Distribuciones en el muestreo, EMV

Transcripción

1 Distribucioes e el muestreo, E Tema 6 Descripció breve del tema. Itroducció y coceptos básicos. Propiedades de los estimadores Sesgo, Variaza, Error Cuadrático Medio y Cosistecia 3. Distribució de u estimador e el muestreo Distribució de la media e el muestreo Distribució de la variaza e el muestreo Distribucioes e el muestreo de poblacioes ormales 5. Propiedades de los Es 6. Iferecia a partir de los Es Itroducció a los itervalos de cofiaza y cotrastes de hipótesis Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III Objetivos Eteder estimació como pilar fudametal de la Estadística. Habituarse a maejar las distribucioes que aparece asociadas a ciertos estimadores. Ecotrar el E de u parámetro tato de ua distribució discreta como cotiua. Coocer la distribució asitótica de u E. Eteder las ideas básicas de cotrastes de hipótesis e itervalos de cofiaza a partir del método de Máxima Verosimilitud. Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 3 Descripció breve del tema. Itroducció y coceptos básicos. Propiedades de los estimadores Sesgo, Variaza, Error Cuadrático Medio y Cosistecia 3. Distribució de u estimador e el muestreo Distribució de la media e el muestreo Distribució de la variaza e el muestreo Distribucioes e el muestreo de poblacioes ormales 5. Propiedades de los Es 6. Iferecia a partir de los Es Itroducció a los itervalos de cofiaza y cotrastes de hipótesis Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 4

2 Itroducció La Iferecia Estadística es el proceso de predicció que os permite obteer coclusioes sobre el comportamieto de ua població a partir de los datos de ua muestra. Hemos visto distribucioes de probabilidad que depede de uo o varios parámetros, ahora veremos cómo estimar dichos parámetros. Coceptos básicos Ua muestra aleatoria so variables aleatorias idepedietes y co la misma distribució,,, U estadístico es cualquier trasformació (fució) de las observacioes de ua muestra aleatoria. Es, por tato, ua variable aleatoria f (,,, ). Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 5 Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 6 Coceptos básicos U estimador de u parámetro θ es cualquier fució de la muestra ˆ θ f (,, K, ) que coduce a la obteció de valores aproximados de θ. Se trata de u estadístico que sirve para estimar θ. Descripció breve del tema. Itroducció y coceptos básicos. Propiedades de los estimadores Sesgo, Variaza, Error Cuadrático Medio y Cosistecia 3. Distribució de u estimador e el muestreo Distribució de la media e el muestreo Distribució de la variaza e el muestreo Distribucioes e el muestreo de poblacioes ormales 5. Propiedades de los Es 6. Iferecia a partir de los Es Itroducció a los itervalos de cofiaza y cotrastes de hipótesis Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 7 Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 8

3 Propiedades de los estimadores Sesgo. U estimador de u parámetro θ es isegado o cetrado si E[ ˆ] θ θ A la diferecia sesgo E[ ˆ θ ] θ se le llama sesgo del estimador. Propiedades de los estimadores Variaza de u estimador. De los estimadores cetrados, el mejor es aquel cuyos valores está más cocetrados e toro al verdadero valor del parámetro, el que tega meor variaza. Llamamos eficiecia o precisió de u estimador al iverso de su variaza Eficiecia[ ˆ] θ Var[ ˆ] θ Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 9 Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 0 Propiedades de los estimadores El error estádar de u estimador es su desviació típica σ ˆ θ Var[ ˆ] θ Si la desviació típica depede del parámetro θ, la sustitució de θ por su estimació da lugar al error estádar estimado ˆ σ ˆ θ Propiedades de los estimadores Dados dos estimadores de u mismo parámetro, su eficiecia relativa se defie como ˆ ˆ ˆ Eficiecia[ θ ] ER[ θ ; θ] Eficiecia[ ˆ θ ] Var[ ˆ θ] Var[ ˆ θ ] Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III

