Bloque 3 Tema 12 PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS: PRUEBAS PARAMÉTRICAS

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1 Bloque 3 Tema 1 PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS: PRUEBAS PARAMÉTRICAS Hay ocasioes e las que teemos que tomar decisioes relativas a ua població sobre la base de los coocimietos que teemos de la muestra. A la hora de tomar ua decisió, teemos que euciar ua hipótesis, es decir, teemos que hacer uas suposicioes y ver si éstas se cumple o se rechaza. Para realizar este proceso ecesitamos el empleo de uas pruebas estadísticas ó test, para cotrastar la veracidad o falsedad de las hipótesis euciadas desde el puto de vista estadístico. Los test o pruebas estadísticas se clasifica e dos grades grupos: paramétricas muy estudiadas y de uso frecuete. La variable que estamos tratado tiee ua fució de distribució determiada, coociédose todos los parámetros ó bie alguos de ellos. o paramétricas de uso más reciete y aú o muy desarrolladas. E estas pruebas suele descoocerse la fució de distribució de la variable. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Es ua proposició sobre la distribució de ua o más variables aleatorias, e referecia a la forma que adopta dicha distribució ó los parámetros que defie a la població. La formulació de ua hipótesis estadística se puede realizar mediate ua hipótesis simple ( = 5), o bie mediate ua hipótesis compuesta, formadas co varias simples ( 5; > 5; < 5) Hipótesis ula (Ho) Es la formulació teórica que trata de proteger a priori la distribució que se pretede cotrastar, teiedo dos plateamietos: el estadístico tiee u valor dado Ho: = 100 o hay diferecias sigificativas etre dos estadísticos Ho: μ 1 μ = 0 Hipótesis alterativa (H1) Las cotrarias a las ateriores. Tambié dos plateamietos: ate u valor dado H1o bie H1: =104; o bie H1: < 100; o bie H1: > 100 si hay diferecias sigificativas etre dos estadísticos H1: μ 1 μ 0; o bie H1: μ 1 μ < 0; o bie H1: μ 1 μ > 0 E realidad, la H1 es la que queremos probar y su formulació es imprescidible aú cuado Ho o se rechace. FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Sea ua variable aleatoria X que tiee ua distribució de probabilidad F(X) que depede de u parámetro descoocido, que puede tomar los valores o y 1. El cotraste cosiste e elegir etre dos hipótesis simples: hipótesis ula Ho: o hipótesis alterativa H1: = 1. El cotraste de hipótesis es ua regla que permite decidir cuál de las dos hipótesis es acertada, partiedo de ua muestra aleatoria Xi = (X1,----,X) de X Regioes críticas y de aceptació Difereciamos etre regió crítica o de rechazo de la Ho, y o crítica o de aceptació de Ho. Se llama regió crítica o de ivel de sigificació, a u subcojuto del espacio muestral, tal que la probabilidad de que la muestra perteezca a este espacio, cuado es cierto Ho, es igual a. Lógicamete, la probabilidad de que la muestra o perteezca a este espacio, cuado Ho es cierta, es igual a 1-. El ivel de sigificació es ua probabilidad pequeña (oscila etre 0,1 0,05 0,01) que ormalmete elige el ivestigador. La regla de decisió para optar etre Ho y H1 es la siguiete: la muestra perteece a la regió crítica se rechazo Ho y se acepta H1 la muestra o perteece a la regió crítica, por tato perteece a la regió de aceptació se acepta Ho y se rechaza H1

