IES Fco Ayala de Granada Modelo 1 del 2015 (Soluciones) Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO 1 DEL 2015 OPCIÓN A

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1 IES Fco Ayala de Graada Modelo 1 del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO 1 DEL 015 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea las matrices A = y B = (0 75 putos) Efectúe la operació A B t. (0 75 putos) Determie la matriz X tal que A + X = B. c) (1 puto) Halle la matriz Y tal que B Y = 9. Solució Sea las matrices A = y B = Efectúe la operació A B t. 1 A B t = = Determie la matriz X tal que A + X = B. De A + X = B, X = B - A; X = (B - A) = (1) ( B - A) X = (B - A) = (1) ( B - A) = - = = c) Halle la matriz Y tal que B Y = 9. Como det(b) = B = = 1 + = 14 0, existe su matriz iversa B-1 = (1/ B ) Adj(B t ). Multiplicado la expresió B Y = 9, por B-1 por la izquierda teemos: B -1 B Y = B -1 9 I Y = B-1 9 Y = B-1 9. Calculamos la matriz iversa B B t = - 4 ; 4 Adj(Bt ) = -1 3, luego B -1 4 = (1/ B ) Adj(B t ) = (1/14) -1 3 = 4/14 /14-1/14 3/14 = /7 1/7 = -1/14 3/14 Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss A tiee iversa si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (B I), a la expresió (I C), dode C = B F1-3F F 1:(-14) F1-4F (B I) = Cambio filas 0 1-1/14 3/ /14 / /14 3/14, por tato B 4/14 /14-1 = -1/14 3/14 = (1/14) Y = B -1 9 = (1/14) = (1/14) 4 1 = 3 3. EJERCICIO (A) Ua etidad fiaciera laza al mercado u pla de iversió cuya retabilidad, R(x), e miles de euros, viee dada por la fució R(x) = x + 0 5x x 500, dode x es la catidad de diero ivertida e miles de euros. (1 puto) Determie qué catidad de diero se debe ivertir para obteer la máxima retabilidad. (0 5 putos) Qué retabilidad se obtedría co dicha iversió? germa.jss@gmail.com 1

2 IES Fco Ayala de Graada Modelo 1 del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua c) (1 puto) Cuál es la catidad de diero para la que se obtiee meor retabilidad? Solució Ua etidad fiaciera laza al mercado u pla de iversió cuya retabilidad, R(x), e miles de euros, viee dada por la fució R(x) = x + 0 5x x 500, dode x es la catidad de diero ivertida e miles de euros. y Determie qué catidad de diero se debe ivertir para obteer la máxima retabilidad. Qué retabilidad se obtedría co dicha iversió? Me está pidiedo el máximo absoluto, que se ecotrará e los extremos del itervalo x = 1, x = 500, o etre las solucioes de R (x) = 0. De R(x) = x + 0 5x + 5, R (x) = -0 00x Si R (x) = 0, teemos -0 00x = 0, de dode x = 0 5/0 00 = 50. Sustituimos los valores, 0, 50 y 500 e R(x) y el de mayor valor es el de máxima retabilidad. R(1) = (1) + 0 5(1) + 5 = 999 R(50) = (50) + 0 5(50) + 5 = 65 R(500) = (500) + 0 5(500) + 5 = 5 = 5 El máximo absoluto es x = 50 y vale R(50) = 65, es decir la retabilidad máxima es de y se obtiee co ua iversió de c) Cuál es la catidad de diero para la que se obtiee meor retabilidad? Como hemos visto e el apartado y, teíamos R(500) = 5, por tato la meor retabilidad es de 500 y se obtiee ivirtiedo EJERCICIO 3 (A) (1 puto) U ilusioista tiee seis cartas: cuatro ases y dos reyes. Saca ua carta, la eseña al público y, si verla, la vuelve a mezclar co las demás. A cotiuació saca ua seguda carta que resulta ser u as. Cuál es la probabilidad de que la primera carta haya sido tambié u as? (1 5 putos) Si el ilusioista o devolviera la primera carta a la baraja y la seguda carta extraída fuera u as, cuál es la probabilidad de que la primera carta haya sido tambié u as? Solució U ilusioista tiee seis cartas: cuatro ases y dos reyes. Saca ua carta, la eseña al público y, si verla, la vuelve a mezclar co las demás. A cotiuació saca ua seguda carta que resulta ser u as. Cuál es la probabilidad de que la primera carta haya sido tambié u as? Llamemos A 1, A, R 1 y R, a los sucesos siguietes, sacar as la 1ª vez, " sacar as la ª vez ", " sacar rey la 1ª vez " y " sacar rey la ª vez ", respectivamete. Datos del problema, devolviedo la carta, p(a1) = 4/6; p(r1) = /6; p(a/a1) = 4/6; p(a/r1) = 4/6,. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Me pide p(a1/a) = p(a1 A) / p(a) Aplicado el teorema de la probabilidad total, p(a) = p(a1).p(a/a1) + p(r1).p(a/r1) = = (4/6) (4/6) + (/6) (4/6) = 4/6 = /3. Luego p(a 1/A ) = [p(a1) p(a/a1 ]/ p(a) = [(4/6) (4/6) ] / (/3) = / Si el ilusioista o devolviera la primera carta a la baraja y la seguda carta extraída fuera u as, cuál es la probabilidad de que la primera carta haya sido tambié u as? germa.jss@gmail.com