4 Propiedades de los estimadores Error Cuadrático Medio. El ECM os permite comparar estimadores cetrados co otros que tiee sesgo y estimadores sesgados etre ellos ˆ ECM[ ˆ] θ E[( θ θ ) ] Propiedad. ECM[ ˆ] θ Var[ ˆ] θ + (sesgo[ ˆ]) θ Propiedades de u estimador Cosistecia. Decimos que u estimador es cosistete cuado se aproxima al autético valor del parámetro a medida que el tamaño de la muestra crece. Es lo míimo que se le exige a u estimador. Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 3 Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 4 Descripció breve del tema. Itroducció y coceptos básicos. Propiedades de los estimadores Sesgo, Variaza, Error Cuadrático Medio y Cosistecia 3. Distribució de u estimador e el muestreo Distribució de la media e el muestreo Distribució de la variaza e el muestreo Distribucioes e el muestreo de poblacioes ormales 5. Propiedades de los Es 6. Iferecia a partir de los Es Itroducció a los itervalos de cofiaza y cotrastes de hipótesis Distribució de la media e el muestreo La media muestral + + L+ es u estimador atural de la media poblacioal µ. Es cetrado y su variaza es σ /, dode σ es la desviació típica de. Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 5 Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 6

5 Distribució de la media e el muestreo Por el TCL, sabemos que para cualquier distribució de, co tal que sea suficietemete grade µ N(0,) σ Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 7 Distribució de la media e el muestreo Distribució de ua proporció e el muestreo. Llamamos p a la proporció poblacioal de elemetos que preseta cierta característica. La v.a. que toma valor si el elemeto preseta la característica y 0 si o, sigue distribució de Beroulli de parámetro p. º elemetos co la característica e muestra i i pˆ tamaño muestra p( p) E[ pˆ] p ; Var[ pˆ] Si >30 y p( p)>5, podemos aplicar la aproximació del TCL Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 8 Variaza e el muestreo La variaza muestral es u estimador sesgado de la variaza poblacioal S i ( ) Alterativamete teemos la cuasivariaza muestral que es isesgado ˆ i S Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 9 i ( ) i Poblacioes ormales Distribució de la variaza. Si la muestra procede de ua població ormal, ( ) Sˆ σ Teemos etoces Var[S ] ( )σ 4 / S σ Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 0 ~ χ

6 Poblacioes ormales Distribució de la media co variaza descoocida. Si la muestra procede de ua població ormal y la variaza es descoocida, podemos reemplazarla por la (cuasi)variaza muestral y obteemos µ µ ~ ˆ S S t Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III Poblacioes ormales Cociete de variazas. Si teemos dos muestras idepedietes procedetes de distribucioes ormales de tal modo que la muestra de tiee tamaño y la de Y tamaño m, etoces la distribució del cociete de sus variazas muestrales cumple S Sˆ σ σ ( ) ms, m Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III Y ( m ) σ Y Sˆ Y σ Y ~ F Descripció breve del tema. Itroducció y coceptos básicos. Propiedades de los estimadores Sesgo, Variaza, Error Cuadrático Medio y Cosistecia 3. Distribució de u estimador e el muestreo Distribució de la media e el muestreo Distribució de la variaza e el muestreo Distribucioes e el muestreo de poblacioes ormales 5. Propiedades de los Es 6. Iferecia a partir de los Es Itroducció a los itervalos de cofiaza y cotrastes de hipótesis Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 3 Método de Máxima Verosimilitud Partimos de ua muestra aleatoria simple,,..., que procede de ua distribució coocida depediete de u parámetro (o parámetros) y queremos estimar el valor de estos parámetros. La estimació de dichos parámetros será el valor que maximiza la fució de verosimilitud (fució de desidad o de probabilidad cojuta) Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 4

