Inferencia estadística. Estimación por intervalos

Transcripción

1 Iferecia estadística. Estimació por itervalos. La distribució ormal Nµ, Piesa y calcula E el dibujo de la gráfica, el área compredida etre el eje X y la curva es. Calcula metalmete cuáto vale el área ue ueda a la izuierda de la recta x = µ Y Área = 0,5 µ µ µ + X Aplica la teoría. Calcula e ua N0, las siguietes probabilidades: a Pz Ì,38 b Pz Ó, c Pz Ì,46 d P, Ì z Ì e P, Ì z Ì 3, f P,4 Ì z Ì,4 a Pz Ì,38 = 0,96 b Pz >, = Pz <, = 0,079 c Pz Ì,46 = Pz Ó,46 = Pz Ì,46 = 0,07 d P, Ì z Ì = Pz Ì Pz Ì, = 0,093 e P, Ì z Ì 3, = Pz Ì 3, Pz Ì, = = Pz Ì 3, + Pz Ì, = 0,984 f P,4 Ì z Ì,4 = Pz Ì,4 Pz Ì,4 = = Pz Ì,4 = 0,9836. Calcula el valor de k e los siguietes casos: a Pz Ì k = 0,987 b Pz Ó k = 0,685 a k =,3 b k = 0, Calcula e ua N0, las siguietes probabilidades: a Px Ì 8 b Px Ó c P9 Ì x Ì 0 d P 9 Ì x Ì a P z Ì = Pz Ì = Pz Ì = 0,587 0 b P z Ó = Pz Ó 0,5 = Pz Ì 0,5 = 0, c P Ì z Ì = P 0,5 Ì z Ì 0 = = Pz Ì 0 Pz Ì 0,5 = 0, d P Ì z Ì = P 9,5 Ì z Ì 0,5 = = Pz Ì 0,5 Pz Ì 9,5 = = Pz Ì 0,5 + Pz Ì 9,5 = 0, Calcula el itervalo característico e ua N0, correspodiete a la probabilidad de 0,9 P z a/ Ì z Ì z a/ = 0,9 Pz < z a/ = 0,9 + 0,90 Pz Ì z a/ = = 0,95 z a/ =, SOLUCIONARIO

2 . Muestreo Piesa y calcula Aaliza la ficha técica del marge y cotesta: a Cuál es la població? b Cuátos idividuos hay e la muestra? c Explica cómo se ha seleccioado la muestra. d Qué sigifica el marge de error? a Todos los mayores de 8 años ue vive e España. b 00 idividuos. c De cada comuidad autóoma se ha seleccioado aleatoriamete u úmero de idividuos proporcioal al úmero de habitates de la misma. d Que los resultados puede ser erróeos e u,% por exceso o por defecto. Aplica la teoría 5. E ua fábrica ue evasa 000 latas de caballa diarias se desea obteer ua muestra de 00 latas. Explica cómo seleccioar la muestra: a Co muestreo aleatorio simple. b Co muestreo aleatorio sistemático. a Se elige al azar las 00 latas. Se puede obteer ua lista de 00 úmeros aleatorios y seleccioar las latas correspodietes. b Se elige ua lata aleatoriamete y se va eligiedo ua de cada 0 latas, por ejemplo, hasta completar las 00 de la muestra. 6. Se uiere obteer ua muestra de 5 alumos de º de bachillerato por muestreo aleatorio simple. Si hay 30 alumos y éstos se ha umerado del al 30, obté co la calculadora seis úmeros aleatorios ue forme la muestra. 7, 9, 0, 5 y La solució es abierta. 7. E u almacé se dispoe de pauetes de detergete de cuatro tipos distitos segú la tabla siguiete: Detergete Se desea extraer ua muestra de 0 pauetes. Calcula el úmero de pauetes ue hay ue tomar de cada clase para realizar u muestreo aleatorio estratificado proporcioal : 0 = 500 Hay ue tomar, de cada 500 pauetes, uo. Detergete A Pauetes B C D 000 Muestra A Nº de pauetes B C D 000 Total TEMA. INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 345

3 3. Estimació de la media por itervalos de cofiaza Piesa y calcula Sea z ~ N0,. Utiliza la tabla del aexo fial y calcula el valor de z a/ tal ue P z a/ < z < z a/ = 0,95 P z a/ < z < z a/ = 0,95 Pz < z a/ = 0,95 + 0,95 Pz < z a/ = = 0,975 ò z a/ =,96 z a/ 0,95 0 z a/ Aplica la teoría 8. Ua empresa de trasporte sabe ue el peso medio de los pauetes ue trasporta es de 0 kg, co ua desviació típica de 5 kg. Si e uo de sus trasportes lleva 50 pauetes, cuál es la probabilidad de ue su peso medio sea mayor de kg? a Variable: X = medias muestrales. 5 b 50 Ó 30 ò µ= 0, = = 0,7 ò 50 ò X ~ N0; 0,7 c PX 0 > = P z > = Pz >,8 = 0,7 = Pz <,8 = 0, El tiempo ue permaece cada paciete e la cosulta de cierto médico es ua variable aleatoria ue sigue ua distribució ormal co ua desviació típica de 4 miutos. Se ha tomado ua muestra de 56 pacietes de este médico, y se ha ecotrado ue su tiempo medio de cosulta ha sido de 0 miutos. Calcula el itervalo de cofiaza, a u ivel del 95%, para el tiempo medio de cosulta ue se deduce de la muestra. a a = 0,95 ò z a/ =,96 b z a/, + z a/ 4 4 0,96, 0 +,96 = = 9,5; 0,49 Se tiee ue µ é9,5; 0,49 co ua probabilidad del 95% 0. Las vetas mesuales e ua tieda de electrodomésticos se distribuye segú ua ley ormal co desviació típica de 540. Se ha realizado u estudio e los últimos ueve meses, y se ha hallado el itervalo de cofiaza 80, a Cuál ha sido la media de las vetas e esos ueve meses? b Cuál es el ivel de cofiaza para este itervalo? a X = = 3 55 b 540 z a/ = 80 ï 3 55 z a/ = 9 = 80 ò z a/ ò P,96 < z <,96 = = 0,95 ò a = 0,95. U fabricate de bombillas sabe ue la desviació típica de la duració de las bombillas es de 00. Calcula el tamaño de la muestra ue se ha de someter a prueba para teer ua cofiaza del 95% de ue el error de la duració media ue se calcule sea meor de 0 h Como a = 0,95 ò z a/ z a/ E 00,96 = 384,6 0 Se debe tomar ua muestra de 385 bombillas. 346 SOLUCIONARIO

