LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS

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1 11 LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS Págia Ua gaadería tiee vacas. Se quiere extraer ua muestra de 120. Explica cómo se obtiee la muestra: a) Mediate muestreo aleatorio simple. b) Mediate muestreo aleatorio sistemático. a) Se umera las vacas del 1 al Se sortea 120 úmeros de etre los La muestra estará formada por las 120 vacas a las que correspoda los úmeros obteidos b) Coeficiete de elevació: h = = Se sortea u úmero del 1 al 25. Supogamos que sale el 9. Las vacas seleccioadas para la muestra sería las que correspodiera a los úmeros 9, 34, 59, 84, 109,, Págia Ua gaadería tiee vacas. So de distitas razas: 853 de A, 512 de B, 321 de C, 204 de D y 110 de E. Queremos extraer ua muestra de 120: a) Cuátas hay que elegir de cada raza para que el muestreo sea estratificado co reparto proporcioal? b) Cómo ha de ser la elecció detro de cada estrato? a) Llamamos 1 al úmero de vacas que debemos elegir de la raza A, 2 al de raza B, 3 al de C, 4 al de D y 5 al de E. Ha de cumplirse que: 120 = 1 = 2 = 3 = 4 = Así, obteemos: 1 = 51,18 2 = 30,72 3 = 19,26 4 = 12,24 5 = 6,6 La parte etera de estos úmeros suma: = 118. Falta 2 para llegar a

2 Por tato, debemos elegir: 51 vacas de raza A, 31 vacas de B, 19 de C, 12 de D y 7 de E. b) Detro de cada estrato, la elecció ha de ser aleatoria. Págia Obté aleatoriamete cuatro úmeros eteros compredidos etre 1 y 95. Por ejemplo: { \} * = { } 8 22 { } * = { \} 8 5 { } * = { «} 8 27 { } * = { } 8 80 O mejor: 95 * * = { } 8 22 = { \} 8 5 Hemos obteido los úmeros 22, 5, 27 y Obté cico úmeros eteros elegidos aleatoriamete etre 1 y 800. Por ejemplo: { } * = { } 8 84 { } * = { } 8 79 { «} * = { \\ } { } * = { «\ } { \ } * = { \} O mejor: 800 * * = { «} 8 84 = { } 8 79 Hemos obteido los úmeros 84, 79, 669, 360 y

3 UNIDAD 11 Págia De ua població de N = 856 elemetos, deseamos extraer ua muestra de tamaño = 10. Mediate el uso de úmeros aleatorios, desiga cuáles so los 10 idividuos que compoe la muestra. Para multiplicar por 856 los úmeros que aparezca e patalla, itroducimos: 856 * * (factor costate) Ahora recurrimos a los úmeros aleatorios. Por ejemplo, podemos obteer: { «\} = { \} { } = { «\\ } { } = { } { \ } = { «} { «} = { «\ } { } = { } 8 49 { «} = { } { «\} = { ««\} { «} = { } 8 12 { \«\} = { \} Los idividuos elegidos para la muestra sería los correspodietes a los úmeros 715, 359, 475, 486, 454, 49, 851, 339, 12 y De ua població de 543 idividuos, queremos extraer ua muestra de tamaño 40 mediate úmeros aleatorios. Obté los cico primeros elemetos de dicha muestra. Para multipicar por 543 los úmeros que aparezca e patalla, itroducimos: 543 * * (factor costate) Ahora recurrimos a los úmeros aleatorios. Por ejemplo, podemos obteer: { «} = { \ } { } = { ««} 8 39 { \ } = { «««} { } = { \ } { } = { } Los cico primeros elemetos de la muestra sería los correspodietes a los úmeros 129, 39, 334, 270 y

