Análisis estadístico de datos simulados Estimadores puntuales

Transcripción

1 Aálisis estadístico de datos simulados Estimadores putuales Georgia Flesia FaMAF 5 de mayo, 2015

2 Aálisis estadístico Modelizació estadística: Elegir ua distribució e base a los datos observados. Estimar los parámetros de la distribució (EMV). Pruebas de bodad de ajuste. Estimació de parámetros Estimador putual. Variaza del estimador. Var(ˆθ). Error cuadrático medio del estimador. E[(ˆθ θ) 2 ]. Estimadores por itervalo e itervalos de cofiaza.

3 Estimació de parámetros Dada ua muestra de datos observados, se llama estimador ˆθ del parámetro θ a cualquier fució de los datos observados. Propiedades de u bue estimador putual Isesgabilidad: se dice que el estimador es isesgado si E[ˆθ] = θ. Cosistecia: si al aumetar la muestra, el estimador se aproxima al parámetro. Eficiecia: se calcula comparado su variaza co la de otro estimador. Suficiecia: utiliza toda la iformació obteida de la muestra.

4 Media muestral Dadas observacioes: X 1, X 2,..., X, co ua misma distribució, la media muestral se defie por X() = X 1 + X X. La media muestral se utiliza como u estimador de la media θ, es decir, de θ = E[X i ], si la media es fiita. Estimador isesgado. E[X()] = E [ X i ] = E[X i ] = θ = θ.

5 Media muestral Dadas observacioes: X 1, X 2,..., X, co ua misma distribució co media fiita θ, Estimador cosistete. X() = X 1 + X X. lim [X()] = θ. por la ley de los grades úmeros.

6 Media muestral Dadas observacioes: X 1, X 2,..., X, co ua misma distribució co media fiita y variaza fiita X() = X 1 + X X. Z = (X() θ)/σ. Estimador asitóticamete ormal. por el teorema cetral del límite. lim [F Z ()(x)] = Φ(x).

7 Métodos de estimació mas comues Estimador de máxima verosimilitud Estimador de mometos

8 Estimador de máxima verosimilitud Si la distribució supuesta es discreta para los datos observados, y se descooce u parámetro θ. Sea p θ (x) la probabilidad de masa para dicha distribució. Dado que se ha observado datos X 1, X 2,..., X, se defie la fució de máxima verosimilitud L(θ) como sigue: L(θ) = p θ (X 1 ) p θ (X 2 ) p θ (X ). El estimador de máxima verosimilitud es el valor ˆθ que maximiza L(θ): L(ˆθ) L(θ), θ valor posible.

9 Estimador de máxima verosimilitud Si la distribució supuesta es cotiua, y f θ (x) es la desidad para dicha distribució. Dado que se ha observado datos X 1, X 2,..., X, se defie la fució de máxima verosimilitud L(θ) como sigue: L(θ) = f θ (X 1 ) f θ (X 2 ) f θ (X ). El estimador de máxima verosimilitud es el valor ˆθ que maximiza L(θ): L(ˆθ) L(θ), θ valor posible.

10 Estimador de máxima verosimilitud El estimador de máxima verosimilitud tiee, e geeral, las siguietes propiedades: 1. Es úico: L(ˆθ) > L(θ) para cualquier otro valor de θ. 2. La distribució asitótica de ˆθ tiee media θ. 3. Es ivariate: φ = h(θ), etoces ˆφ = h(ˆθ). 4. La distribució asitótica es la ormal. 5. Es fuertemete cosistete: lim ˆθ = θ.

11 Distribució expoecial Ejemplo Para la distribució expoecial, θ = 1/λ (λ > 0) y f λ (x) = λe xλ para x 0. L(λ) = ( λe X 1λ ) ( λe X 2λ ) (λe Xλ) ( ) = λ exp λ X i

12 Distribució expoecial ( l(l(λ)) = l(λ exp λ X i )) = l(λ) λ d dλ l(l(λ)) = λ = 0 X i X i 1 ˆλ = 1 X = 1 i X() = 1 Media muestral. ˆθ = 1ˆλ = 1 X i = X() = Media muestral.

13 Distribució geométrica Ejemplo Para la distribució geométrica, θ = p y p p (x) = p(1 p) x 1 para x = 1, 2,.... L(p) = p(1 p) X p(1 p) X 1 = p (1 p) (X i 1) = p (1 p) X i (1 p) = ( p 1 p ) (1 p) X i p l(l(p)) = l( 1 p ) + l(1 p) X i = l(p) l(1 p) + l(1 p) X i

14 Distribució geométrica d dp l(l(p)) = d dp [ l(p) + l(1 p)[ X i ]] = p 1 1 p ( X i ) = 0 p = 1 1 p ( X i ) 1 p = p( 1 Xi 1) 1 = p + p( 1 Xi ) p ˆp = ( 1 ) 1 Xi

15 Estimadores de máxima verosimilitud: Distribucioes cotiuas: Uiforme: â = mi{x i }, ˆb = max{x i }. Expoecial: ˆθ = X(). Gamma, Weibull: ˆα y ˆβ se resuelve uméricamete. Normal: [ ] [ 1/2 1 1 ˆµ = X(), ˆσ = S2 () = Logormal: ] 1/2 (X i X) 2. ˆµ = log(x [ i), ˆσ = (log(x i) ˆµ) 2 ] 1/2.

