Licenciatura en Matemáticas Febrero x(1 x) θ 1 I [0,1] (x). (1)

Transcripción

1 Estadística I Exame Liceciatura e Matemáticas Febrero Sea X 1,..., X ua muestra aleatoria de ua variable X co distribució Beta de parámetros 2 y θ > 0. Esto último sigifica que la fució de desidad de X es f(x; θ) = Γ(2 + θ) x(1 x) θ 1 I [0,1] (x). (1) Γ(θ) La media y la variaza de X so E θ (X) = 2 2+θ, V θ(x) = 2θ (2+θ) 2 (θ+3). (a) Calcular el estimador de θ por el método de los mometos. (b) Aalizar su cosistecia c.s. (c) Probar que es asitóticamete ormal y obteer la variaza de la distribució asitótica. (d) Defie la catidad de iformació de Fisher, I(θ), y explica muy brevemete su importacia e la teoría estadística. Calcula el valor de I(θ) para el modelo (1). 2. Los iveles e sagre de ua hormoa deomiada FSH está asociados co la fertilidad femeia. Las mujeres que tiee u ivel de FSH alto (superior a 10 IU/L) tiee e geeral más dificultad para cocebir que aquellas que tiee iveles bajos de FSH. E u estudio realizado recietemete, se aalizó la posible relació etre el grupo saguíeo y la fertilidad. Para ello se midiero los iveles de FSH e ua muestra de 254 mujeres e edad fértil co grupo saguíeo O y resultó que 43 de ellas teía iveles altos de FSH y, por tato, podría teer dificultades para cocebir. E otra muestra, idepediete de la aterior, de 309 mujeres cuyo grupo saguíeo o es O, resultó que 27 teía iveles altos de FSH. [Adaptado de Nejat et al. Fertility ad Sterility, Volume 94, 4, Suppl. 1, septiembre 2010]. (a) Proporcioa estos datos suficiete evidecia estadística, al ivel 0.05, a favor de la hipótesis de que las mujeres co grupo saguíeo O tiee más dificultades para cocebir que las que tiee otro grupo saguíeo? (b) Calcular el tamaño muestral ecesario para, co probabilidad 0.95, estimar e la població de mujeres del grupo O el porcetaje de las que tiee u ivel alto de FSH, co u error máximo de 2 putos.

2 3. Sea X 1,..., X ua muestra de ua v.a. N(µ, σ). Se desea cotrastar la hipótesis H 0 : σ 1 frete a H 1 : σ > 1. Para ello se utiliza u test co ua regió crítica de la forma R = {(x 1,..., x ) : s 2 > k}, (2) siedo s 2 la cuasi-variaza muestral y k > 0 ua costate. (a) E el caso = 10 calcular el valor de k que proporcioa u test de ivel de sigificació (b) Para el test defiido e el apartado aterior (co = 10 y ivel de sigificació 0.05), calcular el valor de la fució de potecia para σ = 2. Cómo se comporta la fució de potecia cuado σ? (c) Supogamos que co ua muestra de tamaño = 10 se ha obteido s 2 = Cuál es el p-valor de (2) para esta muestra? Proporcioa este p-valor mucha evidecia estadística a favor de H 1? 4. Redacta u código e R que realice las siguietes operacioes: 1. Geerar mil muestras de tamaño 50 de ua ormal estádar y almacearlas e ua matriz Calcular las medias muestrales y las mediaas de estas muestras y almacearlas e ua matriz (la columa 1 debe coteer las medias y la seguda las mediaas). 3. Cotar el úmero de veces que la media muestral resulta ser meor que la correspodiete mediaa. Valoració de los ejercicios: 4, 2, 3, 1.

