IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) U cliete de u supermercado ha pagado u total de 156 euros por 24 litros de leche, 6 kg de jamó serrao y 12 litros de aceite de oliva. Platee y resuelva u sistema de ecuacioes para calcular el precio uitario de cada artículo, sabiedo que 1 litro de aceite cuesta el triple que u litro de leche y que 1 kg de jamó cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche. Solució U cliete de u supermercado ha pagado u total de 156 euros por 24 litros de leche, 6 kg de jamó serrao y 12 litros de aceite de oliva. Platee y resuelva u sistema de ecuacioes para calcular el precio uitario de cada artículo, sabiedo que 1 litro de aceite cuesta el triple que u litro de leche y que 1 kg de jamó cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche. x = Precio del litros de leche. y = Precio del kg de jamó. z = Precio del litros de aceite. De 156 por 24 litros de leche, 6 kg de jamó y 12 litros de aceite 24x + 6y + 12z = 156. De u litro de aceite cuesta el triple que u litro de leche z = 3x. De u kg de jamó cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche y = 4z + 4x. Sustituyedo teemos: 4x + 6(4z + 4x) + 12(3x) = x + 6(4(3x) + 4x) + 12(3x) = x + 6(16x) + 36x = x + 96x + 36x = x = 156, de dode x = 1, z = 3 e y = 4(3) + 4(1) = 16. Es decir el litro de leche cuesta 1, el kg de jamó 16 y el litro de aceite 3. EJERCICIO 2_A 3 2 -t + 5t si 0 t < 3 2 Sea f(t) = -t + 12t - 9 si 3 t 5 2t + 16 si 5 < t 10 (2 putos) Estudie la cotiuidad y derivabilidad de f e t = 3 y t = 5. (1 puto) Razoe si f posee algú puto de iflexió y calcúlelo, e caso afirmativo. Solució 3 2 -t + 5t si 0 t < 3 2 Sea f(t) = -t + 12t - 9 si 3 t 5 2t + 16 si 5 < t 10 Estudie la cotiuidad y derivabilidad de f e t = 3 y t = 5. - t 3 + 5t 2 es cotiua y derivable e R, e particular e 0 < t < 3. - t t - 9 es cotiua y derivable e R, e particular e 3 < t < 5. 2t + 16 es cotiua y derivable e R, e particular e 3 < t < 5. Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e t = 3 y t = 5. f(t) es cotiua e t = 3 si f(3) = f(t) = f(t). f(t) = t 3 f(3) = t 3+ t 3 f(t) = t 3 (- t 3 + 5t 2 ) = -(3) 3 + 5(3) 2 = 18; t 3+ (- t t - 9) = - (3) (3) 9 = 18, por tato f(t) es cotiua e t = 3. t 3 + f(t) = f(t). t 5 (- t t - 9) = - (5) (5) 9 = 26; f(t) es cotiua e t = 5 si f(5) = f(5) = f(t) = f(t) = (2t + 16) = 2(5) + 16 = 26, por tato f(t) es cotiua e t = 5. Recapitulado f es cotiua e R t + 5t si 0 t < 3 2 De f(t) = -t + 12t - 9 si 3 t 5, teemos f (t) = 2t + 16 si 5 < t t + 10t si 0 < t < 3-2t + 12 si 3 < t < 5 2 si 5 < t < 10 germa.jss@gmail.com 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua f(t) es derivable e t = 3 si f (t) = f (t), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. t 3 t 3 + f(t) = (- 3t t) = -3(3) (3) = 3; f(t) = (- 2t + 12) = - 2(3) + 12 = 6. Como los t 3 t 3 t 3 + t 3 + resultados o coicide, f(t) o es derivable e t = 3. f (t) = t 5 (- 2t + 12) = - 2(5) + 12 = 2; f(t) es derivable e t = 5 si f(t) = derivable e t = 5. f (t), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. (2) = 2. Como los resultados coicide, f(t) es f(t) = t t + 10t si 0 < t < 3 Recapitulado f es derivable e R {3}. Luego f (t) = -2t + 12 si 3 < t 5. 2 si 5 < t < 10 Razoe si f posee algú puto de iflexió y calcúlelo, e caso afirmativo. t 5 + Sabemos que los putos de iflexió aula la seguda derivada f (t). -6t + 10 si 0 < t < 3 Como f (t) = -2 si 3 < t < 5, vemos que la úica rama que se puede igualar a cero es la primera, 0 si 5 < t < 10 es decir -6t + 10 = 0, de dode t = 5/3 1 67, que está etre 0 y 3. Como f (1) = -6(1) + 10 = 4 > 0, f es covexa ( ) e el itervalo (0,5/3). Como f (2) = -6(2) + 10 = - 2 < 0, f es cócava ( ) e el itervalo (5/3,3). Por defiició x = 5/3 es u puto de iflexió de f que vale f(5/3) = -(5/3) 3 + 5(5/3) 2 = E las otras dos ramas la seguda derivada o cambia de sigo, luego o hay mas putos de iflexió. EJERCICIO 3_A Parte I