Tema 7: Estimación puntual.

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1 Estadística 68 Tema 7: Estimació putual. 7.1 Itroducció a la Iferecia Estadística. E los temas ateriores se ha hecho éfasis e la teoría de la probabilidad y e determiados modelos probabilísticos. E este tema y los siguietes os cetraremos e el estudio de procedimietos que os permita tomar decisioes referidas a determiados problemas que preseta icertidumbre. Estos procedimietos se egloba e lo que deomiamos Iferecia Estadística. El objetivo de la Iferecia Estadística es obteer iformació sobre la ley de probabilidades (o modelo probabilístico) de u feómeo, a partir de alguos datos experimetales. Existe distitos tipos de procedimietos de Iferecia. Nosotros os vamos a cetrar e los llamados procedimietos clásicos, e los que se supoe que la úica iformació dispoible sobre el modelo so los datos correspodietes a ua muestra represetativa de la població objeto de estudio, y los problemas cocretos que vamos a abordar se resume e los siguietes: (a) Problemas e los que la distribució de la variable se cooce, pero los parámetros (todos o parte) que la caracteriza so descoocidos. El problema es, e este caso, cómo obteer u valor o valores uméricos, a partir de los datos, que sea u proóstico o estimació razoable de ese parámetro. Cuado la solució proporcioada es u sólo valor umérico, hablaremos de procedimietos de estimació putual. Cuado la solució proporcioada es u itervalo de valores e el que probablemete estará el parámetro, hablaremos de procedimietos de estimació por itervalos. (b) Problemas e los que se trata de costatar que ua afirmació acerca de la distribució de probabilidades del feómeo estudiado es o o cierta. E este caso, hablaremos de procedimietos de cotraste de hipótesis. Ejemplo 1: Supogamos que estamos estudiado el tiempo hasta el fallo de u determiado compoete electróico. Se ha seleccioado ua muestra represetativa de este tipo de compoete y se ha mateido e fucioamieto hasta fallar, aotádose la duració de cada uo. Nos podemos platear los siguietes iterrogates: (a) Si sabemos ya que el tiempo hasta el fallo sigue ua distribució expoecial, cuál es el tiempo medio hasta el fallo para este tipo de compoetes? (Correspode a u problema de estimació putual). (b) E las mismas codicioes que ates (sabiedo que la distribució es expoecial), qué rago de valores para la duració media parece razoable?. (Correspodería a u problema de estimació por itervalos). (c) Los compoetes proviee de dos procesos de fabricació distitos y se quiere determiar si existe diferecias e cuato al tiempo medio hasta el fallo. (Problema de cotraste).

2 Estadística Muestreo; tipos de muestreo. E ua gra parte de los estudios experimetales es imposible dispoer de los datos correspodietes a todos los elemetos de la població objeto de estudio (por razoes ecoómicas, de tiempo, o porque el estudio supoga la destrucció del elemeto estudiado o porque los elemetos estudiados o exista e la realidad). E esos casos es ecesario trabajar a partir de los datos de sólo ua parte de la població y para que el estudio tega validez iteresa que esa parte sea represetativa de toda la població. Ya habíamos defiido ateriormete muestra como ua parte represetativa de la població; u procedimieto de muestreo es u procedimieto para seleccioar muestras represetativas. Existe diversos tipos de muestreo. Vamos a itroducir alguos: (a) Muestreo aleatorio simple: E este caso, cada elemeto de la població tiee idética probabilidad de ser elegido e cada ua de las extraccioes. Este tipo de muestreo se aplica cuado e la població existe homogeeidad respecto de la característica a estudiar. E los casos e los que la muestra se extrae de ua població fiita, correspode a extraccioes co reemplazamieto. Este tipo de muestreo es uo de los más importates, pues e él se basa los demás tipos que vamos a itroducir y ua gra parte de los métodos estadísticos que vamos a desarrollar so válidos sólo si la muestra se ha seleccioado por este procedimieto. Defiició 1 Sea X ua v.a.; llamaremos muestra aleatoria simple (m.a.s.) de tamaño de X a u cojuto de variables aleatorias (X 1,..., X ) idepedietes y co idética distribució que la variable X. Por tato, ua m.a.s. es u vector aleatorio, cada uo de cuyos elemetos represeta los posibles valores de la compoete i-ésima de ua muestra aleatoria de tamaño de la població. Ejemplo 2: Cosideremos ua població formada por 10 matrimoios, sobre la que se observa la característica úmero de hijos. Matrimoio úmero de hijos 1 Aloso Pérez 1 2 Bueo Pogo 2 3 Delgado Delgado 2 4 Delgado Grueso 1 5 Luis Calle 3 6 Martíez Juez 3 7 Pérez Pérez 3 8 Ramos Ramos 2 9 Rodríguez Ruiz 3 10 Ruiz Maya 1 Sea X la variable aleatoria que asiga a cada matrimoio el úmero de hijos del matrimoio.