7 Método de Máxima Verosimilitud Los datos procedetes de las observacioes so (x,x,...,x ) x. El parámetro que deseamos estimar es θ. Si partimos de ua variable aleatoria discreta, la fució de verosimilitud será la probabilidad cojuta de la muestra, l( θ x) P( P( i x, x p ( x i x θ ) P( θ ), K, x x x Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 5 θ ) θ ) LP( θ ) Método de Máxima Verosimilitud Si partimos de ua variable aleatoria cotiua, la fució de verosimilitud será la fució de desidad cojuta de la muestra, l( θ x) f ( x, x, K, x θ ) i f ( x i θ ) La fució soporte es el logaritmo de la fució de verosimilitud, L(θ x) l l(θ x) Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 6 Método de Máxima Verosimilitud Nuestro objetivo es buscar el parámetro θ que maximiza la probabilidad de aparició de los valores observados x L( θ x) Resolvemos 0 θ y comprobamos L ( θ x) θ para hallar ˆ θ θ ˆ θ < 0, etoces ˆ θ ˆ θ Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 7 Descripció breve del tema. Itroducció y coceptos básicos. Propiedades de los estimadores Sesgo, Variaza, Error Cuadrático Medio y Cosistecia 3. Distribució de u estimador e el muestreo Distribució de la media e el muestreo Distribució de la variaza e el muestreo Distribucioes e el muestreo de poblacioes ormales 5. Propiedades de los Es 6. Iferecia a partir de los Es Itroducció a los itervalos de cofiaza y cotrastes de hipótesis Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 8

8 Propiedades de los Es Bajo ciertas codicioes geerales (rago de la variable coocido y o depede de igú parámetro) los Es so:. Asitóticamete cetrados E[ ˆ θ ] θ. Asitóticamete ormales ˆ θ N( θ, σ ) θˆ Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 9 Propiedades de los Es 3. Asitóticamete de variaza míima ˆ ˆ ( ) Var[ ] L θ θ θ 4. Ivariates frete a trasformacioes biuívocas. Si g es iyectiva y ˆ θ es E deθ, etoces g( ˆ θ ) es E de g( θ ). Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 30 Descripció breve del tema. Itroducció y coceptos básicos. Propiedades de los estimadores Sesgo, Variaza, Error Cuadrático Medio y Cosistecia 3. Distribució de u estimador e el muestreo Distribució de la media e el muestreo Distribució de la variaza e el muestreo Distribucioes e el muestreo de poblacioes ormales 5. Propiedades de los Es 6. Iferecia a partir de los Es Itroducció a los itervalos de cofiaza y cotrastes de hipótesis Iferecia a partir de los Es Itervalos de cofiaza. Coocemos la distribució aproximada de u E. Supuesta ua muestra aleatoria simple,,..., podemos costruir u itervalo que cotega el verdadero valor del parámetro co ua probabilidad fija α. Para los datos x,x,...,x dicho itervalo se covierte e u IC co ivel de cofiaza α Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 3 Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 3

9 Itervalos de Cofiaza Asitóticamete la distribució de u E es Normal ˆ θ N,( ( ˆ ) ) / θ L θ θ si P( Z zα / ) α / para Z ~ N(0,), ˆ θ θ etoces P z α / < < zα α / / ( θ θ ) ( ˆ L ) Itervalos de Cofiaza Fialmete obteemos P ˆ θ ˆ / / L( θ ˆ ) θ ( ) α < θ < ˆ L( ) θ + ( ) z / zα / α θ Dode la amplitud del itervalo depede de la variaza del E, y e cosecuecia del tamaño de la muestra. θ Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 33 Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 34 Iferecia a partir de los Es Cotrastes de Hipótesis. El coocimieto de la distribució asitótica de los Es os puede servir para cotrastar la veracidad de ciertas hipótesis (cojeturas) sobre el parámetro θ ˆ θ θ ( ( ˆ L θ ) θ ) / ~ N(0,) Igacio Cascos Depto. Estadística, Uiversidad Carlos III 35