MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco

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1 MEDIDAS DE RESUMEN Jorge Galbiati Riesco Las medidas de resume sirve para describir e forma resumida u cojuto de datos que costituye ua muestra tomada de algua població. Podemos distiguir cuatro grupos de medidas de resume: las medidas de cetro, las medidas de posició, (las de cetro so casos especiales de estas últimas), las medidas de dispersió y las medidas de forma. Supógase que se dispoe de ua muestra de observacioes x 1, x 2,... x. Co estas observacioes se efectuará los cálculos de todas las medidas de resume que se preseta a cotiuació. A modo de ejemplo, se dispoe de tres muestras de datos co las que se obtedrá las medidas de resume. Los tres está ordeados de meor a mayor, por columas Muestra 1. Igresos de 45 empleados de ua firma (miles de pesos) Muestra 2. Pesos de bultos trasportados por u correo (kgs). Muestra 3. Escolaridad de los habitates adultos de u codomiio (años). 1

2 A cotiuació se preseta tablas de frecuecia por itervalos e histogramas de los tres cojutos de datos. Se puede observar que el primer cojuto tiee sesgo (la cola) hacia la derecha; el segudo es bastate simétrico; y el tercero tiee sesgo hacia la izquierda. Frec Frec. Clase Frecuec. acumul. relativa % 1 a a a a a a total Figura 1. Igresos de empleados. Tabla de frecuecias e histograma. Frec Frec. Clase Frecuec. acumul. relativa % 7 a a a a a a a total Figura 2. Pesos de bultos. Tabla de frecuecias e histograma. Frec Frec. Clase Frecuec. acumul. relativa % 1 a a a a a a a total Figura 3. Escolaridad. Tabla de frecuecias e histograma. 2

3 Medidas de Cetro So medidas que pretede idicar dóde está lo que se podría cosiderar como el cetro de la masa de datos. Promedio o media. Es la suma de todas las observacioes, dividida por el úmero de ellas. Las más coocidas so las siguietes: Promedio o Media. Es igual a la suma de todas las observacioes, dividida por el úmero de observacioes. Se usa el símbolo x para represetar la media. El promedio está dado por la fórmula x i= = 1 El promedio es ua medida muy iflueciada por valores extremos. Por lo tato, si los datos preseta mucha asimetría, el promedio resulta distorsioado. x i Ejemplo 1. Cálculo del promedio co los datos presetados al iicio: Suma de los datos Número de datos = Promedio 10130/45 = M$ 645/38 = 17.0 kilos 425/42 = 10.1 años Mediaa. Es u úmero tal que al meos el 50% de las observacioes so meores o iguales a él, y al meos el 50% so mayores o iguales a él. La mediaa es muy resistete a valores extremos. La represetamos por el símbolo M. Se calcula de la siguiete forma: 1 - Se ordea las observacioes, de meor a mayor. 2 - Si el úmero de observacioes es impar, la mediaa es la que queda exactamete al cetro. 3 - Si el úmero de observacioes es par, la mediaa es el promedio de las dos observacioes cetrales. Figura 4. Comparació etre promedios y mediaas e distitos casos. 3

4 Ejemplo 2. Cálculo de la mediaa: Número de datos = Ubicació de la mediaa La mediaa es la observació de orde 23 La mediaa es el promedio de las observacioes 19 y 20 Mediaa M = 185 M$ M = (17+17)/2 = 17 kilos La mediaa es el promedio de las observacioes 21 y 22 M = (11+11)/2 = 11 años Comparado co el ejmplo 1, se puede ver que el promedio es mayor que la mediaa cuado hay sesgo hacia la derecha. Las observacioes extremas ifluye más sobre el promedio que sobre la mediaa, y lo desplaza a la derecha. E el caso simétrico, ambas medidas coicide. Y cuado hay sesgo a la izquierda, el promedio está más a la izquierda que la mediaa. Promedio Recortado o Trucado e α%. Es el promedio del cojuto de observacioes, al cual se le ha elimiado u porcetaje predetermiado α de las observacioes más pequeñas y el mismo porcetaje de las más grades. Para calcularlo se debe ordear las observacioes, elimiar u porcetaje α%, previamete defiido, e ambos extremos. Luego se obtiee el promedio de las (100-2α)% observacioes cetrales. Valores típicos de α so 5 o 10 %. El promedio recortado es más resistete que la media, a valores extremos, precisamete porque se elimiaro los extremos. Pero o ta isesible como la mediaa, e casos e que hay muchos valores que se aleja sigificativamete del promedio. Ejemplo 3: Promedio recortado al 5%: Número de datos = Número de datos recortados por lado Cálculo del promedio recortado Promedio recortado 2.25 que lo aproximamos a 2 El promedio recortado al 5% es el promedio de las 41 observacioes cetrales ( )/41 = M$ 1.9, aproximado a 2 2.1, aproximado a 2 El promedio recortado El promedio recortado al 5% es el promedio al 5% es el promedio de las 34 de las 38 observacioes observacioes cetrales cetrales 17.0 kilos 10.3 años 4