4 4. Estimació de la proporció por itervalos de cofiaza Piesa y calcula Se ha realizado ua estimació de la proporció de jóvees ue lee el periódico diariamete co u ivel de cofiaza del 95% y se ha obteido ue dicha proporció está e el itervalo 7, 75. Calcula cuál es el error máximo ue se puede cometer co el ivel de cofiaza del 95% e esta estimació. El error máximo es: 75 7 = jóvees Aplica la teoría. E uas eleccioes, uo de los cadidatos obtuvo el 46% de los votos. Calcula la probabilidad de ue e ua muestra elegida al azar de 00 votates saliera u porcetaje a su favor igual o superior al 50% Variable: p^ = proporcioes muestrales. 0,46 0,54 00 Ó 30 ò p = 0,46 ò = 00 = 0,035 0,5 0,46 Pp^ Ó 0,5 = P z Ó = Pz Ì,4 = 0,035 = 0,7 3. E ua muestra aleatoria de 400 persoas ue ha visto u programa de televisió, 00 persoas recoociero ue éste les había gustado. Determia el itervalo de cofiaza, al 95%, para la proporció de persoas e la població a las ue les gusta el programa. a Como a = 0,95 ò z a/ 00 Se tiee: p^ = = 0,5; y ^ = 0, b ^ p z a/, p^ + z a/ 0,5 0,75 = 0,5, ; 0,5 + 0,5 +, ,75 = 0,; 0,9 La proporció estará etre el % y el 9% co ua probabilidad del 95% 4. E ua muestra de 00 pacietes sometidos a u cierto tratamieto, se obtiee mejoría e 80 pacietes. Si se trabaja co u ivel de cofiaza del 95%: a cuál es el error máximo admisible? b cuál es el míimo úmero de pacietes ue se debe tomar si co el ivel de cofiaza dado se desea ue el error sea meor de 0,05? a Como a = 0,95 ò z a/ E = z a/ p 0,8 0, E 00 = 0,08 b z a/ p E 0,8 0, = 45,86 0,05 Se debe tomar ua muestra de 46 pacietes. TEMA. INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 347

5 Ejercicios y problemas PAU Pregutas tipo test Cotesta e tu cuadero: Se supoe ue la calificació e Matemáticas obteida por los alumos de ua cierta clase es ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica,5 putos. Se elige ua muestra aleatoria simple de tamaño 0 y se obtiee ua suma de sus calificacioes igual a 59,5 putos. Determia u itervalo de cofiaza al 95% para la calificació media de la clase. 58,57; 60,43 5,0; 6,88 5,9; 5,98 5, 6 E el euciado del problema aterior, ué tamaño ha de teer la muestra para ue el error máximo de la estimació sea de 0,5 putos, co u ivel de cofiaza del 95%? E el euciado aterior, determia el tamaño míimo ue debe teer ua muestra de estos auriculares para ue el error de estimació de la logitud media sea iferior a cm, co el mismo ivel de cofiaza del apartado aterior Se sabe ue las putuacioes de u test sigue ua ley Normal de media 36 y desviació típica 4,8. Si se toma ua muestra aleatoria de 6 idividuos, cuál es la probabilidad de ue la media de esta muestra sea superior a 35 putos? 0,7977 0,03 0,585 0,966 3 La duració de la vida de ua determiada especie de tortuga se supoe ue es ua variable aleatoria, co distribució ormal de desviació típica igual a 0 años. Se toma ua muestra aleatoria simple de 0 tortugas y se obtiee las siguietes duracioes, e años: 46; 38; 59; 9; 34; 3; 38; ; 44; 34 Determia u itervalo de cofiaza al 95% para la vida media de dicha especie de tortugas. 37,30; 37,70 30, 40 7,5; 47,5 3,30; 43,70 8 E el euciado aterior, ué porcetaje de muestras de tamaño 5 tiee ua media muestral compredida etre 34 y 36? 50% 70,3% 9,77% 48,4% 4 E el euciado del problema aterior, cuál debe ser el tamaño de la muestra observada para ue el error de la estimació de la vida media o sea superior a 5 años, co u ivel de cofiaza del 90%? Para efectuar u cotrol de calidad sobre la duració e horas de u modelo de juguetes electróicos se elige ua muestra aleatoria de 36 juguetes de ese modelo, y se obtiee ua duració media de 97 horas. Sabiedo ue la duració de los juguetes electróicos de ese modelo se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 0 horas, ecuetra el itervalo de cofiaza al 99,% para la duració media de los juguetes electróicos de ese modelo. 94,08; 99,9 9,58; 0,4 9,7; 0,9 87; 07 5 La logitud de los cables de los auriculares ue fabrica ua empresa es ua variable aleatoria ue sigue ua ley Normal co desviació típica 4,5 cm. Para estimar la logitud media se ha medido los cables de ua muestra aleatoria de 9 auriculares y se ha obteido las siguietes logitudes, e cm: 05, 98, 0, 04, 97, 95, 96, 0, 0 Halla u itervalo de cofiaza, al 97%, para la logitud media de los cables. 00; ,5; 04,5 96,74; 03,6 99,94; 00,06 0 La vida media de u determiado modelo de bombilla sigue ua distribució ormal co desviació típica igual a 60 días. Elegida ua muestra y co u ivel de cofiaza del 98%, se obtiee el itervalo 388,68; 407,3 para la vida media. Calcula la media y el tamaño de la muestra elegida. x = 398 días y 5 bombillas. x = 398 días y 5 bombillas. x = 398 días y 75 bombillas. No se puede determiar. 348 SOLUCIONARIO