16 Estimadores de máxima verosimilitud Distribucioes discretas: Biomial (t, p): si t es coocido, ˆp = X()/t. Beroulli: Caso biomial co t = 1 e igual p. Geométrica: ˆp = 1 X(). Biomial egativa (s, p): úmero de esayos hasta el s-ésimo éxito. Si s es coocido: ˆp = Poisso: ˆλ = X(). s X().

17 Error cuadrático medio ˆθ: estimador del parámetro θ de ua distribució F Se defie el error cuadrático medio (ECM) de ˆθ co respecto al parámetro θ como ECM(ˆθ, θ) = E[(ˆθ θ) 2 ]. E[(ˆθ θ) 2 ] = E[(ˆθ E[ˆθ] + E[ˆθ] θ) 2 ] = E[(ˆθ E[ˆθ]) 2 ] + (E[ˆθ] θ) 2 = Var(ˆθ) + (E(ˆθ) θ) 2 El error cuadrático medio de u estimador es igual a su variaza más el sesgo al cuadrado. Si el estimador es isesgado, su ECM es igual a la variaza.

18 ECM de la media muestral respecto de la media Muestra de X: X 1, X 2,..., X, E[X i ] = θ ECM(X(), θ) = E[(X() θ) 2 ] = Var(X()) = 1 2 Var(X i ) = σ2 La media muestral es u bue estimador de E[X] si σ/ es pequeño. El ECM depede de la distribució de X i y del tamaño de la muestra. Teorema cetral del límite. Si Z N(0, 1) y es grade: ( ) X() θ P σ/ > c P{ Z > c}.

19 Variaza muestral El idicador σ2 como estimació del error e la media muestral, tiee el icoveiete que σ es e geeral descoocida. Para estimar la variaza se utiliza el estimador S 2 () = (X i X()) 2. 1 Estimador isesgado de la variaza Fórmula a utilizar: E [ S 2 () ] = Var(X) (X i X()) 2 = X 2 i X 2 ()

20 Variaza muestral E[X 2 i ] = Var(X i ) + (E[X i ]) 2 = σ 2 + θ 2. E[X 2 ()] = σ2 + θ2. ( 1)E[S 2 ()] = E[X1 2 ] E[X 2 ()] = (σ 2 + θ 2 ) ( σ2 + θ2 ) E[S 2 ()] = σ 2 Utilizaremos S() = S 2 () como estimador de la desviació estádar. Error del estimador X(): σ 2 /. Simulació de datos: Si el objetivo es estimar la media, para dismiuir el error debe geerarse muestras de tamaño, grade.

21 Media muestral Elegir u valor aceptable d para la desviació estádar del estimador. Geerar () datos hasta que σ/ < d. (S/ < d) Coviee geerar al meos 100 datos para: asegurar ormalidad de la distribució de X(). para dismiuir la variaza de S. La estimació de θ estará dada por el último valor de X(). El algoritmo implica calcular e cada paso X() y S(). Es posible calcularlo recursivamete.

22 Media muestral Cálculo recursivo de X() y S 2 () X(1) = X 1, S 2 (1) = 0. X(j + 1) = X(j) + X j+1 X(j) j + 1 ( S 2 (j + 1) = 1 1 ) S 2 (j) + (j + 1)(X(j + 1) X(j)) 2 j

23 Estimació de ua proporció El estimador X() puede utilizarse tambié para estimar la proporció de casos e ua població. { 1 probabilidad p X i = 0 probabilidad 1 p. X() es u estimador isesgado de p. E[(X() p) 2 p(1 p) ] = Var(X()) = E este caso, se estima la variaza del estimador X() por: X()(1 X()).

24 Algoritmo: Cálculo de E[X] Algorithm 1: Estimació de la media M de X co error d Geerar X, M X M = X(1) = X 1 ; S 2 0 S 2 = S 2 (1) = 0; for 2 j J 0 do Geerar X; A M; M M + (X M)/j; S 2 (1 1/(j 1))S 2 + j(m A) 2 ed j J 0 ; while S 2 /j > d do j j + 1; Geerar X; A M; M M + (X M)/j; S 2 (1 1/(j 1))S 2 + j(m A) 2 ed retur M

25 Algoritmo: Cálculo de ua probabilidad Algorithm 2: Estimació de la probabilidad p de X co error d Geerar X X es 0 o 1; p X; for 1 < j 100 do Geerar X; p p + (X p)/j ed j 100; while p(1 p)/j > d do j j + 1; Geerar X; p p + (X p)/j; ed retur p