3 Solucioes a los problemas del exame de febrero de ) (a) El estimador es la solució e θ de la ecuació X = E θ (X) que, e este caso, es ˆθ = 2 X 2. (b) Observamos que ˆθ = g( X), siedo g(x) = 2 x 2. Por la Ley Fuerte de los Grades Números, X c.s. µ := E θ (X), pero como g es fució cotiua e el itervalo (0, 1] (que es c.s. el rago de valores de X y de X), se tiee, por la defiició de covergecia c.s., ˆθ = g( X) c.s. g(µ) = 2 µ 2 = θ, lo cual prueba la cosistecia fuerte de ˆθ. (c) Por el TCL sabemos que ( X d µ) N(0, σ), siedo σ 2 := V θ (X). Observamos que ˆθ = g( X), siedo g(x) = 2 x 2 que es fució derivable co derivada cotiua e (0, 1]. Por tato, aplicado el método delta, (g( X) g(µ)) = (ˆθ θ) siedo g (x) = 2/x 2 E defiitiva, la variaza asitótica es g (µ) 2 σ 2 = (2 + θ)4 4 d N(0, g (µ) σ) 2θ θ(2 + θ)2 (2 + θ) 2 = (θ + 3) 2(θ + 3). (d) La catidad de iformació de Fisher se defie mediate I(θ) = E θ [ ( θ log f(x; θ) ) 2 ], supuesto que esta esperaza es fiita. Si f(x; θ)dx se puede derivar dos veces bajo el sigo itegral I(θ) se puede expresar de modo equivalete como I(θ) = E θ ( 2 θ ) log f(x; θ) 2 Esta catidad es importate porque 1/(I(θ)) resulta ser ua cota iferior de la variaza de los estimadores isesgados de θ y, sobre todo, porque (bajo ciertas codicioes de regularidad), 1/I(θ) aparece como la variaza de la distribució límite (ormal) de (ˆθ θ), siedo ˆθ el emv. E uestro ejemplo, teemos (usado la propiedad Γ(p + 1) = pγ(p)): θ log f(x; θ) = (log(1 + θ) + log θ + log X + (θ 1) log(1 X)) θ = θ log(1 X) θ

4 2 θ 2 log f(x; θ) = 1 (1 + θ) 2 1 θ 2 E defiitiva, I(θ) = 1 (1 + θ) θ 2 = 2θ2 + 2θ + 1 θ 2 (1 + θ) 2 2) Sea X ua v.a. que toma valor 1 cuado ua mujer seleccioada al azar e el grupo O tiee u ivel alto de FSH y sea Y ua v.a. que toma valor 1 cuado ua mujer seleccioada al azar etre las que o perteece al grupo O tiee ivel alto de FSH. Las distribucioes de X y de Y so Beroulli (p 1 ) y Beroulli(p 2 ), respectivamete, siedo p 1 = P(X = 1) y p 2 = P(Y = 1). Teemos dos muestras idepedietes X 1, X 2,..., X 254 e Y 1, Y 2,..., Y 309 de las v.a. X e Y. Nos pide realizar el siguiete cotraste de hipótesis: H 0 : p 1 p 2 frete a H 1 : p 1 > p 2. Puesto que los tamaños muestrales 1 = 254 y 2 = 309 so suficietemete grades podemos utilizar la siguiete regió de rechazo: ( 1 R = { x ȳ > z α p(1 p) + 1 ) }, 1 2 dode p = xi+ y i E este ejercicio, teemos que x = , ȳ = , p = y z 0.05 = Verificamos si se cumple que: > ( ) ( ). 309 Efectivamete, puesto que > , la aterior desigualdad se verifica y debemos rechazar H 0 al ivel Por tato, a ese ivel los datos proporcioa suficiete evidecia estadística a favor de H 1. (b) U itervalo de cofiaza aproximado de ivel 1 α para p 1 (proporció de mujeres del grupo O co ivel alto de FSH) es X(1 X) X ± z α/2, siedo x = X i /, la proporció de mujeres co FSH alto observada e ua muestra de tamaño E este caso z α/2 = z = Esto sigifica que, co ua probabilidad de 0.95, el error máximo que se comete al estimar p 1 co X es X(1 X) 1.96.