6 Ejercicios y problemas. La distribució ormal Nµ, 5. Calcula el itervalo característico e ua N0, correspodiete a la probabilidad de 0,99 P z a/ Ì z Ì z a/ = 0,99 Pz < z a/ = 0,99 + 0,99 Pz Ì z a/ = = 0,995 z a/ =,576 =,58 6. U estudio de u fabricate de televisores idica ue la duració media de u televisor es de 0 años, co ua desviació típica de 0,7 años. Supoiedo ue la duració media de los televisores siga ua distribució ormal: a calcula la probabilidad de ue u televisor dure más de 9 años. b calcula la probabilidad de ue dure etre 9 y años. a x ~ duració media. N0; 0,7 Px > Px > 9 = P z > = Pz >,43 = 0,7 = Pz <,43 = 0, b P9 < x < = P < z < = 0,7 0,7 = P,43 < z <,43 = Pz <,43 = 0,847. Muestreo 8. Se desea elegir por muestreo aleatorio simple ua muestra de 8 vecios de ua comuidad de 60 persoas. Si se ha umerado las 60 persoas del al 60, utiliza la calculadora para geerar la muestra. 47, 35, 60, 43, 0, 8, 37 y 49 La solució es abierta. 9. E cierta localidad hay 500 empresas dedicadas a la alimetació, distribuidas, segú el úmero de empleados, de la siguiete forma: Nº de empleados Se desea extraer ua muestra de 0 empresas. Calcula el úmero de ellas ue hay ue tomar de cada clase para realizar u muestreo aleatorio estratificado proporcioal. 500 : 0 = 5 De cada 5, se toma uo. Nº Empleados Meor ue 0 Meor ue 0 Nº de empresas 300 Etre 0 y Más de Nº de empresas 300 Etre 0 y Más de Muestra Total La duració de cierto tipo de motor es ua variable ormal co ua media de 0 años y ua desviació típica de años. El fabricate garatiza el bue fucioamieto de los motores por u período de 3 años. Qué porcetaje de motores se espera ue o cumpla la garatía? a x ~ duració del motor. b N0; Px < Px < 3 = P z < = Pz <,5 = 0,933 El 93,3% de los motores tedrá ua duració iferior a 3 años, y por tato, o cumpliría la garatía. 0. E u barrio se uiere hacer u estudio para coocer el tipo de actividades de ocio ue más gusta a sus habitates. Para ello, va a ser ecuestados 00 idividuos elegidos al azar. a Explica ué procedimieto de selecció sería más adecuado: muestreo co reposició o si reposició. b Como los gustos cambia co la edad, y se sabe ue e el barrio vive 500 iños, adultos y 500 aciaos, posteriormete se decide elegir la muestra aterior utilizado muestreo estratificado proporcioal. b Defie los estratos. b Determia el tamaño muestral correspodiete a cada estrato. TEMA. INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 349

7 Ejercicios y problemas a Es acosejable elegir la muestra si reemplazamieto, para evitar ue la opiió de ua persoa se tega e cueta más de ua vez. b Se debe cosiderar los estratos formados por iños, adultos y aciaos. b : 00 = 00 De cada 00, se elige uo. Estratos Idividuos Niños 500 Muestra 5 Adultos Estimació de la media por itervalos de cofiaza. Ua variable aleatoria sigue ua distribució ormal de media µ y desviació típica. Se extrae muestras aleatorias simples de tamaño a Qué distribució tiee la variable aleatoria media muestral? b Si se toma muestras de tamaño 4 de ua variable aleatoria x co distribució N65,, calcula PX > 73,7 a ~ N µ, b Variable: X = medias muestrales. 4 < 30 pero la distribució es ormal; luego: µ = 65, = = 6 ò X ~ N65; 6 4 PX 73,7 65 > 73,7 = P z > = Pz >,45 = 6 = Pz <,45 = 0, Aciaos Total Se probaro 0 automóviles, escogidos aleatoriamete de ua misma marca y modelo, por coductores co la misma forma de coducir y e carreteras similares. Se obtuvo ue el cosumo medio de gasolia e litros, por cada 00 km, fue de 5. Estudios previos idica ue el cosumo de gasolia tiee ua distribució ormal de litros de desviació típica. Determia u itervalo de cofiaza al 95% para la media del cosumo de gasolia de estos automóviles. a a = 0,95 ò z a/ b z a/, + z a/ 5,96 ; 5 +,96 = 3,76; 6,4 0 0 Se tiee ue el cosumo medio cada 00 km está e el itervalo 3,76; 6,4 co ua probabilidad del 95% 4. La duració de las llamadas de teléfoo e ua oficia comercial sigue ua distribució ormal co desviació típica de 0 segudos. Se hace ua ecuesta etre 50 llamadas, y la media de duració obteida e esa muestra es de 35 segudos. Calcula u itervalo de cofiaza al 99% para la duració media de las llamadas. a a = 0,99 ò z a/ =,58 b z a/, + z a/ ,58 ; 35 +,58 = 3,35; 38, Se tiee ue la duració media de las llamadas está e el itervalo 3,35; 38,65 co ua probabilidad del 99%. Se sabe ue el peso de los recié acidos e ua determiada població sigue ua distribució ormal de g de media y 80 g de desviació típica. Se toma ua muestra al azar de 96 de estos recié acidos, y se calcula la media. Cuál es la probabilidad de ue esta media esté etre y 3 60 g? a Variable: X = medias muestrales. 80 b 96 Ó 30 ò µ= 3 600, = = 0 ò 96 X ~ N3 600, 0 c P3 580 < X < 3 60 = = P < z < = 0 0 = P < z < = Pz < = 0, Se estima ue el tiempo de reacció de u coductor ate u obstáculo imprevisto tiee ua distribució ormal co desviació típica de 0,05 segudos. Si se uiere coseguir ue el error de estimació de la media o supere los 0,0 segudos, co u ivel de cofiaza del 99%, ué tamaño míimo ha de teer la muestra de tiempo de reacció? a = 0,99 ò z a/ =,58 z a/ E 0,05,58 = 66,4 0,0 Se debe tomar ua muestra de 67 idividuos. 350 SOLUCIONARIO

8 6. Ua variable aleatoria x tiee distribució ormal, y su desviació típica es igual a 3 a Si se cosidera muestras de tamaño 6, ué distribució sigue la variable aleatoria media muestral? b Si se desea ue la media de la muestra o difiera e más de ua uidad de la media de la població, co probabilidad de 0,99, cuátos elemetos se debería tomar como míimo e la muestra? a Si se llama µ a la media de la població, etoces la media muestral sigue ua distribució: ~ N µ, ò X 3 ~ N µ, ò Nµ, 0,75 6 b a = 0,99 ò z a/ =,58 z a/ E 3,58 = 59,9 Se debe tomar ua muestra de 60 idividuos. 4. Estimació de la proporció por itervalos de cofiaza 7. E u cetro escolar, el 40% de los alumos tiee dos o más hermaos. Si se seleccioa ua muestra de 36 alumos, cuál es la probabilidad de ue, de los alumos de la muestra, el 50% o meos tega dos o más hermaos? Variable: p^ = proporcioes muestrales 0,4 0,6 36 Ó 30 ò p = 0,4 ò = 36 = 0,08 0,5 0,4 Pp^ Ì 0,5 = P z Ì = Pz Ì,5 = 0,8944 0,08 8. Se ha realizado ua ecuesta a 35 ciudadaos y se ha cotabilizado ue 0 iba al teatro regularmete. a Halla, co u ivel de cofiaza del 94%, u itervalo para estimar la proporció de ciudadaos ue va al teatro regularmete. b Calcula el úmero míimo de ciudadaos ue debe etrevistarse para ue el error sea del 0,0 a Nivel de cofiaza = a = 0,94 ò z a/ =,89 p = 0/35 = 0,369 ò = 0,63 0,369 0,63 = 35 = 0,07 0,369,89 0,07; 0,369 +,89 0,07 = = 0,3; 0,4 La proporció de ciudadaos está etre el 3% y el 4% co ua probabilidad del 94% b z a/ p E,89 0,369 0,63 = 8 37,4 0,0 Se tomará 8 38 persoas. 9. E ua muestra aleatoria de 400 persoas de ua població, hay 80 ue tiee teléfoo móvil. Calcula el itervalo de cofiaza aproximado para la proporció poblacioal, co u ivel de cofiaza del 95% a a = 0,95 ò z a/ Se tiee: p^ = 0,; y ^ = 0,8 b ^ p z a/, p^ + z a/ = 0,8 0, 0,8 0, = 0,,96 ; 0, +,96 = = 0,6; 0,4 La proporció estará etre el 6% y el 4% co ua probabilidad del 95% 30. Cuado se ha pregutado a 00 persoas de cierta ciudad, elegidas al azar, si lee el periódico al meos ua vez a la semaa, solo 40 ha cotestado ue sí. Ecuetra u itervalo de cofiaza, co ivel de cofiaza del 99%, para la proporció de persoas de esa ciudad ue lee el periódico al meos ua vez a la semaa. a a = 0,99 ò z a/ =,58 Se tiee: p^ = 0,4; y ^ = 0,6 b ^ p z a/, p^ + z a/ = 0,4 0,6 0,4 0,6 = 0,4,58 ; 0,8 +,58 = = 0,7; 0,53 La proporció estará etre el 7% y el 53% co ua probabilidad del 99% TEMA. INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 35