2 Hipótesis verdadera Error tipo I, error tipo II y potecia de ua prueba Rechazar la Ho siedo cierta, se llama error de tipo I. La probabilidad de cometer este error es el ivel de sigificació. Aceptar la Ho siedo falsa, se llama error de tipo II. La probabilidad de cometerlo recibe la deomiació de. Defiimos la potecia del test como la decisió de aceptar H1 siedo ésta verdadera. Ua prueba es más potete que otra, cuado co u dado, el valor de (1-) es mayor e ua prueba que e otra. Detro de ua misma prueba, es más potete la decisió uilateral que la bilateral. Ver ejemplo 1.1 e pág. 47. Decisió Hipótesis simple frete a alterativa compuesta E muchos cotrastes ormalmete existe más de ua H1 frete a ua sola Ho. El cotraste de hipótesis se formula etoces: Ho: = o (valor coocido) H1: o y se dice que H1 es ua alterativa bilateral (o de dos colas). Los test de hipótesis simple frete a alterativa simple geera regioes críticas de ua sola cola y se llama uilaterales (dcha. o izda.). Ver fig. 1. pág. 48 Los test de hipótesis simple frete a alterativa compuesta tiee regioes críticas e ambos extremos de la curva de la distribució, y se llama de dos colas o bilaterales. Ver fig. 1.3 pág. 48 E todas las pruebas fijaremos u ivel de sigificació y hay que teer presete que si el estadístico calculado cae e la regió de rechazo, etoces se rechazará la Ho. Potecia de ua prueba de hipótesis Ya hemos visto que represeta la probabilidad de aceptar Ho cuado es falsa, mietras que 1- es la probabilidad de rechazar dicha hipótesis cuado es falsa. A esta probabilidad se la cooce como potecia de ua prueba. El objetivo es coseguir pruebas potetes co valores bajos del error tipo I() y del error tipo II (); si embargo, éstos y la potecia tiee uos codicioates: 1.- el valor de se fija al escoger la regió de rechazo.- el valor de depederá de la H1 que se escoja. 3.- para u tamaño muestral fijo, al aumetar la regió de rechazo (y por tato ), dismiuye. Si decrece, aumetará. 4.- al aumetar el tamaño muestral (), y decrecerá a la vez. Como vemos, para coseguir el objetivo de máxima potecia y meor error, la solució está e aumetar el tamaño de la muestra. Así mismo, detro de la misma prueba, la decisió uilateral es más potete que la bilateral. Ver ejemplo e pág. 49. Cálculo de para u y dados Existe relació etre los valores de y y el tamaño de la muestra (). Auque los valores de y so iversos etre sí, lo que idudablemete se busca es que ambos tega los valores más bajos posible. Ver ejemplo e pág. 54 PRINCIPALES PRUEBAS PARAMÉTRICAS Codicioes que exige las pruebas paramétricas: Idepedecia de los datos o cualquier sujetos tiee las mismas posibilidades de ser elegido e la muestra (aleatoriedad). o la putuació de u sujeto o ifluye e la obteida por otro. Normalidad o las poblacioes de las que se extrae los sujetos de las muestras debe estar distribuidas ormalmete para el parámetro a estimar. Ho H1 Ho Si error (error tipo I) H1 (error tipo II) Si error Potecia (1-)

3 o esta codició se asume cuado la muestra es grade. Homocedasticidad o cuado hay varios grupos se supoe que procede de la misma població o de poblacioes co igual variaza. o si esta codició se icumple, afecta a los cotrastes de varios grupos. Medida de itervalo o las variables debe medirse e ua escala de itervalo ó e ua escala ordial multicategórica. Liealidad (solo e la prueba F) o la relació atribuida a los efectos de las iteraccioes etre fila y columa, o ambos, debe ser aditiva y o multiplicativa, para evitar su ifluecia sobre las variazas. Para cotrastar ua hipótesis estadística hay que: 1.- FORMULAR la Ho y la H1.- FIJAR el ivel de sigificació 3.- COMPROBAR las características de las variables y platear las suposicioes ecesarias(cumplimieto o o de las codicioes paramétricas) 4.- ELEGIR u estadístico para cotrastar las hipótesis 5.- ESTUDIAR las características de la distribució muestral del estadístico 6.- DETERMINAR la regió crítica o de rechazo de Ho y la de aceptació. Viee determiada por el ivel de sigificació y por la direcció de H1 7.- DECIDIR sobre la aceptació o rechazo de Ho. Si el valor calculado e la muestra se sitúa detro de la zoa de aceptació, se acepta la Ho; e caso cotrario, se rechaza. Pruebas paramétricas para muestras grades (N> 30) MEDIA Ua muestra aleatoria, co > 30. Coocida la variaza de la població σ. Si se descooce σ, se sustituye por la variaza de la muestra S x. Ver fig pág. 57 Ho: = 0 H1: > 0 (uilateral dcho.) < 0 (uilateral izdo.) 0 0 = 0 σ σ Estadístico de cotraste uilateral z ob > z (dcho.) ; o bie z ob < - z (izdo.) bilateral z ob > z ; o bie z ob < - z Itervalo de cofiaza ± z. σ PROPORCIÓN Ho: p = p 0 H1: p > p 0 (uilateral dcho.) p < p 0 (uilateral izdo.) p p 0 Població dicotómica y muestreo aleatorio, co suficietemete grade para que la distribució muestral de Xi ( y de p ), tega u distribució aproximadamete ormal. Coocida σ. Ver fig. 1.1 pág. 58 Estadístico de cotraste p p 0 σ p = p p 0 p 0 q 0 P = aciertos

