Estadística Inferencial

Transcripción

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2 Estadística Iferecial

3 El presete documeto es ua guía para el curso de iferecia estadística impartido e el Istituto Nacioal de Estadística Geografía e Iformática (INEGI), e el edificio de capacitació; y o tiee más que esa fialidad. La secció de ejercicios será presetada por el istructor de acuerdo a su preferecia, además de agregar los temas que él cosidere pertietes. La parte iicial es ua ubicació teórica que preseta alguos de los coceptos más importates y resultados que será utilizados e la parte formal. E igú mometo deberá seguirse al pie de la letra la secuecia de exposició, el istructor tomará la secuecia que cosidere trascedetal e su impartició. La seguda parte es todo el curso que se debe impartir, y se toca los temas pero desde u puto de vista más iformal, y el tema de estimació ya ada más se revisa e su formalidad detallada e la primera parte. La razó de la estructura de este documeto es que ormalmete la persoa que lo elaboró, imparte la parte teórica para geeralizar el objetivo y la ubicació de la iferecia estadística y resultados importates que será formalmete utilizados por aquellos iteresados e la formulació estadística- matemática. Eresto Cervates López, INEGI 3

4 4 Estadística Iferecial PARTE UNO El objetivo de la estadística es hacer iferecia co respecto a la població basádose e la iformació coteida e ua muestra. Las poblacioes se describe mediate medidas uméricas deomiadas parámetros y el objetivo de la mayoría de las ivestigacioes estadísticas es hacer iferecia co respecto a uo o más parámetros de la població. El proceso de obteer u resultado observado de u feómeo físico es deomiado u experimeto. Supoga que el resultado de u experimeto es ua variable aleatoria x, y f ( x, θ ) represeta la fució de desidad la cual refleja la distribució de las medidas de los idividuos e la població. Auque el experimeto o permite especificar completamete a f ( x, θ ), y esto es posible si se puede asumir que f ( x, θ ) es u miembro de algua familia coocida de distribució y que θ es u parámetro o coocido tal como la media o la variaza de la població. El objetivo de la estimació putual es asigar u valor apropiado a θ basado sobre las observacioes de la població, es decir, se asume que u cojuto de variables idepedietes x, x,..., x cada ua co f ( x, θ ) observada de u cojuto de datos x, x,..., x el cual puede represetarse como f ( x, x,..., x : θ ) = f ( x, θ ) f ( x, θ )... f ( x, θ Se asume que la distribució de la població de iterés puede ser represetada por u miembro de algua familia especifica coocida f ( x, θ ), idexada por el parámetro θ. E alguos casos el parámetro puede ser u vector y se deota por Θ. Se deotara por Ω como el espacio paramétrico que deota el cojuto de todos los posibles valores que el parámetro θ puede asumir. Si Θ es u vector etoces Ω será u subcojuto del espacio euclidiao de la misma dimesió y la )

5 dimesió de Ω va a correspoder al úmero de parámetros reales o coocidos. Se asume que x, x,..., x es ua muestra aleatoria de f ( x, θ ) y que τ (θ ) es ua fució de θ. Defiició U estadístico T = ι( x, x... x ) que es usada para estimar el valor de τ (θ ) es deomiado u estimador de τ (θ ) y u valor observado de el estadístico t = ι( x, x,..., x ) es deomiado ua estimació de τ (θ ). Equivaletemete se puede abusar y decir que u estimador es ua regla que establece cómo calcular ua estimació basada e las medicioes coteidas e ua muestra. Es posible obteer varios estimadores (reglas para la estimació) diferetes para u mismo parámetro poblacioal. Esto os lleva a tratar de defiir cuales so bueos o malos e la aproximació. Para ello debemos recordar alguos coceptos teóricos que se utilizara. Defiició. Sea g Y, Y,..., Y ) ua fució de las variables aleatorias ( Y Y, Y,..., que tiee ua fució de probabilidad p y, y,..., y ). Etoces el valor esperado de g Y, Y,..., Y ) es ( ( E( g( Y, Y,..., Y )) =... g( y, y,..., y ) p( y, y,..., y ) y y y y Si Y, Y,..., Y so variables aleatorias cotiuas co la fució de desidad cojuta f y, y,..., y ) etoces E( g( Y (, Y,..., Y )) =... g( y, y,..., y ) f ( y, y,..., y ) dydy... y y y y dy dy 5

