IES Fernando de Herrera Curso 2013 / 14 Primer examen Tercer trimestre 2º Bach CCSS 4 de Abril de 2014 NOMBRE:

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1 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Primer exame Tercer trimestre º Bach CCSS 4 de Abril de 014 NOMBRE: 1) E u espacio muestral se sabe que para dos sucesos A y B se verifica AB) = 0.1, A C B C )= 0.6, A/B) = 0.5. a) Calcule B). (0,7 putos) b) Calcule AB). (0,8 putos) c) So A y B idepedietes? ) Los alumos de Bachillerato de u IES procede de 3 localidades A, B y C, siedo u 0% de A, u 30% de B y el resto de C. El 80% de los alumos de A cursa 1º de Bachillerato y el resto º. El 50% de los alumos de B cursa 1º de Bachillerato y el resto º. El 60% de los alumos de C cursa 1º de Bachillerato y el resto º. a) Seleccioado, al azar, u alumo de Bachillerato de ese IES, cuál es la probabilidad de que sea de º? b) Si elegimos, al azar, u alumo de Bachillerato de ese IES y éste es u alumo de 1º, cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B? (1,5 putos) 3) El peso de los paquetes eviados por ua determiada empresa de trasportes se distribuye segú ua ley Normal, co ua desviació típica de 0.9 kg. E u estudio realizado co ua muestra aleatoria de 9 paquetes, se obtuviero los siguietes pesos e kilos: 9.5, 10, 8.5, 10.5, 1.5, 10.5, 1.5, 13, 1. a) Halle u itervalo de cofiaza, al 99%, para el peso medio de los paquetes eviados por esa empresa. b) Qué error máximo se ha cometido e el itervalo aterior? (0,5 putos) c) Calcule el tamaño míimo que debería teer ua muestra, e el caso de admitir u error máximo de 0.3 kg, co u ivel de cofiaza del 90%. 4) Se desea estimar la proporció de votates a u determiado partido político mediate ua muestra aleatoria. a) Si de ua muestra de 500 persoas 00 dice que lo vota, calcule co u ivel de cofiaza del 97% u itervalo para la proporció de votates a ese partido e la població. (1, putos) b) Si la proporció de votates e otra muestra ha sido 0. y el error cometido e la estimació ha sido iferior a 0.05, co u ivel de cofiaza del 99%, calcule el tamaño míimo de dicha muestra. (1,3 putos)

2 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Primer exame Tercer trimestre º Bach CCSS 4 de Abril de 014 SOLUCIONES 1) (Selectividad 007) E u espacio muestral se sabe que para dos sucesos A y B se verifica AB) = 0.1, A C B C )= 0.6, A/B) = 0.5. a) Calcule B). (0,7 putos) A B) A B) 0.1 A/B) = B) = = = 0. B) A / B) 0.5 b) Calcule AB). (0,8 putos) No podemos usar la fórmula AB) = A) + B) AB) porque descoocemos A). Pero, segú las leyes de Morga: P[(AB) C ] = A C B C ) = 0.6 AB) = 1 P[(AB) C ] = = 0.4 c) So A y B idepedietes? Calculemos A). Como AB) = A) + B) AB) A) = AB) B) + AB) = = 0.3. Como A) A/B) = 0.5, los sucesos A y B o so idepedietes. ) Los alumos de Bachillerato de u IES procede de 3 localidades A, B y C, siedo u 0% de A, u 30% de B y el resto de C. El 80% de los alumos de A cursa 1º de Bachillerato y el resto º. El 50% de los alumos de B cursa 1º de Bachillerato y el resto º. El 60% de los alumos de C cursa 1º de Bachillerato y el resto º. a) Seleccioado, al azar, u alumo de Bachillerato de ese IES, cuál es la probabilidad de que sea de º? Co los datos del problema, costruimos el árbol que lo describe, resultado el adjuto. Por el Teorema de la Probabilidad Total, tedremos: II) = A) II/A) + B) II/B) + C) II/C) = = = 0.39 b) Si elegimos, al azar, u alumo de Bachillerato de 0,5 ese IES y éste es u alumo de 1º, cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B? (1,5 ptos) Por el Axioma de la Probabilidad Codicioada o por la Fórmula de Bayes, se tedrá: B I) B) I / B) B/I) = = = I) 1 II) = ) El peso de los paquetes eviados por ua determiada empresa de trasportes se distribuye segú ua ley Normal, co ua desviació típica de 0.9 kg. E u estudio realizado co ua muestra aleatoria de 9 paquetes, se obtuviero los siguietes pesos e kilos: 9.5, 10, 8.5, 10.5, 1.5, 10.5, 1.5, 13, 1. a) Halle u itervalo de cofiaza, al 99%, para el peso medio de los paquetes eviados por esa empresa. La variable aleatoria poblacioal mide: X = peso de u paquete, al azar. 0, 0,3 A B C 0,8 0, 0,5 0,5 0,6 0,4 I 1 II I II I II IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 1 de 3