9 Ejercicios y problemas 3. El 70% de las persoas ue tiee teléfoo móvil usa algú servicio de telefoía a través de Iteret. Si se toma ua muestra de 50 persoas, cuál es la probabilidad de ue haya más de 90 persoas ue use algú servicio de telefoía móvil a través de Iteret? Variable: p^ = proporcioes muestrales 50 Ó 30 ò se puede aproximar a ua ormal: Np^, 0,7 0,3 p = 0,7 ò = 0,3 ò= = 0, ,6 0,7 Pp^ Ó 0,6 = P z Ì = Pz Ó,5 = 0,04 = Pz Ì,5 = 0, De ua muestra de 60 clietes de supermercados, 4 fuero capaces de decir el precio del producto ue había comprado. a Determia el itervalo de cofiaza, al 95% para la proporció de clietes de la població. b Calcula el úmero míimo de clietes para ue el error sea meor de u 5% a Como a = 0,95 ò z a/ Se tiee: p^ = 0,4; y ^ = 0,6 ^ p z a/, p^ + z a/ = 0,4 0,6 0,4 0,6 = 0,4,96 ; 0,4 +,96 = = 0,8; 0,5 La proporció estará etre el 8% y el 5% co ua probabilidad del 95% Para ampliar 33. Ua ciudad de 000 habitates está poblada por persoas de pelo egro, rubio y castaño. Se ha seleccioado, mediate muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, ua muestra costituida por 8 persoas de pelo egro, 3 de pelo rubio y 0 de pelo castaño. Determia cuál es la composició, segú el color de pelo, de los habitates de esta ciudad. Muestra: = : 80 = 5 Estratos Muestra P. egro 8 Població 700 P. rubio P. castaño 34. El peso de las peras de ua cosecha se distribuye segú ua ormal de 5 g de media y 5 g de desviació típica. a Cuál es la probabilidad de ue ua pera elegida al azar pese más de 0 g? b Cuál es la probabilidad de ue el peso medio de ua muestra de 64 peras esté etre y 9 g? Total a Px > 0 = P z > = 5 = Pz > 0, = Pz < 0, = 0,407 b Variable: X = medias muestrales. 64 > 30 Luego: 5 µ = 5, = = 3,5 ò X ~ N5; 3,5 64 P < X < 9 = = P < z < = 3,5 3,5 = P 0,96 < z <,8 = Pz <,8 Pz < 0,96 = = Pz <,8 + Pz < 0,96 = 0, Se sabe ue el cociete itelectual de los alumos de ua uiversidad se distribuye segú ua ley ormal de media 00 y variaza 7 a Calcula la probabilidad de ue ua muestra de 8 alumos tega u cociete itelectual medio iferior a 09 b Calcula la probabilidad de ue ua muestra de 36 alumos tega u cociete itelectual medio superior a SOLUCIONARIO

10 a Variable: X = medias muestrales. 8 > 30 7 µ = 00, = = 3 ò X ~ N00, 3 8 PX < 09 = P z < = 3 = Pz < 3 = 0,9987 La media muestral es: X = = 4 4 z a/ = 3 z a/ =,73 P,73 < z <,73 = Pz <,73 = 0,964 El ivel de cofiaza es del 9,64% b Variable: X = medias muestrales. 36 > 30 7 µ = 00, = = 4,5 ò X ~ N00; 4,5 36 PX > 09 = P z > = 4,5 = Pz > = Pz < = 0, Se supoe ue los igresos diarios de ua empresa sigue ua distribució ormal de 400 de media y 50 de desviació típica. a Cómo se distribuye la media muestral para muestras aleatorias de tamaño? b Se dispoe de ua muestra aleatoria de 5 observacioes. Calcula la probabilidad de ue el promedio de igresos esté etre 350 y 400 a Variable: X = medias muestrales. 50 µ = 400, = ò X 50 ~ N 400, b Variable: X = medias muestrales. 5 < 30 pero la distribució es ormal. 50 µ = 400, = = 50 ò X ~ N400; 50 5 P350 < X < 400 = P < z < = = P < z < 0 = Pz < 0 Pz < = = Pz < 0 + Pz < = 0, La catidad media de hemoglobia e sagre del hombre sigue ua distribució ormal co desviació típica de g/dl. Calcula el ivel de cofiaza de ua muestra de extraccioes de sagre ue idiue ue la media poblacioal de hemoglobia e sagre está etre 3 y 5 g/dl El itervalo de cofiaza para la media es: z a/, + z a/ = 3, El peso medio de ua muestra de 64 jóvees de 8 años ha sido de 70 kg. Sabiedo ue los pesos de los jóvees de 8 años se distribuye co ua desviació típica de kg, ecuetra el itervalo de cofiaza para la media de los pesos de la població de jóvees de 8 años, co u ivel de cofiaza del 95% a a = 0,95 ò z a/ =,96 b z a/, + z a/ 70,96, 70 +,96 = 67,06; 7, Se tiee ue el peso medio está e el itervalo 67,06; 7,94 co ua probabilidad del 95% 39. Ua muestra aleatoria de 00 alumos ue se preseta a uas pruebas de selectividad revela ue la media de edad es de 8, años. Halla u itervalo de cofiaza del 90% para la edad media de todos los estudiates ue se preseta a las pruebas, sabiedo ue la desviació típica de la població es de 0,4 a a = 0,90 ò z a/ =,65 b z a/, + z a/ 0,4 0,4 8,,65 ; 8, +,65 = = 8,03; 8,7 Se tiee ue la edad media está e el itervalo 8,03; 8,7 co ua probabilidad del 95% 40. U fabricate de pilas alcalias sabe ue la desviació típica de la duració de las pilas ue fabrica es de 80 h. Calcula el tamaño de la muestra ue debe someterse a prueba para teer ua cofiaza del 95% de ue, al tomar la duració media de la muestra como valor de la duració media de la població total de pilas, el error ue se cometa sea meor ue 6 h TEMA. INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 353

