y multiplicació. Es decir, u poliomio, P, co coeficietes reales es ua expresió de la forma dode a, a, 0' K, a R. Alguos de los coeficietes a x + a x + K + ax + a0 a, a,, a 0 K puede ser igual a cero. Si supoemos que a 0 diremos que es el grado del poliomio. Es decir, se llama grado de u poliomio al expoete de la potecia máxima co coeficiete distito de cero. Escribiremos grad(p)=, si a 0, además, dicho coeficiete a recibe el ombre de coeficiete pricipal de P. Los poliomios se suele represetar por letras tales como P, Q, S o bie si se especifica la variable por P(x), Q(x), S(x). Ejemplo. Los úmeros reales se puede cosiderar como poliomios de grado cero. Es decir, P(x)=6, represeta al poliomio P(x)=3x 0 Los poliomios de grado uo so de la forma P(x)= a x+a 0 co a 0, y tambié recibe el ombre de poliomios lieales. U caso particular p(x)=5x-. Los poliomios de segudo grado so de la forma 2 ( x) a2 x + ax a0 P = + recibe el ombre de poliomio cuadrático. Por ejemplo p(x)=3x 2 +x+7. 3) Operacioes co poliomios a) Suma y diferecia de poliomios. Dados dos poliomios P(x) y Q(x), escritos de la siguiete forma P( x) = a a x + a x + K + ax + Q( x) = b b x + b x + K + b x

5 dode si grad(q)=m<=grad(p), etoces b b = K = b 0. = m+ = Defiimos la suma de dichos poliomios Py Q como el poliomio S( x) = ( P + Q)( x) = ( a + b ) x + ( a + b ) x + + ( a0 b0 ) K + Aálogamete se defie la diferecia como el poliomio D( x) = ( P Q)( x) = ( a b ) x + ( a b ) x + K + ( a0 b0 ) b) Producto de poliomios. El producto de P y Q es el poliomio P Q cuyos coeficietes viee dadas por Ejemplo 2. c = a0b + ab + K + a b0, 0 k grad( P) grad( Q) k k k k + b) Divisió Euclídea de poliomios. De maera similar a la divisió de úmeros eteros teemos el siguiete resultado para poliomios: dados dos poliomios P y S, co S 0, existe dos poliomios Q y R, tales que P = SQ + R, grad( R) < grad( S). Llamaremos al poliomio Q cociete de la divisió de P por S y diremos que R es el resto de dicha divisió. Además, los poliomios Q y R so úicos Ejemplo 3. 5

6 c) Regla de Ruffii. E el apartado aterior hemos visto la divisió de poliomios, e geeral, pero uo de los casos más importates de la divisió de poliomios es el que tiee por divisor u biomio del tipo x - a, siedo "a" u úmero etero; por ejemplo (x - ), (x + 2), etc. Además de realizarse la divisió por el método geeral expuesto e el apartado aterior, se puede realizar usado la regla de Ruffii e la que se procede de la siguiete forma: e primer lugar se debe colocar todos los coeficietes del dividedo ordeados de mayor a meor grado y si falta el de algú grado itermedio colocar u 0. A cotiuació: - Se "baja" el primer coeficiete del dividedo. - Se multiplica "a" por el coeficiete bajado y se coloca el resultado debajo del segudo coeficiete (el sigo de a será positivo si el divisor es del tipo (x-a) y egativo si el divisor es del tipo (x+a). - Se suma el segudo coeficiete co el resultado aterior. - Se cotiúa el proceso hasta termiar co los coeficietes. Los úmeros de la fila iferior obteida so los coeficietes del cociete (de u grado meor al dividedo) excepto el último úmero que es el valor del resto Ejemplo 4. (2x + 3x + 2x + x + 4) : ( x 2) Primero se ordea el dividiedo ( x + 3x + 2x 2x + 4). A cotiuació, se escribe sólo los coeficietes co sus sigos. El térmio idepediete del divisor (x-2) se poe a la izquierda co el sigo cambiado y se procede Es decir, el cociete es x 3 + 5x 2 + 2x + 22 y el resto 48. 4) Resolució de ecuacioes poliómicas. E este apartado vamos a tratar la resolució de ecuacioes poliómicas de grado meor ó igual a tres. Para ello, e primer lugar vamos a ver el siguiete teorema: 6

