Muestreo e Intervalos de Confianza

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1 Muestreo e Itervalos de Cofiaza PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD RESUELTOS MUESTREO E INTERVALOS DE CONFIANZA 1) E ua població ormal co variaza coocida se ha tomado ua muestra de tamaño 49 y se ha calculado su media: x =4,. Determie la variaza de la població sabiedo que el itervalo de cofiaza al 95% para la media poblacioal es (3.64, 4.76). El itervalo de cofiaza al 100(1 )% de la media poblacioal si la població es ormal, o si la muestra es suficietemete grade ( 30) es: x z x z El cetro de este itervalo es x, y el radio z. El cetro de u itervalo se obtiee sumado los extremos y dividiedo etre. Por 3,64 4,76 tato, el cetro de (3.64, 4.76) es = 4,. Este valor coicide co la media muestral, luego el problema tiee setido. El radio del itervalo es E = 4,76 4, = 0,56, que debe coicidir co el radio teórico z. Como 1 = 0,95, segú os dice, etoces =0,05 =0,05 1 =0,075 z =1,96 (mirado e las tablas de la N(0,1)). Como =49: 1,96 =0,56 = =4 49 ) E ua població, ua variable aleatoria sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica 3. a) A partir de ua muestra de tamaño 30 se ha obteido ua media muestral igual a 7. Halle u itervalo de cofiaza, al 96%, para la media de la població. Datos: XN(;3), es decir, = 3; además, = 30, x = 7, 1 = Por tato: 1 = 0.96 = = 0.04 / = = 0.98 z =.055 (buscado e las tablas) Sustituyedo e la fórmula coocida del itervalo de cofiaza de la media poblacioal, lo que puede hacerse porque el tamaño muestral es mayor o igual que 30 y, adicioalmete, la població de orige es Normal (basta ua de las dos codicioes): x z 3 3, x z 7.055,7.055 = (5.87, 8.13) b) Qué tamaño míimo debe teer la muestra co la cual se estime la media, co u ivel de cofiaza del 99% y u error máximo admisible de? 1 = 0.99 = = 0.01 / = z =.575 (buscado e las tablas) El error máximo admisible es E = z. Despejado: 1 = IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 1 de 11

2 Muestreo e Itervalos de Cofiaza E = z E z z E z E O sea: = Cuato mayor es, meor es el error (porque dividimos etre u úmero mayor). Por tato, para garatizar que E es, como máximo,, debemos tomar, como míimo = 15. 3) Tomada ua muestra aleatoria de 300 persoas mayores de edad de ua gra ciudad, se obtuvo que 105 había votado a u determiado partido X. Halle, co u ivel de cofiaza del 90%, u itervalo de cofiaza que permita estimar la proporció de votates del partido X e esa ciudad. Se trata de u itervalo de cofiaza para la proporció poblacioal p. Nos da la 105 proporció muestral p ˆ, el tamaño de la muestra = 300 y el ivel de 300 cofiaza 1 = 0.90 = = 0.1 / = = 0.95 = Sustituyedo e la fórmula del itervalo de cofiaza para z proporcioes, que puede usarse porque = : pˆ(1 pˆ) pˆ(1 pˆ) pˆ z pˆ, z Queda: , = (0.305, 0.395) ) Se supoe que la putuació obteida por cada uo de los tiradores participates e la sede de Gádor de los Juegos Mediterráeos Almería 005, es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal co desviació típica 6 putos. Se toma ua muestra aleatoria de tamaño 36 que da ua media de 35 putos. a) Obtega u itervalo, co u 95% de cofiaza, para la putuació media del total de tiradores. Nos dice: XN(;6), es decir, = 6; además, = 36, x = 35. Y tambié: 1 = 0.95 = = 0.05 / = = z = 1.96 (por las tablas) Etoces, el itervalo de cofiaza de la media poblacioal, que puede usarse porque el tamaño muestral es mayor o igual que 30 y, adicioalmete, la població de orige es Normal (basta ua de las dos codicioes), os da: x z 6 6, x z , = (33.04, 36.96) IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de 11

