Tema 7: Estimación por intervalos de confianza.

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1 Estadística 69 Tema 7: Estimació por itervalos de cofiaza. 7. Itroducció. Cuado tratamos la estimació putual, uo de los problemas que se platearo es que el valor de la estimació es sólo uo de los valores posiblemete ifiitos) del estimador, obteido al extraer ua muestra cocreta, de forma que si extraemos dos muestras distitas, las estimacioes será distitas. Al hacer cualquier estimació se está cometiedo u error, y sería deseable proporcioar ua medida de la precisió de la estimació del parámetro. E este tema vamos a itroducir el cocepto de itervalo de cofiaza como u itervalo cuyos extremos so variables que depede de la muestra, y e el cual se cofía que esté el valor de parámetro. El itervalo se obtedrá a partir de u estadístico geeralmete relacioado co u estimador putual, cuya distribució o depede del parámetro descoocido, y ua medida de la validez del itervalo es el ivel de cofiaza, que idica la proporció de itervalos de todos los que se podría costruir a partir de muestras distitas, que realmete cotiee al parámetro. Defiició Sea X ua v.a. co distribució que depede de u parámetro θ descoocido y sea X,...,X ua m.a.s. de X. Llamaremos itervalo de cofiaza de ivel, 0, )) au itervalo L X,...,X ),L X,...,X )), cuyos extremos so variables aleatorias que depede de la muestra, tal que el )00% de los itervalos costruidos a partir de las posibles muestras de tamaño, cotiee a θ. Para compreder mejor el cocepto de itervalo de cofiaza y la forma e que estos se costruye, vamos a comezar presetado u ejemplo secillo: Ejemplo: Itervalo de cofiaza para la media de ua v.a. co distribució ormal y variaza ) coocida. Sea X ua v.a. co distribució Nμ, ) yseax,...,x ua m.a.s. de esta distribució. Como ya hemos visto e el tema aterior, el estimador X de μ, que se defie como: X = es ua suma de variables aleatorias co distribució ormal e idepedietes pues X,...,X lo so) y, por tato, tiee distribució ormal. Su media es μ ysuvariaza. Si estadarizamos esta variable, se tiee que: X μ / N0, ). Obsérvese que esta variable aleatoria tiee distribució coocida e idepediete del valor del parámetro μ, que por otra parte es el úico valor descoocido de la variable ua vez extraída ua m.a.s. cocreta de tamaño. Esto es lo que os va a permitir costruir el itervalo de cofiaza para μ. X i

2 Estadística 70 Si fijamos u ivel de cofiaza, pretedemos que para u )00 % de las muestras de tamaño posibles, el valor de μ esté icluido e el itervalo que vamos a costruir. Para ello, vamos a cosiderar el valor z IR para el cuál p z Z z) =, dode Z es ua variable aleatoria co distribució N0, ). Recuérdese que esto sigifica que el )00 % de los valores de la variable Z que extraigamos al azar, estará e el itervalo z,z)). ) E particular, p z X μ / z =. Qué sigifica esto? Que para el )00 % de las muestras de tamaño de la v.a. X, al obteer X y formar el cociete aterior, ese valor estará etre -z y z. Si e: z X μ / z despejamos μ, se obtiee: X z μ X + z que es el itervalo correspodiete. Observació a) Los extremos del itervalo, X ± z, so variables aleatorias que depede de la muestra, es decir, para cada muestra distita, tomará u valor diferete. b) El valor del parámetro, auque descoocido, es u valor fijo. c) El valor z que iterviee e el itervalo, es el valor que correspode a ua probabilidad acumulada de, y se obtiee fácilmete a partir de la tabla de la N0, ); deotaremos este puto por z. Puesto que e el itervalo -z,z) debe haber ua probabilidad, e las colas debe quedar distribuida ua probabilidad de y de ahí que pz z) =.) Podríamos elegir otros valores z y z, tales que pz Z z )= y a partir de ellos obtedríamos tambié itervalos de cofiaza de ivel, delaforma X z μ X z pero estos itervalos tedría mayor amplitud, y por tato, la estimació de μ sería meos precisa. Para obteer el itervalo aterior, hemos utilizado u estadístico que depede de la muestra y del parámetro X μ / ), cuya distribució es coocida e idepediete del parámetro. Esto sugiere que para costruir itervalos de cofiaza para otros parámetros o e otras codicioes por ejemplo, si o se cooce ), es ecesario utilizar estadísticos similares, co distribució coocida. Esta es la forma e que procederemos e geeral: Cosideraremos u estadístico T X,...,X,θ) que depede de la muestra X,...,X ydel parámetro que queremos estimar, θ, cuya distribució sea coocida e idepediete de dicho parámetro. Para dicha distribució y fijado el ivel de cofiaza, seleccioaremos u itervalo [a,b] del soporte, que tega probabilidad. E la desigualdad a T X,...,X,θ) b, despejamosθ, obteiedo el itervalo deseado.