3 Estadística 70 El soporte de esta variable es S X {1, 2, 3} y la ley de probabilidades viee dada por : p(x 1) 0.3 p(x 2) 0.3 p(x 3) 0.4 Vamos a cosiderar ahora todas las posibles muestras de tamaõ 3 de X y la probabilidad de extraer cada ua de esas muestras: Muestra Probabilidad Muestr Probabilidad Muestra Probabilidad (1,1,1) (0.3) (3,1,1) (0.3) 2 (0.4) (3,2,3) (0.3)(0.4) (1,1,2) (0.3) 3 0, 027 (1,3,3) (0.3)(0.4) (3,3,2) (0.3)(0.4) (1,2,1) (0.3) (3,1,3) (0.3)(0.4) (3,3,3) (0.4) (2,1,1) (0.3) (3,3,1) (0.3)(0.4) (1,2,3) (0.3) 2 (0.4) (1,2,2) (0.3) (2,2,3) (0.3) 2 (0.4) (1,3,2) (0.3) 2 (0.4) (2,1,2) (0.3) (2,3,2) (0.3) 2 (0.4) (2,3,1) (0.3) 2 (0.4) (2,2,1) (0.3) (3,2,2) (0.3) 2 (0.4) (2,1,3) (0.3) 2 (0.4) (1,1,3) (0.3) 2 (0.4) (2,2,2) (0.3) (3,1,2) (0.3) 2 (0.4) (1,3,1) (0.3) 2 (0.4) (2,3,3) (0.3)(0.4) (3,2,1) (0.3) 2 (0.4) Lo que acabamos de dar es la ley de probabilidades del vector aleatorio (X 1, X 2, X 3 ), dode cada represeta el valor de X e el elemeto i-ésimo de la muestra y podemos ver que cada es tambié ua variable aleatoria co la misma distribució que X. E geeral: puesto que ua m.a.s. es u vector aleatorio, quedará defiido si coozco su soporte y su ley de probabilidades. Teiedo e cueta que las compoetes del vector so v.a. idepedietes y co la misma distribució que X, si X es discreta, p(x 1, x 2,..., x ) p(x 1 )p(x 2 )... p(x ), dode p es la fució de probabilidad de X. si X es cotiua, f(x 1, x 2,..., x ) f(x 1 )f(x 2 )... f(x ), dode f es la fució de desidad de X. (b) Muestreo estratificado: Se utiliza cuado la població o es homogéea. Se trata de respetar la heterogeeidad de la població e la muestra: proporció de hombres/mujeres, de edad/profesió,... La població se subdivide e clases o estratos homogéeos. La muestra se toma asigado u úmero de elemetos a cada estrato y escogiedo los elemetos detro de cada estrato por muestreo aleatorio simple. (c) Muestreo por coglomerados. Se utiliza cuado la població es homogéea respecto de la característica a estudiar, pero se ecuetra dividida de maera atural e grupos (por ejemplo, provicias, colegios,...). Se seleccioa alguos de los subgrupos de la població y e cada subgrupo se estudia toda la població o ua parte elegida por muestreo aleatorio simple. (d) Muestreo sistemático. Este tipo se utiliza para elemetos ordeados de algua maera (por ejemplo e listas, o e orde croológico de fabricació, etc).