5 Teemos que ecotrar el tamaño muestra que haga este error igual a 0.02 (2 putos de porcetaje expresados e térmios de proporció). Para ello plateamos X(1 X) 1.96 = 0.02, y, como o coocemos el valor de X (porque aú o hemos extraído la muestra) lo aproximamos por el obteido e la muestra previa de tamaño 254, es decir, por x = 43/254 = Esto da ( ) 1.96 = 0.02, ( ) = 1.96 = Este tamaño muestral proporcioa aproximadamete el error deseado. 3) (a) Teemos que ecotrar el valor k tal que sup P σ {s 2 > k} = 0.05, dode P σ idica la probabilidad calculada supoiedo que el verdadero valor de la variaza e la distribució ormal que geera los datos es σ. Sabemos que si las X 1,..., X so vaiid N(µ, σ), Por tato, ( 1)s 2 σ 2 χ 2 1. sup P σ {s 2 ( 1)s2 > k} = sup P σ { σ 2 > Para = 10, ( 1)k σ 2 } = sup P {χ 2 1 > P {χ 2 9 > 16.92} = Por tato, segú (3), el valor k que buscamos debe cumplir es decir, k = (b) La fució de potecia viee dada por 9k = 16.92, β(σ) = probabilidad de rechazar H 0 cuado el parámetro vale σ ( 1)k σ 2 } = P {χ 2 1 > ( 1)k} (3)

6 Se pide calcular { 9s β(2) = P σ=2 {s 2 2 > 1.88} = P σ=2 4 > } = P {χ 2 9 > 4.23} P {χ 2 9 > 4.17} = Se ha aproximado 4.23 por 4.17 porque éste es el úmero más cercao que aparece e las tablas de la χ 2 9 que teemos dispoibles. E geeral, { 9s β(σ) = P σ {s 2 2 > 1.88} = P σ σ 2 > } σ 2 = P { χ 2 9 > } σ 2 0, cuado σ, ya que la distribució χ 2 9 tiee soporte [0, ) y, por tato, su fució de distribució vale 0 e x = 0. (c) Recordemos que el p-valor es el míimo valor del ivel de sigificació para el cual se rechazaría la hipótesis ula. Este valor puede iterpretarse como la probabilidad de obteer (bajo H 0 ) u valor al meos ta extremo como el que se ha obteido. Así, para obteer el p-valor e este caso habría que calcular el ivel de sigificació que correspodería al valor k = 2.622, e el cual coicide el valor observado del estadístico de cotraste s 2 y el valor crítico k. p = sup P(s 2 > 2.622) = P σ=1 (9s 2 > ) P(χ 2 9 > 23.6) = 0.005, (recordemos que, cuado σ = 1, 9s 2 χ 2 9, ya que ( 1)s 2 /σ 2 χ 2 1). E resume, el p-valor es aproximadamete p = Por tato, si el ivel de sigificació α elegido hubiera sido meor que hubiéramos aceptado siempre H 0 (al ivel α) co s 2 = (pues e este caso s 2 = sería ecesariamete meor que el correspodiete valor k), y si hubiésemos tomado α > hubiésemos rechazado H 0 al ivel α. Este valor, p = es muy pequeño e idica ua fuerte evidecia estadística a favor de H 1. 4) Hay varias maeras posibles de hacer esto. A cotiuació se idica ua posibilidad coceptualmete secilla (auque otras alterativas co u código más breve y más eficiete desde el puto de vista computacioal): xx<-matrix(0,1000,50) for (i i 1:1000){ xx[i,]<-rorm(50)} medias<-rep(0,1000) mediaas<-rep(0,1000) for (i i 1:1000){medias[i]<-mea(xx[i,])} for (i i 1:1000){mediaas[i]<-media(xx[i,])}

7 M<-cbid(medias,mediaas) cotar<-rep(0,1000) for (i i 1:1000){if (medias[i]<mediaas[i]) {cotar[i]<-1}} sum(cotar) Tambié se puede poer, de modo algo más breve, reemplazado las tres últimas líeas de este código por sum(medias<mediaas) De modo similar, se puede evitar algú for usado la fució sapply. Por ejemplo: xx<-matrix(0,1000,50) for (i i 1:1000){ xx[i,]<-rorm(50)} M1<-cbid(sapply(xx[,1],mea),sapply(xx[,2],media)) sum(m1[,1]<m1[,2])