7 a) Teorema del resto: " El resto de la divisió de u poliomio P(x) etre u biomio de la forma (x - a), es igual al valor umérico del poliomio cuado x toma el valor "a" que podemos expresar como P(a) " Ejercicio - Calcula el valor umérico del poliomio x 3 + 6x 2-3x - 4 e los casos: x = 0 ; x = -2 ; x =. Realiza la divisió del poliomio por el biomio del tipo (x - a) adecuado, comprobado que el resto de la divisió coicide co el valor umérico calculado ates. b) Factorizació de poliomios Ua aplicació muy importate de la divisió de poliomios es la factorizació de poliomios, y e cocreto coseguir factores del tipo (x-a). Ejemplo 5. Si se realiza el producto (x-2) (x+3) se obtiee el poliomio x 2 + x - 6, por lo que puede expresarse dicho poliomio como producto de factores: x 2 + x - 6 = (x-2 ) (x+3) Coseguir, cuado sea posible, expresar u poliomio como producto de biomios de primer grado, e pricipio del tipo del ejemplo, o al meos algú biomio de ese tipo, es lo que se deomia "factorizar el poliomio". Para coseguir factores del tipo mecioado (x - a), bastará ecotrar valores de "a" para los que la divisió, que se efectúa por la regla de Ruffii, sea exacta, o sea que el resto sea 0 y aplicar que: "Dividedo = divisor cociete + resto" o D = d c + r, co lo que quedaría D = d c que e térmios de poliomios co la variable x, se puede expresar: D(x) = d(x) c(x) obteiédose ya el poliomio dividedo descompuesto e dos factores. Habrás podido observar que e todos los casos e los que el valor umérico ha sido 0, la divisió del poliomio por "x - a" es exacta (teorema del resto). Si has probado bie, habrás ecotrado que el valor umérico era 0 para x = (a = ) y para x = -2. cuál es el cociete para a =? Ejercicio 2- Dado el poliomio 2x 3 + x 2-5x + 2, ecotrar valores de "a" para los que el valor umérico del poliomio sea 0. Habrás podido observar que e todos los casos e los que el valor umérico ha sido 0, la divisió del poliomio por "x - a" es exacta (teorema del resto). Si has probado bie, habrás ecotrado que el valor umérico era 0 para x = (a = ) y para x = -2. cuál es el cociete para a =?. 7

8 Nota: Ua regla muy útil: Los valores de "x = a" eteros, para los que el valor umérico de u poliomio es cero, so siempre divisores del térmio idepediete del poliomio. Co esta regla es más fácil buscar los valores de "a". Así e el ejercicio aterior sólo puede ser, -, 2 y -2. Ejemplo 6. El poliomio siguiete se factoriza: 2x 3 + x 2-5x + 2 = (x - ) (x + 2) ( 2x - ) Por tato, el valor umérico de dicho poliomio para x = y x = -2 es 0, es decir, si escribimos la ecuació: 2x 3 + x 2-5x + 2 = 0, sabemos que dos solucioes de la misma so x = y x = -2. Estos valores de x se llama "raices del poliomio", que so por tato solucioes de la ecuació P(x) = 0. De la ecuació: 2x 3 + x 2-5x + 2 = (x - ) (x + 2) ( 2x - ) = 0 se obtiee, además de las dos solucioes ateriores, la solució 2x - = 0 ; x = /2 = 0.5. c) Resolució de ecuacioes lieales o de grado uo. So ecuacioes lieales o de grado uo aquellas e las que la icógita aparece al meos ua vez elevada a uo (x). Por ejemplo: 3x = x -. Pasemos al primer miembro de la ecuació todos los térmios e los que aparezca la x, de forma que e el segudo miembro úicamete quede úmeros. Obteemos: 2x = -, que es la forma e que deberemos expresar todas la ecuacioes lieales para resolverlas. Es decir, si e teemos e geeral ua b ecuació lieal de la forma ax=b, evidetemete la solució viee dada por x =. a d) Resolució de ecuacioes cuadráticas o de grado dos. So ecuacioes de segudo grado aquellas e las que la icógita aparece al meos ua vez elevada al cuadrado (x 2 ). Por ejemplo: 3x 2-3x = x -. Pasemos al primer miembro de la ecuació todos los térmios de forma que e el segudo miembro quede 0. Obteemos: 3x 2-4x + = 0, que es la forma e que deberemos expresar todas la ecuacioes de segudo grado para resolverlas. E muchos casos, ua vez coseguida esta forma, la ecuació se puede simplificar, lo cual es muy coveiete. Por ejemplo: Ejercicio 3.- Expresar e la forma más simple y simplificada posible, la ecuació: 3x 2-3x/2 = x/2 - x x 2 Primero haremos deomiador comú para elimiar los deomiadores existetes. Llegaremos a: 8

9 6x 2-3x = x - 2x x 2 Expresado todos los térmios e el primer miembro: 4x 2-2x - 4 = 0 y simplificado (dividiedo todo por 2): 2x 2 - x - 2 = 0. Resolució geeral de la ecuació de segudo grado Como vimos e la descripció, cualquier ecuació de segudo grado se puede expresar de la forma: ax 2 +bx + c = 0 dode a, b y c será úmeros eteros (positivos o egativos). Para ello bastará obteer el deomiador comú (si hay deomiadores), para elimiarlo y pasar todos los térmios al primer miembro. Sabemos que ua vez coseguida dicha forma, las dos "posibles" solucioes de la ecuació so: Así la ecuació del ejemplo iicial: 3x 2-4x + = 0 tedrá por solucioes: Luego y 0,33 so las dos solucioes o raíces de la ecuació. 5. RESUMEN Operacioes co poliomios o Dados dos poliomios P(x) y Q(x), escritos de la siguiete forma P( x) = a a x + a x + K + ax + 0, Q( x) = b b x + b x + K + b x + 0. S( x) = ( P + Q)( x) = ( a + b ) x + ( a + b ) x + + ( a0 b0 ) K + D( x) = ( P Q)( x) = ( a b ) x + ( a b ) x + + ( a0 b0 ) o K P Q cuyos coeficietes viee dadas por 9