4 Estadística 71 Se seleccioa u primer elemeto de la població de maera aleatoria y a partir de él se seleccioa los demás elemetos a itervalos fijos. Por la forma de selecció, e pricipio, o se puede supoer idepedecia etre las observacioes. Si el orde de los elemetos e la lista es al azar, etoces el muestreo sistemático es equivalete al muestreo aleatorio simple. Si los idividuos próximos tiede a ser más semejates que los alejados, este muestreo tiede a ser más preciso que el muestreo aleatorio simple al cubrir más homogéeamete toda la població. 7.3 Estadísticos y Estimadores. E cualquiera de los procedimietos de Iferecia descritos ateriormete, u cocepto que juega u papel importate es el de estadístico: Defiició 2 Dada ua v.a. X, y u tamaño muestral, llamaremos estadístico T a ua aplicació del cojuto de muestras aleatorias simples de la població e IR k, U estadístico es, por tato, u vector aleatorio, cuya distribució depede de la del vector aleatorio (X 1,..., X ), y por tato de la de la v.a. X. Ejemplo 3: Co los mismos datos que e el ejemplo 2, podemos cosiderar los siguietes estadístico, defiidos sobre el cojuto de muestras de tamaõ 3 de la variable X: T 1 (X 1, X 2, X 3 ) máx{x 1, X 2, X 3 } Este estadístico es ua variable aleatoria cuyo soporte es S T1 {1, 2, 3} y su ley de probabilidades viee dada por: p(t 1 1) p(muestras de tamaõ 3 para las que máx{x 1, X 2, X 3 } 1) p((1, 1, 1)) p(t 1 2) p(muestras de tamaõ 3 para las que máx{x 1, X 2, X 3 } 2) p((2, 1, 1) (1, 2, 1) (1, 1, 2) (2, 2, 1) (2, 1, 2) (1, 2, 2) (2, 2, 2)) 7(0.027) p(t 1 3) p(muestras de tamaõ 3 para las que máx{x 1, X 2, X 3 } 3) 12(0.036) + 6(0.048) T 2 (X 1, X 2, X 3 ) Med{X 1, X 2, X 3 } Este estadístico es ua variable aleatoria cuyo soporte es S T2 {1, 2, 3} y su ley de probabilidades viee dada por: p(t 2 1) p(muestras de tamaõ 3 para las que Med{X 1, X 2, X 3 } 1) p((1, 1, 1) (1, 1, 2) (2, 1, 1) (1, 2, 1) (1, 1, 3) (1, 3, 1) (3, 1, 1)) 4(0.027) + 3(0.036) p(t 2 2) p(muestras de tamaõ 3 para las que Med{X 1, X 2, X 3 } 2)

5 Estadística 72 4(0.027) + 9(0.036) p(t 2 3) p(muestras de tamaõ 3 para las que Med{X 1, X 2, X 3 } 3) 6(0.048) T 3 (X 1, X 2, X 3 ) X 1+X 2 +X 3 3 Este estadístico es ua variable aleatoria cuyo soporte es S T1 probabilidades viee dada por: p(t 3 1) p((1, 1, 1)) p(t ) 3(0.027) p(t ) 3(0.027) + 3(0.036) p(t 3 2) (0.036) p(t ) 3(0.036) + 3(0.048) p(t ) 3(0.048) p(t 3 3) {1, 4 3, 5 3, 2, 7 3, 8 3, 3} y su ley de Defiició 3 (a) Cuado el objetivo es estimar u parámetro θ, llamaremos espacio paramétrico al cojuto de todos los posibles valores de θ y lo deotaremos por Θ. Se llama estimador a u estadístico ˆθ que se utiliza para estimar el valor de u parámetro θ y cuyo cojuto de llegada coicide co el espacio paramétrico; (b) Se llama estimació al valor del estimador para ua muestra cocreta. Ejemplo 4: El espacio paramétrico del parámetro p de ua variable aleatoria B(p) es el itervalo [0,1]. El espacio paramétrico del parámetro pλ de ua variable aleatoria P(λ) es (0, ). El espacio paramétrico del parámetro µ de ua variable aleatoria N (µ, σ) es IR. Ejemplo 5: La aplicació que a cada muestra aleatoria de tamaño de la variable X, (X 1,..., X ) le asiga el valor X es u estadístico; si este estadístico se utiliza para estimar la media poblacioal, diremos que es u estimador. Si (x 1,..., x ) es ua muestra cocreta de la variable, el valor x será ua estimació de la media poblacioal. x i Igualmete, la aplicació que a cada muestra aleatoria de tamaño de la variable X, (X 1,..., X ) le asiga el valor Med(X) mediaa{(x 1,..., X )} es u estadístico; si este estadístico se utiliza para estimar la media poblacioal, diremos que es u estimador. Si (x 1,..., x ) es ua muestra cocreta de la variable, el valor Med{x 1,..., x } será ua estimació de la media poblacioal.

