96 ejercicios de repaso de NÚMERO REAL, POLINOMIOS, ECUACIONES e INECUACIONES

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1 96 ejercicios de repaso de NÚMERO REAL, POLINOMIOS, ECUACIONES e INECUACIONES Repaso úmero real. Itervalos: 1. Separar los siguietes úmeros e racioales o irracioales, idicado, de la forma más secilla posible, el porqué: 1, ,1 6,4 4 1, (Soluc: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ). Represetar sobre la recta real (o ecesariamete todos e la misma rect los siguietes racioales: ,6,, A la vista de lo aterior, ordearlos de meor a mayor. Costruir,,, 6, 7, 8 y 10 sobre la recta real (o ecesariamete sobre la mism, mediate regla y compás, y la aplicació del teorema de Pitágoras.. Completar (e este cuadero): REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA 1 [-1,] [-,1) {x IR/ 1<x } {x IR/ x<} 8 (0, ) 9-10 (-1,) 11 {x R/ x 0} del autor (alfosogozalopez@yahoo.es) 1

2 REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA 1 [/, ) 1 {x IR/ -<x } 14 {x IR/ x <} 1 {x IR/ x } [-1,1] 18 {x IR/ x<-1} (-,-)U(, ) 1 (-,)U(, ) {x IR/ x } [-,] 4 - Repaso fraccioes, potecias y raíces: 4. Operar, simplificado e todo mometo: 6 : 4 + : : + 4 : 9 4 (Sol: 46/41). Completar (e este cuadero): m a a a m a m ( a ) ( a b ) a b 0 a a a b 1 ( 1) par ( 1) impar ( ) par baseegativa ( ) impar baseegativa del autor (alfosogozalopez@yahoo.es)

3 Añadir estas fórmulas al formulario matemático de este curso. Utilizado las propiedades ateriores, simplificar la siguiete expresió (e este cuadero): 0 1 ( ) ( 1 ) + 1 (Sol: 1) 6. Completar (e este cuadero): Defiició de raíz -ésima ax Casos particulares de simplificació Equivalecia co ua potecia de expoete fraccioario Simplificació de radicales/ídice comú Producto de raíces del mismo ídice Cociete de raíces del mismo ídice x ( ) x m x p m p x a b a b Potecia de ua raíz ( ) m a Raíz de ua raíz m a Itroducir/Extraer factores x a Añadir estas fórmulas al formulario matemático de este curso. Utilizado las propiedades ateriores, simplificar la siguiete expresió (e este cuadero): ( ) (Sol: a 1 ) 7. Extraer factores y simplificar (e este cuadero): 4 81 Sumar, reduciedo previamete a radicales semejates: Racioalizar y simplificar (e este cuadero, si hay espacio): 1 del autor (alfosogozalopez@yahoo.es)

4 (Sol: ) Notació cietífica: 8. Pasar a otació cietífica los siguietes úmeros: , d) 0, e) f) 0, g) ,4 h) 0, i) j) 14 billoes k) 14 billoes $ l) 14 billoes m) 10 milloes $ ) 10 milloes o) 1, millardos p) 7, q) 7 r) -0, s) t) 10 u) 1 v) 0, w) x) -4,4 RECORDAR: CANTIDAD DEFINICIÓN EQUIVALENCIA ÁMBITO 1 millardo mil milloes 10 9 España, Fracia, Alemaia... u milló de milloes billó mil milloes 10 9 EEUU y Reio Uido u milló de billoes España, Fracia, Alemaia... 1 trilló u milló de milloes 10 1 EEUU y Reio Uido etc. 9. Realizar las siguietes operacioes de dos formas distitas (y comprobar que se obtiee el mismo resultado): - Si calculadora, aplicado sólo las propiedades de las potecias. - Utilizado la calculadora cietífica., , , , , ,4 10 d), , 10 1 e), , f) 7, , g) 4, ,14 10 h) ( 10 9 ) (, 10 7 ) 9 i) 8, , j) ( )( ) k) ( 10 ) del autor (alfosogozalopez@yahoo.es) 4