3 Muestreo e Itervalos de Cofiaza b) Calcule el tamaño míimo de la muestra que se ha de tomar para estimar la putuació media del total de tiradores, co u error iferior a 1 puto y co u ivel de cofiaza del 99%. 1 = 0.99 = = 0.01 / = z =.575 (segú las tablas) El error máximo admisible es E = z. Despejado: 1 = z 1 z z = Como el tamaño muestral o puede teer decimales, debemos tomar, como míimo = 39. 5) Para estimar, por medio de u itervalo de cofiaza, la proporció p de idividuos miopes de ua població, se ha tomado ua muestra de 80 idividuos co la que se ha obteido u porcetaje de idividuos miopes del 35%. Determie, usado u ivel de cofiaza del 99%, el correspodiete itervalo de cofiaza para la proporció de miopes de toda la població. Se trata de u itervalo de cofiaza para la proporció poblacioal p. Podemos costruirlo porque = Nos da la proporció muestral pˆ 0.35, el tamaño de la muestra = 80 y el ivel de cofiaza 1 = 0.99 z =.575. Sustituyedo e la fórmula del itervalo de cofiaza para proporcioes, que puede usarse porque = 80 30: pˆ(1 pˆ) pˆ(1 pˆ) pˆ z pˆ, z Queda: , = (0.13, 0.487) ) (Selectividad 005) E ua població ua variable aleatoria sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica. a) (1 puto) Observada ua muestra de tamaño 400, tomada al azar, se ha obteido ua media muestral igual a 50. Calcule u itervalo, co el 97% de cofiaza, para la media de la població. El itervalo de cofiaza para la media poblacioal, que puede usarse porque el tamaño muestral es mayor o igual que 30 y, adicioalmete, la població de orige es Normal (basta ua de las dos codicioes), es: x z x z Sabemos que =, = 400, x = 50. Nos pide que: Px z x z = 0,97 IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 3 de 11

4 Muestreo e Itervalos de Cofiaza Es decir, 1 = 0,97 = 1 0,97 = 0,03 = 0,015 1 = 0,985 z / =,17 (buscado e las tablas de la Normal). Luego el itervalo de cofiaza pedido es, sustituyedo: 50, ,17 50, , , ,17 49,783 50,17 b) (1 puto) Co el mismo ivel de cofiaza, qué tamaño míimo debe teer la muestra para que la amplitud del itervalo que se obtega sea, como máximo, 1? La amplitud es el doble del error máximo E = z. Así:,17 1 8,68 1 Como la raíz es positiva, se puede pasar multiplicado al otro miembro si que cambie el setido de la desigualdad: 8,68 Elevado al cuadrado: 75,344 Es decir, 76 (o es posible que valga 75,344, pues es el tamaño de la muestra, que es u úmero atural, si decimales). 7) (Selectividad 006) ( putos) E ua població, ua variable aleatoria sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica 9. De qué tamaño, como míimo, debe ser la muestra co la cual se estime la media poblacioal co u ivel de cofiaza del 97% y u error máximo admisible igual a 3? 1 = 0.97 = = 0.03 / = z =.17 (segú las tablas) El error máximo admisible es E = z. Despejado: z 3 3 z z 3 1 = z O sea: = El tamaño muestral debe ser u úmero atural. 3 Cuato mayor es, meor es el error (pues e la expresió de E se está dividiedo etre u úmero mayor). Por tato, para garatizar que E es como máximo 3, debemos tomar, como míimo = 43. 8) (Selectividad 006) ( putos) Se ha lazado u dado 400 veces y se ha obteido 80 veces el valor cico. Estime, mediate u itervalo de cofiaza al 95%, el valor de la probabilidad de obteer u cico. La probabilidad de obteer u 5 coicide co la proporció de veces que sale 5 e la població completa, es decir, e los ifiitos lazamietos teóricamete posibles del dado. IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 4 de 11

5 Muestreo e Itervalos de Cofiaza Se trata, etoces, de u itervalo de cofiaza para la proporció poblacioal p. Nos da la proporció muestral pˆ 80/400 = 0., el tamaño de la muestra = 400 y el ivel de cofiaza 1 = 0.95 z = Sustituyedo e la fórmula del itervalo de cofiaza para proporcioes, utilizable porque = : pˆ(1 pˆ) pˆ(1 pˆ) pˆ z pˆ, z Queda: , = (0.1608, 0.39) ) (Selectividad 006) a) (1 puto) Los valores: 5, 61, 58, 49, 53, 60, 68, 50, 53 Costituye ua muestra aleatoria de ua variable aleatoria Normal, co desviació típica 6. a) Obtega u itervalo de cofiaza para la media de la població, co u ivel de cofiaza del 9%. El itervalo de cofiaza para la media poblacioal, que podemos usar porque, auque < 30, la població de orige es Normal, es: x z x z Sabemos que = 6, = 9 y tedremos que calcular x : xi x = =56 9 Las calculadoras cietíficas realiza este cálculo co sólo itroducir los valores. Nos pide que: Px z x z = 0,9 Es decir, 1 = 0,9 = 1 0,9 = 0,08 = 0,04 1 = 0,96 Es decir, z/ es tal que P(Z z / )=0,96 z / =1,75 (buscado e las tablas de la Normal). Luego el itervalo de cofiaza pedido es, sustituyedo: , , , , ,5 56+3,5 5,5 59,5 b) (1 puto) Se desea estimar la media poblacioal de otra variable aleatoria Normal, co variaza 49, mediate la media de ua muestra aleatoria. Obtega el tamaño míimo de la muestra para que el error máximo de la estimació, mediate u itervalo de cofiaza al 97%, sea meor o igual que. 1 = 0.97 = = 0.03 / = = z =.17 (segú las tablas) IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 5 de 11