5 Ejemplo 4: Promedio recortado al 20%: Número de datos recortados por lado Cálculo del promedio recortado Promedio recortado 9 datos por lado 7.6 datos, que lo aproximamos a datos, aproximado a 8 El promedio El promedio recortado El promedio recortado recortado al 20% es al 20% es el promedio al 20% es el promedio el promedio de las 27 de las 22 de las 26 observacioes observacioes observacioes cetrales cetrales cetrales ( kilos 10.4 años +350)/27=205.4 M$ Se observa que si se se recorta poco, el promedio recortado se parece al promedio simple. Si embargo, si se recorta más, se parece más a la mediaa. Medidas de Posició Señala otras posicioes, aparte del cetro, detro de la masa de datos. Por ejemplo, a partir de qué valores está el 10% mayor. Las medidas de cetro so casos especiales de medidas de posició. Percetil q, e que q es u úmero etero etre 1 y 99. El percetil q es u úmero P q tal que: 1 - Al meos q% de las observacioes so meores o iguales que él. 2 - Al meos (100-q)% de las observacioes so mayores o iguales que él. El percetil q se obtiee de la siguiete forma: 1 - Se ordea las observacioes, de meor a mayor. 2 - Se calcula el valor de r=q x /100, e que es el úmero de observacioes. 3 - Si el resultado de r es etero, el percetil P q es el promedio de las observacioes que ocupa los lugares r y r Si el resultado o es etero, se aproxima al etero superior y el percetil P q es la observació que ocupa ese lugar. 5

6 Casos Particulares de percetiles: La Mediaa. Es el percetil 50. Cuartiles. So los percetiles de orde 25, 50 y 75, represetados por Q 1, Q 2 y Q 3, respectivamete. Divide la muestra ordeada e cuatro grupos que cotiee la cuarta parte de las observacioes cada uo. Quitiles. So los percetiles de orde 20, 40, 60 y 80. Divide la muestra ordeada e cico grupos de igual tamaño. Deciles. So los percetiles de orde 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 y 90. Divide la muestra ordeada e diez grupos de igual tamaño. Figura 5. Represetació de Cuartiles y Quitiles e u cojuto de datos simétrico. Ejemplo 5. Cálculo del cuartil 1. úm. de datos = */ ubicació del cuartil Q 1 El cuartil 1 es la observació de orde 12 El cuartil 1 es la observació de orde 10 El cuartil 1 es la observació de orde 11 Cuartil Q M$ 14 kilos 9 años Ejemplo 6. Cálculo del cuartil 2 o mediaa. 50*/ ubicació del cuartil Q 2 El cuartil 2 es la observació de orde 23 El cuartil 2 es el promedio de las obs. de lugares 19 y 20 El cuartil 2 es el promedio de las obs. de lugares 21 y 22 Cuartil Q M$ 17 kilos 11 años Observar que el cuartil 2 es igual a la mediaa, del ejemplo 2, e todos los casos. 6

7 Ejemplo 7. Cálculo del cuartil 3. 75*/ ubicació del cuartil Q 3 El cuartil 3 es la observació de orde 34 El cuartil 3 es la observació de orde 29 El cuartil 3 es la observació de orde 32 Cuartil Q M$ 20 kilos 12 años Medidas de Dispersió Describe el grado de dispersió de los datos, es decir, cuá separados se ecuetra, como opuesto a datos que esta muy cocetrados o cercaos etre sí. Las más coocidas so las siguietes: Rago. Es la diferecia etre el mayor valor y el meor. Depede sólo de dos observacioes, y justamete de las más extremas, por lo que, e geeral es ua muy mala medida de dispersió. R=x -x i Ejemplo 8. Cálculo del rago. Muestra 1 (Igresos) Muestra 2 (Pesos) Muestra 3 (Escolaridad) Míimo Máximo Rago =460 M$ 27-8=19 kgs. 14-2=12 años Desviació Media. Es el promedio de las desviacioes absolutas (e valor absoluto) respecto de la media. Se mide e las mismas uidades que las observacioes origiales. xi x i= DMd = 1 x es la media o promedio 7