5 RECORDAR: E las calculadoras cietíficas la tecla EXP sirve para expresar e cualquier mometo u úmero e otació cietífica. Pero es más recomedable, mediate la tecla MODE, poer la calculadora e modo SCI (scietifi, co lo cual trabajará siempre e otació cietífica. Además, la calculadora suele pedir el úmero de cifras sigificativas co las que queremos trabajar. 10. La estrella más cercaa a uestro sistema solar es α-cetauri, que está a ua distacia de ta sólo 4, años luz. Expresar, e km, esta distacia e otació cietífica. (Datos: velocidad de la luz: km/s; 1 año6, días) Cuátos años tardaría e llegar ua soda espacial viajado a 10 km/s? (Sol: 4, km; años) Repaso poliomios y fraccioes algebraicas: 11. Dados P(x) 4 x -8x 4 +x +x +1 y Q(x) 4 x -4x +x, se pide: Extraer el máximo factor comú de Q(x) P(x)-x Q(x) (Sol: 4x -16x 4 +10x -x +1) Q(x) Q(x) (Sol: 16x 6 -x +x 4-16x +4x ) d) P(x) : Q(x), y comprobarlo. (Sol: C(x)x -x-1; R(x)x+1) 1. Simplificar: 4 x x 6 x 9 (Sol: x +4) x + 1 x 1 1. Operar y simplificar: + x+ x x + x 4 Sol : x+ ( a x a x)( a x a x) ( Sol : x + a ) Repaso ecuacioes, sistemas e iecuacioes: 14. Resolver (se recomieda hacer tambié la comprobació): 11x x x 4 x [Sol: soluc.] 0x + 7 4x + y 9 7x +1 x y x 4 6 (Sol: x1, y-) ( + )( ) ( ) x x x 41 4x (Sol: x±1) 6 d) x x (Sol: x114) e) f) x x x 1 x 1 x x x x + x + y 1 x + y 1 (Sol: x-) (Sol: x 14, y 1-; x 1, y 0) g) < + 6 [Sol: x (0,7)] 6 (x ) x 6 (x )(x ) del autor (alfosogozalopez@yahoo.es)

6 h) i) j) x (x + ) (x + 4) + 4 (x +1) (x 1) x +1 < x+ 1 x 7 7 x [Sol: x [-,)] [Sol: x [-1,7)] [Sol: x(14/9) ] k) 1 k 6 4 l) x 6x a 0 (Sol: k±/) + ( Sol : x ± 6+ m) x + y z 9 x y + z x + y z 4 (Resolverlo por Gauss) (Sol: x1, y, z-) Misceláea (I): 1. Idicar cuál es el meor cojuto umérico al que perteece los siguietes úmeros (,, o ); e caso de ser o, razoar el porqué: 4 0,001 10,, (Soluc: ; ; ; ; ; ; ; ) 16. Represetar e la recta real los siguietes itervalos y defiirlos empleado desigualdades: [,4] d) (-1, ) g) (-,] j) (-,-] (1,6) e) (-,) h) [-,] [1,) f) (0, ) i) (/, ) 17. Operar, simplificado e todo mometo: : 4 : ( ) + ( ) ( ) (Sol: 4/) (Sol: -) (Sol: -4/179) d) 4 8 ( ) (Sol: 4 ) del autor (alfosogozalopez@yahoo.es) 6