6 Muestreo e Itervalos de Cofiaza El error máximo admisible es E = z, dode es la desviació típica, es decir, la raíz cuadrada de la variaza, y como ésta vale 49, etoces = 7. Despejado: z z z.17 7 = Como o puede teer decimales (es el tamaño de la muestra y o tedría setido), el míimo valor válido es = ) (Selectividad 006) ( putos) E ua muestra aleatoria de 1000 persoas de ua ciudad, 400 vota a u determiado partido político. Calcule u itervalo de cofiaza al 96% para la proporció de votates de ese partido e la ciudad pˆ(1 pˆ) pˆ(1 pˆ) Dicho itervalo es: pˆ z pˆ, z. Es utilizable porque = Debe ser: 1 = 0.96 = = 0.04 / = 0.0 z =.055 (segú las tablas) 1 = Como p 0. 4 porque es la proporció muestral, y = 1.000, el itervalo 1000 es: , = = , = ( , ) = = (0.368, ) 11) (Selectividad 007) E ua muestra aleatoria de 56 idividuos se ha obteido ua edad media de 17.4 años. Se sabe que la desviació típica de la població Normal de la que procede esa muestra es de años. a) (1 puto) Obtega u itervalo de cofiaza al 95% para la edad media de la població. El itervalo de cofiaza para la media poblacioal es, que podemos usar porque = y la muestra, además, procede de ua població Normal (bastaba sólo ua de las dos codicioes): x z, x z El ivel de cofiaza es 1 = 0,95 = 0,05 / = 0,05 1 / = 0,975 Buscado e las tablas de la ormal el valor tal que P(z Z / ) = 1 / = 0,975, resulta que Z / = 1,96. Por tato, el itervalo pedido es: , = (17.155, ) IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 6 de 11

7 Muestreo e Itervalos de Cofiaza b) (1 puto) Cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para que el correspodiete itervalo de cofiaza, al 90%, tega de amplitud a lo sumo 0.5? La amplitud del itervalo de cofiaza es z, que os pide que sea, como máximo, 0,5. El ivel de cofiaza es 1 = 0,90 = 0,10 / = 0,05 1 / = 0,95 Buscado e las tablas de la ormal el valor tal que P(z Z / ) = 1 / = 0,95, resulta que Z / = 1,645. Etoces: 6,58 z = 0,5 1,645 = 0,5 0,5 = 13,16 = 173,1856 Este valor o es posible como tamaño muestral. A medida que es mayor, la amplitud del itervalo es meor (e la fórmula de la amplitud del itervalo, está e el deomiador: si es mayor, dividimos etre u úmero mayor, por lo que el resultado es más pequeño). Por tato, el míimo valor ecesario es = ) (Selectividad 007) E ua graja avícola se ha tomado ua muestra aleatoria de 00 polluelos de pato, etre los cuales se ecotraro 10 hembras. a) (1.5 putos) Halle u itervalo de cofiaza, co u ivel del 98%, para la proporció de hembras etre estos polluelos. Lo que hay que saberse es que el itervalo de cofiaza de ivel 1 para la proporció poblacioal, siedo pˆ la proporció muestral, es: pˆ(1 pˆ) pˆ(1 pˆ) pˆ z pˆ, z Y que podemos crearlo siempre que 30, lo que se da e este caso, pues = 00. Por el euciado, sabemos que pˆ = 10/00 = 3/5 = 0,6 y que = 00. Además se tiee que 1 pˆ = 0,4. El ivel de cofiaza es 1 = 0,98 = 0,0 / = 0,01 1 / = 0,99 Buscado e las tablas de la ormal el valor tal que P(z Z / ) = 1 / = 0,99, resulta que Z / =,33. Por tato, el itervalo pedido es: , = (0.519, 0.681) b) (0.5 putos) Razoe, a la vista del itervalo ecotrado, si a ese ivel de cofiaza puede admitirse que la verdadera proporció de hembras de pato e esa graja es 0.5. La probabilidad de que el valor verdadero de p esté e el itervalo aterior es del 98%. Como 0.5 o perteece al itervalo, cocluiremos que o es admisible que sea el valor verdadero de la proporció de hembras, co el ivel de cofiaza mecioado. 13) (Selectividad 007) Se sabe que las putuacioes de u test sigue ua ley Normal de media 36 y desviació típica 4.8. a) (1 puto) Si se toma ua muestra aleatoria de 16 idividuos, cuál es la probabilidad de que la media de esta muestra sea superior a 35 putos? IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 7 de 11

