TEST DE HIPÓTESIS. a la hipótesis que se formula y que se quiere contrastar o rechazar. Llamamos hipótesis alternativa, H

Transcripción

1 TEST DE IPÓTESIS INTRODUCCIÓN E el tema aterior vimos cómo, a partir de los datos de ua muestra, podíamos estimar u parámetro de la població (media o proporció) mediate u itervalo E este tema platearemos determiadas hipótesis sobre los parámetros de ua població y a partir de los datos de ua muestro decidiremos si podemos o o aceptar la hipótesis iicial Las hipótesis e estadística iferecial so afirmacioes ue ivolucra al total de la població Su verdad o falsedad podría establecerse co exactitud si dispusiéramos de la oportuidad de evaluar a todos los idividuos ue la compoe Como esto o es posible o o se lleva a cabo, el criterio para aceptar o rechazar ua hipótesis estadística se basa e u razoamieto de tipo probabilístico: a través del estudio de ua o varias muestras se determia la probabilidad de ue los resultados obteidos sea compatibles co la hipótesis establecida Si es altamete improbable ue, de ser cierta la hipótesis, se haya producido dichos resultados la rechazaremos Si o es así, lo más ue podemos decir es ue o existe razoes para pesar ue tal hipótesis o sea cierta Ejemplos: a) ace alguos años, la media de estatura de los españoles adultos varoes era de 7 cm y su desviació típica 9 cm Pasado el tiempo, u muestreo realizado a 6 adultos da ua medida de 7 cm Puede afirmarse ue esa diferecia de cm es debida al azar o realmete la estatura media ha aumetado? b) Supogamos ue, respecto a ua determiada ley, el 5 % de los ciudadaos está e cotra Pasado el tiempo, ua ecuesta realizada a 4 persoas idica ue los ciudadaos e cotra ha descedido hasta el 49 % a cambiado realmete la opiió pública o tal resultado es debido al azar? ELEMENTOS DE UN TEST DE IPÓTESIS A ipótesis Trataremos de utilizar los datos obteidos e ua muestra para tomar decisioes sobre la població Para ello, debemos realizar ciertos supuestos o cojeturas sobre las poblacioes Estos supuestos, ue puede ser o o ciertos, se llama hipótesis estadísticas Se defie el test de hipótesis o cotraste de hipótesis como el procedimieto estadístico mediate el cual se ivestiga la verdad o falsedad de ua hipótesis acerca de ua població o poblacioes Dichas hipótesis se formulará ormalmete sobre la media poblacioal o la proporció poblacioal Llamamos hipótesis ula, a la hipótesis ue se formula y ue se uiere cotrastar o rechazar Llamamos hipótesis alterativa, a cualuier otra hipótesis ue difiera de la formulada y ue os sitúe frete a, de forma ue si se rechaza, se acepta y si se acepta, se rechaza Sobre la metodología de los test de hipótesis hay ue teer e cueta ue: No sirve para demostrar Sirve para decidir ue, a partir de los datos de la muestra, o o puede rechazarse, o es aceptable supoer ue es cierta Sirve para demostrar e el setido de ue, a partir de los datos de la muestra, hay ua fuerte evidecia de ue es cierta e comparació co

2 B Errores Cuado trabajamos co el método del cotraste de hipótesis podemos cometer dos tipos de errores: Rechazar No rechazar cierta Error de tipo I ( ) Decisió correcta ( ) cierta Decisió correcta ( ) Error de tipo II () C Nivel de sigificació y potecia Llamamos ivel de sigificació,, a la probabilidad de cometer u error de tipo I, es decir, PRechazar / es cierta Llamamos potecia del cotraste al valor, siedo la probabilidad de cometer u error de tipo II, es decir, PNO Rechazar / es falsa Lo ideal sería miimizar y, pero esto o puede hacerse simultáeamete pues si dismiuye uo aumeta el otro y viceversa E geeral, se fija de atemao u ivel de cofiaza,, ue asegure u error de tipo I admisible (haciedo míimo ) y de etre todos los cotrastes co dicho ivel de cofiaza se elige el de mayor potecia El estudio de la potecia de u test se escapa al ivel de este curso, así ue daremos por hecho ue los cotrastes de este tema cumple esa codició D Regió de aceptació y regió crítica Ua vez ue teemos formulada la hipótesis ula y la hipótesis alterativa ecesitamos u criterio para saber si aceptamos ua u otra hipótesis Para rechazar la hipótesis ula teemos ue teer evidecias muy fuertes para rechazarla Puede ue haya cambios debidos al azar, e cuyo caso el cambio o es sigificativo, y o cambiamos Puede ue los cambios sea debidos a otras causas, e cuyo caso el cambio es sigificativo y rechazaremos Por lo tato, lo primero ue debemos hacer es fijar u cierto itervalo detro del cual es ormal ue haya cambios, es decir, ua regió tal ue si el parámetro (e uestro caso media o proporció) se matiee e dicho itervalo, os seguimos uedado co, pues esas peueñas variacioes so debidas al azar Ese itervalo o regió se deomia regió de aceptació, y será mayor o meor depediedo del ivel de cofiaza ue precisemos, La regió ue uede fuera de la regió de aceptació idica ue e este caso los cambios o se puede atribuir al azar, y por tato hemos de rechazar y aceptar Tal regió se llama regió crítica o de rechazo E Tipos de cotrastes Cotraste Bilateral (o de dos colas): La regió de rechazo o regió crítica está formada por los dos extremos fuera del itervalo Dicho caso se preseta cuado la hipótesis ula es del tipo : (o bie : p p ) y la hipótesis alterativa, por tato, es del tipo : (o bie : p p ) Cotraste Uilateral (o de ua cola): La regió de rechazo o regió crítica está formada por sólo uo de los extremos fuera del itervalo Dicho caso se preseta cuado la hipótesis ula es del tipo : (o bie : p p ) y la hipótesis alterativa, por tato, es del tipo : (o bie : p p ) (El setido de las desigualdades puede cambiar)