6 Estadística Propiedades deseables e u bue estimador. Para u mismo parámetro se puede elegir varios estimadores (por ejemplo, para estimar la media de la població puede cosiderarse la media muestral, la mediaa muestral, la moda, etc). Se platea el problema de elegir el estimador más adecuado etre varios posibles. Vamos a explicar alguas de las propiedades que sería deseable que u estimador tuviese. (a) Cetrado o isesgado: Si ˆθ es u estimador del parámetro θ, se dice que es cetrado si E(ˆθ) θ. E otro caso se dice que es sesgado y se defie el sesgo de ˆθ como: Ejemplo 6: sesgo(ˆθ) E(ˆθ) θ. La media muestral es u estimador isesgado de la media de la població, µ. Sea X la variable aleatoria correspodiete a la característica de la població y (X 1, X 2,..., X ) ua m.a.s. de X; sea X. Etoces: E( X) E ( ) E ( ) Xi E( ) (aquí se aplica que la media de ua suma de v.a. es la suma de sus medias y que la media de ua costate por ua v.a. es la costate por la media de la variable). Como las variables so igualmete distribuidas que la variable X, tedrá tambié su misma media, µ; por tato, E( X) E( ) µ µ. La variaza muestral es u estimador sesgado de la variaza de la població, σ 2. Sea X la variable aleatoria correspodiete a la característica de la població y (X 1, X 2,..., X ) ua m.a.s. de X; sea s 2 ( X) 2. Etoces: E(s 2 ) E ( ( X) 2 ) ( ( µ + µ E X) 2 ) ( ( µ) 2 + (µ E X) 2 + 2( µ)(µ X) ) ( ( µ) 2 (µ E + X) 2 ) + 2(µ X) ( µ) ( ( µ) 2 ) ( (µ E + E X) 2 ) + 2E((µ X)( X µ))

7 Estadística 74 E( µ) 2 E(µ + X) 2 2E(( X µ) 2 ) 1 σ 2 + E(µ X) 2 2E(( X µ) 2 ) 2 σ 2 σ2 1 σ2. Hemos obteido que E(s 2 ) σ 2 1. Se deduce fácilmete que E(ŝ2 ) σ 2, dode ŝ 2 ( X) 2 1, y por tato, este sí es u estimador cetrado de σ 2. (b) Variaza míima: Se defie estimador isesgado de míima variaza como aquel estimador del parámetro que etre todos los isesgados, es el de meor variaza. (Dicho estimador o existe siempre). Observació 1 La importacia de esta propiedad se comprede a partir del teorema de Chebychev, que afirmaba ( que ) para ua variable aleatoria ˆθ, e el itervalo ( E(ˆθ) ) ± kσ(ˆθ) se cocetra al meos el % de la probabilidad, es decir, que el % de las veces que k 2 k 2 obtega de forma aleatoria u valor de la variable, ese valor estará e dicho itervalo. Por tato, si ˆθ ( ) es u estimador del parámetro θ, al meos para el % de las muestras, el estimador ˆθ tomará k 2 ( u ) valor e E(ˆθ) ± kσ(ˆθ). Si el estimador es cetrado, eso sigifica que para al meos el % de las muestras el error cometido al estimar θ por medio k 2 de ˆθ será meor que kσ(ˆθ) y se deduce que este error es meor cuato meor sea σ 2 (ˆθ). E ocasioes, los estimadores que se utiliza o so cetrados. E ese caso, la propiedad equivalete a ser de variaza míima es teer error cuadrático medio míimo: Defiició 4 Se defie el error cuadrático medio (ECM) de u estimador ˆθ como: ECM(ˆθ) E(ˆθ θ) 2. Proposició 1 Se verifica que: ECM(ˆθ) (sesgo(ˆθ)) 2 + V ar(ˆθ). Demostració ECM(ˆθ) E(ˆθ θ) 2 E(ˆθ E(ˆθ) + E(ˆθ) θ) 2 E((ˆθ E(ˆθ)) 2 + (E(ˆθ) θ) 2 + 2(ˆθ E(ˆθ))(E(ˆθ) θ)) E(ˆθ E(ˆθ)) 2 + E(E(ˆθ) θ) 2 + E(2(ˆθ E(ˆθ))(E(ˆθ) θ)) V ar(ˆθ) + (E(ˆθ) θ) 2 + 2(E(ˆθ) θ)e(ˆθ E(ˆθ)) 3 V ar(ˆθ) + (sesgo(ˆθ)) 2. 1 E( µ) 2 V ar() σ 2, por teer las variables ( la misma distribució que X. 2 E(µ X) 2 E( X µ) 2 V ar( X) ) X V ar i 1 V ar( X i) 1 V ar(x 2 i) σ2 2 2 X 1,..., X so idepedietes, por ser ua m.a.s.. 3 Obsérvese que E(ˆθ E(ˆθ)) 0. σ2, ya que las variables

