IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua PRUEBA DE AESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO ANDALUÍA Modelo 3 de MATEMÁTIAS APLIADAS A LAS IENIAS SOIALES II OPIÓN A EJERIIO 1_A (1 5 putos) De ua matriz cuadrada, A, de orde 3 se cooce los siguietes elemetos a1 = a1 = -, a13 = a31 = 0, a3 = a3 = 1. Determie los demás elemetos de la matriz A sabiedo que debe cumplirse la ecuació A.B = t dode B t = (1-1 1) y = (-4-1). (1 puto) alcule.d, siedo D = Solució De ua matriz cuadrada, A, de orde 3 se cooce los siguietes elemetos a1 = a1 = -, a13 = a31 = 0, a3 = a3 = 1. x - 0 Luego A = - y z Determie los demás elemetos de la matriz A sabiedo que debe cumplirse la ecuació B t = (1-1 1) y = (-4-1). x x+ -4 De A.B = t, teemos - y =, es decir -y-1 = 0 1 z 1-1 z-1-1 x+ = -4, de dode x = -6 -y-1 =, de dode y = -3 z-1 = -1, de dode z = Por tato la matriz A es A = alcule.d, siedo D = D =.D.D = = = A.B = t dode. Igualado, miembro a miembro: EJERIIO _A El beeficio, e miles de euros, alcazado e ua tieda de ropa el pasado año, viee dado por la fució B(t) expresada a cotiuació 1 t -t+5 si 0 t 6 8 B(t) =, t es el tiempo trascurrido e meses. t +1 si 6 < t 1 (1 puto) Estudie la derivabilidad de la fució al cabo de 6 meses. (0 5 putos) uádo fue míimo el beeficio? uál fue dicho beeficio? (1 puto) Represete gráficamete la fució B(t). uádo fue máximo el beeficio? A cuáto ascedió? Solució 1 t - t + 5 si 0 t 6 8 Sea la fució B(t) =, t es el tiempo trascurrido e meses. t +1 si 6 < t 1 Estudie la derivabilidad de la fució al cabo de 6 meses.

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Si ua fució es derivable, sabemos que es cotiua, por tato estudiamos primero la cotiuidad e x = 6. B es cotiua e x = 6 sy y solo si (sii): B(6) = lim x 6- [B(x)] = lim x 6+ [B(x)] B(6) = lim x 6- [B(x)] = lim x 6- [ t /8 t + 5 ] = 36/ = 7 lim x 6+ [B(x)] = lim x 6+ [ (t + 1) = (6 + 1) = 7 a + 3 = 4 a. omo B(6) = lim x 6- [B(x)] = lim x 6+ [B(x)] = 7, B(t) es cotiua e t = 6. Veamos la derivabilidad e t = 6. B(t) = 1 t - t + 5 si 0 t 6 8, B (t) = t +1 si 6 < t 1 t - 1 si 0 t < si 6 < t 1 Para que B sea derivable e t = 6 teemos que: B (6 - ) = B (6 + ) Vamos a utilizar la cotiuidad de la derivada que es más rápido. B (6 - ) = lim x 6- [B (x)] = lim x 6- [t/4-1] = 6/4-1 = 1. B (6 + ) = lim x 6+ [B (x)] = lim x 6+ [ 1 ] = 1. omo B (1 - ) = B (1 + ), B es derivable e t = 6. uádo fue míimo el beeficio? uál fue dicho beeficio? Sabemos que el míimo absoluto de ua fució B(t) se ecuetra etre los extremos del itervalo (t = 0, t=1), los putos dode o es cotiua y derivable (t = 6) y tambié etre las solucioes de B (t) = 0 (os dá los posibles extremos relativos) Si x < 6, B(t) = t /8 t + 5, de dode B (t) = t/4 1. De B (t) = 0, teemos t/4 1 = 0, luego t = 4. Sustituimos todos estos valores e B(t), pero cada uo e su rama. B(0) = (0) /8 (0) + 5 = 5 B(1) = (1 + 1) = 13 = 6 5, está e la rama de x > 6. B(6) = (6) /8 (6) + 5 = 7 = 3 5 B(4) = (4) /8 (4) + 5 = 3 El beeficio míimo es de 3000 e u tiempo de 4 meses. Represete gráficamete la fució B(t). uádo fue máximo el beeficio? A cuáto ascedió? El máximo beeficio lo podemos obteer del apartado aterior y es de 6500 e u tiempo de 1 meses. Si x 6, teemos B(t) = t /8 t + 5 cuya gráfica es ua parábola co las ramas hacia arriba ( ) porque el úmero que multiplica a t es positivo, y vértice e el puto V(4,3), porque el vértice es u míimo y aula la primera derivada, que ya hemos visto que era t = 4. omo las ramas va hacia arriba y el vértice es V(3,4), la gráfica de B(t) = t /8 t + 5. Para termiar de termiar de dibujar esta rama le daríamos el valor t = 0 y t=6, cosa que ya hemos realizado. Si x> 6, teemos B(t) = (t + 1), cuya gráfica es u segmeto, por tato co dos valores es suficiete. Tomamos t = 6 + y t = 1. Teiedo e cueta lo aterior u esbozo de la gráfica es:

