Tema 6: Distribuciones Muestrales

Transcripción

1 Tema 6: Distribucioes Muestrales El objetivo es efectuar ua geeralizació de los resultados de la muestra a la població. Iferir o adiviar el comportamieto de la població a partir del coocimieto de ua muestra. Para ello es ecesario coocer las distribucioes de probabilidad de ciertas fucioes de las muestras que costituye variables aleatorias asociadas al experimeto aleatorio, selecció de ua muestra al azar de ua població. Estas variables aleatorias deomiadas estadísticos muestrales, porque se basa e el comportamieto de las muestras, asiga a cada muestra del espacio muestral, costituido por todas la muestras posibles, u úmero real que es u resume estadístico de la muestra. Por ejemplo, media de la muestra. El esquema siguiete resume visualmete la situació: Dada ua població formada por u úmero N grade de elemetos, dode se observa la variable, se extrae al azar ua muestra de tamaño (<N). Tato e la població como e la muestra podemos resumir los valores de la variable observada. Los valores resume se deomia parámetros e la població y estadísticos e las muestras. Notaremos co U a u estadístico o resume muestral determiado.

2 Distribucioes Muestrales Població variable aleatoria Població formada por todas las muestras posibles de tamaño U variable aleatoria muestral (Estadísticos de las muestras: resúmees de los valores de e las muestras.) x7 x x0 x5 x8 x x4 xj x3 xx5 x6 xi Muestra x,x,x3,,x esume de e la muestra: Estadísticos: media, variaza,. x xi Ui x x6 U x x5 x4 x xh x4 x xj U5 U x0 x8 x3 Uj x x5 x esume de e la Població: Parámetros: media, variaza, esume de los estadísticos muestrales: media, variaza,

3 Població variable aleatoria x x5 x x xj x7 x4 Ejemplo: Distribució muestral de la media xi x8 x0 x3 xx5 Naturalmete, las medias diferirá, e geeral, de ua muestra a otra. Muestra x,x,x3,,x Distribució de e la muestra: Població formada por todas las muestras posibles de tamaño U variable aleatoria media muestral (valores de los estadísticos: medias de las muestras). x4 m l h x,x,x3,,x xi xj xt Distribució de e la Població La variabilidad de las medias viee reflejada e su distribució de probabilidad l m h Distribució muestral de U (medias)

4 Distribucioes Muestrales esumiedo: Dada ua població y el experimeto aleatorio cosistete e seleccioar ua muestra de dicha població, se defie la variable aleatoria U (estadístico muestral) como ua aplicació que asiga a cada muestra, m, u resume estadístico determiado,u(m). Esta ueva variable aleatoria U tiee ua distribució de probabilidad deomiada distribució muestral de U. U : E m(x, x,,x) U(m)estadístico muestral Su comportamieto depederá del que tega e la població y del tamaño de las muestras. Utilidad: Estaremos iteresados e coocer su comportamieto probabilístico, porque esto os permitirá hacer iferecias acerca del comportamieto de la població. A veces os resultará útil coocer su esperaza matemática y/o su variaza.

5 Distribucioes Muestrales Casos particulares de distribucioes muestrales: Sea ua població P y la variable aleatoria observada, cuya distribució es Normal N( µ, σ ) Total muestral Utotal muestralt : E m(x, x,,x) U ( m) t i i Se verifica que el estadístico muestral t es tambié ormal co las siguietes media y desviació típica: t i i N( µ, σ ) Además, si el tamaño de la muestra es suficietemete grade (>30), t se distribuye ormalmete, auque e la població o sea ormal.

6 Distribucioes Muestrales Casos particulares de distribucioes muestrales: Sea ua població P y la variable aleatoria observada, cuya distribució es Normal N( µ, σ ) Media muestral Umedia muestral : E m(x, x,,x) U ( m) i i Se verifica que el estadístico muestral media es tambié ormal co las siguietes media y desviació típica: i i N( µ, σ ) Además, si el tamaño de la muestra es suficietemete grade (>30), se distribuye ormalmete, auque e la població o sea ormal.