3 Estadística 7 Naturalmete, como os iteresa obteer itervalos "pequeños" e amplitud, trataremos de elegir el itervalo [a,b] de meor amplitud posible. Hay que señalar que, e los casos e los que la distribució del estadístico sea simétrica, los itervalos que vamos a costruir so de amplitud míima, para u ivel de cofiaza fijado. E los demás casos, la costrucció de u itervalo de amplitud míima resulta excesivamete complicado y coduce a fórmulas poco maejables e la práctica, y por tato, los itervalos costruidos, lo será, buscado ua mayor secillez. Vamos a estudiar alguos de estos estadísticos y a itroducir alguas distribucioes importates, relacioadas co la distribució ormal. 7. Distribucioes utilizadas e la costrucció de itervalos de cofiaza a) Distribució χ. Defiició Sea Z,...,Z v.a. co distribució N0, ) e idepedietes. Etoces la v.a. X = Z + Z Z se dice que tiee ua distribució chi-cuadrado co grados de libertad y se deota por χ. Propiedades i. S X =[0, ). ii. EX) = y VarX) =. iii. Propiedad de reproductividad: Si X,...,X k tiee distribucioes χ i, i =,...,k, y so idepedietes, etoces la variable X = distribució χ co = de libertad. k k X i tiee i grados iv. Si Z es ua v.a. co distribució χ, X es ua v.a. co distribució χ, >,yz = X +Y co X e Y variables idepedietes, etoces Y tiee distribució χ. Esta ueva distribució es la que sigue alguos estadísticos que utilizaremos para obteer itervalos de cofiaza. E particular, el estadístico que describimos a cotiuació y que se utiliza para costruir el itervalo de cofiaza de la variaza de ua variable X co distribució Nμ, ) Proposició Sea X ua v.a. co distribució Nμ, ) yseax,...,x ua m.a.s. de esta distribució. Etoces el estadístico S tiee distribució χ. Demostració Vamos a desarrollar S X i X) X i μ + μ X) = = = = X i μ) +μ X) +X i μ)μ X) =

4 Estadística 7 X i μ) μ X) X i μ) = + +μ X) = X i μ) μ X) μ X) ) Xi μ μ X) = + = / Por tato, ) Xi μ = S μ X) + / Para cada i =,...,,lavariable X i μ tiee distribució N0, ). Lavariable X μ / tiee tambié distribució N0, ); por último, auque este resultado o se va a demostrar, las variables S so idepedietes esta idepedecia se debe a que si X es ua variable aleatoria co distribució ormal, las variables X y S so idepedietes). Por tato, Xi μ y X μ / ) tiee ua distribució χ,lavariable X μ) / deduce, aplicado la propiedad iv), que S tiee ua distribució χ. tiee distribució χ.se Observació Puede observarse que S expresioes para el estadístico. = )S c, de forma que puede utilizarse ambas b) Distribució t de Studet. Defiició 3 Sea Z ua v.a. co distribució N0, ) y sea Y ua v.a. co distribució χ. Si Z e Y so idepedietes, la variable X = Z se dice que tiee ua distribució t de Studet Y/ co grados de libertad. Esta distribució se deota por t. Propiedades i. S X =, ). ii. EX) =0y VarX) =,si>. iii. La distribució es simétrica respecto de x = 0, y es similar a la ormal distribució a la que tiede cuado el úmero de grados de libertad tiede a.) Tiee colas más amplias que la ormal. Esta distribució aparece por ejemplo, al costruir el itervalo de cofiaza para el parámetro μ de ua variable X co distribució Nμ, ), y descoocido. O tambié a la hora de estimar el valor de la diferecia de medias μ μ de X Nμ,) e X Nμ,), idepedietes, co variazas descoocidas pero iguales. Proposició Sea X ua v.a. co distribució Nμ, ) yseax,...,x ua m.a.s. de esta X μ distribució. Etoces el estadístico S/ tiee distribució t.