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Observado la gráfica vemos que el beeficio máximo, de 6500, se obtiee e el último mes, el mes úmero 1. EJERIIO 3_A E ua ciudad, el 55% de la població cosume aceite de oliva, el 30% de girasol, y el 0% ambos tipos de aceite. Se escoge ua persoa al azar: (1 puto) Si cosume aceite de oliva, cuál es la probabilidad de que cosuma tambié aceite de girasol? (1 puto) Si cosume aceite de girasol, cuál es la probabilidad de que o cosuma aceite de oliva? (0 5 putos) uál es la probabilidad de que o cosuma iguo de los dos tipos de aceite? Solució Sea A y B, los sucesos cosume aceite de oliva y cosume aceite de girasol. De el 55% de la població cosume aceite de oliva, teemos p(a) = 55% = 0 55 De el 30% de la població cosume aceite de girasol, teemos p(b) = 30% = 0 3 De el 0% de la població cosume ambos, teemos p(a B) = 0% = 0 Si cosume aceite de oliva, cuál es la probabilidad de que cosuma tambié aceite de girasol? p( A B ) Me está pidiedo p(b/a) = = 0 / p(a) Si cosume aceite de girasol, cuál es la probabilidad de que o cosuma aceite de oliva? p( A B ) p( B)-p(A B ) Me está pidiedo p(a /B) = = = (0 3 0 )/ p(b) p(b) uál es la probabilidad de que o cosuma iguo de los dos tipos de aceite? p A B = {ley de Morga} = p( (A B) ) = {cotrario} = Me está pidiedo p(oa y ob) = ( ) = 1 p(a B) = = 0 35 Necesitamos p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = EJERIIO 4_A El peso de los adultos de ua determiada població sigue ua distribució Normal de media 70 kg y desviació típica 16 kg. Si elegimos, al azar, muestras de tamaño 4, (0 5 putos) cuál es la distribució de la media muestral? (1 puto) cuál es la probabilidad de que el peso medio de ua de esas muestras esté compredido etre 65 y 7 kg? (1 puto) cuál es la probabilidad de que ese peso medio sea meor que 70 kg? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ el estimador media muestral X, sigue ua N(μ, ), geeralmete se suele escribir X N(µ, ) Datos: media poblacioal μ = 70, desviació típica = 16, tamaño muestra = 4. uál es la distribució de la media muestral? 16 La distribució de la media muestral es N(µ, ) = N(70, ) = N(70, 8) 4 cuál es la probabilidad de que el peso medio de ua de esas muestras esté compredido etre 65 y 7 kg? Me está pidiedo p(65 < X < 7) = {tipificamos} = p < Z < = p(-0 65 < Z < 0 5) = { 8 8 tomamos sólo dos decimales} = p(-0 63 < Z < 0 5) = p(z < 0 5) - p( Z < -0 63) = = p(z < 0 5) [ 1 - p( Z < 0 63)] = {mirado e la tabla de la ormal N(0,1) } = [ ] = =