Los alumos de Bachillerato de u I.E.S. procede de 3 localidades A, B y C, siedo u 20% de A, u 30% de B y el resto de C. El 80% de los alumos de A cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º.El 50% de los alumos de B cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 60% de los alumos de C cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. (1 puto) Seleccioado, al azar, u alumo de Bachillerato de ese I.E.S., cuál es la probabilidad de que sea de 2º? (1 puto) Si elegimos, al azar, u alumo de Bachillerato de ese I.E.S. y éste es u alumo de 1º, cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B? Solució Los alumos de Bachillerato de u I.E.S. procede de 3 localidades A, B y C, siedo u 20% de A, u 30% de B y el resto de C. El 80% de los alumos de A cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º.El 50% de los alumos de B cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 60% de los alumos de C cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. Seleccioado, al azar, u alumo de Bachillerato de ese I.E.S., cuál es la probabilidad de que sea de 2º? Llamemos A, B, C, 1º y 2º, a los sucesos siguietes, procede localidad A, procede localidad B, procede localidad C, cursa 1º de Bachi. y cursa 2º de Bachi., respectivamete. Datos del problema p(a) = 20% = 0 2, p(b) = 30% = 0 3, p(1º/a) = 80% = 0 8, p(1º/b) = 50% = 0 5, y p(1º/c) = 60% = 0 6,. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). germa.jss@gmail.com 2

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Aplicado el Teorema de la probabilidad Total p(2º) = p(o 1 C O 2 C ) = p(a) p(2º/a) + p(b) p(2º/b) + p(c) p(2º/c) = = (0 2) (0 2) + (0 3) (0 5) + (0 5) (0 4) = Si elegimos, al azar, u alumo de Bachillerato de ese I.E.S. y éste es u alumo de 1º, cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B? Utilizado la fórmula de Bayes y el Teorema de la probabilidad Total o o p(b 1 ) p(b) p(1 /B) p(b/1ª) = = = ( )(1 0 39) = 15/ o o p(1 ) 1 - p(2 ) EJERCICIO 3_A Parte II Se sabe que la estatura de los idividuos de ua població es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal co desviació típica 6 cm. Se toma ua muestra aleatoria de 225 idividuos que da ua media de 176 cm. (1 puto) Obtega u itervalo, co u 99% de cofiaza, para la media de la estatura de la població. (1 puto) Calcule el míimo tamaño de muestra que se ha de tomar para estimar la estatura media de los idividuos de la població co u error iferior a 1 cm y u ivel de cofiaza del 95%. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = (a, dode z 1-α y z α = - z 1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α ) = 1 - α Tambié sabemos que la media es x = (a +, el error máximo de la estimació es E = z1 α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α = 2 E, de dode E = (b, z 1- α. 2 z 1- α. por tato el tamaño míimo de la muestra es = E = b - a. Se sabe que la estatura de los idividuos de ua població es ua variable aleatoria que sigue ua germa.jss@gmail.com 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua distribució Normal co desviació típica 6 cm. Se toma ua muestra aleatoria de 225 idividuos que da ua media de 176 cm. Obtega u itervalo, co u 99% de cofiaza, para la media de la estatura de la població. Datos del problema: = 6; = 225, x = 176, ivel de cofiaza = 99% = 0 99 = 1 - α, de dode α = 0 01, es decir α = 0 01 = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad o viee, las más próximas so y que correspode a 2 57 y 2 58, por tato z 1-α es la media es decir z 1-α = ( ) = 2 575, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C.