3 IES Fco Ayala de Graada Modelo 1 del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua Me pide lo mismo pero si devolver la carta. Datos del problema, si devolver la carta, p(a1) = 4/6; p(r1) = /6; p(a/a1) = 3/5; p(a/r1) = 4/5,. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Me pide p(a1/a) = p(a1 A) / p(a) Aplicado el teorema de la probabilidad total, p(a) = p(a1).p(a/a1) + p(r1).p(a/r1) = = (4/6) (3/5) + (/6) (4/5) = /3. Luego p(a 1/A ) = [p(a1) p(a/a1 ]/ p(a) = [(4/6) (3/5) ] / (/3) = 3/5 = 0 6. EJERCICIO 4 (A) ( 5 putos) La talla media de los alumos de ua Uiversidad sigue ua distribució Normal de media 170 cm y desviació típica 6 cm. Estudios recietes hace sospechar que dicha talla media ha aumetado. Para cofirmar, o o, esa sospecha se ha tomado ua muestra de 64 estudiates de esa Uiversidad, cuya talla media ha resultado ser de 17 cm. Co u ivel de sigificació del 1%, platee u cotraste de hipótesis (H0 :µ 170), determie la regió crítica de ese cotraste y razoe si se puede cocluir que la talla media poblacioal ha aumetado. Solució La talla media de los alumos de ua Uiversidad sigue ua distribució Normal de media 170 cm y desviació típica 6 cm. Estudios recietes hace sospechar que dicha talla media ha aumetado. Para cofirmar, o o, esa sospecha se ha tomado ua muestra de 64 estudiates de esa Uiversidad, cuya talla media ha resultado ser de 17 cm. Co u ivel de sigificació del 1%, platee u cotraste de hipótesis (H0 :µ 170), determie la regió crítica de ese cotraste y razoe si se puede cocluir que la talla media poblacioal ha aumetado. Del problema teemos desviació típica poblacioal = σ = 6, tamaño de la muestra = 64, media poblacioal = µ = 170, y media muestral x = 17, luego X N(170,6), y la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: σ 6 N(170, ) = N(170, ) = N(170, 0 75) 64 Trabajaremos co lo ormal N(0,1), tipificada de la ormal muestral. Tambié os dice que H0 : µ0 170, co u ivel de sigificació de α = 1% = Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H0 : µ0 170 (la media poblacioal o supera el límite máximo de 170 cm) y H1 : µ0 > 170, lo cual os idica la direcció del cotraste, es u cotraste uilateral por la derecha, por tato la regió crítica está a la derecha del puto crítico z 1-α. Etapa : Calculamos el puto o putos críticos que os dará las regioes críticas y de aceptació. Para el ivel de sigificació es α = 0 01, luego teemos u ivel de cofiaza o probabilidad = 1 - α = De p(z z1-α) = 1 - α = = 0 99, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que dicha probabilidad o viee e la tabla, y el valor más próximo es , que correspode al valor crítico z 1-α = 33, que separa las zoas de aceptació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: germa.jss@gmail.com 3