6 Teorema Sea c ua costate etoces E ( c) = c Teorema Sea g ( Y, Y ) ua fució de las variables aleatorias Y,Y, y sea c ua costate. Etoces E cg( Y, Y )) = ce( g( Y, )) ( Y Teorema Sea Y,Y dos variables aleatorias co la fució de desidad cojuta f ( y, y ) y sea g (, ), (, )... (, ) Y Y g Y Y g k Y Y fucioes de Y,Y. Etoces E g ( Y, Y ) + g ( Y, Y ) g ( Y, )) = E ( k Y ( g( Y, Y )) + E( g ( Y, Y )) E( g k ( Y, Y )) Propiedades de los estimadores Estimador Isesgado Defiició U estimador T es u estimador isesgado de τ (θ ) sí E ( T ) = τ ( θ ) para todo θ Ω, de otra maera se dice que T es u estimador sesgado de τ (θ ). Ejemplo Cosidere ua muestra aleatoria de ua distribució f ( x, Θ), co Θ = ( µ, σ ), dode µ y σ so la media y la variaza de la població. Ahora bie la media muestral es u estadístico co la fució t x, x,..., x ) = ( x + x +... x ) y este estadístico ( + / x usualmete se deota co = i x que se usa como ua i= estimació de la media poblacioal µ = E(x), para X, X,..., X variables aleatorias, y la fució t( x, x,..., x ) = (( x x) + ( x x) ( x x)) / 6

7 Permite obteer ambos µ y σ. S = i= ( x x) como estimador de σ, y Ejercicio: Verificar que so isesgados. ). E (x = µ. E ( S ) = σ Después de verificar la afirmació se tiee que los parámetros so isesgados, el espacio paramétrico asociado es u subcojuto de dos dimesioes del espacio euclidiao. E particular Ω es el producto cartesiao Ω = (, ) x (0, ), para µ y σ. E pocas palabras os gustaría que la media del valor esperado de la distribució de las estimacioes fuera igual al puto estimado, es decir, E ( θ ˆ) = θ Defiició El sesgo B de u estimador putual θˆ está dado por B = E( θˆ ) θ. (a) θ θˆ (b) θ θˆ La adecuada sería (b) ya que ua meor variaza garatiza que e el muestreo repetitivo ua mayor fracció de valores de θˆ quede cerca de θ, es decir que la variaza V (θˆ ) sea míima. 7

8 Dados dos estimadores isesgados de u parámetro θ seleccioamos el estimador co la meor variaza, permaeciedo costate e todas las codicioes restates. Algo que se utiliza e lugar del sesgo y la variaza para describir la bodad de u estimador putual es el valor esperado de ( θˆ θ ). Defiició Sea X, X,..., X ua muestra aleatoria de tamaño de * f ( x; θ ). U estimador T de τ (θ ) es deomiado u estimador isesgado uiforme de míima variaza de τ (θ ) sí *. T es isesgado para τ (θ ). Para cualquier otro estimador isesgado T de τ (θ ), * Var( T ) Var( T ) para todo θ Ω E alguos casos la cota iferior puede ser derivada de la variaza de u estimador isesgado. Si T es u estimador isesgado de τ (θ ), etoces la cota iferior Cramer- Rao basada sobre ua muestra aleatoria es ( τ ( θ )) Var( T ) = asumiedo la codició de E( l f ( x; θ )) θ difereciabilidad, se puede obteer dicha expresió. Defiició La media del cuadrado del error de u estimador putual θˆ y se defie como el valor esperado de ˆ ( θ θ ), es decir, E ( θˆ θ ). La media del cuadrado del error de u estimador θˆ, MCE (θˆ ) es ua fució al mismo tiempo de su variaza y sesgo MCE ( θ ˆ) = V ( θˆ) + B Eseguida se muestra alguos estimadores de parámetros poblacioales. 8