11 Ejercicios y problemas a = 0,95 ò z a/ z a/ E 80,96 = 96,04 6 Se debe tomar ua muestra de 97 pilas. 4. E ua ecuesta realizada a 800 persoas elegidas al azar del ceso electoral, 40 declararo su iteció de votar al partido A a Estima co u ivel de cofiaza del 95,45% etre ué valores se ecuetra la iteció de voto al susodicho partido e todo el ceso. b Discute razoadamete el efecto ue tedría sobre el itervalo de cofiaza el aumeto o la dismiució del ivel de cofiaza. a a = 0,9545 ò z a/ = Se tiee: p^ = 0,3; y ^ = 0,7 ^ p z a/, p^ + z a/ = 0,3 0,7 0,3 0,7 = 0,3 ; 0,3 + = = 0,676; 0,334 La proporció estará etre el 6,76% y el 33,4% co ua probabilidad del 95,45% b Si aumeta el ivel de cofiaza, la amplitud del itervalo se hace mayor y, por tato, el error máximo admisible aumeta. Se gaa e seguridad de la estimació pero se pierde precisió. Por otro lado, si dismiuye el ivel de cofiaza, dismiuye la amplitud del itervalo y es meor el error admisible. 4. E cierta població cercaa a ua estació de esuí se uiere estimar co u ivel de cofiaza del 95% la població de habitates ue practica esuí. Se toma ua muestra de 400 habitates de la població, de los ue 40 afirma ue practica este deporte. Determia el correspodiete itervalo de cofiaza. a = 0,95 ò z a/ Se tiee: p^ = 0,6; y ^ = 0,4 ^ p z a/, p^ + z a/ = 0,6 0,4 0,6 0,4 = 0,6,96 ; 0,6 +,96 = = 0,550; 0,6480 La proporció estará etre el 55,% y el 64,8% co ua probabilidad del 95% 43. Se sabe ue el peso e kilogramos de los alumos de bachillerato es ua variable aleatoria x ue sigue ua distribució ormal de desviació típica igual a 5 kg a E el caso de cosiderar muestras de 5 alumos, ué distribució tiee la variable aleatoria de las medias muestrales x? b Si se desea ue la media de la muestra o difiera e más de u kilo de la media de la població, co probabilidad 0,95, cuátos alumos se debería tomar e la muestra? a Si se llama a la media de la població µ, etoces la media muestral sigue ua distribució: ~ N µ, ò X 5 ~ N µ, = Nµ, 5 b a = 0,95 ò z a/ z a/ E 5,96 = 96,04 Se debe tomar ua muestra de 97 idividuos. 44. E ua uiversidad se toma ua muestra de 00 alumos al azar, y se ecuetra ue 6 ha aprobado todas las asigaturas. a Co u ivel de cofiaza del 95%, halla u itervalo para estimar el porcetaje de alumos ue aprueba todas las asigaturas. b A la vista del resultado aterior, se pretede repetir la experiecia para coseguir ua cota de error de 0,03, co el mismo ivel de cofiaza del 95%. Cuátos idividuos ha de teer la muestra? a a = 0,95 ò z a/ Se tiee: p^ = 0,6; y ^ = 0,38 ^ p z a/, p^ + z a/ = 0,6,96 0,049; 0,6 +,96 0,049 = = 0,549; 0, SOLUCIONARIO

12 La proporció estará etre el 5,49% y el 7,5% co ua probabilidad del 95% b z a/ p E 0,6 0,38 = 005,65 0,03 Se debe tomar ua muestra de 006 alumos. 45. U laboratorio farmacéutico afirma ue el úmero de horas ue u medicameto de fabricació propia tarda e curar ua determiada efermedad sigue ua distribució ormal co desviació típica igual a 8. Se toma ua muestra de 00 efermos a los ue se les sumiistra el medicameto y se observa ue la media de horas ue tarda e curarse es igual a 3 a Ecuetra u itervalo de cofiaza, co u ivel de cofiaza del 99%, para la media del úmero de horas ue tarda e curar el medicameto. b Si el ivel de sigificació es 0,05, cuál es el tamaño de la muestra ue habría ue cosiderar para estimar el valor de la media co u error meor de 3 h? a a = 0,99 ò z a/ =,58 z a/, + z a/ 8 8 3,58 ; 3 +,58 = = 9,94; 34,06 Se tiee ue la media para el úmero de horas está e el itervalo 9,94; 34,06 co ua probabilidad del 99% b Como a = 0,05 ò a = 0,95 ò z a/ z a/ E 8,96 = 7,3 3 Se debe tomar ua muestra de 8 pacietes. Problemas 46. U estudio realizado sobre 00 usuarios revela ue u coche recorre aualmete u promedio de 5 00 km, co ua desviació típica de 50 km a Determia u itervalo de cofiaza, al 99%, para la catidad promedio de kilómetros recorridos. b Cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para ue el error cometido o sea superior a 500 km, co igual cofiaza? a a = 0,99 ò z a/ =,58 z a/, + z a/ ,58, ,58 = = 4 69,5; 5 780,5 Se tiee ue el úmero medio de kilómetros está e el itervalo 4 69,5; 5 780,5 co ua probabilidad del 99% b a = 0,99 ò z a/ =,58 z a/ E 50,58 = 34, Se debe tomar ua muestra de 35 usuarios. 47. Se sabe ue el cosumo semaal de refrescos e litros etre los jóvees de ua ciudad es ua variable ormal co desviació típica igual a 0,6 litros. Se preguta a 00 jóvees de esa ciudad sobre su cosumo semaal de refrescos y se obtiee ua media muestral de,5 litros. a Halla el itervalo de cofiaza de ivel 0,95 para la media de cosumo semaal de refrescos de la població de jóvees. b Si se acepta u error de 0, litros y se toma u ivel de cofiaza del 99%, cuál es el tamaño de la muestra de jóvees ue habría ue cosiderar? a a = 0,95 ò z a/ z a/, + z a/ 0,6 0,6,5,96 ;,5 +,96 = TEMA. INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 355