3 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Primer exame Tercer trimestre º Bach CCSS 4 de Abril de 014 Podemos costruir el itervalo de cofiaza porque la muestra procede de ua població Normal: X N(; 0.9), y etoces x N; Sabemos que = 0.9 y que = 9. De la muestra, obteemos: x = = 11 9 Como el ivel de cofiaza es 1 = 0.99 = / = Siedo Z z / ) = 0.995, de las tablas de la N(0;1) obteemos que z / =.575. Por tato, el itervalo de cofiaza al 99% para la media poblacioal es: x z /, x z / = , = 9 9 = (10.75, ) b) Qué error máximo se ha cometido e el itervalo aterior? (0,5 putos) La amplitud del itervalo es: = El error máximo es la mitad de dicha amplitud: E = 1.545/ = c) Calcule el tamaño míimo que debería teer ua muestra, e el caso de admitir u error máximo de 0.3 kg, co u ivel de cofiaza del 90%. z / E = z /. Como queremos que E 0.3 z / z / z / Siedo el ivel de cofiaza es 1 = 0.9 = / = 0.95 Siedo Z z / ) = 0.95, de las tablas de la N(0;1) obteemos que z / = Así: = Como el tamaño muestral o puede teer decimales, el míimo valor válido para es de 5. 4) Se desea estimar la proporció de votates a u determiado partido político mediate ua muestra aleatoria. a) Si de ua muestra de 500 persoas 00 dice que lo vota, calcule co u ivel de cofiaza del 97% u itervalo para la proporció de votates a ese partido e la població. (1, putos) La proporció de votates e la muestra es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Biomial. Como el tamaño de la muestra es = , podemos aproximar la Biomial por la Normal. Y siedo: 00 Proporció muestral: pˆ = = 0.4 qˆ = 1 pˆ = Nivel de cofiaza: 1 = 0.97 = / = Siedo Z z / ) = 0.985, de las tablas de la N(0;1) obteemos que z / =.17. Así, el itervalo de cofiaza al 97% pedido es: IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de 3

4 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Primer exame Tercer trimestre º Bach CCSS 4 de Abril de 014 pq ˆ ˆ pˆ z pˆ /, z / = pq ˆ ˆ , = = (0.355, ) b) Si la proporció de votates e otra muestra ha sido 0. y el error cometido e la estimació ha sido iferior a 0.05, co u ivel de cofiaza del 99%, calcule el tamaño míimo de dicha muestra. (1,3 putos) pq ˆ ˆ E < 0.05, siedo E = z /, co pˆ = 0. qˆ = 0.8, y 1 = 0.99 = / = Siedo Z z / ) = 0.995, de las tablas de la N(0;1) obteemos que z / =.575. Por tato: pq ˆ ˆ pq ˆ ˆ z z / < 0.05 z / < 0.05 > ˆ ˆ / pq 0.05 z ˆ ˆ / > pq = = Como el tamaño de la muestra o puede teer decimales, el míimo valor válido es = 45. IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 3 de 3