4 Págia 272 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA RESOLVER 1 E cada uo de los siguietes casos, di si el colectivo es població o es muestra: a) E ua floristería, añade al riego de todas las macetas uas gotas de u cierto producto para probar su eficacia. b) E u gra iveradero, se seleccioa 200 platas que será regadas co uas gotas de u producto para aalizar su eficacia. a) Es població, porque riega co el producto todas las macetas. b) Es muestra, porque o riega co el producto todas las macetas, sio ua parte de ellas. 2 U fabricate de elásticos quiere estudiar su resistecia a la rotura. Para ello, los estira hasta que se rompe y aota el grado de estiramieto que alcaza si romperse. Puede realizar dicho estiramieto sobre la població o es imprescidible realizarlo sobre ua muestra? Por qué? Es imprescidible hacerlo sobre ua muestra, porque iteresa romper la meor catidad de elásticos posible. 3 Solo uo de los siguietes procedimietos os permite obteer ua muestra represetativa. Di cuál es y, e los otros, estudia el setido del sesgo y su importacia: a) Para estudiar las frecuecias relativas de las letras, se toma al azar 20 libros de la biblioteca de u cetro escolar y se cueta las veces que aparece cada letra e la págia 20 de los libros seleccioados. b) Para coocer la opiió de sus clietes sobre el servicio ofrecido por uos grades almacees de cierta ciudad, se seleccioa al azar, etre los que posee tarjeta de compra, a 100 persoas etre las que ha gastado meos de el último año, otras 100 etre las que ha gastado etre y 5 000, y 100 más etre las que ha gastado más de c) Para calcular el úmero medio de persoas que está adscritas a cada cartilla e u Cetro de Salud de la Seguridad Social, los médicos toma ota de todas las cartillas de las persoas que acude a las cosultas durate u mes. a) Es ua muestra represetativa. 4

5 UNIDAD 11 b) No es represetativa, porque hay mucha más gete e u itervalo (por ejemplo, etre y ) que e otro (más de ), y hemos tomado el mismo úmero de represetates. Además, hay otra mucha gete si tarjeta que o se ha tomado e cueta. c) No es represetativa, ya que lo que más se va a ver so las cartillas que correspode a familias umerosas. Está claro que cuata más gete tega esa cartilla más fácil es que ese mes se tome ota de ella. 4 De u colectivo de 500 persoas, elige ua muestra de 20 mediate: a) U muestreo aleatorio sistemático. b) U muestreo aleatorio simple. Utiliza la tecla de la calculadora. Para los dos casos, umeramos a las persoas del 1 al a) h = = Orige: 25 * + 1 = { Ÿ } (por ejemplo) Deberemos elegir las persoas cuyos úmeros sea: 14, 39, 64, 89, 114, 139, 164, 189, 214, 239, 264, 289, 314, 339, 364, 389, 414, 439, 464, 489. b) Co la tecla de la calculadora, hacemos: 500 * * = = = hasta obteer 20 resultados distitos 5 E u cojuto de coductores hay: 50 taxistas. 75 camioeros. 25 coductores de autobús. El resto so coductores de vehículos corrietes y se reparte así: 250 co más de 20 años de experiecia. 425 co ua experiecia de etre 5 y 20 años. 175 co ua experiecia de 0 a 5 años. Para cofeccioar ua muestra de 40 idividuos mediate muestreo aleatorio estratificado proporcioal, cuátos hay que seleccioar de cada uo de los seis estratos? Llamamos 1 al úmero de taxistas que tedríamos que seleccioar, 2 al úmero de camioeros, 3 al úmero de coductores de autobuses, 4 al úmero de coductores co más de 20 años de experiecia, 5 al de coductores co ua experiecia de etre 5 y 20 años y 6 al de coductores co ua experiecia de 0 a 5 años. Etoces: = = = = = =