7 18. Dados P(x)4x +6x -x+, Q(x)x -x+7 y R(x)7x -x+1, hallar: El valor umérico de P(x) para x- (Sol: -1) La factorizació de R(x) (Sol: Poliomio irreducible) P(x)+Q(x)+R(x) (Sol: 6x +1x -x+11) d) P(x)-Q(x)-R(x) (Sol: x -x +x-) e) P(x)+Q(x)-R(x) (Sol: 10x -8x -x+) f) P(x) : (x+) por Ruffii, y comprobar. (Sol: C(x)4x -x+; R(x)-1) 19. Operar y simplificar (e este cuadero): x x x + 6x x x x + 6 Sol : x +1 x 0. Resolver: x (Sol: x0) x y + z 6 x + y z 9 (Resolverlo por Gauss) (Sol: x1, y-; z) x + y + z x + 1 6x 1 6x + 1 x 1 (Sol: x0; x±) d) x + 4 x 1 4 (Sol: x; x1/9) e) f) g) h) x x x x y 1 x + xy 0 (x + 1)(x 1) (x + )(x ) x x 10 > x + 1 4x > x + (x + ) (x + 6) (Sol: x±) (Sol: x 10, y 1-1; x /7, y -1/7) [Sol: x (-,-]U[1, )] [Sol: x [6,10)] i) 1 x x [Sol: x [-1,0)U[1, )] 1. Señalar cuáles de los siguietes úmeros so racioales o irracioales, idicado el porqué:, , (Soluc: ; ; ; ; ; ), d) 0, e) 7, f) 4, del autor (alfosogozalopez@yahoo.es) 7

8 . Represetar e la recta real los siguietes cojutos uméricos y ombrarlos siempre que se pueda empleado itervalos: {x IR/ -<x } d) {x IR/ x<0} g) {x IR/ x>-} j) {x IR/ x } {x IR/ 1 x 4} e) {x IR/ x } h) {x IR/ x } k) {x IR/ x } {x IR/ x } f) {x IR/ x >4} i) {x IR/ x <}. Operar, simplificado e todo mometo: : : ( 4) (Sol: 6/1697) (Sol: -1/64) ( 1) (Sol: 1 41 ) 4. Dados P(x)6x 4 +11x -8x -1x+18 y Q(x)x-, se pide: Factorizar P(x), por Ruffii. [Sol: (x-)(x-)(x+1)(x+)] Q (x), por Tartaglia. (Sol: 4x -810x x -70x +40x-) P(x) Q(x)-x Q(x) (Sol: 18x +1x 4-11x +1x +84x-6) d) P(x) : Q(x) [Sol: C(x)x +x -6x-9; R(x)0]. Operar y simplificar: x 9x 0 x 11x 0 x 10x 4 Sol : x 7 x 1x + 74x Resolver: x + y z 0 x y + z 1 x + y + 4z 9 (Resolverlo por Gauss) (Sol: x, y-1; z) x x+ x+ (Sol: x 1; x -4) y x ax ay dode a (Soluc : x a, y a 4 ) del autor (alfosogozalopez@yahoo.es) 8

9 d) x 7 x + 4 x 1 1 > 1 (Sol: x<) e) x +1x+1<0 f) x +1x+1>0 (Sol: / soluc.) (Sol: x ) g) (x )(x ) x (x x)(x x) + + < [Sol: x (-,-)U(, )] 4 4 h) (x -4)(x -1)>0 i) (x -4)(x +4)<0 [Sol: x (-,)] j) 4 x + 1 ( ) (Sol: x 10; x -) 7. Separar los siguietes úmeros e racioales e irracioales, idicado el porqué: 1, ,7 0, ,7 1 6,4 1, (Soluc: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ) 8. Hallar la U e de los siguietes itervalos: A[-,) B(1,7) E(-,0] F(-, ) e) I(-,0) J[0, ) g) M[-,-1) N(,7] C(0,] D(, ) d) G[-,-1) H(,7/] f) K(,) L(,9] h) O(-,7) P(,4] 9. Calcular, aplicado, siempre que sea posible, las propiedades de las potecias, y simplificado e todo mometo. Cuado o sea ya posible aplicar las propiedades de las potecias, debido a la existecia de ua suma o resta, pasar la potecia a úmero y operar: (Sol: -608/81) 0. Dados P(x)x 6 +6x +9x 4 -x -6x-9 y Q(x)x -9, se pide: Factorizar P(x), por Ruffii [Sol: (x+1)(x-1)(x+) (x +1)] Q 4 (x), por Tartaglia (Sol: x 8-6x x 4-916x +661) P(x)-Q(x) Q(x) (Sol: x 6 +6x +8x 4 +17x -6x-90) d) P(x) : Q(x) [Sol: C(x)x 4 +6x +18x +4x+161; R(x)480x+1440] 1. Operar y simplificar: x + 1 x + x 1 + x 1 x x + 1 (Sol : x x x x x x + ) del autor (alfosogozalopez@yahoo.es) 9