5 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Primer exame Tercer trimestre º Bach CCSS 9 de Abril de 014 NOMBRE: 1) Ua ura cotiee 5 bolas blacas si marcar, 75 bolas blacas marcadas, 15 bolas egras si marcar y 175 bolas egras marcadas. Se extrae ua bola al azar. a) Calcule la probabilidad de que sea blaca. (0,7 putos) b) Cuál es la probabilidad de que sea blaca sabiedo que está marcada?. (0,5 putos) c) Cuál es la probabilidad de que sea egra y esté marcada? (0,5 putos) d) So idepedietes los sucesos "sacar bola marcada" y "sacar bola blaca"? (0.8 putos) ) Se sabe que el 44% de la població activa de cierta provicia está formada por mujeres Tambié se sabe que, de ellas, el 5% está e paro y que el 0% de los hombres de la població activa tambié está e paro. a) Elegida, al azar, ua persoa de la població activa de esa provicia, calcule la probabilidad de que esté e paro. b) Si hemos elegido, al azar, ua persoa que trabaja, cuál es la probabilidad de que sea hombre? (1,5 putos) 3) Ua característica de ua determiada població se distribuye segú ua variable aleatoria Normal X de media descoocida y desviació típica 0.9. Extraída al azar ua muestra de tamaño 9 de esa població y observada X, dio como resultados: a) Halle u itervalo de cofiaza, al 99%, para la media de la variable X. b) Qué error máximo se ha cometido e el itervalo aterior? (0,5 putos) c) Calcule el tamaño míimo que debería teer ua muestra de esa població, para que el error máximo que se cometa e la determiació de u itervalo de cofiaza para la media de X sea, a lo sumo, 0.3, co u ivel de cofiaza del 90%. 4) De ua muestra aleatoria de 10 alumos presetados a las Pruebas de Acceso, sólo 15 ha resultado o aptos. a) Calcule u itervalo de cofiaza, al 99%, para estimar la proporció de alumos que ha resultado aptos e dicha prueba. (1, putos) b) Mateiedo la misma cofiaza, cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para estimar la proporció de alumos aptos, cometiedo u error iferior al 5%?. (1,3 putos)

6 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Primer exame Tercer trimestre º Bach CCSS 9 de Abril de 014 SOLUCIONES 1) Ua ura cotiee 5 bolas blacas si marcar, 75 bolas blacas marcadas, 15 bolas egras si marcar y 175 bolas egras marcadas. Se extrae ua bola al azar. a) Calcule la probabilidad de que sea blaca. (0,7 putos) Podemos clasificar la distribució de bolas de la ura segú ua tabla de doble etrada ("tabla de cotigecia"). Así, si B so las bolas blacas que hay e la ura, N las egras, M las marcadas y M C las o marcadas, el úmero de bolas que hay so: M M C Total B N Total Como supoemos que todas las bolas tiee la misma probabilidad de ser elegidas, por Laplace: "sacar bola blaca") = B) = = = b) Cuál es la probabilidad de que sea blaca sabiedo que está marcada?. (0,5 putos) Limitádoos a las bolas marcadas, uevamete por Laplace: "sacar blaca" codicioado a que sabemos que "está marcada") = 75 = B/M) = = Otra forma de hacerlo es aplicado el Axioma de la Probabilidad Codicioada: B M ) 75/ B/M) = = 0.3 M ) 50/ c) Cuál es la probabilidad de que sea egra y esté marcada? (0,5 putos) Ua vez más, aplicamos Laplace: "sacar egra" y "sacar marcada") = N M) = = = d) So idepedietes los sucesos "sacar bola marcada" y "sacar bola blaca"? (0.8 putos) E los apartados a y b calculamos: B) = 0.5 y B/M) = 0.3 como o coicide, o so idepedietes. ) Se sabe que el 44% de la població activa de cierta provicia está formada por mujeres Tambié se sabe que, de ellas, el 5% está e paro P y que el 0% de los hombres de la població activa 0. tambié está e paro. V a) Elegida, al azar, ua persoa de la població activa 0.56 de esa provicia, calcule la probabilidad de que esté 0.8 P C e paro. Orgaizamos las probabilidades e u árbol, siedo 0.5 P V = "ser varó", M = "ser mujer" y P = "estar e 0.44 M paro". Segú el Teorema de la Probabilidad Total: P) = = P C IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 1 de 3