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua cuál es la probabilidad de que ese peso medio sea meor que 70kg? Me está pidiedo p( X < 70) = {tipificamos} = p Z < = p(z < 0) = { {mirado e la tabla de la 8 ormal N(0,1) } = OPIÓN B EJERIIO 1_B Se cosidera el recito R del plao determiado por las siguietes iecuacioes: 13x + 8y 600; 3(x ) (y 3); x 4y 0. (1 75 putos) Represete gráficamete el recito R y calcule sus vértices. (0 75 putos) alcule el valor máximo e dicho recito de la fució F(x,y) = 65x + 40y, idicado dóde se alcaza. Solució Dibuje el recito del plao defiido por el siguiete sistema de iecuacioes y determie sus vértices: 13x + 8y 600; 3(x ) (y 3); x 4y 0. Para dibujar la regió factible o recito, de cada iecuació despejamos la icógita y para dibujar la recta correspodiete, y después observado las iecuacioes tedremos la regió factible. Iecuacioes: 13x + 8y 600; 3(x ) (y 3); x 4y 0 Rectas: De 13x + 8y = 600 teemos y = -13x/ /13, de 3(x ) (y 3) teemos y = 3x, la otra es y = x/4. Dibujamos las rectas Si os fijamos e las desigualdades y -13x/ /8, y 3x, y x/4, vemos que el recito factible, y los vértices A, B y de dicha regió so: 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua De y= x/4 e y=3x, teemos x/4 =3x, es decir x = 6x, luego x = 0, por tato y = 0, y el puto de corte A(0,0) De y= 3x e y = -13x/ /8, teemos 3x = -13x/ /8, luego 1x = -13x + 600, por tato 5x = 600, de dode x = 6005 = 4 e y = 3(4) = 36, y el puto de corte B(4,36) De y= x/4 e y = -13x/ /8, teemos x/4 = -13x/ /8, luego x = -13x + 600, por tato 15x = 600, de dode x = 600/15 = 40 e y = (40)/4 = 10, y el puto de corte (40,10) El recito tiee por vértices A(0,0), B(4,36) y (40,10). alcule el valor máximo e dicho recito de la fució F(x,y) = 65x + 40y, idicado dóde se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que la fució F alcaza su máximo y míimo absoluto e la regió acotada, y que este extremo debe estar situado e algú vértice del recito ( o e u segmeto, si coicide e dos vértices cosecutivos), por lo que evaluamos F e los putos ateriores: F(0,) = 65(0) + 40(0) = 0, F(4,36) = 65(4) + 40(36) = 3000, F(40,10) = 65(40) + 40(10) = Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 3000 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e los putos (4,36) y (40,10), luego todo el segmeto que ue los vértices (4,36) y (40,10) es solució. EJERIIO _B (1 5 putos) La gráfica de la fució derivada, f, de ua fució f es ua parábola que corta al eje OX e los putos (-1,0) y (3,0), y tiee su vértice e (1,-4). Estudie, a partir de ella, la mootoía de la fució f e idique la abscisa de cada extremo relativo. (1 puto) Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució g(x) = -.e 3x e el puto de abscisa x = 0. Solució La gráfica de la fució derivada, f, de ua fució f es ua parábola que corta al eje OX e los putos (-1,0) y (3,0), y tiee su vértice e (1,-4). Estudie, a partir de ella, la mootoía de la fució f e idique la abscisa de cada extremo relativo. o los datos que me ha dado, vértice e (1,-4), corta al eje OX e (-1,0) y (3,0), observo que la parábola tiee las ramas hacia arriba (el vértice está debajo del eje OX), y u esbozo de ella sería: omo f (x) es positivo (ecima del eje OX) e x < -1 y tambié e x > 3, resulta que f(x) es estrictamete creciete e x < -1 y tambié e x > 3, omo f (x) < 0 (debajo del eje OX) e -1 < x < 3, resulta que f(x) es estrictamete decreciete e -1 < x < 3. Por defiició e x = -1 hay u máximo relativo (a su izquierda f crece y a su derecha decrece). Por defiició e x = 3 hay u míimo relativo (a su izquierda f decrece y a su derecha crece). Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució g(x) = -.e 3x e el puto de abscisa x = 0. Sabemos que la recta tagete e x = 0 es y g(0) = g (0)(x 0). g(x) = -.e 3x de dode g(0) = -.e 0 = -.1 = -. g (x) = -.e 3x.3 = -6. e 3x, de dode g (0) = -6.e 0 = -6.1 = -6. 