8 Muestreo e Itervalos de Cofiaza Nos pide P( x >35). Sabemos que, segú el Teorema Cetral del Límite, si los datos procede de ua població Normal o la muestra es mayor o igual que 30 (esto o sucede, pero sí que la població es Normal), se tiee: x N; = 4.8 N 36; = N(36; 1.). Tipificamos la ormal, puesto que sabemos que si 16 XN(;) z X N(0;1): x P( x >35) = P = P(z > 0.83) = Segú la probabilidad del suceso cotrario: = 1 P(z 0.83) = Como la gráfica de la fució de desidad de la N(0; 1) es simétrica respecto al eje OY (ver gráfico): = 1 P(z > 0.83) = Usado, uevamete, la probabilidad del suceso cotrario: = 1 [1 P(z 0.83)] = P(z 0.83) = valor que hemos ecotrado e las tablas de la N(0;1). b) (1 puto) Qué porcetaje de muestras de tamaño 5 tiee ua media muestral compredida etre 34 y 36? Cosiste e multiplicar por 100 el valor P(34 x 36). E este caso, 4.8 x N; = N 36; = N(36; 0.96). Tipificado: P(34 x 36)= P z = P(.08 z 0) = = P(z 0) P(z<.08)= Por la simetría de la Normal y, e el paso siguiete, por la probabilidad del suceso cotrario: = 0.5 P(z >.08) = 0.5 [1 P(z.08)] = = ) (Selectividad 007) Se sabe que (45.13, 51.03) es u itervalo de cofiaza, al 95%, para la media de ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal co desviació típica 15. a) (0.5 putos) Cuál es el error cometido? La amplitud del itervalo de cofiaza es el doble del error. Por tato E = =.95 No se os pide, pero señalemos que el cetro del itervalo es la media de la muestra usada para costruirlo: x = = b) (1.5 putos) Calcule, co el mismo ivel de cofiaza, el tamaño muestral míimo ecesario para que el error o sea superior a 1.8. IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 8 de 11

9 Muestreo e Itervalos de Cofiaza z / z El ivel de cofiaza es del 95% 1 = 0,95 = 0,05 / = 0,05 1 / = 0,975 Buscado e las tablas de la ormal el valor tal que P(z Z / ) = 1 / = 0,975, resulta que Z / = 1,96. Por tato: = = Pues o podemos teer u tamaño muestral co decimales. IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 9 de 11 15) (Selectividad 008) El úmero de días de permaecia de los efermos e u hospital sigue ua ley Normal de media días y desviació típica 3 días. a) (1 puto) Determie u itervalo de cofiaza para estimar, a u ivel del 97%, co ua muestra aleatoria de 100 efermos cuya media es 8.1 días. El itervalo de cofiaza para la media poblacioal, que podremos costruir siempre que la població de partida sea Normal, lo que se da e este caso, o que la muestra sea de tamaño mayor o igual que 30, que tambié se cumple, es: x z, x z El ivel de cofiaza es del 97%, por lo que: 1 = 0,97 = 0,03 / = 0,015 1 / = 0,985 Buscado e las tablas de la ormal el valor tal que P(z Z / ) = 1 / = 0,985, resulta que Z / =,17. Por tato, el itervalo pedido es: , = (7.449, 8.751) b) (1 puto) Qué tamaño míimo debe teer ua muestra aleatoria para poder estimar co u error máximo de 1 día y u ivel de cofiaza del 9%? El error máximo al estimar mediate u itervalo de cofiaza la media poblacioal es z. Y os pide que sea, como máximo, 1. El ivel de cofiaza es del 9%, es decir: 1 = 0.9 = 0.08 / = 0,04 1 / = 0,96 Buscado e las tablas de la ormal el valor tal que P(z Z / ) = 1 / = 0,96, resulta que Z / = Etoces: 3 5,5 z = 7,56 Este valor o es posible como tamaño muestral. Como tiee que ser mayor o igual que dicho valor, el míimo valor válido es = 8. 16) (Selectividad 008) Sea la població {1,, 3, 4}. a) (1 puto) Costruya todas las muestras posibles de tamaño, mediate muestreo aleatorio simple. El muestreo aleatorio simple, segú el documeto de orietació elaborado por la Coordiació de la asigatura, se etiede siempre co reemplazamieto. Por tato, cosiste e formar todos los grupos posibles de elemetos co los 4 dispoibles, teiedo e cueta que, cada vez, elegimos el primero de los dos y,