7 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Primer exame Tercer trimestre º Bach CCSS 9 de Abril de 014 b) Si hemos elegido, al azar, ua persoa que trabaja, cuál es la probabilidad de que sea hombre? (1,5 putos) Por el Axioma de la Probabilidad Codicioada, o su derivado, la Fórmula de Bayes, se tiee: V/P C C V P ) ) = = = C P ) ) Ua característica de ua determiada població se distribuye segú ua variable aleatoria Normal X de media descoocida y desviació típica 0.9. Extraída al azar ua muestra de tamaño 9 de esa població y observada X, dio como resultados: a) Halle u itervalo de cofiaza, al 99%, para la media de la variable X. Dado que la població origial se distribuye ormalmete, podemos costruir el itervalo de cofiaza, porque etoces x N;. Así: = 0.9 = x = = = 0.99 = = segú las tablas de la N(0;1), si Z z / ) = 0.995, se tiee que z / =.575. Luego el itervalo de cofiaza para al 99% es: , = (10.75, ) 9 9 b) Qué error máximo se ha cometido e el itervalo aterior? (0,5 putos) La amplitud del itervalo es: = El error máximo es la mitad de la amplitud: E = 1.545/ = Otra forma hubiera sido: E = z =.575 = c) Calcule el tamaño míimo que debería teer ua muestra de esa població, para que el error máximo que se cometa e la determiació de u itervalo de cofiaza para la media de X sea, a lo sumo, 0.3, co u ivel de cofiaza del 90%. Si 1 = 0.9 = = 0.95 segú las tablas de la N(0;1), si Z z / ) = 0.95, se tiee que z / = Como E = z y queremos que E 0.3 z 0.3 z z z = = Pero el tamaño muestral o puede teer decimales, así que el primer valor válido es = 5. IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de 3

8 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Primer exame Tercer trimestre º Bach CCSS 9 de Abril de 014 4) De ua muestra aleatoria de 10 alumos presetados a las Pruebas de Acceso, sólo 15 ha resultado o aptos. a) Calcule u itervalo de cofiaza, al 99%, para estimar la proporció de alumos que ha resultado aptos e dicha prueba. (1, putos) La proporció de aptos e la muestra es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Biomial. Como el tamaño de la muestra es = 10 30, podemos aproximar la Biomial por la Normal, segú el Teorema de Moivre-Laplace, caso particular del Teorema Cetral del Límite de Lideberg-Levy. Y siedo: 105 = qˆ = 1 pˆ = 0.15 Proporció muestral: pˆ = 10 Nivel de cofiaza: 1 = 0.99 = = segú las tablas de la N(0;1), si Z z / ) = 0.995, se tiee que z / =.575. Así, el itervalo de cofiaza al 97% pedido es: pq ˆ ˆ pq ˆ ˆ pˆ z pˆ /, z / = , = = (0.7973, 0.957) b) Mateiedo la misma cofiaza, cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para estimar la proporció de alumos aptos, cometiedo u error iferior al 5%?. (1,3 putos) Si cambiamos el tamaño de la muestra, la muestra de trabajo será otra, y los valores de pˆ y qˆ será otros. Para poder cotestar a esta cuestió co los datos que teemos, o os queda más remedio que supoer que dichos valores e la ueva muestra va a coicidir co los que ya teemos. Por otra parte, la proporció se mide e tatos por uo, por lo que el error debe covertirse a dicha escala. Así: pˆ ˆ q z ˆ ˆ p q z pˆ ˆ q E < 0.05 z < z ˆ ˆ p q z ˆ ˆ p q = = Pero el tamaño muestral o puede teer decimales, así que el primer valor válido es = 91. IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 3 de 3