9 Parámetro objetivo θ Tamaño de La(s) muestra(s) Estimador putual E (θˆ) σ θˆ µ Y µ p µ µ y Y p ˆ = Y Y µ µ p σ pq σ σ + p p y ˆ ˆ p p p p pq + pq σ y respectivamete. σ so las variazas de las poblacioes y La maera de evaluar la bodad de cualquier procedimieto de estimació putual estriba e térmios de la distacia etre las estimacioes geeradoras y el parámetro objetivo. Defiició El error de estimació ε es la distacia etre u estimador y su parámetro objetivo, es decir, ε = θ θˆ. 9

10 Eficiecia relativa Defiició Dados dos estimadores isesgados θ ˆ y θ ˆ, de u parámetro θ, co variazas V( θ ˆ ) y V( θ ˆ ), respectivamete, etoces la eficiecia relativa de θ ˆ co respecto de θ ˆ se defie como la V ( θˆ ) razó eficiecia =. V ( θˆ ) Cosistecia Defiició El estimador θˆ es u estimador cosistete de θ si para cualquier úmero positivo ε se tiee que lim P ( θˆ θ ε ) = o e forma equivalete lim P ( ˆ θ ε) = 0 θ Suele utilizar el siguiete resultado para probar la cosistecia de u estimador Teorema El estimador isesgado θˆ para θ es u estimador cosistete de θ sí lim V ( θ ˆ ) = 0 0 Suficiecia E seguida se preseta alguos métodos para ecotrar estadísticos que e cierto setido resume toda la iformació e ua muestra co respecto a u parámetro objetivo, y tales estadísticos tiee la propiedad de la suficiecia. Defiició Sea y, y,..., y observacioes muestrales para las variables aleatorias correspodietes Y, Y,..., Y. Etoces si Y, Y,..., Y so variables aleatorias discretas, la verosimilitud (factibilidad) de la muestra, L = L( y, y,..., y) se defie como la probabilidad cojuta de y, y,..., y. Si Y, Y,..., Y so variables aleatorias

11 cotiuas, la verosimilitud L ( y, y,..., y) se defie como la desidad cojuta evaluada e y y,..., y,. El siguiete teorema relacioa la propiedad de suficiecia co la verosimilitud. Teorema Sea U u estadístico basado e ua muestra aleatoria Y, Y,..., Y. Etoces U es u estadístico suficiete para la estimació de u parámetro θ si y sólo si la verosimilitud L se puede factorizar e dos fucioes o egativas L( y, y,..., y) = g( u, θ ) h( y, y,..., y) e dode g ( u, θ ) es ua fució solamete de u y θ, y h ( y, y,..., y) o es ua fució de θ. E geeral se desea ecotrar u estadístico suficiete que reduzca los datos e la muestra hasta dode sea posible. Los estadísticos que cumple co ése objetivo se deomia estadísticos de míima suficiecia. Suficiecia míima y estimació isesgada de míima variaza Tales estadísticos fuero desarrollados por Lehma y Scheffé. Supoga que Y, Y,..., Y represeta ua muestra aleatoria de ua fució de probabilidad p (y), o ua fució de desidad f(y) co u parámetro descoocido θ. El cojuto de variables Y, Y,..., Y puede tomar varios valores, supogamos que y, y,..., y y x, x,..., x so dos cojutos de valores posibles, el método utiliza la razó de verosimilitudes evaluadas e esto L( x, x,..., x) dos putos. Varias veces es posible ecotrar L( y, y,..., y) ua fució g ( x, x,..., x) tal que la razó mecioada o presete el parámetro descoocido θ sí y sólo sí g ( x, x,..., x) = g( y, y,..., y). Si se puede ecotrar tal fució g, etoces g ( Y, Y,..., Y ) es u estadístico de míima suficiecia para θ.