(µ) = x z 1 α,x + z1 α = '575, '575 = (174 97, ) Calcule el míimo tamaño de muestra que se ha de tomar para estimar la estatura media de los idividuos de la població co u error iferior a 1 cm y u ivel de cofiaza del 95%. Datos del problema: = 6, error = E 1, ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = 1 - α, de dode α = 0 05, es decir α = 0 05 = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad viee, y que correspode a z 1-α = z 1- α. 1' 96 6 De = = , teemos que el tamaño míimo es = 139. E 1 OPCIÓN B EJERCICIO 1_B Sea el sistema de iecuacioes siguiete: x + y 120; 3y x; x 100; y 10. (2 putos) Represete gráficamete la regió factible y calcule sus vértices. (1 puto) E qué puto de esa regió, F(x,y) = 25x + 20y alcaza el máximo? Solució Sea el sistema de iecuacioes siguiete: x + y 120; 3y x; x 100; y 10. Represete gráficamete la regió factible y calcule sus vértices. E qué puto de esa regió, F(x,y) = 25x + 20y alcaza el máximo? ( y ( Las desigualdades x + y 120; 3y x; x 100; y 10, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x + y = 120; 3y = x; x = 100; y = 10. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x + 120; y = x/3; x = 100; y = 10. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito deitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De y = 10 e y = x/3, teemos 10 = x/3, luego 30 = x, y el vértice es A(30,10). De y = 10 y x = 100, teemos el vértice es B(100,10). De x = 100 e y = -x+120, teemos y = 20, y el vértice es C(100,20). De y = -x+120 e y = x/3, teemos -x+120 = x/3-3x+360 = x 360 = 4x, luego 90 = x e y = 30, y el vértice es D(90,30). germa.jss@gmail.com 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Vemos que la regió factible es el polígoo covexo itado por los vértices del recito, que so: A(30,10), B(100,10), C(100,20) y D(90,30). El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(30,10), B(100,10), C(100,20) y D(90,30). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(30,10) = 25(30) + 20(10) = 950; F(100,10) = 25(100) + 20(10) = 2700; F(100,20) = 25(100) + 20(20) = 2900; F(90,30) = 25(90) + 20(30) = Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 2900 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(10,20). EJERCICIO 2_B Sea x, e euros, el precio de veta del litro de aceite de oliva virge extra. 4 Sea f (x) = 2 -, co x 0, la fució que represeta el balace ecoómico quiceal, e miles de euros, x+1 de ua empresa agrícola. (2 putos) Represete la fució f. (0 5 putos) A partir de qué precio de veta del litro de aceite empieza esta empresa a teer beeficios? c) (0 5 putos) Está itadas las gaacias quiceales de esta empresa? Y las pérdidas? Solució Sea x, e euros, el precio de veta del litro de aceite de oliva virge extra. 4 Sea f(x) = 2 -, co x 0, la fució que represeta el balace ecoómico quiceal, e miles de euros, x+1 de ua empresa agrícola. Represete la fució f. 4 Teemos f(x) = 2 - x+1 = 2x = 2x - 2, cuya gráfica es ua hipérbola y sabemos tiee ua A.V. y x + 1 x + 1 ua A.H. Como lo ha defiido para x 0, vemos que f(0) = -2. 2x - 2 El úmero que aula el deomiador (x + 1 = 0) es x = -1, y como x 1+ x + 1 = (-4)/0+ = -, la recta x = -1 es ua A.V. de f, pero o está es el domiio, auque os idica de dode proviee la gráfica, y que f es estrictamete creciete ( ), pues vedría desde - hasta f(0) = -2. Como x + 2x - 2 x + 1 = (2x/x) = De (f(x) - A.H.) = 2x (2) x + 1 Teiedo e cueta lo aterior, u esbozo de la gráfica de f es: (2/1) = 2, la recta y = 2 es ua A.H. e +. = 0 -, teemos que f está por debajo de la A.H. y = 2 e +. A partir de qué precio de veta del litro de aceite empieza esta empresa a teer beeficios? Observado la gráfica, vemos que empieza a estar por ecima del eje de abscisas OX e x = 1, es decir a partir de 1 la empresa comieza a teer beeficios. c) Está itadas las gaacias quiceales de esta empresa? Y las pérdidas? germa.jss@gmail.com 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Observado la gráfica, vemos que está itadas las gaacias quiceales de esta empresa porque o supera la A.H. y = 2, es decir las gaacias está itadas a Observado la gráfica, vemos que f(0) = -2, es decir las perdidas está itadas a EJERCICIO 3_B Parte I Segú la estadística de los resultados e las Pruebas de Acceso e ua provicia