8 Ejemplo 9. Cálculo desviació media. Muestra 1 (Igresos) Muestra 2 (Pesos) Muestra 3 (Escolaridad) Número de datos Media desviacioes absolutas 175.1, 175.1, 145.1,.., 274.9, , 9.0, 8.0,....., 8.0, , 6.1, 6.1, , 3.9 suma promedio /45=103.2 M$ 135.1/38=3.6 kg 94.8/42=2.3 años Desviació Mediaa. Es parecida a la desviació media. Se defie como el promedio de las desviacioes absolutas (e valor absoluto) respecto de la mediaa. Tambié se mide e las mismas uidades que las observacioes origiales. Tiee la característica de ser poco sesible a observacioes extremas. DM x M i i= = 1 e que M es la mediaa Ejemplo 10. Cálculo desviació mediaa. Número de datos Mediaa desviacioes absolutas 135, 135, 105, , 325 9, 9, 8, ,8,10 9, 7, 7, 4, , 3 suma DMd 4405/45= 97.9 M$ 135/38=3.6 kg 93/42=2.2 años Ambas medidas de dispersió, la desviació media y la desviació mediaa da resultados parecidos, y e u iguales. Variaza. Es u promedio de los cuadrados de las desviacioes respecto de la media, excepto que e lugar de dividir por (el úmero de observacioes), se suele dividir por -1. Se usa el símbolo s 2 o bie var para represetar la variaza. 8

9 s 2 = var = i= 1 ( x i x) 1 Su uidad de medida es el cuadrado de uidades e que se midiero las observacioes origiales. Hay ua forma alterativa de calcularla, que da el mismo resultado: s 2 = var = i= 1 x 2 i 1 2 x 2 Ejemplo 11. Cálculo variaza. desviacioes al cuadrado (ver ejemplo 8) (-175.1) 2, (-175.1) 2, (-145.1) 2, , = , , (-9) 2, (-9) 2, (-8) 2, (-7) ,8 2, 10 2 = 81, 81, 64, 49,..., 49.4, 64.4,100.5 (-8.1) 2, (-6.1) 2, (-6.1) 2, , = 65.6, 37.4, 37.4,..., 15.21, ,..., , suma Divisor s (M$) Kg años 2 Observar que la uidad de medida es el cuadrado de las uidades origiales. Desviació estádar. Es la raíz cuadrada de la variaza. Se mide e las mismas uidades que las observacioes origiales. Se usa el símbolo s o bie ds para represetar la desviació estádar. s = ds = var Tato la desviació media como la variaza y la desviació estádar se ecuetra muy ifluidas por valores extremos. Por lo tato, cuado la muestra preseta mucha asimetría, estos o so bueos idicadores de la dispersió, pues está sobrevalorados. Figura 6. Dispersió y desviacioes estádar. 9

10 Ejemplo 12. Desviació estádar. Variaza s desviació stadard 2 s M$ 4.3 kg 2.8 años Auque mide el mismo cocepto que las desviacioes media y mediaa, y está expresados e la misma uidad de medida, los úmeros está e escalas diferetes y o so comparables. Coeficiete de Variació. Es similar a la desviació estádar, pero dividido por la media. Co esto se logra que sea idepediete de la uidad de medida co que se midiero las observacioes. El coeficiete de variació o tiee uidad de medida. ds cv = x Tiee ua limitació, y es que sólo puede utilizarse cuado los datos se midiero e ua escala que sólo admite valores positivos. Ejemplo 13. Coeficiete de variació. desviació stadard M$ 4.6 kg 2.8 años media M$ 17.0 kg 10.1 años cv 124.3/225.1= /17.0= /10.1=0.272 El coeficiete de variació permite comparar dispersioes etre datos expresados e escas diferetes, como e este caso. Se puede cocluir que la muestra 1 tiee mayor dispersió que las muestras 2 y 3, y estas últimas tiee similares dispersioes. Desviació itercuartil o Rago Itercuartil. Es la diferecia etre los cuartiles 3 y 1. Es decir, es el rago del 50\% de las observacioes cetrales, las más represetativas de la masa de datos. Tiee la propiedad de ser muy resistete a valores extremos. DIC = Q 3 -Q 1 10