9 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Tercer trimestre º Bach CCSS Exame global 8 de Abril de 014 NOMBRE: ALUMNOS CON LA 1ª Y ª EVALUACIÓN APROBADA 1) Sea dos sucesos A y B tales que A) = 1, B) = 3 1 y AB) = 4 1. Calcule: a) A/B) y B/A). (0,5 putos) b) AB). (0,5 putos) c) A C B). ) E u colectivo de persoas, el 80% tiee más de 35 años. De los mayores de 35 años, el 40% so mujeres. De los que o ha superado los 35 años, el 45% so hombres. Se elige ua persoa, al azar, de ese colectivo. a) Cuál es la probabilidad de que sea mujer? b) Cuál es la probabilidad de que o haya superado los 35 años sabiedo que se ha elegido u hombre? 3) Se ha medido la talla de 100 persoas elegidas al azar, mediate muestreo aleatorio simple, de etre los estudiates varoes de bachillerato de ua gra ciudad, obteiédose ua talla media de 1.75 m. Se sabe que la desviació típica de la població es 0. m. a) Halle u itervalo de cofiaza, al 90%, para la media poblacioal de la talla de los estudiates. b) Co qué ivel de cofiaza se ha costruido el itervalo (1.73, 1.77) para la media poblacioal? 4) El director de ua televisió afirma que u uevo programa que va a emitirse será visto, al meos, por u 30% de persoas. Ua vez emitido se realizó ua ecuesta a 500 persoas, elegidas al azar, y ésta reveló que 130 de ellas había visto ese programa. a) Formule la hipótesis ula y la alterativa del cotraste de hipótesis que permite determiar si los datos de la ecuesta realizada so compatibles co la afirmació del director. (0,5 putos) b) Halle la regió crítica de ese cotraste para u ivel de sigificació del 5.5%. (0,5 putos) c) Segú el dato obteido e el apartado aterior, qué coclusió se obtiee sobre la afirmació realizada por el director de esa televisió? 5) E u distrito uiversitario, la calificació de los alumos sigue ua distribució Normal de media 6. putos y desviació típica de 1 puto. Se seleccioó, aleatoriamete, ua muestra de tamaño 5. a) Idique la distribució de la media de las muestras de tamaño 5. (0,5 putos) b) Cuál es la probabilidad de que la media de las calificacioes de los alumos de ua de esas muestras esté compredida etre 6 y 6.6 putos? c) Dada la població {10, 1, 17}, escriba todas las muestras de tamaño mediate muestreo aleatorio simple y calcule la media y la desviació típica de las medias muestrales. (0,5 putos)

10 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Tercer trimestre º Bach CCSS Exame global 8 de Abril de 014 SOLUCIONES ALUMNOS CON LA 1ª Y ª EVALUACIÓN APROBADA 1) Sea dos sucesos A y B tales que A) = 1, B) = 3 1 y AB) = 4 1. Calcule: a) A/B) y B/A). (0,5 putos) A B) 1/ 4 3 A B) 1/ 4 1 A/B) = = = B/A) = = = = B) 1/ 3 4 A) 1/ 4 b) AB). (0,5 putos) AB) = A) + B) AB) = = c) A C B). A C B) = BA C ) = B A) = B) AB) = = ) E u colectivo de persoas, el 80% tiee más de 35 años. De los mayores de 35 años, el 40% so mujeres. De los que o ha superado los 35 años, el 45% so hombres. Se elige ua persoa, al azar, de ese colectivo. a) Cuál es la probabilidad de que sea mujer? Llamemos A = Ser mayor de 35 años, y M = Ser M mujer. Distribuimos las probabilidades e u diagrama de árbol. A Por el Teorema de la Probabilidad Total: 0.6 M M) = = 0.43 C b) Cuál es la probabilidad de que o haya superado los 35 años sabiedo que se ha elegido u hombre? 0. A C Por el Axioma de la Probabilidad codicioada, de dode procede la Fórmula de Bayes: A C /M C C C A M ) ) = = = C M ) M C 3) Se ha medido la talla de 100 persoas elegidas al azar, mediate muestreo aleatorio simple, de etre los estudiates varoes de bachillerato de ua gra ciudad, obteiédose ua talla media de 1.75 m. Se sabe que la desviació típica de la població es 0. m. a) Halle u itervalo de cofiaza, al 90%, para la media poblacioal de la talla de los estudiates. No sabemos cuál es la distribució de la població, pero el Teorema Cetral del Límite os dice que al aumetar la media muestral tiede a ua distribució: x N;. Y sabemos que si 30 la aproximació es buea. Basádoos e esto, dado que = 100, podemos costruir el itervalo de cofiaza M IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 1 de 3