4 IES Fco Ayala de Graada Modelo 1 del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. X - µ 0 E este caso el estadístico de prueba de este cotraste es Z =, que sigue ua ley ormal N(0,1), y σ / x - µ el valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = = 667. σ / 6/ 64 Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z está a la derecha del puto crítico z 1-α = 33, estamos e la zoa de rechazo o regió crítica. Resumiedo, rechazamos la hipótesis ula H 0: µ para u ivel de sigificació α = 0 01 y aceptamos la hipótesis alterativa H 1: µ 0 > 170 Co lo cual, co u ivel de sigificació del 1%, cocluimos que la talla media de los alumos ha aumetado. OPCION B EJERCICIO 1 (B) ( putos) Represete gráficamete la regió factible defiida por las siguietes restriccioes: 4x + y 5 x + 5y 10 x + y 6 x 0 y 0 y calcule sus vértices. (0 5 putos) Calcule los valores máximo y míimo de la fució objetivo F(x, y) = x + y e la regió aterior y los putos dode se alcaza. Solució Represete gráficamete la regió factible defiida por las siguietes restriccioes: 4x + y 5; x + 5y 10; x + y 6; x 0; y 0, y calcule sus vértices. Calcule los valores máximo y míimo de la fució objetivo F(x, y) = x + y e la regió aterior y los putos dode se alcaza. Fució a optimizar es F(x,y) = x + y. Restriccioes: 4x + y 5; x + 5y 10; x + y 6; x 0; y 0 Las desigualdades 4x + y 5; x + 5y 10; x + y 6; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, 4x + y = 5; x + 5y = 10; x + y = 6; x = 0; y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x + 5; y = -x/5 + ; y = -x + 3 x = 0; y = 0 Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De y = 0 e y = -x+5, teemos 0 = - x+5 x = 5 x = 5/4 = 1 5, y el vértice es A(1 5,0). De y = 0 e y = -x+3, teemos 0 = - x+3 x = 3, y el vértice es B(3,0). De y = -x+3 e y = -x/5+, teemos -x+3 = -x/5 + -5x+15 = -x = 3x, co lo cual x = 5/3, e y = -5/3 + 3 = 4/3, y el vértice es C(5/3,4/3). De y = -x+5 e y = -x/5+, teemos -x+5 = -x/5 + -0x+5 = -4x = 16x, co lo cual x = 5/16, e y = -(5/16) + 5 = 15/8, y el vértice es D(5/16,15/8). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito, que so: A(1 5,0), B(3,0), C(5/3,4/3) y D(5/16,15/8). Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, que es el polígoo covexo limitado por los vértices A, B, C, y D de los cortes de dichas rectas, cuyos lados so los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. germa.jss@gmail.com 4

5 IES Fco Ayala de Graada Modelo 1 del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua Veamos la solució óptima de la fució F(x,y) = x + y e el recito aterior, así como los putos e los que se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(1 5,0), B(3,0), C(5/3,4/3) y D(5/16,15/8). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(1 5,0) = (1 5) + (0) = 1 5; F(3,0) = (3) + (0) = 3; F(5/3,4/3) = (5/3) + (4/3) = 13/3 4 33; F(5/16,15/8) = (5/16) + (15/8) = 65/16 = Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 13/3 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(5/3,4/3), y el míimo absoluto de la fució F e la regió es 1 5 (el meor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice A(1 5,0). EJERCICIO (B) (ax - 1) si x < -1 Sea la fució f(x) =. - x + b(x - 1) si x -1 (1 5 putos) Halle los valores de a y b sabiedo que la fució es derivable e x = -1. (1 puto) Para a = 1 y b = -1 obtega la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució f(x) e el puto de abscisa x = -. Solució (ax - 1) si x < -1 Sea la fució f(x) =. - x + b(x - 1) si x -1 Halle los valores de a y b sabiedo que la fució es derivable e x = -1. Como f es derivable e x = 1, tambié es cotiua e x = 1. f(x) es cotiua e x = -1 si f(-1) = f(-1) = lim f(x) = x 1 lim f(x) = x 1+ lim f(x) = x 1 lim f(x). x 1 + lim (-x +b(x-1) = -(-1) +b((-1)-1) = -1-b; x 1 1 lim (ax - 1) x 1 + = 1 (a(-1) - 1) = -a - 6, como so iguales -a-6 = -1-b. a (ax - 1) si x < -1 si x < -1 f(x) = f (x) = - x + b(x - 1) si x -1 ; - x + b si x -1 Como f(x) es derivable e x = -1, existe f (-1), es decir f (-1 - ) = f (-1 + ). Usaremos la cotiuidad de la derivada. f (-1) = lim f (x) = lim ( = a. f (-1 + ) = lim f (x) = lim (-x+ = +b, de dode a = +b. x 1 x 1 x 1+ x 1 Sustituyedo --b-6 = -1-b b = 7, de dode a = +(7) = 9, de dode a = 18. Para a = 1 y b = -1 obtega la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució f(x) e el puto de germa.jss@gmail.com 5