8 Estadística 75 E el resultado aterior, puede verse que si el estimador es cetrado, el ECM coicide co la variaza del estimador. (c) Cosistecia: Los estimadores, e geeral depede del tamaño de la muestra (por ejemplo, X e realidad debería escribirse como X ). Por tato, e geeral, para cada vamos a teer u estimador ˆθ ; se dice etoces que {ˆθ } 1 es ua sucesió de estimadores cosistetes si cumple las dos codicioes siguietes: i. lim E(ˆθ ) θ. ii. lim V ar(ˆθ ) 0. Esta propiedad os asegura que auque u estimador o sea isesgado y co variaza pequeña, basta aumetar el tamaño de la muestra para poder dismiuir el ECM, y e este setido, los estimadores co esta propiedad puede ser estimadores razoables del parámetro. Ejemplo 7: i. La media muestral es u estimador cosistete de la media poblacioal. E efecto, ateriormete hemos probado que para cualquier tamaño muestral, la media muestral es cetrada y que V ar( X ) σ2. Por tato, se cumple las dos propiedades de la defiició de cosistecia. ii. El estimador ˆθ es u estimador cosistete de la media poblacioal. E efecto, ˆθ E(ˆθ ) V ar(ˆθ ) 1 ( 1) X. Por tato: ( 1) E( X) 2 V ar( X) ( 1) 2 ( 1) µ µ si. 7.5 Métodos para la obteció de estimadores. (a) Método de los mometos: 2 σ 2 ( 1) 2 σ ( 1) 2 0 si. 2 Este método cosiste e igualar los mometos muestrales respecto del orige, a k, a los correspodietes mometos poblacioales α k ( que está relacioados co los parámetros de la distribució). Recordemos que si X es ua v.a., el mometo de orde k (k 1) respecto del orige, α k, se defie como: α k x k i p(x i), si X es discreta, co S X {x 1,..., x,...}. α k xk f(x) dx, si X es cotiua, co fució de desidad f(x). Método: Si el úmero de parámetros que hay que estimar es k, dada ua m.a.s. de tamaño, (X 1,..., X ), se platea el siguiete sistema de ecuacioes (que e geeral o es lieal):

9 Estadística 76 α 1 α 2. α k... ( ) 2 ( ) k hasta obteer k ecuacioes que ivolucre a los parámetros. De este sistema se despeja los parámetros y las expresioes obteidas para éstos, e fució de los valores de la muestra, será los estimadores por el método de los mometos. Observació 2 Geeralmete, los parámetros de los que depede la distribució de ua v.a. suele ser la media poblacioal, o la variaza o algú valor relacioado co estos; puede verse fácilmete que estas medidas está relacioadas co los mometos respecto del orige. ejemplo, α 1 µ α 2 σ 2 + µ 2. Observació 3 Los estadísticos así obteidos puede o ser estimadores, es decir, podemos obteer solucioes que quede fuera del espacio paramétrico. Ejemplo 8: Estimador por el método de los mometos de la media poblacioal. Puesto que hay que estimar u úico parámetro, platearemos ua úica ecuació: α 1 Como α 1 µ, sustituyedo e la ecuació se obtiee: y por tato el estimador será: ˆµ. Estimador por el método de los mometos de la media y la variaza poblacioales. µ E este caso hay que estimar dos parámetros, luego habrá que platear dos ecuacioes: α 1 α 2 Teiedo e cueta la relació idicada e la observació 2 aterior, este sistema es equivalete a: µ σ 2 + µ 2 ( ) 2 ( ) 2 Por