6 Así, debemos elegir: 1 = 2 taxistas 2 = 3 camioeros 3 = 1 coductor de autobús 4 = 10 coductores co más de 20 años de experiecia 5 = 17 co experiecia etre 5 y 20 años 6 = 7 co experiecia etre 0 y 5 años 6 E cierta provicia hay cuatro comarcas, C 1, C 2, C 3 y C 4, co u total de persoas cesadas. De ellas, reside e C 1, e C 2 y e C 3. Se quiere realizar u estudio sobre las costumbres alimeticias e esa provicia basado e ua muestra de persoas. a) Qué tipo de muestreo deberíamos realizar si queremos que e la muestra resultate haya represetació de todas las comarcas? b) Qué úmero de persoas habría que seleccioar e cada comarca, atediedo a razoes de proporcioalidad? c) Cómo seleccioarías las persoas e cada comarca? Justifica las respuestas. a) Deberíamos realizar u muestreo aleatorio estratificado. b) El úmero de persoas que reside e C 4 es: ( ) = Llamamos 1, 2, 3 y 4 al úmero de persoas que tedríamos que seleccioar e cada comarca (C 1, C 2, C 3 y C 4, respectivamete). Etoces: 1 = 2 = = 4 = Por tato, debemos elegir: 1 = 600 persoas de C 1 2 = 900 persoas de C 2 3 = persoas de C 3 4 = 400 persoas de C 4 c) Detro de cada comarca, podríamos seleccioarlos mediate u muestreo aleatorio simple, o mediate u muestreo sistemático. 6

7 UNIDAD 11 7 E u cetro de eseñaza co 981 alumos y alumas, se va a hacer u sodeo sobre tedecias políticas. Se va a escoger ua muestra de 84 estudiates. E el cetro hay 5 cursos (1., 2., 3., 4. y 5. ) co u úmero de alumos y alumas e cada uo de ellos de 345, 234, 190, 140 y 72. Cuátos alumos deberemos escoger de cada curso si deseamos que el muestreo sea estratificado co reparto proporcioal? a b c d = = = = = e 72 Así: a = 30, b = 20, c = 16, d = 12, e = 6 Págia Queremos seleccioar ua muestra de 50 alumos de 2. de Bachillerato. E cada uo de los siguietes casos debes decidir si el muestreo debe ser aleatorio simple o estratificado por sexos (chicos-chicas) para estudiar las variables idicadas: a) Estatura. b) Tiempo que emplea los alumos e ir de su casa al istituto. c) Agudeza visual (porcetaje de alumado co gafas). d) Icidecia de caries detal. e) Práctica de fútbol. f) Lectura de algú periódico. g) Número de hermaos. a) E la estatura de chicos y chicas de esa edad suele haber diferecias sigificativas. El muestreo debe ser estratificado e este caso. b) Simple. c) Simple. d) Simple. e) Estratificado. Hay ua gra diferecia etre el porcetaje de chicos y chicas que juega al fútbol. f) Simple. g) Simple. 7

8 9 Ua biblioteca pública está orgaizada e cico seccioes co los úmeros de libros que se idica e esta tabla: SECCIÓN 1 SECCIÓN 2 SECCIÓN 3 SECCIÓN 4 SECCIÓN Se quiere seleccioar ua muestra del 5% de los libros mediate muestreo estratificado aleatorio, cosiderado como estratos las seccioes. Determia el úmero de libros que habría que seleccioar e cada secció si: a) Cosideramos afijació igual. b) Cosideramos afijació proporcioal. Teemos u total de libros. a) El 5% de so 200 libros. Como teemos cico seccioes, debemos elegir 200 : 5 = 40 libros de cada secció. b) Como queremos ua muestra del 5%, elegimos aleatoriamete u 5% de libros de cada secció. Así, debemos escoger: 25 libros de la secció libros de la secció libros de la secció libros de la secció libros de la secció 5. Elegimos u total de 200 libros. PARA PROFUNDIZAR 10 Si cuetas el úmero de persoas y el úmero de perros que vive e tu portal y todos los compañeros y compañeras hacéis lo mismo, obtedréis ua muestra co la que podréis estimar el úmero de perros que hay e vuestra població. a) Cómo es de fiable esta estimació? b) Es aleatoria la muestra que has utilizado? c) Se te ocurre u procedimieto mejor para seleccioar la muestra? a) Es poco fiable. b) La muestra o es aleatoria porque o la hemos elegido al azar etre los habitates de la ciudad que se quiere estudiar. Si e ese portal hay muchas viviedas, puede represetar, e el mejor de los casos, a las familias de ese barrio (cétrico o periférico, co ciertas características socioecoómicas, culturales ), pero o a los demás barrios de la població. c) Utilizar ua muestra de viviedas elegidas al azar etre las de esa població. 8