10 Muestreo e Itervalos de Cofiaza a cotiuació, lo reemplazamos, es decir, vuelve a estar dispoible para cuado elijamos el segudo. Por lo tato, los elemetos que compoe la muestra puede estar repetidos. Ifluye, además, el orde de la elecció, por lo que o es lo mismo la muestra {1, } que la {, 1}. El úmero de muestras posibles de tamaño co los 4 elemetos dispoibles os lo da el úmero de variacioes co repetició de 4 elemetos tomados de e (se puede repetir elemetos e el mismo grupo, y u grupo se puede distiguir de otro por el orde de sus elemetos). Esto es VR 4, = 4 = 16. Y si la muestra formada por el elemeto 1 e primer lugar y el e segudo la desigamos por 1, las muestras posibles so las siguietes: 11, 1, 13, 14, 1,, 3, 4, 31, 3, 33, 34, 41, 4, 43, 44 b) (1 puto) Calcule la variaza de las medias muestrales. Lo primero es calcular la media de cada ua de las muestras. Para cada ua, se obtiee sumado sus dos elemetos y dividiedo el resultado etre. Los resultados so: 1, 1.5,,.5, 1.5,,.5, 3,,.5, 3, 3.5,.5, 3, 3.5, 4 Obteemos la media de la muestra: x =.5 16 La variaza (cuadrado de la desviació típica) es: s i1 x i x Dos putualizacioes: E primer lugar, los resultados podría haberse agrupado. Por ejemplo, 1.5 aparece veces, aparece 3, etc. Se simplifica la suma de los umeradores. E la media, sería: Y aálogamete para la variaza. E segudo lugar, para obteer los cálculos es más fácil y fiable utilizar el modo estadística de la calculadora. Hay que idicar el modo de obteer los resultados cuado se usa la calculadora, y eso hemos hecho e este texto; pero los resultados ha sido obteidos e modo estadística. Para itroducir los datos e la calculadora e modo estadística, cometamos los métodos de las calculadoras más usuales. E las calculadoras básicas, etramos e modo estadística pulsado Mode y eligiedo SD. Escribimos cada dato y pulsamos M+ (la patalla os va mostrado el total de datos itroducidos ). Si los datos está agrupados, podemos itroducir el dato juto co su frecuecia, es decir, el úmero de veces que aparece. Y lo hacemos escribiedo el dato, pulsado "Shift" "," (aparece ; e patalla) y la frecuecia, termiado pulsado M+. Al itroducir el último dato, comprobar que vale lo que debe y o olvidar pulsar AC ates de igua otra coas (esto es muy importate). Podemos revisar los datos itroducidos pulsado flecha abajo sucesivamete. No es mala idea hacerlo. Pulsado Shift podemos obteer x y la desviació típica, que vedrá como,, ó x. No cofudir co s, 1, ó x 1, que es la cuasi-desviació IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 10 de 11

11 Muestreo e Itervalos de Cofiaza típica, que o usaremos uca e estos problemas. Si ecesitamos la variaza, habrá que elevar al cuadrado la desviació típica. El valor de está e Shift 1. Por último, o olvidar salir del modo estadística pulsado Mode COMP. E las calculadoras Natural Display, primeramete hacemos que os muestre la columa de frecuecias, pulsado Shift SETUP STAT FREQUENCY-ON. Etramos e modo estadística: MODE STAT 1-VAR. Itroducimos los datos e la primera columa y dejamos la frecuecia de cada uo de ellos e uo o la cambiamos si es ecesario. Tras cada dato, hay que pulsar =. Es buea idea revisar los datos itroducidos. No olvidar pulsar AC tras itroducir el último dato (muy importate). Co Shift STAT podemos: Eligiedo Data, volver a ver los datos. Eligiedo Sum, revisar el valor de (etre otras cosas). Eligiedo Var, cosultar cuáto vale la media x y la desviació típica, que vedrá como,, ó x. No cofudir co s, 1, ó x 1, que es la cuasi-desviació típica, que o usaremos uca e estos problemas. Si ecesitamos la variaza, habrá que elevar al cuadrado la desviació típica. Por último, o olvidar salir del modo estadística pulsado Mode COMP. IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 11 de 11

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