10 Estadística 77 Despejado µ y σ 2 se obtiee las siguietes expresioes: { µ σ 2 ( X) 2 Por tato los correspodietes estimadores por el método de los mometos so: (b) Método de máxima verosimilitud: { ˆµ X ˆσ 2 s 2. El método de máxima verosimilitud se basa e la búsqueda de aquel valor del parámetro que hace más probable obteer la muestra que precisamete se ha obteido. Vamos a desarrollar esta idea co u ejemplo y después expodremos de forma teórica el método. Ejemplo 9: Supogamos que X es ua v.a. co distribució de Berouilli de parámetro p y que (x 1,..., x ) so los valores (cocretos) de ua muestra aleatoria de tamaño, (X 1,..., X ). Si p 1, parece lógico pesar que e esta muestra casi todos los valores x i sea 1, mietras que si p 0, será más probable que los elemetos sea casi todos ulos. Si p 1/2, etoces esperaríamos que aproximadamete hubiese igual úmero de 0 que de 1. Si embargo, o coocemos p pero si los valores que hemos obteido e la muestra, x 1,..., x. Ya hemos visto que la proporció de 0 y 1 e la muestra es más probable co uos valores de p que co otros y la preguta que os vamos a formular es cuál es el valor de p [0, 1] que hace que la probabilidad de obteer precisamete esta muestra sea máxima?. La probabilidad de obteer esta muestra es: p(x 1, x 2,..., x ) p(x 1 )... p(x ) p k (1 p) k, dode k es el úmero de 1 e la muestra, es decir, k x i. El problema de ecotrar el valor de p [0, 1] que hace máxima esta probabilidad es u problema de extremos absolutos e [0, 1]. Si llamamos l(p) p k (1 p) k ( k 0), derivado e (0, 1) e igualado a 0: l (p) kp k 1 (1 p) k p k ( k)(1 p) k 1 p k 1 (1 p) k 1 [k(1 p) ( k)p] p k 1 (1 p) k 1 [k p] El puto crítico que se obtiee es: p k x i. Calculado l (p) y substituyedo, se obtiee que éste es u puto de máximo relativo. Como l(0) l(1) 0, se cocluye que tambié es u máximo absoluto, pues la fució es cotiua y o tiee más extremos relativos e (0, 1). De esta forma hemos obteido u estimador de p, ˆp x i. A este estimador se le deomia estimador máximo verosímil (EMV) de p (se observa que coicide co la media muestral X).

11 Estadística 78 Vamos a describir ahora teóricamete el método: Método: Sea X ua v.a. cuya distribució depede de u cojuto de parámetros θ 1, θ 2,..., θ k, descoocidos y cuyo valor queremos estimar. Sea (X 1,..., X ) ua m.a.s. de X. Deotaremos por θ (θ 1, θ 2,..., θ k ). Defiició 5 Se deomia fució de verosimilitud para la muestra (x 1,..., x ) a la fució, defiida sobre el cojuto de posibles valores del parámetro θ, dada por: { l( θ) p θ (x 1, x 2,..., x ) p θ (x 1 )... p θ (x ) si X es discreta f θ (x 1, x 2,..., x ) f θ (x 1 )... f θ (x ) si X es cotiua Defiició 6 El estimador máximo verosímil de θ para la muestra (x 1,..., x ) es el valor del vector θ para el cuál la fució de verosimilitud alcaza el máximo absoluto. Método: - Formar la fució de verosimilitud para ua muestra arbitraria de tamaño. - Resolver el correspodiete problema de máximos absolutos e el domiio de los parámetros. - Defiir como EMV las expresioes obteidas al determiar el máximo absoluto. Observació 4 El método de máxima verosimilitud platea varias dificultades e la práctica: - No siempre existe el máximo absoluto para la fució de verosimilitud. - Aú cuado éste exista, para determiarlo es ecesario resolver u problema de extremos absolutos restrigidos a u domiio de IR, problema que o siempre es fácil de resolver. E muchas ocasioes, e lugar de maximizar la fució de verosimilitud es más fácil maximizar la fució L(θ) l (l (θ)), llamada fució soporte. Si la fució l(θ) es estrictamete positiva e el domiio de θ, etoces los máximos de ua y otra fució se correspode y por tato maximizar ua es equivalete a obteer los máximos de la otra. (U ejemplo es la determiació del EMV de µ y σ para ua v.a. co distribució ormal). Proposició ) 2 (Teorema de ivariaza) Si ˆθ es el E.M.V. de θ y g es ua fució de θ, etoces g (ˆθ es el E.M.V. de g (θ).