adaluza, e septiembre de 2001, el úmero de alumas presetadas es 840, de las que ha aprobado u 70%, mietras que el úmero de alumos presetados es 668, habiedo aprobado u 75% de éstos. (1 puto) Elegida, al azar, ua persoa presetada a las Pruebas, cuál es la probabilidad de que haya aprobado? (1 puto) Sabiedo que ua persoa ha aprobado, cuál es la probabilidad de que sea varó? Solució Segú la estadística de los resultados e las Pruebas de Acceso e ua provicia adaluza, e septiembre de 2001, el úmero de alumas presetadas es 840, de las que ha aprobado u 70%, mietras que el úmero de alumos presetados es 668, habiedo aprobado u 75% de éstos. Llamemos V, M, A y A C, a los sucesos siguietes, varó, mujer, "aprobar", y "o aprobar", respectivamete. Este problema es muy fácil de realizar utilizado ua tabla de cotigecia (tabla de doble etrada. La suma de los totales coicide), y después utilizado la defiició de probabilidad de Laplace (úmero de casos favorables partido por úmero de casos posibles). Tambié se podría hacer por u diagrama de árbol. Varó = V Mujer = M Totales Aprobar = A 75% de 668 = 70% de 840 = = = 501 = = 588 No aprobar = A C Totales Completamos la tabla de cotigecia sabiedo que tato la suma e horizotal como e vertical da los totales. He puesto e egrita los úmeros que he completado. Varó = V Mujer = M Totales Aprobar = A No aprobar = A C Totales Elegida, al azar, ua persoa presetada a las Pruebas, cuál es la probabilidad de que haya aprobado? Total aprobados p(aprobar) = p(a) = = 1089/ Total presetados Sabiedo que ua persoa ha aprobado, cuál es la probabilidad de que sea varó? p(si aprueba, es varó?) = p(v/a) = p(v A) p(a) = Total varoes y aprobados Total aprobados = 501/ EJERCICIO 3_B Parte II Se sabe que los estudiates de ua provicia duerme u úmero de horas diarias que se distribuye segú ua ley Normal de media µ horas y desviació típica = 2 horas. (1 puto) A partir de ua muestra de 64 alumos se ha obteido el siguiete itervalo de cofiaza (7 26, 8 14) para la media de la població. Determie el ivel de cofiaza co que se ha costruido dicho itervalo. (1 puto) Determie el tamaño muestral míimo ecesario para que el error que se cometa al estimar la media de la població por u itervalo de cofiaza sea, como máximo, de 0 75 horas, co u ivel de cofiaza del 98%. germa.jss@gmail.com 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = (a, dode z 1-α y z α = - z 1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α ) = 1 - α Tambié sabemos que la media es x = (a +, el error máximo de la estimació es E = z1 α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α = 2 E, de dode E = (b, z 1- α. 2 z 1- α. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. Se sabe que los estudiates de ua provicia duerme u úmero de horas diarias que se distribuye segú ua ley Normal de media µ horas y desviació típica = 2 horas. A partir de ua muestra de 64 alumos se ha obteido el siguiete itervalo de cofiaza (7 26, 8 14) para la media de la població. Determie el ivel de cofiaza co que se ha costruido dicho itervalo. Datos del problema: Itervalo = (a, = (7 26, 8 14), = 2, = De la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α, teemos que ( ) = 2 z1 α, es decir 64 z 1-α = (0 88) 8 /4 = 1 76 y mirado e las tablas vemos que p(z 1 76) = 1 - α = , por lo tato teemos que α = ( ) 2 = , luego el ivel de cofiaza pedido es = 1 - α = = = = 92 16%. Determie el tamaño muestral míimo ecesario para que el error que se cometa al estimar la media de la població por u itervalo de cofiaza sea, como máximo, de 0 75 horas, co u ivel de cofiaza del 98%. Datos del problema: = 2, E 0 75, ivel de cofiaza = 98% = 0 98 = 1 - α, de dode α = 0 02, es decir α = 0 02 = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 99 o viee, y que la más próxima es , que correspode a z 1-α = (Iterpolado z 1-α = ). z 1- α. 2 ' 33 2 De = , teemos que el tamaño míimo es = 39. E 0'75 germa.jss@gmail.com 7