11 Ejemplo 14. Desviació iter cuartil. Cuartiles 1 y y y 20 9 y 12 (ejemplos 5 y 7) DIC 140 M$ 6 kg 3 años Medidas de Forma. Como u complemeto a la posició y la dispersió de ua muestra de datos, puede ser útil describir alguas características de su forma Coeficiete de simetría. Cuatifica el grado de asimetría que preseta la muestra. Se defie como el promedio de los cubos de las desviacioes e toro a la media, dividido por la desviació stadard elevada tambié al cubo. La fórmula es cs 1 3 ( x x) i i= 1 = e que s es la desviació estádar 3 s Si los datos preseta ua cola larga hacia la derecha, el coeficiete de simetría es positivo. Si preseta ua cola larga hacia la hacia la izquierda, el coeficiete de simetría es egativo. Si hay simetría, el coeficiete es cercao a cero. Figura 7. Coeficietes de simetría e distitos casos. 11

12 Ejemplo 15. Coeficiete de simetría Suma de las desviacioes al cubo Promedio Desviació stadard ds ds al cubo C. simetría cs El sigo positivo del coeficiete de simetría de la muestra 1 idica que tiee sesgo hacia la derecha. El coeficiete de simetría de la muestra 2 idica que o tiee sesgo. La muestra 3 tiee sesgo hacia la izquierda. Coeficiete de curtosis. Cuatifica el hecho que la masa de datos preseta ua forma de campaa (mesocúrtica), ua forma más bie putiaguda e la parte cetral (leptocúrtica) o muy plaa (platicúrtica). El coeficiete de curtosis se defie como el promedio de las desviacioes elevadas a la cuarta potecia, respecto de la media, dividido por la desviació stadard elevado a la cuarta. A todo esto se le resta el úmero 3. La fórmula es 1 k = i= 1 ( x s 4 x) Los datos co forma de campaa (mesocúrticos) tiee u coeficiete de curtosis cercao a cero. Si so leptocúrticos o co forma putiaguda, el coeficiete es egativo. Si so plaos o platicúrticos, su coeficiete de curtosis es positivo. i 4 3 Figura 8. Curtosis para cojutos de datos de diferetes formas. 12

13 Ejemplo 16. Coeficiete de curtosis. Promedio de las desviacioes a la cuarta ds a la cuarta Curtosis k Los primeros dos cojutos aparece co forma lepticúrtica (putiagudos), mietras el de la muestra 3 aparece co forma platicúrtica (más plao). Eso se puede apreciar por el hecho que las tres barras más grades, e el histograma correspodiete a este tercer cojuto, tiee alturas similares. Si se compara co los histogramas de los primeros dos cojutos, hay más diferecia etre la barra más alta y las que le sigue. Diagramas de cajó El diagrama de cajó o cajagrama es ua represetació gráfica basada e medidas resistetes, como la mediaa, los cuartiles y la desviació itercuartil. Se costruye dibujado ua líea horizotal que co ua escala que represeta el rago de las observacioes. Se represeta la mediaa mediate u pequeño trazo vertical. A los lados se dibuja dos trazos iguales, que represeta los cuartiles. Dos trazos horizotales cierra el rectágulo, deomiado cajó, que tiee los cuartiles por lados, y cotiee la mediaa e el iterior. Recordamos que para la muestra 1, igresos de 45 empleados de ua firma, e miles de pesos, el cuartil 1 es Q1 = 150 M$, la mediaa es M = 185 M$ y el cuartil 3 es Q 3 = 290 M$. El cajó se muestra a cotiuació. Luego se calcula la desviació itercuartil DIC = Q 3 Q 1 = = 140 Se dibuja dos trazos verticales, deomiadas rejas, e forma provisoria, a distacias r 1 = Q 1 1.5*DIC = *140 = =