12 Estadística 79 ESTADÍSTICA Hoja 7 1. Obteer u estimador isesgado para p e ua m.a.s. de tamaño de ua distribució biomial B(m,p) co m coocido y calcular su error cuadrático medio. Es cosistete?. 2. Para estimar la media de ua població se cosidera el estimador a X. Ecotrar el valor de a que miimice el error cuadrático medio. 3. Los defectos e ua placa fotográfica sigue ua distribució de Poisso. (a) Ecotrar u estimador cetrado para λ, idicado la variaza del estimador. (b) Se estudia 7 placas, ecotrado: 3, 5, 2, 1, 2, 3, 4 defectos. Dar la estimació máximo verosímil de λ y de la logitud media etre defectos. 4. Calcular el valor de k para el cuál ˆθ k X es u estimador isesgado del parámetro θ de la v.a. X que sigue ua distribució uiforme e el itervalo (0, θ). 5. Calcular por el método de los mometos u estimador de θ e el supuesto de que X sea ua variable aleatoria co fució de desidad: 0 x θ f(x) 3θ x 4 x > θ 6. Calcular por el método de los mometos estimadores de a y de b e ua distribució uiforme e el itervalo [a,b]. 7. El coseo X del águlo co el que se emite los electroes e u proceso radiactivo es ua variable aleatoria co fució de desidad: 1 + θx 1 x 1 2 f θ (x) 0 e otro caso ( 1 θ 1) Cosideremos ua muestra aleatoria simple (X 1, X 2,..., X ) de esta variable. (a) Obteer el estimador de θ por el método de los mometos. (b) Calcular la variaza de este estimador y demostrar que es cosistete.

13 Estadística E ua gra piscifactoría hay ua proporció descoocida de peces de ua especie A. Para obteer iformació sobre esa proporció vamos a ir sacado peces al azar. (a) Si la proporció de peces de la especie A es p, cuál es la probabilidad de que el primer pez de la especie A sea el décimo que extraemos?. (b) Tres persoas realiza, idepedietemete uas de otras, el proceso de sacar peces al azar hasta ecotrarse co el primero de tipo A: La 1 a persoa obtiee el primer pez de tipo A e la décima extracció. La 2 a persoa obtiee el primer pez de tipo A e la décimoquita extracció. La 3 a persoa obtiee el primer pez de tipo A e la décimoctava extracció. Escribir la fució de verosimilitud y obteer la estimació de máxima verosimilitud de p. 9. Hallar el E.M.V. para ua m.a.s. de tamaño e ua v.a. de Berouilli de parámetro p. 10. Hallar el E.M.V. de (µ, σ) para ua m.a.s. de tamaño e ua v.a. N(µ, σ). 11. Sea X ua v.a. co distribució uiforme e el itervalo [θ 1, θ + 1]. Se ha observado la siguiete muestra: 2.522, 2.614, 1.160, 1.627, 1.410, 2.612, 1.636, 2.945, 2.952, Hallar la estimació máximo verosímil de θ. 12. Sea X u v.a. U (0, θ). Sea X 1, X 2,..., X ua m.a.s. de X. (a) Demostrar que X () máx (X 1, X 2,..., X ) es el E.M.V. de θ. Es isesgado?. Calcular su E.C.M. Es cosistete?. (b) Dar u estimador T 1 isesgado de θ. Es cosistete?. (c) Sea T 2 ( + 2)X () /( + 1). Es isesgado?. Es cosistete?. (d) Qué estimador es preferible etre T 1 y T 2?. (e) Se ha observado la siguiete muestra: 3.872, 2.758, 2.096, 2.494, 0.917, 0.801, Hallar la estimació de θ. 13. La fució de desidad de ua v.a. X es f (x, θ) (θ + 1) x θ si 0 < x < 1. (a) Hallar u estimador de θ mediate el método de los mometos. (b) Hallar el E.M.V. de θ. 14. Calcular por el método de los mometos u estimador de θ e el supuesto de que X sea ua variable aleatoria U ( θ, θ). 15. Sea X ua v.a. co distribució geométrica de parámetro p. Obteer u estimador de p por el método de los mometos y el E.M.V Sea (X 1, X 2,..., X ) ua m.a.s. de ua v.a. co fució de desidad f θ (x) θ(1 x) θ 1 ; 0 x 1, θ > 0. Ecotrar el estimador máximo verosímil para el paramétro θ.