12 Método de los mometos Ya que el método de aterior o siempre es aplicable, el siguiete método es uo de los más atiguos, auque el más sofisticado el de máxima verosimilitud. Para ello recuerde que el k-ésimo mometo de ua variable ' k aleatoria, tomado co respecto al orige, es µ k = E( Y ), el correspodiete k-ésimo mometo de la muestra es el promedio m ' k k = Y i i=. Método de los mometos: Elija estimacioes aquellos valores de los parámetros que so solucioes de las ecuacioes ' ' µ k = m k, co k=,,...,t e dode t es igual al úmero de parámetros. Método de la máxima verosimilitud. El método implica determiar algua fució de u estadístico de míima suficiecia que sea u estimador isesgado del parámetro objetivo. El método de los mometos geeralmete o lleva a mejores estimadores, cotrario al de máxima verosimilitud. Método de la máxima verosimilitud: Escoja como estimacioes aquellos valores de los parámetros que maximiza la verosimilitud.

13 . Itroducció PARTE DOS Todas las herramietas estadísticas co las que se cueta hasta ahora, tales como tablas, gráficos y cálculo de medidas descriptivas se podría eglobar e el térmio Estadística Descriptiva, puesto que ellas esecialmete permite describir, presetar y resumir iformació que ha sido recolectada de algua forma. Si embargo las técicas de la Estadística Descriptiva o permite respoder iterrogates que puede surgir cuado o se dispoe de la iformació sobre todos los idividuos de la població de iterés sio sólo de ua parte de ella, es decir, que los datos proviee de ua muestra de idividuos de la població bajo estudio. Ejemplos de esta situació so: Si se cooce que la gaacia promedio de vetas de ua muestra de 50 automóviles uevos es de $935, qué se puede decir sobre la gaacia media de todas las vetas de automóviles uevos? Si se ecotró que ua curso de capacitació ayuda a ecotrar trabajo a 6 de 0 jóvees de ua ciudad, qué porcetaje de todos los jóvees que busca trabajo se puede esperar que ecuetre trabajo después de tomar el curso? Para respoder este tipo de pregutas la Estadística dispoe de ua gra catidad de métodos que se egloba detro de la llamada Estadística Iferecial, los cuales se usa esecialmete para determiar la probabilidad de que ua coclusió sacada a partir de los datos de ua muestra sea cierta e la població muestreada. Las poblacioes puede ser vetas, persoal de ua empresa, cosumidores de u producto, etc. El proceso coocido como iferecia estadística, requiere cosideracioes de cómo fue seleccioada la muestra y cuáto varía las observacioes de ua muestra a otra. De esta maera, los métodos de selecció de los idividuos que se usará e la ivestigació so de cosiderable importacia para la obteció de resultados y coclusioes válidas. El requisito fudametal de ua buea muestra es que sea represetativa de la població que se trata de describir 3

14 (Població Objetivo Figura ). Hay, por supuesto muchas formas de obteer ua muestra o represetativa. Ua obvia falta de represetatividad ocurre cuado la muestra se toma de la població equivocada. Por ejemplo, se quiere coocer la proporció de persoas que cosume u determiado producto y la muestra se obtiee de los clietes de u solo supermercado. Aú cuado se esté seguro que la muestra se obtiee de la apropiada població, otra fuete potecial de error e el muestreo, especialmete e las ecuestas de opiió so las respuestas sesgadas. Cuestioarios mal redactados o técicas de etrevistas iadecuadas puede dar lugar a respuestas que o refleja la realidad que se quiere evaluar. Por otra parte, e muchas ocasioes o es posible obteer la muestra a partir de todos los idividuos que defie la població objetivo, sio sólo a partir de ua subpoblació que es accesible al ivestigador e el mometo de hacer la selecció de los idividuos de la muestra y ella recibe el ombre de població muestreada (Figura ). Població objetivo Se requiere setido comú para hacer iferecias del muestreo a la població objetivo Població muestreada Muestra Figura : Alcaces de las iferecias realizadas de ua muestra. Para hacer iferecias estadísticas de la muestra a la població muestreada se requiere que la muestra sea aleatoria Cosideremos, por ejemplo, u sodeo telefóico que realizó la cadea de televisió ABC imediatamete ates de las 4