6 IES Fco Ayala de Graada Modelo 1 del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua abscisa x = -. (x - 1) si x < -1 f(x) = f (x) = - x - x + 1 si x -1 ; si x < -1 - x - 1 si x -1 Vemos que x = - está e la rama x < -1, dode f(x) = (x 1) y f (x) = 1. La recta tagete a la gráfica de la fució f(x) e el puto de abscisa x = - es : y - f(-) = f (-) (x+) De f(x) = (x 1), f(-) = -14 = -7. De f (x) = 1, f (-) = 1. La recta tagete pedida es y + 7 = (1) (x+) y = x 6. EJERCICIO 3 (B) El 30% de los habitates de ua ciudad lee el diario A, el 13% el diario B, y el 6% ambos diarios. (1 5 putos) Qué porcetaje de habitates de esta ciudad o lee iguo de los diarios? (1 5 putos) Si se elige al azar u habitate de esta ciudad de etre los o lectores del diario B, cuál es la probabilidad de que lea el diario A? Solució El 30% de los habitates de ua ciudad lee el diario A, el 13% el diario B, y el 6% ambos diarios. Qué porcetaje de habitates de esta ciudad o lee iguo de los diarios? Llamamos A y B a los sucesos habitates que lee el diario A y habitates que lee el diario B. Del problema teemos: p(a) = 30% = 0 3, p(b) = 13% = 0 13 y p(a B) = 6% = ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); p(b) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide p(o lee igú diario) = p(oa y ob) = p(a C B C ) = {Ley de Morga} = = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B) = = p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = 0 37 Si se elige al azar u habitate de esta ciudad de etre los o lectores del diario B, cuál es la probabilidad de que lea el diario A? Me pide p(leer el diario A, sabiedo que o lee el diario B) = p(a/b C ( ) C p A B ) p(a) - p(a B) Luego p(a/b C ) = = = ( )/(1-0 13) = C p(b ) 1 - p(b) EJERCICIO 4 (B) El tiempo e horas dedicado cada día al uso de ua aplicació de mesajería istatáea por los estudiates de bachillerato de ua ciudad, es ua variable aleatoria que sigue ua ley Normal co desviació típica 0 5 horas. Se toma ua muestra aleatoria de 10 estudiates y se obtiee los siguietes tiempos de uso e horas: (1 5 putos) Determie u itervalo de cofiaza al 90% para el tiempo medio diario dedicado al uso de esta aplicació por los estudiates. (1 puto) Calcule el tamaño muestral míimo ecesario para estimar el tiempo medio diario dedicado al uso de esta aplicació, para u error de estimació o superior a 0 1 horas y mismo ivel de cofiaza aterior. Solució El tiempo e horas dedicado cada día al uso de ua aplicació de mesajería istatáea por los estudiates de bachillerato de ua ciudad, es ua variable aleatoria que sigue ua ley Normal co desviació típica 0 5 horas. Se toma ua muestra aleatoria de 10 estudiates y se obtiee los siguietes tiempos de uso e horas: σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y germa.jss@gmail.com 6

7 IES Fco Ayala de Graada Modelo 1 del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = (a, dode z1-α y zα = - z1-α so los putos críticos de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z1-α) = 1 - α σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α = (b -, para el itervalo de la z 1- α. σ media, de dode el tamaño míimo de la muestra es = E. Determie u itervalo de cofiaza al 90% para el tiempo medio diario dedicado al uso de esta aplicació por los estudiates. Datos del problema: = 10; x = ( )/10 = 7; σ = 0 5; ivel de cofiaza = 90% = 0 90 = 1 - α, de dode α = 0 1, co la cual α = 0 1 = De p(z z1-α) = 1 - α = = 0 95, mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 95 o viee; los más próximos so y que correspode a 1 64 y 1 65, luego z1-α es el puto medio de ambos, luego z1-α = ( ) = 1 645, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C.(µ) = x z 1 α,x + z1 α = 0'5 0'5 '7 1' 645,'7 + 1' 645 = ( 4399, 9601) Calcule el tamaño muestral míimo ecesario para estimar el tiempo medio diario dedicado al uso de esta aplicació, para u error de estimació o superior a 0 1 horas y mismo ivel de cofiaza aterior. Datos del problema: Error = E 0 1, σ = 0 5, igual ivel de cofiaza = 90% os da z1-α = σ z 1- α. σ De error = E z1 α = 0 1, teemos que el tamaño míimo de la muestra es E = 1'645 0'5 0' , es decir el tamaño míimo es de = 68 estudiates. = germa.jss@gmail.com 7