13 Ejercicios y problemas =,38;,6 Se tiee ue el cosumo medio de refrescos está e el itervalo,38;,6 co ua probabilidad del 95% b a = 0,99 ò z a/ =,58 z a/ E 0,6,58 = 39,63 0, Se debe tomar ua muestra de 40 jóvees. 48. Ua muestra aleatoria extraída de ua població ormal de variaza igual a 00 preseta ua media muestral de 60. Sabiedo ue el tamaño de la muestra es 44 a calcula u itervalo de cofiaza del 95% para la media poblacioal. b calcula u itervalo de cofiaza del 90% para la media poblacioal. c Si se uiere teer ua cofiaza del 95% de ue el error máximo es,, cuátas observacioes adicioales debe tomarse? a a = 0,95 ò z a/ z a/, + z a/ ,96 ; 60 +,96 = = 58,37; 6,63 b a = 0,90 ò z a/ =,65 z a/, + z a/ ,65 ; 60 +,65 = = 58,63; 6,37 c a = 0,95 ò z a/ z a/ E 0, = 66,77 Se debe tomar ua muestra de 67 uidades; por tato, debe tomarse 3 uidades adicioales. 49. El peso de los perros adultos de ua cierta raza es ua variable aleatoria ue se distribuye ormalmete co desviació típica de 0,6 kg. Ua muestra aleatoria de 30 aimales ha dado u peso medio de 7,4 kg. a Calcula u itervalo de cofiaza, al 99%, para el peso medio de los perros adultos de esta raza. b Qué tamaño míimo debe teer la muestra para teer ua cofiaza del 95% de ue la media muestral o se diferecia e más de 0,3 kg de la media de la població? a a = 0,99 ò z a/ =,58 z a/, + z a/ 0,6 0,6 7,4,58 ; 7,4 +,58 = 7,; 7, El peso medio de la població está e el itervalo 7,; 7,68 co ua probabilidad del 99% b a = 0,95 ò z a/ z a/ E 0,6,96 = 5,37 0,3 Se debe tomar ua muestra de 6 perros. 50. Se ha tomado ua muestra aleatoria de 00 idividuos a los ue se les ha medido el ivel de glucosa e sagre, y se obtiee ua media muestral de 0 mg/cc. Se sabe ue la desviació típica de la població es de 0 mg/cc a Obté u itervalo de cofiaza, al 90%, para el ivel de glucosa e sagre de la població. b Qué error máximo se comete e la estimació aterior? a a = 0,90 ò z a/ =,65 z a/, + z a/ 0 0 0,65 ; 0 +,65 = = 06,7; 3,8 El ivel medio de glucosa e sagre de la població está e el itervalo 06,7; 3,8 co ua probabilidad del 90% b El error máximo es: E = z a/ 0 E =,65 = 3,3 mg/cc SOLUCIONARIO

14 5. E u cetro escolar hay 000 alumos, distribuidos e 5 cursos de la siguiete maera: 400 e º, 380 e º, 50 e 3º, 360 e 4º y 340 e 5º. Se uiere seleccioar ua muestra de 00 alumos utilizado la técica de muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal y cosiderado cada curso como u estrato. Cómo se seleccioaría la muestra? 000 : 00 = 0 Cada 0 alumos, se elige uo. Estratos Població º 400 Muestra 0 º Sabiedo ue la variaza de ua ley ormal es = 6, determia el ivel de cofiaza co el ue puede decirse ue su media está compredida etre 6, y 8,8 si se toma ua muestra aleatoria de tamaño 36 de esta distribució. z a/, + z a/ = 6,; 8,8 La media muestral es: X 6, + 8,8 = = 7,5 4 7,5 z a/ = 6, 36 z a/ =,95 P,95 < z <,95 = Pz <,95 = 0,9488 El ivel de cofiaza es del 94,88% 53. Ua fábrica de coservas desea coocer el tiempo ue tarda e estropearse u producto almaceado. Se elige ua muestra de 400 uidades y resulta ue el tiempo medio de descomposició de estos productos es de 7 h. Por experiecias ateriores se cooce ue la desviació típica de la variable ormal tiempo de descomposició es de 5 h Co u ivel de cofiaza del 95%, etre ué valores se ecuetra el tiempo medio de descomposició para la totalidad del producto almaceado? 3º º º Total = 7,5; 7,49 El tiempo medio de descomposició de la població está e el itervalo 7,5; 7,49 co ua probabilidad del 95% 54. Para estimar la proporció de los habitates de ua determiada ciudad ue posee ordeador persoal, se uiere utilizar ua muestra aleatoria de tamaño. Calcula el valor míimo de para garatizar ue, co u ivel de cofiaza del 95%, el error de la estimació o sea superior al %. Como se descooce la proporció, se tiee ue tomar el caso más desfavorable, ue será 0,5. a = 0,95 ò z a/ z a/ p E 0,5 0,5 = 40 0,0 Se debe tomar ua muestra de 40 habitates. 55. Co el fi de estimar la edad media de los habitates de ua gra ciudad, se tomó ua muestra aleatoria de 300 habitates, ue arrojó ua edad media de 35 años y ua desviació típica de 7 años. a Halla el itervalo del 95% de cofiaza e el ue se ecuetra la edad media de la població. b Qué ivel de cofiaza se debería usar para ue el itervalo fuera 35 ± 0,44? a a = 0,95 ò z a/ z a/, + z a/ ,96 ; 35 +,96 = = 34,; 35,79 La edad media de la població está e el itervalo 34,; 35,79 co ua probabilidad del 95% a = 0,95 ò z a/ z a/, + z a/ 5 5 7,96, 0 +,96 = b El error máximo es: 7 z a/ = 0, z a/ =,09 P,09 < z <,09 = Pz <,09 = 0,74 El ivel de cofiaza es del 7,4% TEMA. INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 357