11 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Tercer trimestre º Bach CCSS Exame global 8 de Abril de 014 Como 1 = 0.9 = 0.1. Buscamos e las tablas de la N(0, 1) z / / Z z / ) = 1 / = 0.95, obteiedo que z / = Así: x z, x z = , = = (1.7171, 1.789) co u ivel de cofiaza del 90%. b) Co qué ivel de cofiaza se ha costruido el itervalo (1.73, 1.77) para la media poblacioal? Si os fijamos, el cetro del itervalo es = 1.75 = x. El error es la mitad de la amplitud, o sea: E = = 0.0. Sabemos que E = z. Sustituyedo los datos que teemos (es de supoer, como trabajamos co la misma muestra, que = 100): = z z / = Por tato, Z z / ) = Z 1) = Por otra parte, Z z / ) = 1 /. De dode: 1 / = / = = ( ) = Luego el ivel de cofiaza es: 1 = ) El director de ua televisió afirma que u uevo programa que va a emitirse será visto, al meos, por u 30% de persoas. Ua vez emitido se realizó ua ecuesta a 500 persoas, elegidas al azar, y ésta reveló que 130 de ellas había visto ese programa. a) Formule la hipótesis ula y la alterativa del cotraste de hipótesis que permite determiar si los datos de la ecuesta realizada so compatibles co la afirmació del director. (0,5 putos) H 0 : p 0.3 H1 : p 0.3 b) Halle la regió crítica de ese cotraste para u ivel de sigificació del 5.5%. (0,5 putos) Se trata de u cotraste uilateral sobre la proporció poblacioal. El cotraste se realiza e base a la aproximació que proporcioal el Teorema Cetral del pq Límite: pˆ N p; (siedo pˆ la proporció muestral y p la poblacioal, co q = 1 p), y dicha aproximació es válida si 30, que es el caso. Siedo z / Z z ) = 1 = = z = 1.6. Por tato, la regió de aceptació es: p RA = 0q 0, p 0 z = , = (0.67, +) 500 De dode la regió crítica es: RC = (, 0.67). IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de 3

12 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Tercer trimestre º Bach CCSS Exame global 8 de Abril de 014 c) Segú el dato obteido e el apartado aterior, qué coclusió se obtiee sobre la afirmació realizada por el director de esa televisió? 130 Como que pˆ = = 0.6 (, 0.67), es decir, a la regió crítica, rechazamos la hipótesis ula co u ivel de sigificació del 5.5%. Esto es, si fuese 500 cierta, e realidad, la hipótesis ula, la probabilidad de haberos equivocado (error de tipo I) es sólo del 5.5%. Así que, e estas codicioes, rechazamos la afirmació del director. 5) E u distrito uiversitario, la calificació de los alumos sigue ua distribució Normal de media 6. putos y desviació típica de 1 puto. Se seleccioó, aleatoriamete, ua muestra de tamaño 5. a) Idique la distribució de la media de las muestras de tamaño 5. (0,5 putos) Puesto que X = calificació de u alumo N(6., 1), por las propiedades de la 1 1 Ley Normal sabemos que x N; = N 6., = N 6., 5 5 b) Cuál es la probabilidad de que la media de las calificacioes de los alumos de ua de esas muestras esté compredida etre 6 y 6.6 putos? Segú lo aterior, tipificado: x 6.6) = P Z = 1 Z ) = 1/5 1/5 = Z ) Z < 1) = (por simetría de la Normal) = Z ) Z > 1) = = (suceso cotrario) = Z ) [1 Z 1)] = Z ) + Z 1) 1 = = = c) Dada la població {10, 1, 17}, escriba todas las muestras de tamaño mediate muestreo aleatorio simple y calcule la media y la desviació típica de las medias muestrales. (0,5 putos) Muestras (10, 10) (10, 1) (10, 17) (1, 10) (1, 1) (1, 17) (17, 10) (17, 1) (17, 17) Medias x = s 13 =.0817 IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 3 de 3

13 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Tercer trimestre º Bach CCSS Exame global 8 de Abril de 014 NOMBRE: ALUMNOS CON LA 1ª Y ª EVALUACIÓN SUSPENDIDA 1) a) (1.5 putos) Dibuje el recito defiido por el siguiete sistema de iecuacioes y determie sus vértices: y 00 x, x 100 3y, x y 600, x 0. b) Sabiedo que A(0, ), B(1, 4), C(3, 4), D(4, ) y E(, 1) so los vértices de ua regió factible, determie e ella el míimo y el máximo de la fució F(x, y) 10x 5y 1, e idique los putos dode se alcaza. 1 x si x 1 ) Sea la fució f(x) = x ax 3 si 1 x 3 x 8x 15 si x 3 a) (0.7 putos) Calcule el valor de a para que f sea cotiua e x = 1. b) (1.8 putos) Para a = estudie la cotiuidad y la derivabilidad de f. 3) Ua bolsa cotiee 5 bolas blacas, 3 rojas y 4 egras. Aa y Maolo practica el siguiete juego: Aa saca ua bola, aota su color y la devuelve a la bolsa, a cotiuació Maolo extrae ua bola y aota su color. Si las dos bolas extraídas tiee el mismo color gaa Aa, si sólo hay ua bola blaca gaa Maolo, y e otro caso hay empate. a) (1. putos) Calcule la probabilidad de que gae Aa. b) Calcule la probabilidad de que gae Maolo. c) (0.3 putos) Calcule la probabilidad de que haya empate. 4) (.5 putos) U estudio sociológico afirma que el 70% de las familias cea viedo la televisió. Se desea cotrastar la veracidad de esta afirmació y, para ello, se toma ua muestra de 500 familias, e la que se observa que 340 ve la televisió mietras cea. Decida, mediate u cotraste de hipótesis, si la afirmació es cierta co u ivel de sigificació de 0.01.