15 eleccioes de 980 etre Carter y Reaga. La ABC ivitó a sus televidetes a llamar (por larga distacia) para dar a coocer sus preferecias presideciales. E vez de lograr ua muestra del setir real de los electores, la ABC obtuvo ua muestra de las preferecias de los votates que estaba suficietemete iteresados e desviar el resultado del sodeo como para ivertir e las llamadas telefóicas de larga distacia. Es claro que la ABC o realizó u muestreo aleatorio de la població de posibles votates. Más demócratas hiciero las llamadas de larga distacia, y la ABC proosticó así ua victoria electoral de Carter. Ates de exteder cualquier coclusió, es ecesario evaluar qué factores selectivos y sesgos distigue a la població realmete muestreada (todos los votates que hiciero las llamadas de larga distacia) de la població objetivo (todos los posibles votates). Los métodos de la Iferecia Estadística permite geeralizar los resultados de la muestra sólo a los idividuos que compoe la població muestreada y la geeralizació hacia la població objetivo está fuera del alcace de la Estadística. Si embargo, si es posible supoer que la població muestreada es similar a la població objetivo o se cometería u error grade e geeralizar los resultados hacia la població objetivo. Aú cuado se esté seguro que la muestra se obtiee de la població apropiada, es igualmete importate que la muestra se saque de ua maera objetiva e isesgada. Muestras casuales o muestras seleccioadas sobre la base de que es fácil de recolectar, so raramete represetativas de la població. Hay varios métodos adecuados para seleccioar ua muestra que permite evitar los sesgos, y la mayoría tiee como base el cocepto de muestra aleatoria o probabilística, e la cual cada idividuo e la població de iterés es seleccioado (o o) a través del uso de mecaismos aleatorios descriptos claramete. Por ejemplo, el caso más simple, es el deomiado esquema de muestreo aleatorio simple e el cual cada posible muestra es igualmete probable, lo que implica que cada idividuo tiee igual probabilidad de ser seleccioado para perteecer a la muestra. Más adelate se tratará co más detalle los distito tipos de muestreo. E cualquier estudio, los ivestigadores debe escribir de maera completamete explícita la maera e la cual las muestras ha sido elegidas y cuado se escribe o se lee cualquier trabajo de ivestigació uo debería hacerse las siguietes pregutas: 5

16 El autor defie claramete la població muestreada? El autor discute similitudes y posibles diferecias etre la població muestreada y la població objetivo? El autor describe claramete el mecaismo de muestreo que usó? El mecaismo de muestreo es aleatorio? (Si o lo es, porque?). Los métodos de aálisis de datos so adecuados para el esquema de selecció usado? Qué ocurre si el ivestigador o ha usado u muestreo aleatorio para seleccioar los idividuos de la muestra? Supogamos por ejemplo que él simplemete usó los datos de los clietes de u supermercado para evaluar las preferecias de los cosumidores respecto a distitas marcas de u producto. Muchos, sio la mayoría, de los estudios so de este tipo. Los datos so aalizados luego, como si ellos hubiera surgido a partir de ua muestra aleatoria de cosumidores. El problema aquí es que estamos perdiedo la vital viculació etre u esquema de muestreo aleatorio y el apropiado método de iferecia estadística, el cual supoe siempre que hubo ua selecció aleatoria de la muestra. E estas circustacia, se debería etoces abadoar la iferecia estadística? Probablemete o, pero deberíamos siempre estar muy preocupados de tomar estos resultados muy seriamete. Las bases de la iferecia, e este caso, ha sido severamete debilitadas ( destruida, diría alguos). E rigor de verdad, deberíamos decir: si pretedemos que teemos ua muestra aleatoria, etoces. La palabra preteder ha sido usada deliberadamete ya que o es ua suposició, puesto que osotros sabemos que la muestra o es aleatoria. Al fial, osotros deberíamos aceptar que estamos usado la iferecia estadística sólo como ua guía, como ua maera de ayudar a que los datos tega algú setido, por todo esto, uestra iferecia e estos casos debería estar basada más e el setido comú que e la teoría estadística. E las Uidades ateriores se estudió las reglas básicas de probabilidad y distitas distribucioes de probabilidad como la biomial, Poisso, Normal y expoecial. E esta uidad se usará estas reglas de probabilidad juto co el coocimieto de las distribucioes de probabilidad para aalizar cómo ciertas 6