15 Ejercicios y problemas 56. Estamos realizado u estudio sobre el ivel de coocimietos geerales de los estudiates de bachillerato. Para ello, se elige ua muestra aleatoria de 9 de estos estudiates, a los ue se les ha realizado u exame. Las calificacioes obteidas ha sido las siguietes: 7,8 6,5 5,4 7, 5,0 8,3 5,6 6,6 6, Se supoe ue la variable aleatoria objeto de estudio sigue ua distribució ormal de desviació típica coocida e igual a Se pide: a u itervalo de cofiaza al 98% para la media de las calificacioes e los exámees. b el tamaño míimo ue debería teer la muestra e el caso de admitir u error máximo de 0,5 putos, co u ivel de cofiaza del 95% a La media de la muestra es 6,5 a = 0,98 ò z a/ =,33 z a/, + z a/ 6,5,33 ; 6,5 +,33 = 5,7; 7,8 9 9 La ota media de la població está e el itervalo 5,7; 7,8 co ua probabilidad del 98% b a = 0,95 ò z a/ z a/ E = 5,37 0,5 Se debe tomar ua muestra de 6 estudiates. 57. Se sabe ue los estudiates de ua provicia duerme u úmero de horas diarias ue se distribuye segú ua ley ormal de media µ horas y desviació típica = h a A partir de ua muestra de 64 alumos, se ha obteido el siguiete itervalo de cofiaza para la media de la població 7,6; 8,4. Determia el ivel de cofiaza co el ue se ha costruido dicho itervalo. b Determia el tamaño muestral míimo ecesario para ue el error ue se cometa al estimar la media de la població por u itervalo de cofiaza sea, como máximo, de 0,75 h, co u ivel de cofiaza del 98% a z a/, + z a/ = 7,6; 8,4 La media de la muestra es 6,5 X 7,6 + 8,4 = = 7,7 7,7 z a/ = 7,6 64 z a/ =,76 P,76 < z <,76 = Pz <,76 = 0,96 El ivel de cofiaza es del 9,6% b a = 0,98 ò z a/ =,33 z a/ E,33 = 38,60 0,75 Se debe tomar ua muestra de 39 estudiates. 58. E ua muestra de 600 persoas de ua ciudad, se observa ue 30 so imigrates. a Determia u itervalo de cofiaza de ivel 0,95 para el porcetaje de imigrates de esta ciudad. b Si se uiere estimar el porcetaje de imigrates co u error máximo de 0,0, cuál es el tamaño de la muestra ue habría ue cosiderar si se usa u ivel de sigificació del %? a a = 0,95 ò z a/ Se tiee: p^ = 0,05; y ^ = 0,95 ^ p z a/, p^ + z a/ = 0,05 0,95 = 0,05,96 ; 0, ,05 0,95 +,96 = 0,03; 0, La proporció estará etre el 3% y el 7% co ua probabilidad del 95% b a = 0,99 ò z a/ =,58 z a/ p E,58 0,05 0,95 = 790,45 0,0 Se debe tomar ua muestra de 79 persoas. 59. Tomada al azar ua muestra de 60 alumos de ua uiversidad, se ecotró ue u tercio hablaba iglés. a Halla, co u ivel de cofiaza del 90%, u itervalo de cofiaza para estimar la proporció de alumos ue habla iglés etre los alumos de esa uiversidad. 358 SOLUCIONARIO

16 b A la vista del resultado aterior, se pretede repetir la experiecia para coseguir ua cota de error del 0,0, co el mismo ivel de cofiaza del 90%. Cuátos idividuos ha de teer la muestra? a a = 0,90 ò z a/ =,65 Se tiee: p^ = 0,33; y ^ = 0,67 ^ p z a/, p^ + z a/ = 0,33 0,67 = 0,33,65 ; 0, ,33 0,67 +,65 = 0,3; 0,43 60 La proporció estará etre el 3% y el 43% co ua probabilidad del 90% b z a/,65 0,33 0,67 = 6 09,45 0,0 Se debe tomar ua muestra de 6 00 persoas. Para profudizar 60. Se sabe ue la estatura de los idividuos de ua població es ua variable aleatoria ue sigue ua distribució ormal de 6 cm de desviació típica. Se toma ua muestra aleatoria de 5 idividuos ue da ua media de 76 cm a Obté u itervalo de cofiaza, co u 99% de cofiaza, para la media de la estatura de la població. b Calcula el míimo tamaño de la muestra ue se ha de tomar para estimar la estatura media de los idividuos de la població co u error iferior a cm y u ivel de cofiaza del 95% a a = 0,99 ò z a/ =,58 z a/, + z a/ p E ,58 ; 76 +,58 = 5 5 = 74,97; 77,03 La estatura media de la població está e el itervalo 74,97; 77,03 co ua probabilidad del 99% b a = 0,95 ò z a/ z a/ E 6,96 = 38,30 Se debe tomar ua muestra de 39 idividuos. 6. E ua població ormal co variaza coocida, se ha tomado ua muestra de tamaño 49 y se ha calculado su media, obteiédose 4,. Determia la variaza de la població sabiedo ue el itervalo de cofiaza, al 95%, es 3,64; 4,76 para la media poblacioal. a = 0,95 ò z a/ z a/, + z a/ = 3,64; 4,76 4,,96 = 3,64 49 = ò = 4 6. E ua població, ua variable aleatoria sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica 0 a Si de ua muestra de tamaño 5 se ha observado ue la media es 743, determia el itervalo de cofiaza, al 90%, para la media de la població. b Elegida ua muestra, su media ha sido 740. Se ha costruido u itervalo de cofiaza, al 95%, ue ha resultado ser 736,08; 743,9. Cuál era el tamaño de la muestra? a a = 0,90 ò z a/ =,65 z a/, + z a/ ,65 ; 743 +,65 = 5 5 = 736,44; 749,56 La media de la població está e el itervalo 736,44; 749,56 co ua probabilidad del 90% b a = 0,95 ò z a/ z a/, + z a/ = = 736,08; 743, ,96 = 736,08 0 ò 00 TEMA. INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 359

17 Ejercicios y problemas 63. Ua muestra aleatoria de 60 idividuos tiee ua media de 35 mg/dl miligramos por decilitro e medidas de colesterol. Supoiedo ue la desviació típica de la variable ue mide las uidades de colesterol es s = 8 mg/dl, se pide: a calcular el itervalo de cofiaza, co u ivel de cofiaza 0,95 para la media de la població. b determiar el tamaño muestral ecesario para reducir el itervalo de cofiaza aterior a la mitad. a a = 0,95 ò z a/ X a z a/, X a + z a/ ,96 ; 35 +,96 = = 7,9; 4,08 La media de colesterol de la població está e el itervalo 7,9; 4,08 co ua probabilidad del 95% b El error máximo admisible e el apartado aterior es 7,08 y se uiere reducir a la mitad 7,08/ = 3,54 z a/ = 3,54 8,96 = 3,54 5,50 40,33 Hay ue tomar u muestra de 4 idividuos. 64. Dos variables aleatorias idepedietes x,x sigue ua distribució ormal co media µ y desviació típica a Qué distribució tiee la variable aleatoria x +x? b Si µ = 5 y = 8, calcula Px + x > 8 a La suma x + x ~ Nm, b µ = 5 y = 8 ò x + x ~ N30, 4 Px + x > 8 = P z > = Pz > 0,5 = = Pz < 0,5 = 0, Sea u cojuto de cuatro bolas marcadas co los úmeros, 3, 5 y 7 a Escribe todas las muestras de tamaño ue podría formarse co esas bolas si el muestreo se hace si reposició. Calcula las medias de los úmeros de cada muestra y halla la media de todas las medias. b Haz lo mismo, pero supoiedo ue el muestreo se hace co reemplazamieto. c Calcula la media de los valores de las cuatro bolas. Co ué coicide? a Las muestras si reemplazamieto so: 3 5 7,3,5,7 3 3, 3,5 3,7 5 5, 5,3 5,7 7 7, 7,3 7,5 Sus medias respectivas so: La media de todas las medias es: = 4 b Las muestras co reemplazamieto:, 3,3 5,5 7,7 3 3, 3,3 3,5 3,7 5 5, 5,3 5,5 5,7 7 7, 7,3 7,5 7,7 Las medias respectivas so: La media de todas las medias es: = 4 6 c La media de las bolas es: = 4 4 Las medias coicide de acuerdo co el teorema cetral del límite. 360 SOLUCIONARIO