14 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Tercer trimestre º Bach CCSS Exame global 8 de Abril de 014 SOLUCIONES ALUMNOS CON LA 1ª Y ª EVALUACIÓN SUSPENDIDA 1) a) (1.5 putos) Dibuje el recito defiido por el siguiete sistema de iecuacioes y determie sus vértices: y 00 x, x 100 3y, x y 600, x 0. Dibujamos las rectas que resulta al sustituir las desigualdades por iguales. Para ello, cosideramos las tablas de valores siguietes (x = 0 es el eje OY): y = 00 x x y 00 0 x 100 = 3y x y x + y = 600 x y Estas tablas os ayuda a decidir qué dimesioes cosideraremos para los ejes al dibujar el gráfico. Al despejar y e la primera iecuació, resulta y 00 x, es decir, y (recta), dado que la recta es y = 00 x. Por tato, de las dos regioes e las que el plao queda dividido por la recta, el semiplao que os iteresa es el superior. Lo señalamos co uas flechitas. E la seguda, por idética razó, es el semiplao superior, pues quedaría y x 100, o sea, y (recta), porque la recta es 3 y x Aálogamete, es el iferior e la tercera, y el semiplao que queda a la derecha del eje OY, por ser x 0 la cuarta. Calculemos sus vértices. Hay tres que teemos de las tablas de valores ateriores: A(0, 300) C(100, 0) D(0, 00) El que falta es la itersecció de las rectas que observamos e el gráfico, x y 600 x y 600 x 3y 100 x 100 3y 5y 500 y 100 Luego B(400, 100). Sustituyedo e la ª: x 3y Todo lo hemos reflejado e el gráfico. IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 1 de 4

15 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Tercer trimestre º Bach CCSS Exame global 8 de Abril de 014 b) Sabiedo que A(0, ), B(1, 4), C(3, 4), D(4, ) y E(, 1) so los vértices de ua regió factible, determie e ella el míimo y el máximo de la fució F(x, y) 10x 5y 1, e idique los putos dode se alcaza. Este apartado o tiee ada que ver co el aterior. F(A) = F(0, ) = = 31 F(B) = F(1, 4) = = 51 F(C) = F(3, 4) = = 71 F(D) = F(4, ) = = 71 F(E) = F(, 1) = = 46 De dode: El máximo vale 71 y se alcaza e los vértices C(3, 4), D(4, ) y todos y cada uo de los putos del segmeto que los ue. El míimo vale 31 y se alcaza e A(0, ). 1 x si x 1 ) Sea la fució f(x) = x ax 3 si 1 x 3 x 8x 15 si x 3 a) (0.7 putos) Calcule el valor de a para que f sea cotiua e x = 1. Exijamos que se cumpla las tres codicioes de cotiuidad para x = 1: 1) f(1) = 1 1 = 1, pues cuado x =1, f(x) = 1 x. ) Como: lim f ( x) = lim(1 x ) = 1 y lim f ( x) = lim( x ax 3) = 4 a x1 x1 IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de 4 x1 x1 lim f ( x) 1 = 4 a a = 5 a = 5/. x 1 3) Co dicho valor de a se tiee que lim f ( x) = f(1) x 1 Por tato, se cumple las tres y f es cotiua e x = 1, si a = 5/. b) (1.8 putos) Para a = estudie la cotiuidad y la derivabilidad de f. 1 x si x 1 Teemos que f(x) = x 4x 3 si 1 x 3 x 8x 15 si x 3 Zoa (, 1): f es cotiua porque coicide co ua fució poliómica de grado. Zoa (1, 3): Lo mismo y por la misma razó. Zoa (3, +): Idético. x = 1: 1) f(1) = 1 1 = 1; ) lim f ( x) = lim(1 x ) = 1 y x1 x1 x1 lim f ( x) = lim( x 4x 3) = 0. No coicide los límites laterales, por lo que estamos ate ua discotiuidad de salto fiito. x = 3: 1) f(3) = = 0; ) lim f ( x) = lim ( x 4x 3) = 0 y x3 x3 x3 lim f ( x) = lim ( x 8x 15) = 0. Coicide los límites laterales Existe el límite completo, cuyo valor es 0. 3) lim f ( x) = f(3). Por tato, f es cotiua e x = 3. x 3 E resume, f es cotiua e R {1}, co disc. de salto fiito e x = 1. x3 x1