10 ck = a0bk + abk + K + akb0, 0 k grad( P) + grad( Q) o Dados dos poliomios P y S, co S 0, existe dos poliomios Q y R, tales que P = SQ + R, grad( R) < grad( S). Llamaremos al poliomio Q cociete de la divisió de P por S y diremos que R es el resto de dicha divisió. Además, los poliomios Q y R so úicos Dado u poliomio P(x) las siguietes afirmacioes so equivaletes: - El valor umérico para x = a es 0 o sea P(a) = 0 - La divisió del poliomio P(x) etre el biomio (x - a) es exacta - (x - a) es u factor del poliomio: P(x) = (x - a) C(x), siedo C (x) el cociete de P(x) : (x-a) - La ecuació P(x) = 0 tiee ua solució para x = a. Teorema del resto: " El resto de la divisió de u poliomio P(x) etre u biomio de la forma (x - a), es igual al valor umérico del poliomio cuado x toma el valor "a" que podemos expresar como P(a) " : Los valores de "x = a" eteros, para los que el valor umérico de u poliomio es cero, so siempre divisores del térmio idepediete del poliomio. Resolució geeral de la ecuació de segudo grado ax 2 +bx + c = 0 6. BIBLIOGRAFÍA Emilio Bujalace y otros. Matemáticas especiales. Editorial Saz y Torres (998). 2ª Edició María E. Ballvé y otros. Problemas de matemáticas especiales. Editorial Saz y Torres (996). 2ª Edició. José T. Pérez Romero y José A. Jaramillo Sáchez. Matemáticas. Pruebas de acceso a la uiversidad para mayores de 25 años. Editorial MAD. (2002). 0

11 7. ACTIVIDADES ) Dados los poliomios P(x)=x 2 +x+, Q(x)=x2-, R(x)=2x 2 + 5x- y S(x)=x 3 +x 2 +. Calcular: S(x)+P(x), R(x)-S(x), P(x)Q(x), R(x)S(x). 2) Efectuar las siguietes divisioes etre poliomios: a. (x 3 + x 2 -) : (x-) b. (x 6 +3x 4 x 3 +6x 2 3x +2) : (x 4 + x 3 + 2x 2 x +) 3) Factoriza el siguiete poliomio P(x)= x 3 + 2x 2 - x 2 4) Calcular el valor de m para que el resto de la divisió del poliomio x 3 +mx 2 2x + m etre x- sea. 5) Resuelve las siguietes ecuacioes: a. x 3 3x 2 +2x=0 b. x +2(x-)=4 c x + = d. ( x 2) (2x + 6) + x = e. 4x 2 32x=0 f. 3(x 2 2)= 2 6) Ua madre tiee 3 años y su hijo 7. Al cabo de cuátos años la edad de la madre será el quítuplo de la edad del hijo?. 8. EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN ) Calcular la suma y la diferecia de los poliomios: P(x)=4x 4-2x 3 + 3x 2-2x + 5 y Q(X)= 5x 3 - x 2 + 2x 2) Calcula el producto de los poliomios: P(x)= - 2x 3 + 3x 2-2x + 5 y Q(x)=x + 3) Calcular el cociete y el resto de las siguietes divisioes: ) (2x 3 +3x -) : (x+2) 2) (5x 4 +3x 2 6x 3 x +5) : (x + x 2 + ) 4) Hallar el valor de a para que (-) sea u cero del poliomio

12 P(x)= x 4 2x 3 +3ax 2 5) Qué valor ha de tomar a para para que (x-) sea u factor del poliomio P(x)= x 4 3ax 3 +2x 2 +3?. 6) Descompoer factorialmete el poliomio x 3 7x + 6 7) Resuelve la ecuació 3 5 x + = ) E u corral hay gallias y coejos, cotádose e total 4 cabezas y 8 patas. Cuátos aimales hay de cada clase?. 9) Resuelve las ecuacioes: ) 2x 2 = x x 2 2) x 2 5x +6 0) Descompoer e factores el siguiete poliomio 3x 2 0x SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ) S(x)= 4x 4 + 3x 3 + 2x 2 +5; D(x)= 4x 4-7x 3 + 4x 2-4x + 5 2) M(x)= - 2x 4 + x 3 + x 2 +3x + 5 3) ) cociete: 2x 2 4x + resto 23 ; 2) cociete: 5x 2 x +9 resto: x-4 4) a = 3 5) a=2 6) (x 2 +x -6)(x-) 3 7) x = 20 8) 23 gallias y 8 coejos 2 9) x = ; x2 = 3 0) 3( x 3)( x ) 3 2