3 EJEMPLO : Establece la hipótesis ula y la hipótesis alterativa a) El promedio de los litros por cada kilómetros de u uevo modelo de automóvil es 75 b) Más del 65% de los empleados de ua empresa aporta doativos a UNICEF c) E promedio, los empleados de cierta compañía vive a o más de 5 kilómetros de la misma d) Al meos u 6% de la població adulta de ua comuidad votará e las próximas eleccioes e) El peso promedio de u pollo para asar es de al meos 8 kilogramos a) b) : 75 : 75 : p 65 : p 65 c) d) : 5 : 5 : p 6 : p 6 e) : 8 : 8 EJEMPLO : El diámetro de los ejes de uos automóviles sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica mm Se toma ua muestra de tamaño 6 y se obtiee u diámetro medio de 7 mm Se puede afirmar co u ivel de sigificació de ue la media de la població es de 4 mm? : 4 : 4 4,, 6, x 7,

4 El estadístico de cotraste es La regió de aceptació es el itervalo Z z 995 x 7 4 z 9 6, z z tal ue P Z z P Etoces, z 575 y la regió de aceptació es el itervalo 575,575 Como el valor del estadístico o se ecuetra e la regió de aceptació (se ecuetra e la regió de rechazo) cocluimos ue o aceptamos la hipótesis ula Es decir, rechazamos ue la media de la població sea 4 mm co u ivel de sigificació del % o co u ivel de cofiaza de 99% EJEMPLO : Para ua muestra de 65 jóvees meores de 9 años se obtuvo ua media muestral de 78 miligramos de colesterol por decilitro de sagre, co ua desviació típica de 45 miligramos de colesterol por decilitro de sagre Si se afirma ue el ídice de colesterol medio e sagre, para jóvees meores de 9 años, es como máximo 7 miligramos por decilitro, los datos ateriores permitiría aceptar dicha afirmació co ua sigificació del %? : 7 : 7 7, 45, 65, x 78, El estadístico de cotraste es x 78 7 z La regió de aceptació es el itervalo, z tal ue P Z z P Z z 99 Etoces, z y la regió de aceptació es el itervalo, Rechazamos la hipótesis ula ya ue el valor del estadístico se ecuetra e la regió de rechazo EJEMPLO 4: E su propagada, u fabricate asegura ue las bombillas ue fabrica tiee ua duració media de al meos 6 horas Al fi de cotrastar este dato, se tomó ua muestra aleatoria de bombillas, obteiédose ua duració media de 57 horas, co ua desviació típica de horas Puede aceptarse la iformació del fabricate co u ivel de sigificació del 4%? : 6 : 6 6,,, x 57, 4 El estadístico de cotraste es x 57 6 z 5 La regió de aceptació es el itervalo z, tal ue P Z z P Z z 4 96 Etoces, z 75 y la regió de aceptació es el itervalo 75, No puede aceptarse la iformació del fabricate co u ivel de sigificació del 4% ya ue el valor del estadístico o se ecuetra e la regió de aceptació EJEMPLO 5: Ua empresa de productos farmacéuticos afirma e su publicidad ue uo de sus medicametos reduce cosiderablemete los sítomas de la alergia primaveral e el 9% de la població Ua asociació de cosumidores ha experimetado dicho fármaco e ua muestra de socios de la misma, obteiedo el resultado idicado e la publicidad e 7 persoas Determia si la asociació de cosumidores puede cosiderar ue la afirmació de la empresa es estadísticamete correcta al ivel de sigificació de 5

5 : p 9 : p 9 p 9, p,, 7 p ˆ 85, 5 p 85 9 z 57 p 9 La regió de aceptació es el itervalo z, z tal ue P Z z 5 P Z z 975 Etoces, 96 z y la regió de aceptació es el itervalo 96,96 No podemos cosiderar válida la afirmació de la empresa co u ivel de sigificació del 5% porue el valor del estadístico se ecuetra e la regió de rechazo EJEMPLO 6: Los resposables de Asutos Sociales afirma ue el porcetaje de persoas mayores de 65 años depedietes es, como máximo, del % Si e ua muestra de 5 persoas mayores de 65 años hay 54 ue so depedietes, se puede aceptar tal afirmació co u ivel de sigificació del %? : p : p p, p 8, 5, 54 p ˆ 4, 5 p 4 z 48 p 8 5 La regió de aceptació es el itervalo, z tal ue P Z z P Z z 97 Etoces, z 88 y la regió de aceptació es el itervalo,88 No podemos rechazar la hipótesis ula co u ivel de sigificació del % Es decir, o hay evidecias estadísticas sigificativas ue idiue ue el porcetaje de persoas mayores de 65 años depedietes o sea como máximo del % EJEMPLO 7: E ua muestra de 576 uiversitarios, 4 va a clase e trasporte público Se puede afirmar, co u ivel de sigificació del 5%, ue la proporció de uiversitarios ue va a clase e trasporte público es, al meos igual a? : p : p p, p, 576, 4 p ˆ 6944, p z 454 p La regió de aceptació es el itervalo z, tal ue P Z z P Z z 5 95 Etoces, z 645 y la regió de aceptació es el itervalo 645, No podemos rechazar la hipótesis ula co u ivel de sigificació del 5% Es decir, o hay evidecias estadísticas sigificativas ue idiue ue la proporció de uiversitarios ue va a clase e trasporte público o sea de al meos