14 Estadística Dada ua muestra aleatoria simple (X 1, X 2,..., X ) procedete de ua població X co fució de desidad x f(x) θ e x 2 2θ si x 0 0 si x < 0. Calcular por el método de máxima verosimilitud u estimador para θ. 18. Sea X u variable aleatoria co media µ y variaza σ 2. Dadas dos muestras aleatorias idepedietes de tamaño 1 y 2, co medias muestrales X 1 y X 2, demuestre que X a X 1 + (1 a) X 2, 0 < a < 1 es u estimador isesgado para µ. Si X1 y X 2, so idepedietes, ecuetre el valor de a que miimiza la desviació estádar de X. Es cosistete el estimador, para dicho valor de a?. 19. Supó que T 1, T 2 y T 3 so estimadores de θ. Se sabe que E θ (T 1 ) E θ (T 2 ) θ, E θ (T 3 ) θ + 2, V ar θ (T 1 ) 12, V ar θ (T 2 ) 10 y V ar θ ((T 3 θ) 2 ) 13. Compara estos tres estimadores desde el puto de vista del sesgo y la variaza. Cuál prefieres? Por qué? 20. Sea X 1, X 2,..., X 7 ua m.a.s. de ua població que tiee media µ y variaza σ 2. Se cosidera dos estimadores de µ: ˆθ 1 X 1 + X X 7 7 (a) Estos estimadores so isesgados? (b) Calcular la variaza de cada uo. (c) Cuál cosideras mejor estimador de µ? Por qué? ˆθ 2 2X 1 X 6 + X 4 2

15 Estadística Ciertas piezas tiee ua duració míima θ > 0 y ua duració extra aleatoria que sigue ua distribució expoecial de parámetro 1 de maera que el tiempo de vida de la població de piezas es ua variable aleatoria X co desidad: f(x, θ) { e θ x si x > θ 0 si x θ Se extrae ua muestra aleatoria simple de tamaño de X. (a) Obté el estimador máximo verosímil T 1 de θ. (b) Calcula el estimador T 2 de θ por el método de los mometos. Nota: Puede ser útil el hecho de que X θ + Y co Y E(1). (c) Es T 2 u estimador isesgado de θ? Y cosistete para θ? (d) Sabiedo que E(T 1 ) θ + 1 y V ar(t 1) 1 2 Qué estimador es preferible para θ? Por qué? (e) U igeiero proporcioa ua estimació de θ a partir de T 1 y de ua muestra de tamaño 30. Qué tamaño muestral sería ecesario para coseguir co T 2 ua estimació preferible a la obteida por el igeiero? 22. Sea X 1, X 2,..., X ua muestra aleatoria de tamaño. (a) Demuestre que X 2 es u estimador sesgado de µ 2. Nota: Recordar que V ar(x) E(X 2 ) (E(X)) 2 (b) Determie la magitud del sesgo e este estimador. (c) Qué sucede co el sesgo a medida que aumeta el tamaño de la muestra? 23. E u experimeto de Berouilli se observa los valores x 1, x 2,..., x e esayos idepedietes. Se propoe los siguietes estadìsticos como estimadores del parámetro p: T 1 1 x 1 T 2 1 ( ) 1 + x (a) So estimadores isesgados de p? (b) So estimadores cosistetes? 24. Sea T ua v.a. co distribució expoecial de parámetro λ, que represeta el tiempo de vida de ua compoete. (a) Demostrar que la probabilidad de dejar de fucioar ates del tiempo medio de vida o depede del parámetro λ. (b) Hallar el E.M.V. de la media de la població a partir de ua m.a.s. de tamaño.

16 Estadística El porcetaje X de ua compoete e u producto tiee ua fució de desidad f(x) 2 θ 2 (θ x) si 0 < x < θ, y cero e otro caso. (a) Dada ua muestra aleatoria simple de tamaño calcular el estimador de θ por el método de los mometos y aalizar su cosistecia. (b) Supoiedo que el tamaño muestral es uo, calcular el estimador máximo verosímil de θ. (c) Particulariza el estimador obteido e el apartado (a) al caso 1 y compáralo co el obteido e el apartado (b). 26. La variable X represeta los precios de alquiler de los apartametos de ua zoa turística. La fució de desidad de X es: f(x, θ) { 1 θ e x/θ x > 0 0 x 0 Se elige ua muesta aleatoria simple X 1, X 2,..., X ( 2) de precios y se cosidera los estimadores de θ: ˆθ 1 X 1 + X X 1 1 (a) Estudia la cosistecia de ˆθ 1 y ˆθ 2. (b) Cuál de los dos estimadores es preferible? ˆθ 2 X 1 + X X + 1