10 . Resolver: -x -x0 (Sol: x 10, x -1) x 1 ( Sol : x /, x x 1 ) (x +1) 4 6 (Sol: x±) d) (x -1) 4 0 (Sol: x±1) e) x 4 8x 10 x 0, x 10 ) 1 g) x + 4x (Sol: x 1-1, x -) h) x 6-16x 0 (Sol: x0, x±) i) x 6-7x -80 (Sol: x-1, x) j) x + (Sol: x) k) x x (Sol: x 10, x ; x - ) l) -7x -7 (Sol: x 1) f) x 0 x (Sol: / soluc.) m) x <9 [Sol: x (-,)]. Verdadero o falso? Razoar la respuesta: Todo úmero real es racioal. Todo úmero atural es etero. Todo úmero etero es racioal. d) Siempre que multiplicamos dos úmeros racioales obteemos otro racioal. e) Siempre que multiplicamos dos úmeros irracioales obteemos otro irracioal. f) Etre dos úmeros racioales existe siempre u racioal. g) " " " irracioales " " irracioal NOTA: Lo que ya o es ta fácil de justificar es que: Etre dos reales existe racioales. Por tato, y se dice que so cojutos desos. Etre dos reales existe irracioales. 4. Represetar los siguietes itervalos e idicar su uió e itersecció: [-,) y [, ) (0,) y [9/, ) (-,-1] y [-1,4] d) (-1,) y [, ) Ecuacioes e iecuacioes co valor absoluto: RECORDAR: Hay casos posibles (k>0 siempre): expresió k expresiók expresió-k expresió <k -k<expresió<k expresió >k expresió<-k o expresió>k del autor (alfosogozalopez@yahoo.es) 10

11 . Idicar para qué valores de x se cumple las siguietes relacioes; e el caso de las desigualdades, idicar la solució mediate itervalos: x x x > d) x-4 (Sol: x 1, x 6) e) x-4 (Sol: x [,6]) f) x-4 >(Sol: x (-,)U(6, )) g) x+4 >(Sol: x (-,-9)U(1, )) h) x - i) x 0 j) x < k) x l) x+1 (Sol: x 1-4, x ) m) x- (Sol: x [-1,]) ) x 7 o) x 6 p) x > q) x- < (Sol: x (-,7)) r) x+ 7 (Sol: x (-,-10]U[4, )) s) x <8 (Sol: x (-4,4)) t) x >- (Sol: x ) u) x x v) x - (Sol: soluc.) w) x -x- (Sol: x0, x, x1±7) Ua vez resuelto el ejercicio aalíticamete, cosiderar la posibilidad de resolverlo gráficamete (método que, posiblemete, se ecuetre más fácil...) Resolució gráfica de iecuacioes y sistemas: 6. Resolver gráficamete los siguietes sistemas de ecuacioes; resolverlos a cotiuació aalíticamete (por el método deseado), y comprobar que se obtiee idético resultado: x + y 1 x y (Soluc: x7, y) f) x y 4 x 6y 1 (Sol: soluc, S.C.I.) x + y 6 x y (Soluc: x0, y) g) x + y x + y 7 (Sol: x, y1) x + y 4 x y 1 (Soluc: x1, y1) h) x y 4 x + 4y 6 (Sol: soluc, S.I.) d) y x x + 6 x + y 1 i) x + y 1 x y (Sol: x1, y0) e) x + y 0 x y (Sol: x, y-1) 7. Resolver gráficamete las siguietes iecuacioes de º grado; resolverlas a cotiuació aalíticamete y comprobar que se obtiee idético resultado: x -6x+8 0 [Sol: x (-,]U[4, )] x -x-<0 [Sol: x (-1,)] x -x+6>0 [Sol: x (-,)U(, )] d) x -x-10 0 [Sol: x [-,]] e) x -10x+7 0 [Sol: x (-,1]U[7/, )] f) x -16x+4<0 [Sol: x (,6)] g) x -4x+1 0 [Sol: x IR] h) x -x>0 [Sol: x (-,0)U(, )] i) x -4 0 [Sol: x (-,-]U[, )] del autor (alfosogozalopez@yahoo.es) 11