17 medidas (media, proporció) puede usarse para hacer iferecias respecto a los parámetros poblacioales. La iferecia estadística ivolucra dos áreas pricipales: Estimació y Prueba de Hipótesis, pero ates de tratar estos importates temas es ecesario maejar el cocepto de Distribució e el Muestreo o Distribució Muestral que es la base para compreder los métodos y herramietas de la iferecia estadística.. Distribució muestral U objetivo que se preseta frecuetemete e las ivestigacioes de diferetes áreas es coocer el promedio de algua característica cuatitativa o la proporció de idividuos que posee determiada característica cualitativa. Por ejemplo, la edad media de las mujeres de ua dada regió que usa determiado servicio (Població Objetivo); o la proporció de egresados uiversitarios de u país (Població Objetivo) que hace ua carrera de postgrado. E geeral, las características de iterés e u estudio se deomia parámetros poblacioales. E los ejemplos dados los parámetros poblacioales so la media y la proporció y geeralmete se deota co a la media y co a la proporció. Para determiar los parámetros poblacioales se requiere coocer los valores de la variable para todos los idividuos de la població, por ejemplo para determiar la edad media se requiere coocer la edad de todas las mujeres que usa el servicio. Si embargo, o siempre es posible obteer la iformació de todos los idividuos que compoe la població por razoes de costo e tiempo y diero, y cuado eso ocurre se hace ecesario recurrir a ua muestra de la població. Luego, a partir de los datos de la muestra se busca ua maera de combiar la iformació de la muestra para obteer la característica de iterés. E el ejemplo dode el parámetro de iterés es la edad media, se toma ua muestra de (tamaño de la muestra) mujeres de la població y se calcula el promedio de las edades e la muestra. Surge etoces el iterrogate a cerca de cual medida de promedio se usará (media aritmética o mediaa). Cualquiera sea la medida que se use, cada ua de ellas recibe el ombre de estimador o estadístico. Si se coviee e usar la media 7

18 aritmética, o sea, la media muestral x, ella es e este caso el estimador de la media poblacioal Se debe observar que para obteer el valor de x se debe combiar los valores observados e la muestra (suma de los datos divida e el úmero de observacioes) y esto ocurre co cualquier estadístico o estimador de ua parámetro, de maera que formalmete se puede dar la siguiete defiició: Defiició : U estadístico o estimador es ua fució de los valores observados e los idividuos que compoe la muestra, es decir, es la expresió matemática que idica la forma de combiar los datos. La Tabla muestra los símbolos de los parámetros y sus respectivos estimadores de uso más frecuetemete. Tabla : Símbolos usuales para parámetros y estadísticos Características Media Desviació estádar Variaza Correlació Proporció Símbolo del parámetro Símbolo del Estadístico µ σ σ ρ π x s s r p El valor que toma el estimador para ua particular muestra se deomia ua estimació del parámetro poblacioal. Por ejemplo, si e ua muestra de 00 mujeres se calcula el valor de la media aritmética de las edades y se obtiee x = 5.5 años, etoces 5.5 represeta u particular valor de x, es decir es ua estimació del estimador. Obviamete co cada posible muestra se tedría u valor diferete del estimador, es decir, se obtedría ua estimació diferete para el parámetro de iterés. Por lo tato, u estimador toma diferetes valores para cada muestra, es decir, varía de muestra e muestra. Teiedo e cueta este aspecto de u estimador se puede dar ua seguda defiició de estimador: Defiició : U estadístico o estimador es ua variable que toma diferetes valores para cada muestra seleccioada. 8