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua La recta tagete pedida es: y (-) = -6(x 0), es decir y = - 6x. EJERIIO 3_B El 30% de los aparatos que llega a u servicio técico para ser reparados está e garatía. De los que o está e garatía, el 0% ya fuero reparados e otra ocasió y de los que sí lo está, solamete u 5% fuero reparados ateriormete. Se elige u aparato al azar e el servicio técico: (1 5 putos) uál es la probabilidad de que haya sido reparado e otra ocasió? (1 5 putos) Si es la primera vez que ha llegado al servicio técico, cuál es la probabilidad de que esté e garatía? Solució Llamemos G, G, R y R a los sucesos "aparato e garatía, aparato si garatía, llevado algua vez a reparar y o se ha llevado a reparar uca. De el 30% de los aparatos que llega a u servicio técico para ser reparados está e garatía, teemos p(g)= 30% =0 3, y por suceso cotrario p(g ) = = 0 7 = 70%. De los que o está e garatía, el 0% ya fuero reparados e otra ocasió y de los que sí lo está, solamete u 5% fuero reparados ateriormete, teemos p(r/g ) = 0% = 0 ' y p(r/g) = 5% = 0 ' 05. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). uál es la probabilidad de que haya sido reparado e otra ocasió? Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que o se produzca retrasos es: p(r) = p(g).p(r/g) + p(g ).p(r/ G ) = (0 3)(0 05) + (0 7)(0 ) = Si es la primera vez que ha llegado al servicio técico, cuál es la probabilidad de que esté e garatía? Aplicado el teorema de Bayes, la probabilidad pedida es: p( G R ) p( G).p(R /G) 0'3.0'95 p(g/r ) = = = p(r ) p(r ) 1-0'155 EJERIIO 4_B o el fi de estudiar el peso medio de los perros recié acidos de ua determiada raza, se tomó ua muestra e ua clíica veteriaria y se obtuviero los siguietes pesos, medidos e kg: Se sabe que el peso de los cachorros de esta raza se distribuye segú ua ley Normal co desviació típica 0 5 kg. (1 5 putos) Obtega u itervalo de cofiaza para estimar la media poblacioal, al 95%. (0 5 putos) Halle el error máximo que se cometería usado el itervalo aterior. (0 5 putos) Razoe cómo variaría la amplitud del itervalo de cofiaza si, mateiedo el mismo ivel de cofiaza, aumetásemos el tamaño de la muestra. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua I.= x z 1 α,x + z1 α dode z1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z1-α)=1 - α Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α, para el itervalo de la media, de z 1- α. dode = E. Obtega u itervalo de cofiaza para estimar la media poblacioal, al 95%. Datos desviació típica = = 0 5, tamaño de la muestra = 8; media muestral = x = = ( )/8 = De 1 α = 0 95, teemos α = = 0 05, de dode α = 0 05 = 0 05 De p(z z1-α) = 1 - α = = mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad vemos que correspode a z1-α = z0 975 = 1 96, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.= x z 1 α,x + z1 α = 0'5 0'5 1'0375 1' 96,1'0375+1' 96 = ( ; ) 8 8 Halle el error máximo que se cometería usado el itervalo aterior. Sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α = '5 8 = Razoe cómo variaría la amplitud del itervalo de cofiaza si, mateiedo el mismo ivel de cofiaza, aumetásemos el tamaño de la muestra. Si aumetamos el tamaño de la muestra, el úmero z1 α es más pequeño, porque dividimos por u úmero mayor, por tato al sumarle y restarle ua catidad meor a x, se cosigue u itervalo más pequeño, es decir de meor amplitud. 7