12 j) x -4x+4>0 [Sol: x IR-{}] k) x +6x+9 0 [Sol: x IR] l) x +6x+9>0 [Sol: x IR-{-}] m) x -x+1<0 [Sol: soluc.] ) x -x+1 0 (Sol: x1) p) 6x -x-6<0 [Sol: x (-/,/)] q) x -4x+7<0 [Sol: soluc.] r) x -8x+6<0 [Sol: x (1,)] s) x +10x+1 0 [Sol: x [-, -]] t) -x +x-4 0 [Sol: x [1,4]] o) x -4x+4 0 [Sol: x] Misceláea (II): 8. Si los lados de u cuadrado aumeta cm, su área aumeta 8 cm Cuáles so las dimesioes del cuadrado origiario? (Sol: Se trata de u cuadrado de lado 6 cm) 9. Qué otro ombre recibe el itervalo [0, )? Y (-,0]? A qué equivale IR + U IR -? Y IR + IR -? 40. Simplificar, reduciedo previamete a radicales semejates: Racioalizar y simplificar: (Sol: 11/7) 9 4 Operar y simplificar: ( 7 + ) ( 1 ) (Sol: 8) d) Simplificar y operar: U grupo de estudiates alquila u piso por el que tiee que pagar 40 al mes. Uo de ellos hace cuetas y observa que si fuera dos estudiates más, cada uo tedría que pagar 4 meos. Cuátos estudiates ha alquilado el piso? Cuáto paga cada uo? (Sol: estudiates a 84 cada uo) 4. Calcular el volume aproximado (e m ) de la Tierra, tomado como valor medio de su radio 678 km, dado el resultado e otació cietífica co dos cifras decimales. 4 ( Volume de la esfera : r ) (Sol: 1, m ) 4. U comerciate tiee dos clases de café: uo de 40 /kg y otro de 60 /kg. Si mezcla kg del barato y kg del caro, cuáto costará el kg de la mezcla resultate? (Sol: 48 ) del autor (alfosogozalopez@yahoo.es) 1

13 Cuátos kg tedrá que añadir de cada tipo para obteer 60 kg de mezcla a 0 el kg? (Sol: 0 kg de cada clase) 44. Co dos tipos de bariz, de,0 /kg y de 1,0 /kg, queremos obteer u bariz de, /kg. Cuátos kilogramos teemos que poer de cada clase para obteer 0 kg de la mezcla? (Ayuda: platear u sistema de ecuacioes de primer grado) (Sol: 18 kg del bariz de,0 y kg del de 1,0) 4. Racioalizar deomiadores y simplificar: (Sol: 7) d) Dos árboles de 1 m y 0 m de altura está a ua distacia de m. E la copa de cada uo hay ua lechuza al acecho. De repete, aparece etre ellos u ratocillo, y ambas lechuzas se laza a su captura a la misma velocidad, llegado simultáeamete al lugar de la presa. A qué distacia de cada árbol apareció el rató? (Ayuda: Si se laza a la misma velocidad, recorre el mismo espacio, pues llega a la vez; aplicar el teorema de Pitágoras, y platear u SS.EE. de º grado) (Sol: a 1 m del árbol más alto) 47. E ua balaza de precisió pesamos cie graos de arroz, obteiedo u valor aproximado de 0, kg. Cuátos graos se estima que habrá e 1000 toeladas de arroz? Utilícese otació cietífica. (Sol:, graos) 48. U almaceista de fruta compra u determiado úmero de cajas de fruta por u total de 100. Si hubiera comprado 10 cajas más y cada caja le hubiera salido por 1 meos, etoces habría pagado 10. Cuátas cajas compró y cuáto costó cada caja? (Sol: 0 cajas a ) 49. Calcular, aplicado, siempre que sea posible, las propiedades de las potecias, y simplificado e todo mometo. Cuado o sea ya posible aplicar las propiedades de las potecias debido a la existecia de ua suma o resta, pasar la potecia a úmero y operar: + 1 : ( 1) ( 7) 7 1 (Sol: 1/7) : ( 1 ) ( 1) + ( 9 ) (Sol: /) del autor (alfosogozalopez@yahoo.es) 1