19 De esta maera, las estimacioes depede de la particular muestra co que estemos trabajado. E resume, Si se está iteresado e coocer algú parámetro de ua població de iterés (media, proporció, coeficiete de correlació, etc.), y o es posible observar o medir a todos los idividuos de la població para obteer el valor de dicho parámetro, etoces, ua posibilidad es obteer ua muestra de tamaño y coseguir ua estimació de parámetro usado u estimador del parámetro. Por otra parte, si se pudiera extraer todas las posibles muestras del mismo tamaño () de la població de iterés y co cada ua de ellas se calcula el valor del estimador o estadístico correspodiete, se obtedría todas las estimacioes posibles del parámetro. Luego a partir de ellos se podría costruir la distribució de probabilidad del estadístico, tal distribució de probabilidad que recibe el ombre de distribució muestral del estadístico de iterés. Cabe pregutarse por qué es ta importate el cocepto de distribució muestral, la respuesta es simple, cuado se quiere estimar u parámetro poblacioal (característica de la població) a partir de ua muestra surge otros iterrogates como: Qué ta buea es la estimació obteida? Se puede llegar a la coclusió de que el parámetro de la població es idético al estadístico de la muestra o es probable que exista algú error?. Si es así, qué ta grade es dicho error? Para respoder a estas pregutas se debe comparar los resultados obteidos a partir de las muestras co los resultados esperados. Los resultados esperados surge justamete a partir de la distribució muestral del estadístico y de allí la importacia de ella. Surge ahora otro problema, es más costoso (y a veces imposible) obteer todas las muestras aleatorias de tamaño para costruir la distribució muestral del estadístico o estimador, que observar a todos los idividuos de la població. De maera que se platea ahora uevos iterrogates: cómo obteer la distribució muestral si se tiee sólo ua muestra de 9

20 la població? Para respoder esta preguta se debe teer e cueta que la distribució muestral del estadístico depede de: 0 La distribució de la població, es decir, de la distribució de probabilidad de la variable de iterés (por ejemplo edad de las mujeres que usa u servicio) Del parámetro de iterés (media, variabilidad) Del estadístico que se elija para estimar el parámetro (media aritmética o mediaa, desviació estádar muestral) De la forma de selecció aleatoria de la muestra. Del tamaño de la muestra. La relació existete etre la distribució de probabilidad de la població y distribució muestral del estimador) es la que os permite hacer afirmacioes sobre el parámetro poblacioal y cuatificar el error de dichas afirmacioes. E efecto, la teoría estadística iferecial provee de herramietas que permite coocer, auque sea aproximadamete, la distribució muestral del estadístico, y luego, como ya se dijo, a partir de ella coocer el valor esperado del estadístico. De esta maera, es posible evaluar la precisió de la estimació obteida co la muestra y cuatificar el error de las afirmacioes que se haga sobre el parámetro poblacioal. Para clarificar estos coceptos, se cosidera el caso e que el parámetro poblacioal es la media µ y el estadístico para estimarla es la media aritmética x, obteida a partir de ua muestra de tamaño de la població. Como ya se dijo, si se quiere obteer la distribució muestral de x, extrayedo todas las muestras de tamaño, esto cosumiría más tiempo que el requerido para tomar la iformació de toda la població y, e cosecuecia, sería poco práctico. E su lugar, es posible usar la teoría estadística para determiar la distribució muestral de la media aritmética e cualquier situació particular, siempre que se cumpla alguas codicioes para la distribució de probabilidad de la variable que se está estudiado (Ver Figura ). Ejemplo : E ua plata embotelladora de bebida se ecuetra que la máquia embotelladora está presetado ua