16 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Tercer trimestre º Bach CCSS Exame global 8 de Abril de 014 Derivabilidad Las fórmulas de la tabla de derivadas so aplicables e itervalos abiertos, de dode: 4x si x 1 f '(x) = x 4 si 1 x 3 x 8 si x 3 Sabemos que / f '(1), porque f o es cotiua e x = 1. Falta ver qué sucede e x = 3: f '(3 ) = 3 4 = f '(3 + ) = = f '(3) = Llevado este resultado a lo que teíamos, obteemos la expresió defiitiva de la fució derivada: 4x si x 1 f '(x) = x 4 si 1 x 3 x 8 si x 3 El = podría haberse añadido, tambié (e lugar de dode está), e la última fórmula que defie f, cuado x 3, porque e ambos lugares se obtiee que f '(3) =. 3) Ua bolsa cotiee 5 bolas blacas, 3 rojas y 4 egras. Aa y Maolo practica el siguiete juego: Aa saca ua bola, aota su color y la devuelve a la bolsa, a cotiuació Maolo extrae ua bola y aota su color. Si las dos bolas extraídas tiee el mismo color gaa Aa, si sólo hay ua bola blaca gaa Maolo, y e otro caso hay empate. a) (1. putos) Calcule la probabilidad de que gae Aa. Estamos ate dos experimetos cuyos sucesos so idepedietes, porque la bola extraída e primer lugar se reemplaza, y o cambia las probabilidades de la seguda extracció. Si embargo, u diagrama de árbol os va a ayudar a clarificar la situació y a razoar. Teemos, etoces: gae Aa) = = B1 B ) R1 R ) N1 N) = = = = b) Calcule la probabilidad de que gae Maolo. Aálogamete: gae Maolo) = = B1 R ) B1 N) R1 B ) N1 B ) = = = = B 1 R 1 N B R N B R N B R N IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 3 de 4

17 IES Ferado de Herrera Curso 013 / 14 Tercer trimestre º Bach CCSS Exame global 8 de Abril de 014 c) (0.3 putos) Calcule la probabilidad de que haya empate empate) = 1 = = ) (.5 putos) U estudio sociológico afirma que el 70% de las familias cea viedo la televisió. Se desea cotrastar la veracidad de esta afirmació y, para ello, se toma ua muestra de 500 familias, e la que se observa que 340 ve la televisió mietras cea. Decida, mediate u cotraste de hipótesis, si la afirmació es cierta co u ivel de sigificació de El cotraste será: H 0 : p 0.7 H1 : p 0.7 Se trata de u cotraste bilateral sobre la proporció poblacioal. El cotraste se realiza e base a la aproximació que proporcioal el Teorema Cetral del Límite: pq pˆ N p; (siedo pˆ la proporció muestral y p la poblacioal, co q = 1 p), y dicha aproximació es válida si 30, que es el caso. Siedo z / / Z z / ) = 1 / = / = z / =.575. Por tato, la regió de aceptació es: p RA 0.01 = 0q0 p0q0 p z p z 0, 0 = = , = (0.647, 0.758) Y como teemos que p ˆ = 0.68 (0.647, 0.758) Aceptamos la hipótesis ula, es decir, que el 70% de las familias cea viedo la televisió co u ivel 500 de cofiaza del 99%. IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia 4 de 4