18 Widows Excel Liux/Widows Calc 66. Las estaturas de los socios de u club tiee de media µ = 75 cm y desviació típica = 0 cm. Si se elige ua muestra de 64 estudiates, cuál es la probabilidad de ue la media de la muestra sea meor o igual ue 73 cm? Resuelto e el libro del alumado. 67. E ua muestra de 00 jóvees se ha obteido ue el peso medio es de 69 kg. Sabiedo ue la desviació típica de la població es 8 kg, halla el itervalo de cofiaza co u ivel de sigificació de 0,05 para la media de la població. Resuelto e el libro del alumado. 68. Se uiere estimar las vetas diarias ue se hace e ua tieda co u ivel de cofiaza del 90% y ue el error máximo de la estimació sea de 00. Calcula el úmero míimo de días ue se debe cotabilizar las vetas, sabiedo ue la desviació típica es de 500 Resuelto e el libro del alumado. 69. El 3% de las piezas fabricadas por ua máuia so defectuosas. Cuál es la probabilidad de ue e 50 piezas el % o meos sea defectuosas? Resuelto e el libro del alumado. 70. Se ha tomado ua muestra de 40 olivos y se ha cotabilizado 8 de ellos co repilo efermedad producida por u hogo. Halla el itervalo de cofiaza para la proporció de olivos co repilo e la població co u ivel de cofiaza del 99% Resuelto e el libro del alumado. 7. Se sabe por ua ecuesta piloto ue la proporció de usuarios ue valora el uso de u modelo de ordeador es 0,45. Calcula el tamaño de la muestra ue ha de tomarse para estimar co u ivel de cofiaza del 95% y error máximo de la estimació de 0,5% la proporció de usuarios ue valora el modelo de ordeador. Resuelto e el libro del alumado. 7. Iteret. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica 73. Ua empresa de trasporte sabe ue el peso medio de los pauetes ue trasporta es de 0 kg co ua desviació típica de 5 kg. Si e uo de sus trasportes lleva 50 pauetes, cuál es la probabilidad de ue su peso medio sea mayor ue kg? TEMA. INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 36

19 Widows Excel 74. E uas eleccioes uo de los cadidatos obtuvo el 46% de los votos. Calcula la probabilidad de ue e ua muestra de 00 votates, elegida al azar, saliera u porcetaje igual o superior al 50% a su favor. 75. El tiempo ue permaece cada paciete e la cosulta de cierto médico es ua variable aleatoria ue sigue ua distribució ormal co ua desviació típica de 4 miutos. Se ha tomado ua muestra de 56 pacietes de este médico y se ha ecotrado ue su tiempo medio de cosulta ha sido de 0 miutos. Calcula el itervalo de cofiaza, a u ivel del 95%, para el tiempo medio de cosulta ue se deduce de la muestra. 76. E ua muestra aleatoria de 400 persoas ue ha visto u programa de televisió, 00 persoas recoociero ue les había gustado. Determia el itervalo de cofiaza, al 95%, para la proporció de persoas e la població ue les gusta el programa. 36 SOLUCIONARIO

20 Liux/Widows Calc 77. U laboratorio farmacéutico afirma ue el úmero de horas ue u medicameto de fabricació propia tarda e curar ua determiada efermedad sigue ua distribució ormal co desviació típica igual a 8. Se toma ua muestra de 00 efermos a los ue se les sumiistra el medicameto y se observa ue la media de horas ue tarda e curarse es igual a 3 a Ecuetra u itervalo de cofiaza, co u ivel de cofiaza del 99% para la media del úmero de horas ue tarda e curar el medicameto. b Si el ivel de sigificació es 0,05, cuál es el tamaño de la muestra ue habría ue cosiderar para estimar el valor de la media co u error meor de 3 h? 78. U estudio realizado sobre 00 usuarios revela ue u automóvil recorre aualmete u promedio de 5 00 km co ua desviació típica de 50 km a Determia u itervalo de cofiaza, al 99%, para la catidad promedio de kilómetros recorridos. b Cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para ue el error cometido o sea superior a 500 km, co igual cofiaza? TEMA. INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 363

21 Widows Excel 79. Se sabe ue el peso de los recié acidos e ua determiada població sigue ua distribució ormal de media g y desviació típica 80 g. Se toma ua muestra al azar de 96 de estos recié acidos y se calcula la media. Cuál es la probabilidad de ue esta media esté etre y 3 60 g? 80. U fabricate de bombillas sabe ue la desviació típica de la duració de las bombillas es de 00. Calcula el tamaño de la muestra ue se ha de someter a prueba para teer ua cofiaza del 95% de ue el error de la duració media ue se calcule sea meor ue 0 h 8. E cierta població cercaa a ua estació de esuí se uiere estimar, co u ivel de cofiaza del 95%, la població de habitates ue practica esuí. Se toma ua muestra de 400 habitates de la població, de la ue 40 afirma ue practica este deporte. Determia el correspodiete itervalo de cofiaza. 364 SOLUCIONARIO

22 Liux/Widows Calc 8. Se estima ue el tiempo de reacció de u coductor ate u obstáculo imprevisto tiee ua distribució ormal co desviació típica 0,05 segudos. Si se uiere coseguir ue el error de estimació de la media o supere los 0,0 segudos co u ivel de cofiaza del 99%, ué tamaño míimo ha de teer la muestra de tiempo de reacció? 83. Co u ivel de cofiaza igual a 0,95, a partir de u estudio muestral, el itervalo de cofiaza de la proporció de habitates de ua comuidad ue tiee ordeador portátil es: [0,804; 0,96] a Cuál es la proporció muestral de habitates de esa comuidad ue tiee ordeador portátil? Cuál es el tamaño de la muestra? b Cuál debería ser el tamaño muestral para estimar la citada proporció, co ua cofiaza del 95%, co u error máximo de 0,0? TEMA. INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 365