5 Estadística 73 Demostració E efecto, ya habíamos visto ateriormete que la variable X μ / tiee distribució N0, ). Por otra parte, la variable S tiee ua distribució χ y es idepediete de la aterior. Por tato, tiee distribució t. Observació 3 Puede observase que: X μ / S / = X μ S/ X μ S/ = X μ S c /. Al costruir itervalos de cofiaza puede utilizarse cualquiera de los dos estadísticos geeralmete, e fució de la iformació dispoible, es decir, segú que lo que se coozca sea S o S c.) Proposició 3 Sea X Nμ,) e Y Nμ,) idepedietes, co variazas iguales; si X,...,X es ua m.a.s. de la variable X e Y,...,Y es ua m.a.s. de la variable Y, el estadístico X Y μ μ ), +, tiee distribució t +. S + S + Observació 4 Notar que tambié S + S + = )S c) + )S c) +. c) Distribució F de Fisher-Sedecor Defiició 4 Sea X e Y variables chi-cuadrado co y m grados de libertad, respectivamete, e idepedietes. Etoces, la variable F = X/ Y/m, se dice que tiee distribució F de Fisher- Sedecor co,m grados de libertad. Se deota por F,m. Propiedades 3 i. S F =[0, ). ii. EF )= m m,sim>, y VarF )= m +m ) m ) m 4),sim>4. iii. Si X tiee ua distribució F,m eytiee ua distribució F m,, etoces el puto x IR para el cual px x) =, verifica que py x )=. iv. La distribució F tiee ua gráfica su fució de desidad) similar a la de la chicuadrado. Esta distribució es la que utilizaremos para obteer el itervalo de cofiaza del cociete de variazas de variables ormales idepedietes.

6 Estadística 74 Proposició 4 Sea X Nμ, ) e Y Nμ, ), idepedietes. El estadístico Sc) / S c) / tiee distribució F,. E efecto, hemos visto ateriormete que las variables )S c) distribucioes χ y χ )S c ) ) / )S c ) ) / tiee distribució F,. y )S c) tiee respectivamete. Además so idepedietes, por serlo X e Y. Por tato, la variable ) : ) = S c) / S c ) / E la Tabla, aparece los estadísticos y pricipales itervalos de cofiaza de parámetros de variables co distribució ormal. 7.3 Otros itervalos de cofiaza. Se puede costruir tambié itervalos de cofiaza para alguos parámetros de los que depede la distribució de alguas variables aleatorias o ormales, por ejemplo el parámetro p de ua variable Bp), o el parámetro λ de ua variable co distribució Pλ). E geeral, dada ua variable aleatoria XcuyamediaEX) =μ, elestadístico: X μ / N0, ) si el tamaño de la muestra,, es suficietemete grade. Si la variaza de X es coocida, a partir del estadístico aterior, podríamos deducir u itervalo de cofiaza para μ co u ivel de cofiaza : X z μ X + z Si es descoocido, se puede sustituir e la expresió del estadístico por ua estimació de la misma, obteida a partir de la m.a.s. E ese caso, el estadístico tiee aproximadamete ua distribució N0, ). Por ejemplo, si X Bp), ua estimació de p la proporcioa el valor de X yelestadístico: por tato, el itervalo de ivel para p es: X z X μ N0, ) X X)/ X X) μ X + z X X) Igualmete, se puede costruir itervalos de cofiaza para la diferecia de medias de variables idepedietes, o ecesariamete ormales, a partir de sedas muestras aleatorias simples, siempre que el tamaño de éstas sea lo suficietemete grade. La Tabla cotiee los estadísticos e itervalos de cofiaza asitóticos más usuales para parámetros de distribucioes o ormales.