9 UNIDAD Para hacer u estudio sobre los hábitos ecológicos de las familias de ua ciudad, se ha seleccioado, por sorteo, las direccioes, calle y úmero que será visitadas. Si e u portal vive más de ua familia, se sorteará etre ellas la que será seleccioada. Obtedremos co este procedimieto ua muestra aleatoria? Las familias que vive e viviedas uifamiliares tiee mayor probabilidad de ser elegidas. 12 La validez de la iformació que os proporcioa ua ecuesta depede, e gra medida, de la cuidadosa elaboració del cuestioario. Qué defectos adviertes e las siguietes pregutas?: a) Cuátos libros leíste el año pasado? b) Cuáto tiempo dedicas al deporte? Poco Mediao Mucho Muchísimo c) Qué opiió tiees del alcalde? Muy buea Buea Idiferete d) Qué opias sobre el cambio climático? a) Salvo que se vaya aputado los libros leídos, que casi adie hace, la respuesta que se dé es aproximada. b) Las opcioes que se da de respuesta so muy subjetivas. Dos persoas que dedique el mismo tiempo, puede dar respuestas distitas. c) Es ua preguta que, depediedo de la época e que se haga, de la ideología del ecuestado, etc., puede variar mucho. d) Las respuestas será ta distitas que o se puede tabular i estudiar posteriormete. Págia 273 AUTOEVALUACIÓN 1. U guioista de cie tiee dudas sobre cómo resolver el fial de su próxima película de itriga. Decide pregutar sobre la viabilidad de dos posibles fiales a futuros espectadores. Di dos razoes, al meos, por las que se justifique que el sodeo debe hacerlo sobre ua muestra (y o cosultar a toda la població). La població (los futuros espectadores de la película), además de ser muy umerosa, aú o está bie defiida. Los idividuos participates e la muestra se estropea : al coocer de atemao el posible fial de la película, dejará de disfrutar pleamete la emoció de la itriga e la película fializada. 9

10 2. Seleccioa mediate muestreo aleatorio sistemático ua muestra de 14 idividuos de u total de 584. Utiliza para ello la tecla de tu calculadora. 584 El coeficiete de elevació es h = = 41, Tomamos h = 42. Sorteamos quié será el primero, del 1 al 42: { Ÿ\\ } * 42 = { Ÿ } El primer elemeto que obteemos e este caso será el idividuo 29. Por tato, elegiremos a estos idividuos: 29, 71, 113, 155, 197, 239, 281, 323, 365, 407, 449, 491, 533 y E u cetro de eseñaza co alumos y alumas, se va a hacer u sodeo sobre afició a la lectura. Se va a escoger ua muestra de 80 estudiates. E el cetro hay 6 cursos: 1., 2., 3., 4., 5. y 6., co 411, 338, 175, 153, 130 y 117 alumos, respectivamete. a) Cuátos hay que escoger de cada curso si se desea que el muestreo sea estratificado co reparto proporcioal? b) Detro de cada estrato, cómo se seleccioa los idividuos que forma parte de la muestra? 80 a b c d e a) = = = = = = f / = { Ÿ \ \} * * 411 = { «} 6 a 338 = { } 6 b 175 = { } 6 c 153 = { } 6 d 130 = { } 6 e 117 = { \} 6 f A la suma de las partes eteras ( = 77) le falta 3 uidades para llegar a 80. Añadimos ua uidad a las tres que tiee mayor parte decimal, a, c y e. Por tato: a = 25, b = 20, c = 11, d = 9, e = 8, f = 7 b) E cada estrato, los correspodietes elemetos de la muestra se elige aleatoriamete. 10