7 Distribucioes Muestrales Casos particulares de distribucioes muestrales: Sea ua població P y la variable aleatoria observada, cuya distribució es Normal N( µ, σ ) Estadístico cuasivariaza muestral US : E m(x, x,,x) Estadístico Uchi muestral Uchi : E m(x, x,,x) S i ( Uchi( m) i ) ( ) S σ Observa que esta ueva variable se ha obteido a partir de la aterior (S ) multiplicado por la costate (-)/ σ Esta trasformació permite coocer su comportamieto probabilístico Se verifica que el estadístico muestral Uchi sigue u modelo Chi-cuadrado co - grados de libertad U chi ( ) S σ χ

8 Distribucioes Muestrales Casos particulares de distribucioes muestrales: Sea ua població P y la variable aleatoria observada, cuya distribució es Normal N( µ, σ ) Estadístico Ut,v (fució de los estadísticos media y cuasivariaza) Ut,v : E m(x, x,,x) µ U t, υ S Observa que esta ueva variable se ha obteido a partir de los estadísticos media y cuasidesviació típica (S) Esta trasformació permite coocer su comportamieto probabilístico Se verifica que el estadístico muestral Ut,v sigue u modelo t de Studet co - grados de libertad U ( µ ) S t, υ t

9 Distribucioes Muestrales Casos particulares de distribucioes muestrales: Sea ua població P y la variable aleatoria observada, cuya distribució es ua Beroulli: 0 co probabilidad qp(fracaso) y co probabilidad pp(éxito) Se sabe que E()p y V()pq Estadístico Utttotal de éxitos e la muestra Ut : E m(x, x,,x) Ut t i i Observa que esta variable refleja el total de éxitos ( s) e la muestra etre el total de seleccioes. Es u caso particular de total muestral t, ya visto. Observa que es tambié la variable biomial Se verifica que el estadístico muestral Ut sigue u modelo Biomial Ut B(, p) E(Ut)p V(Ut)pq Para tamaños de muestra suficietemete grades se aproxima a ua ormal

10 Distribucioes Muestrales Casos particulares de distribucioes muestrales: Sea ua població P y la variable aleatoria observada, cuya distribució es ua Beroulli: 0 co probabilidad qp(fracaso) y co probabilidad pp(éxito) Se sabe que E()p y V()pq Estadístico Upproporció de éxitos e la muestra Up : E m(x, x,,x) Up Ut i i proporció de éxitos Si el tamaño de muestra es suficietemete grade (>30) se verifica que el estadístico muestral Up sigue u modelo ormal Up N( p, pq ) Observa que esta variable refleja la proporció de éxitos ( s) e la muestra etre el total de seleccioes. Es u caso particular de media muestral, ya visto.

11 Ejemplo simple de simulació del proceso de geeració de ua Distribució Muestral de la Media Supodremos ua població formada por solo N3 elemetos. Por ejemplo 3 iños. Se observa la variable edad. Cosideremos la selecció co reemplazamieto de todas las muestras posibles de tamaño. Població iños: {A, B, C} Edad:, 3 y 4 años respectivamete. El espacio muestral formado por todas las muestras posibles E{AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC} Estadístico muestral Umedia muestral Umedia muestral : E m(x, x,,x) U ( m) i i

12 Ejemplo simple de simulació del proceso de geeració de ua Distribució Muestral de la Media (cotiuació) Umedia muestral : E + (AA),5 3 + (AB) (AC),5 3 + (BA) (BB) (CA) 3, (BC) (CB) , (CC)

13 Ejemplo simple de simulació del proceso de geeració de ua Distribució Muestral de la Media (cotiuació) Distribució muestral de la media Distribució de Edad e la població Umedia P(U) /9,5 /9 3 3/9 3,5 /9 4 /9 Edad P() /3 3 /3 4 /3 E()3 Variaza()/3 Comprueba que la esperaza de e la població coicide co la esperaza de la variable media muestral, U, y que la variaza de U es igual al cociete etre la Variaza de y el tamaño de la muestra ().