4 Si se descooce σ p, se sustituye por su estimador S p : uilateral z ob > z (dcho.) ; o bie z ob < - z (izdo.) bilateral z ob > z ; o bie z ob < - z Itervalo de cofiaza X = S x p ± z. σ p X p pq DIFERENCIA DE MEDIAS Dos muestras aleatorias e idepedietes, de dos poblacioes distitas, co > 30 y > 30. Coocidas σ 1 y σ. Ver fig pág. 59 Ho: μ 1 μ = D 0, siedo Do ua diferecia especificada que se quiere probar. E la mayoría de los casos, se opta por probar que o hay diferecias sigificativas, e cuyo caso Do = 0 H1: μ 1 μ > D 0 ; o bie μ 1 > μ (uilateral dcho.) μ 1 μ < D 0 ; o bie μ 1 < μ (uilateral izdo.) μ 1 μ D 0 Estadístico de cotraste D 0 σ 1 Si se descooce σ 1 y σ, se sustituye por las cuasivariazas muestrales S 1 y S,siedo: = 1 D 0 σ 1 + σ 1 S 1 = X S = X 1 uilateral z ob > z (dcho.) ; o bie z ob < - z (izdo.) bilateral z ob > z ; o bie z ob < - z Itervalo de cofiaza DIFERENCIA DE PROPORCIONES Dos muestras aleatorias e idepedietes, de dos poblacioes distitas, y co y suficietemete grades para que las distribucioes muestrales de p 1 y p (y por tato de p ) sea aproximadamete ormales. Ver fig pág. 60 Ho: p 1 p = D 0, siedo Do ua diferecia especificada que se quiere probar. E la mayoría de los casos, se opta por probar que o hay diferecias sigificativas, e cuyo caso Do = 0 H1: p 1 p > D 0 ; o bie p 1 > p (uilateral dcho.) p 1 p < D 0 ; o bie p 1 < p (uilateral izdo.) p 1 p D 0 Estadístico de cotraste ± z. σ 1 p 1 p D 0 p 1 q 1 + p q Como ormalmete se descooce p 1 y p, tedremos que estimar sus valores para poder calcularla desviació típica σ p 1 p. Se os preseta dos casos: CASO I: supoemos que p 1 = p. Etoces D 0 = 0 y el mejor estimador de p es la acumulació poderada de ambas muestras, es decir: p = X i1+x i + = p 1 + p +

5 y el estadístico de cotraste es: p 1 p D 0 p q p q + 1 Caso II: supoemos que D 0 0 y etoces los mejores estimadores de respectivamete p 1 y p. El estadístico de cotraste será: p 1 y p so p 1 p D 0 p 1 q 1 + p q uilateral z ob > z (dcho.) ; o bie z ob < - z (izdo.) bilateral z ob > z ; o bie z ob < - z Itervalo de cofiaza Pruebas paramétricas para muestras pequeñas (N 30) p 1 p ± z. σ p 1 p MEDIA Ua muestra aleatoria, de ua població distribuida ormalmete. Descoocida la variaza de la població σ. Ver fig pág. 61 Ho: = 0 H1: > 0 (uilateral dcho.) < 0 (uilateral izdo.) 0 t ob = 0 σ t = 0 S x Estadístico de cotraste uilateral t ob > t (dcho.) ; o bie t ob < - t (izdo.) bilateral t ob > t ; o bie t ob < - t Itervalo de cofiaza co (-1) gl. ± t ( 1). σ t DIFERENCIA DE MEDIAS NUESTRAS INDEPENDIENTES Dos muestras aleatorias e idepedietes, de dos poblacioes distitas, que se distribuye ormalmete. Descoocidas σ 1 y σ, pero supuestamete iguales. Ver fig pág. 6 A Ho: μ 1 μ = D 0, siedo Do ua diferecia especificada que se quiere probar. E la mayoría de los casos, se opta por probar que o hay diferecias sigificativas, e cuyo caso Do = 0 H1: μ 1 μ > D 0 ; o bie μ 1 > μ (uilateral dcho.) μ 1 μ < D 0 ; o bie μ 1 < μ (uilateral izdo.) μ 1 μ D 0 Estadístico de cotraste t ob = 1 D 0 1 s s co ( + ) gl.