21 otable variabilidad e el lleado. Para aalizar este problema se lleva a cabo u estudio dode se defie que la variable de iterés X será la catidad de bebida que cotiee las botellas. Supogamos que la distribució de probabilidad de X es tal que la media poblacioal es µ =, litros de bebida, co u desviació estádar σ = 0, litros. Supogamos ahora, que se descooce esta iformació y se quiere estimar la media poblacioal µ tomado ua muestra aleatoria de tamaño =00 de la població de botellas. La media aritmética calculada a partir de la muestra dio u valor x =, litros. Para hacer afirmacioes sobre la precisió de la estimació que dé algú grado de cofiaza e el valor ecotrado a través de la muestra, se ecesita coocer la distribució muestral de x. Las propiedades de la distribució muestral de x so la base para uo de los teoremas más importates de la teoría estadística, llamado Teorema del Límite Cetral, que se eucia a cotiuació si mucha formalidad. Dada ua població co media µ x y desviació estádar σ x (fiita), la distribució muestral de la media basada e muestras aleatorias repetidas de tamaño (grade) tiee las siguietes propiedades:. La media de la distribució muestral de x, es decir, el valor esperado µ x = E( x) de la distribució de probabilidad de x, es igual a la media µ x de la distribució de probabilidad de la variable X.. La desviació estádar e la distribució muestral de σ x es igual a. Esta catidad es deomiada error estádar de la media (SEM). 3. Co muestras de tamaño grade, la distribució muestral de x sigue u modelo teórico deomiado modelo de distribució ormal, si importar la forma de la distribució de la població origial, siempre que se cumpla las codicioes mecioadas. Otra maera de expresar este resultado y que resulta útil para expresar los resultados de los métodos de iferecia es la siguiete:

22 Z X µ = σ / Teorema del límite cetral: Idepediete de la distribució que tega la variable aleatoria X, siempre que tega media µ y variaza σ fiitas, al hacerse lo bastate grade el tamaño de muestra, etoces la distribució del estadístico () es Normal co media 0 y variaza, es decir, N(0, ). DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA ARITMÉTICA (X) DISTRIBUCIÓN DE LA POBLACIÓN DE X CON DISTRIBUCIÓN DE LA POBLACIÓN DE X MEDIA µ NORMAL CON DESVÍO ESTÁNDAR σ MEDIA µ DESVÍO ESTÁNDAR σ ERROR ESTÁNDAR x M M M 3 x x 3 x 4 µ σ / µ M 4 M m.... x m µ+σ / X POBLACIÓN DE X POBLACIÓN DE X MUESTRAS DE TAMAÑO Figura : Distribució muestral de la media aritmética (estadístico). El resultado euciado da la base para toda la iferecia estadística sobre la media. Observació: Auque siempre hay excepcioes, tamaños de muestras de = 30, o más, e la gra mayoría de los casos asegura la validez del teorema del límite cetral, es decir, la distribució muestral

23 para x tedrá aproximadamete ua distribució ormal para 30 si σ es coocido. E el ejemplo, y de acuerdo a lo euciado, la distribució muestral de x será aproximadamete ormal co media µ x =,0 litros y co u error estádar dado por SE( x) = SEM = σ 0. = = 0./0 = La importacia del SEM y del resultado euciado radica e que a partir de él se puede hacer la siguiete afirmació: si el tamaño de muestra es grade aproximadamete el 95% de las muestras daría valores de x e u itervalo que va desde µ -SEM a µ +SEM, es decir, existe ua probabilidad del 95% de que el valor calculado de x se ecuetre detro de ese itervalo. Obviamete, e la práctica siempre se descooce el valor de µ y casi siempre el valor de σ, de maera que esto es sólo el respaldo teórico de toda la iferecia estadística, como se verá e las seccioes subsiguietes. Ejemplo : E el ejemplo aterior si µ y σ so coocidos, etoces se puede afirmar que aproximadamete el 95% de las muestra de tamaño = 00 daría valores de x etre, y, , es decir etre,6 litros y,4 litros, o bie que existe ua probabilidad del 95% que el valor ecotrado para x se ecuetre detro de ese itervalo. Como ya se dijo, la distribució muestral del estimador depede del estadístico elegido para estimar el parámetro poblacioal, por ejemplo, si el estimador elegido para estimar la media poblacioal o es x sio la mediaa, etoces el cálculo de su error estádar y su distribució muestral o sigue exactamete lo euciado para el caso de x. La teoría que permite establecer la distribució muestral de la mediaa está fuera del alcace de este curso, de maera que o será tratada aquí. Del mismo modo que la media poblacioal µ, por lo geeral, es descoocida, es probable que la desviació estádar de la població σ, tampoco sea coocido. 3