14 Ejemplo: Distribució Muestral de la Media Observa que e la práctica se seleccioa ua muestra de la població y se efectúa u resume de dicha muestra mediate el cálculo de u estadístico muestral que os iterese. Por ejemplo media de la muestra, desviació típica, mediaa, etc. Si coociéramos el comportamieto que tiee todos los posibles valores del estadístico muestral que os iteresa (su modelo de probabilidad), podríamos saber qué probabilidad hay de que el valor de uestra muestra esté compredida e u determiado itervalo. Ejemplo: Se ha seleccioado ua muestra al azar de 50 mujeres de ua població de mayores de 8 años. Se descooce la talla media de la població, pero e la muestra se ha observado que la media de las 50 tallas es,60 m. Si se sabe por otros estudios que la desviació típica e la població es de 3,3 cm, determia la probabilidad de que la media de la població o difiere e más de cm de la de la muestra.

15 Ejemplo: Distribució Muestral de la Media Ejemplo (cotiuació): Se sabe que para tamaños de muestra grades la media muestral se distribuye segú u modelo ormal. i i N( µ, σ ) Sustituyedo 3,3 N( µ, ) N( µ, 0,4667) 50 P ( µ ) < ) P( µ µ + ) P( Z 0,4667 ) 0,4667 P(,4 Z,4) µ cm

16 Ejemplo: Distribució Muestral de la Media Ejemplo Se sabe que los pesos de los paquetes de cierto artículo e ua cadea de producció se distribuye ormalmete co media 500 gr y desviació típica 0 gr Se seleccioa ua muestra de 00 paquetes de la producció y se observa que la media de éstos es de 530 gr es coherete este resultado co la hipótesis de que se distribuye ormalmete co media y desviació típica 500 y 0, respectivamete. Si la hipótesis N( µ 500, σ 0) fuese cierta, etoces habrá que admitir 0 N( 500, ) N(500, ) 00 La probabilidad de observar u suceso ta extremo o más (530 gr) es igual a P( 530) P( Z ) P( Z 30) 0 µ ( 530 )

17 Ejemplo: Distribució Muestral de la Media Ejemplo 3 Se sabe que los pesos de los paquetes de cierto artículo e ua cadea de producció se distribuye ormalmete co media 500 gr y desviació típica 0 gr Se seleccioa muestras de 0, 50 y 00 paquetes de la producció. Determia la desviació típica de la media muestral para cada uo de estos 3 casos. N( µ 500, σ 0) Caso 0 0 N( 500, ) N(500, 3,6) 0 Caso 50 0 N( 500, ) N(500,,4) 50 Caso 50 Caso 0 Caso 00 Observa que la variabilidad de la distribució muestral se reduce cuado aumeta Caso 00 0 N( 500, ) N(500, ) 00 µ 500

18 Ejemplo: Distribució Muestral de la Media Ejemplo 4 E uas eleccioes u determiado cadidato asegura que tiee gaados al meos el 50% de los votos. E u sodeo previo a las eleccioes se obtuvo ua muestra de 500 votates y 60 se mostraro favorables al cadidato es coherete co la hipótesis del cadidato el resultado obteido e la muestra? Si la hipótesis B(, p 0,5) fuese cierta, etoces habría que admitir que la proporció muestral se distribuye segú Up pq 0,5 0,5 N( p, ) N(0,5, ) N(0,5, 500 0,8) La probabilidad de observar u suceso ta extremo o más al obteido Up60/5000,3 es 0,3 0,5 P( U p 0,3) P( Z ) P( Z 6,) 0 0,8 ( Up 0,3) 0,3 p 0,5 Up