7 Estadística Alguas aplicacioes de los itervalos de cofiaza. a) Toma de decisioes: Además de serviros para estimar el valor de u parámetro, proporcioado ua medida del error de estimació, los itervalos de cofiaza permite tomar ciertas decisioes e cuáto al valor de dichos parámetros; por ejemplo: Si u valor determiado podría ser o o el valor del parámetro. Si las medias de dos variables puede ser o o iguales. Si las variazas de dos variables puede ser o o iguales. Si la probabilidad p de ua característica e dos poblacioes distitas, puede ser o o igual.... Todas estas decisioes se basa e el sigificado del ivel de cofiaza: si u itervalo tiee ivel, sabemos que eso sigifica que para el )00% de los itervalos costruidos a partir de muestras de tamaño, el parámetro estará e el itervalo; cuado seleccioamos ua muestra, existe por tato probabilidad de elegir ua de estas muestras "bueas", de forma que si determiado valor o está e el itervalo, parece poco creíble que pudiera ser el valor del parámetro, mietras que si lo está, es admisible que sea el valor del parámetro. La forma de expresar lo aterior o es casual y está llea de matices: o tiee el mismo sigificado "o ser creíble" que "ser admisible". Respecto de los ejemplos citados, si quiero decidir si es posible, por ejemplo que las medias de dos variables sea iguales, costruiría el itervalo de cofiaza para la diferecia de medias y si el 0 estuviera e él, cocluiría que la igualdad es posible, mietras que si o está cocluiría que las medias so diferetes. De la misma forma, si quiero decidir si es posible que las variazas de dos variables sea iguales, costruiría el itervalo de cofiaza para el cociete de variazas y si el estuviera e él, cocluiría que la igualdad es posible, mietras que si o está cocluiría que las variazas so diferetes. Se procede igual co los otros ejemplos. b) Determiació del tamaño muestral para garatizar ua precisió e la estimació de u parámetro. La precisió de u itervalo simétrico cosideramos que es la semilogitud del mismo; para itervalos o simétricos, se cosidera la logitud del itervalo. E ocasioes se puede determiar qué tamaño de muestra míimo es ecesario para garatizar que la precisió del itervalo es u valor prefijado. Por ejemplo, si X es ua variable co distribució Nμ, ), co coocido y queremos que la precisió del itervalo sea ɛ, basta despejar e la desigualdad: z <ɛ Recordad que el itervalo para μ e este caso tiee la forma: X z μ X + z )

8 Tabla INTERVALOS DE CONFIANZA Itervalo de cofiaza de ivel Parámetro Pivote Extremo Iferior Extremo Superior PROBLEMA DE UNA MUESTRA: X N µ, ); X, X,..., X m.a.s. µ coocido) µ descoocido) X µ / N 0, ) X z X + z X µ S c/ t X t S c S c, X + t, µ coocido) X i µ) χ X i µ) χ, X i µ) χ, µ descoocido) )S c χ )S c χ, )S c χ, µ µ, cooc.) µ µ = desc.) PROBLEMA DE DOS MUESTRAS: X N µ, ), Y N µ, ) idepedietes; X, X,..., X e Y, Y,..., Y m.a.s. X Y µ µ ) / + / N 0, ) X Y z + X Y + z X Y µ µ ) )S c, + )S c, + ) t + + X Y t +, )S c, + )S c, + ) + X Y + t +, + )S c, + )S c, + ) + µ µ desc.) X Y µ µ ) S c, + S c, t r Ver []) Sc, X Y t r, + S c, Sc, X Y + t r, + S c, µ, µ coocidos) Y i µ ) X i µ ) F, X i µ ) F,, Y i µ ) X i µ ) F,, Y i µ ) µ, µ desc.) Sc, Sc, F, Sc, Sc, F,, Sc, Sc, F,,

9 Tabla INTERVALOS DE CONFIANZA ASINTÓTICOS Itervalo de cofiaza de ivel Parámetro Pivote Extremo Iferior Extremo Superior PROBLEMA DE UNA MUESTRA: X µ, ); X, X,..., X m.a.s. µ coocido) µ desc.) X µ / N 0, ) X z X + z X µ S/ N 0, ) X z S S X + z PROBLEMA DE DOS MUESTRAS: X µ, ), Y µ, ) idepedietes; X, X,..., X e Y, Y,..., Y m.a.s. X Y µ µ ) µ µ, coocidos) / + / N 0, ) X Y z + X Y + z + µ µ, desc.) X Y µ µ ) S / + S / N 0, ) X Y z S + S X Y + z S + S p I.C. PARA UNA PROPORCIÓN: X Bp); X, X,..., X m.a.s. X p X X) N 0, ) X z p p) Ver [3]) X + z X X) λ I.C. PARA UNA DISTRIBUCIÓN DE POISSON: X Pλ); X, X,..., X m.a.s. X λ X N 0, ) X z λ X + z X I.C. PARA LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES: X Bp ); Y Bp ); idepedietes; X, X,..., X e Y, Y,..., Y m.a.s. X Y p p ) X X) p p N 0, ) X Y z p p ) + p p ) + Y Y ) X X) X Y + z + Y Y ) Ver [4]) []. Si los datos so apareados se cosidera la m.a.s. de las diferecias D i = Y i X i y se aplica los itervalos de cofiaza para ua muestra correspodietes. []. r represeta el etero más próximo al valor S c, ) + S c, S c, / ) + + S c, / ) +. [3]. X correspode a la proporció muestral del suceso cosiderado. [4]. X e Y correspode a las proporcioes muestrales de los sucesos cuyas probabilidades p y p cosideramos.