6 uilateral t ob > t (dcho.) ; o bie t ob < - t (izdo.) bilateral t ob > t ; o bie t ob < - t Itervalo de cofiaza ± t (1 + ). σ 1 B E el caso de que σ 1 σ, tedríamos: que se distribuye segú t de Studet co m grados de libertad, segú la fórmula: 1 D 0 S 1 + S t ob = S 1 + S 1 m = S S + 1 (cuado el resultado es decimal, se redodea al etero más próximo). DIFERENCIA DE MEDIAS NUESTRAS CORRELACIONADAS Dos muestras aleatorias de la misma població, formada por parejas de diferecias. Los sujetos de y ( = = ) so los mismos pero sometidos a diferetes pruebas. Se descooce la variaza de las diferecias. Ver fig pág. 64 Ho: μ 1 μ = 0 H1: μ 1 μ > 0 ; o bie μ 1 > μ (uilateral dcho.) μ 1 μ < 0 ; o bie μ 1 < μ (uilateral izdo.) μ 1 μ 0 Estadístico de cotraste siedo: º diferecias por parejas co ( 1) gl. S d = t d 0 ob = d 1 d 1 uilateral t ob > t (dcho.) ; o bie t ob < - t (izdo.) bilateral t ob > t ; o bie t ob < - t Itervalo de cofiaza d ± t ( 1). S d S d = X 1 X d d 1 d d 1 d VARIANZA POBLACIONAL La muestra se seleccioa aleatoriamete de ua població ormalmete distribuida. Ver fig pág. 65 Ho: σ = σ 0 H1: σ > σ 0 (uilateral dcho.) σ < σ 0 (uilateral izdo.) σ σ 0 χ 1 S x se distribuye segú χ 0 = co σ Estadístico de cotraste (-1) gl. uilateral χ 0 > χ α (dcho.) ; o bie χ 0 < χ 1 α (izdo.) bilateral χ 0 > χ α ; o bie χ 0 < χ 1 α

7 Itervalo de cofiaza S x < σ < χ 0(1 α ) 1 S x χ 0( α ) IGUALDAD DE DOS VARIANZAS POBLACIONALES Las muestras se seleccioaro aleatoriamete e idepedietemete de poblacioes co distribucioes ormales, Se trata pues de dos variazas co observacioes idepedietes. Ver fig pág. 66 Ho: σ 1 = σ H1: σ 1 > σ (uilateral dcho.) σ 1 < σ (uilateral izdo.) σ 1 σ F 0 = S 1 S (dcho.) Estadístico de cotraste : prueba uilateral F 0 = S S 1 (izdo.) Prueba bilateral uilateral F 0 > F α bilateral F 0 > F α F 0 = S 1 S siedo S 1 la mayor variaza muestral y co ( 1) y 1 gl. e el umerador y deomiador, respectivamete. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POBLACIONAL Coeficiete de correlació de Pearso. Ho: ρ = 0 H1: ρ > 0 (uilateral dcho.) ρ < 0 (uilateral izdo.) ρ 0 t ob = r xy Estadístico de cotraste r xy uilateral t ob > t (dcho.) ; o bie t ob < - t (izdo.) bilateral t ob > t ; o bie t ob < - t Itervalo de cofiaza co (-) gl. r xy ± t ( ). 1 r xy