14 : 9 (Sol: -/11) 0. Simplificar: ( ) 6 4 ( ) ( ) d) ( ) 1. La luz del sol tarda 8 miutos y 0 segudos e llegar a la Tierra. Calcular la distacia Tierra-Sol, empleado otació cietífica. (Sol: 1, 10 8 km). Hallar dos úmeros positivos sabiedo que su cociete es / y su producto 16 (Sol: 1 y 18). TEORÍA: Qué es el discrimiate de ua ecuació de º grado? Qué idica? Si llegar a resolverla, cómo podemos saber de atemao que la ecuació x +x+1 carece de solucioes? Ivetar ua ecuació de º grado co raíces x 1 / y x, y cuyo coeficiete cuadrático sea Si resolver y si sustituir, cómo podemos asegurar que las solucioes de x +x-000 so x 1 1 y x -0? d) Calcular el valor del coeficiete b e la ecuació x +bx+60 sabiedo que ua de las solucioes es 1. Si ecesidad de resolver, cuál es la otra solució? 4. U rectágulo tiee 00 cm de área y su diagoal mide cm. Cuáto mide sus lados? (Sol: 0 x 1 cm). Resolver: x 6 +7x -80 x (Sol: x1, x-) (Sol: x±) 1 + y x x y (Sol: x 11; y 1; x /; y 1/) d) x + 4 x 9 x 1 (Sol: x) e) x x > [Sol: x(0, )] del autor (alfosogozalopez@yahoo.es) 14

15 f) x + y z 4 4x + y z 7 (Resolverlo por Gauss) (Sol: Sistema icompatible i.e. o tiee soluc.) x + 4y 4z 0 6. U frutero ha comprado mazaas por valor de 6. Si el kilo de mazaas costara 0,80 meos, podría comprar 48 kg más. Calcular el precio de las mazaas y la catidad que compró. (Sol: 10 kg a,80 /kg) 7. Resolver la ecuació 4x 6x x, sabiedo que ua de sus raíces es 1/ (Sol: x±1/, /) 1 Ídem co x x, sabiedo que ua de sus raíces es 1/ 1 ±, 8. Ua persoa compra ua parcela de terreo por Si el m hubiera costado meos, por el mismo diero habría podido comprar ua parcela 00 m mayor. Cuál es la superficie de la parcela que ha comprado? Cuáto cuesta el m? (Sol: 600 m ; 8 ) 9. Resolver la ecuació x x (Sol: x) 60. El área de u triágulo rectágulo es 0 m y la hipoteusa mide 1 m. Cuáles so las logitudes de los catetos? (Sol: 1 m y m) 61. Resolver la ecuació x x 1 (Ayuda: aplicar Tartaglia y Ruffii) (Sol: x1) 6. Calcular dos úmeros aturales impares cosecutivos cuyo producto sea 19 (Sol: 1 y 1) 6. U comerciate tiee dos clases de aceite: el ormal, que cuesta /l, y el de calidad superior, a 9 /l Cuátos kg deberá mezclar de cada uo para obteer 4 kg a 6 /l? (Sol: l y 1 l, respectivamete) 64. María tiee 4 años. Tiee el doble de edad que teía su hermao cuado ella teía la edad que su hermao tiee ahora Qué edad tiee su hermao? (Sol: 18 años) 6. U problema de plateamieto de iecuacioes: Se defie el Ídice de masa corporal (IMC) de la siguiete forma: IMC peso corporal (e kg) altura (e m) U peso ormal oscila etre 18, y 4,9. Hallar cuál es el peso máximo admisible para u idividuo de 1,89 m de altura para poder estar e u peso ormal. 66. Resolver: x y y x 1 (Sol: x1, y) 1 y x y x (Sol: x1; y1) del autor (alfosogozalopez@yahoo.es) 1