14 y r 2 = Q *DIC = *140 = = 500 Las observacioes que queda detro de estos dos límites, se deomia observacioes iteriores. La meor y la mayor de las observacioes iteriores se deomia adyacetes. E uestro ejemplo, so los valores 50 y 500. Se dibuja dos líeas horizotales hacia ambos lados del cajó, hasta las respectivas observacioes adyacetes. Estas líeas se deomia bigotes. La figura siguiete represeta el cajó co sus bigotes. Fialmete, las observacioes que queda fuera de las rejas se deomias observacioes exteriores, o extremas (outliers, e iglés). Estas se represeta idividualmete, mediate putos o asteriscos. E el ejemplo, hay u valor extremo, que es el 510. El diagrama de cajó queda como e la siguiete figura: Se aprecia la forma asimétrica del cojuto de datos, co ua cola hacia la derecha. Veamos cómo so los cajagramas correspodietes a las otras dos muestras. Pesos de bultos trasportados por u correo: La mediaa es 17, los cuartiles 1 y 3 so 14 y 20, respectivamete. La desviació itercuartil es 20-14=6, las rejas so *6 = 5 y *6 = 29. Por lo tato los valores adyacetes so 8 y 27. No hay valores. El cajagrama es el siguiete, que muestra la forma simétrica de este cojuto de datos: 14

15 Escolaridad de los habitates de u codomiio: E este caso la mediaa es 11, los cuartiles 1 y 3 so 9 y 12, respectivamete. La desviació itercuartil es 3, las rejas so 4.5 y Por lo tato los valores adyacetes so 7 y 14. Hay tres valores extremos e el lado izquierdo, 2,4 y 4. El cajagrama, etoces, es Se ve claramete la asimetría co ua cola larga hacia los valores pequeños. PREGUNTAS 1. Qué vetajas tiee la mediaa sobre el promedio, como medida de cetro? 2. Cuádo se prefiere usar la mediaa e lugar del promedio, como medida de cetro? 3. Qué vetajas tiee el promedio sobre la mediaa, como medida de cetro? 4. Cuádo se prefiere usar el promedio e lugar de la mediaa, como medida de cetro? 5. Qué tiee de malo el rago, como medida de dispersió? 6. E qué uidad se expresa las siguietes medidas de dispersió, e relació a la uidad de medida de los datos origiales? Rago, desviació media, variaza, desviació stádar, desviació itercuartil. 7. U cojuto de 50 datos preseta las siguietes medidas descriptivas: El cuartil 1 es 16, la mediama es 25, el cuartil 3 es 43, el promedio es Explique qué forma tiee el cojuto de datos (puede ayudarse co u dibujo). 15

16 8. Se tiee u cojuto de datos, y resulta que la mediaa está a la izquierda del promedio. Qué características preseta esos datos? 9. Se tiee u cojuto de datos. El valor más grade es 23, pero por u error de digitació, se registró como 203. E qué afecta este error a la desviació itercuartil? E qué afecta a la mediaa? 10. U cojuto de 40 datos preseta las siguietes medidas descriptivas: El rago es 100, la desviació stadard es 28.4, el rago iter cuartil es Explique qué forma tiee el cojuto de datos (puede ayudarse co u dibujo). 11. Luis y Felipe so alumos de cuarto medio, de u total de 100 alumos del colegio. Diero ua prueba especial, y Luis estuvo e el percetil 85, mietras que Felipe e el percetil 62. Cuál de los dos estuvo mejor, y aproximadamete cuátos alumos obtuviero putajes etre los de Luis y Felipe? 12. Diga qué característica de ua muestra de datos mide cada uo de los idicadores: La mediaa, la media recortada, La desviació estádar, el coeficiete de variació, el cuartil U cojuto de 30 datos preseta las siguietes medidas descriptivas: El promedio es 23.6, el promedio recortado al 10% es Explique qué característica tiee el cojuto de datos. 14. Describa las medidas descriptivas que se represeta e u diagrama de caja. Cuál es su característica comú? 15. El siguiete histograma describe u cojuto de datos. Dibuje el diagrama de caja, a la misma escala. 16. Explique qué mide los cuartiles. 16

17 17. U cojuto de 40 datos cotiee cico valores mucho más grades que todo el resto. Idique cuáles de estas medidas de cetro estará afectadas por los cico valores y cuáles o: Promedio, mediaa, promedio recortado al 5%, promedio recortado al 20% 18. Alberto y Rubé so alumos de cuarto medio, de u total de 200 alumos del colegio. Diero ua prueba especial, y Alberto estuvo e el percetil 76, mietras que Rubé e el percetil 82. Cuál de los dos estuvo mejor, y aproximadamete cuátos alumos obtuviero putajes mejores que los de Alberto? 19. Se mide los días de ausecia auales de los 35 empleados de ua empresa. Aparece tres valores mucho mayores que el resto. Idique cuáles de estas medidas de dispersió estará afectadas por los tres valores y cuáles o: Rago, variaza, desviació itercuartil, desviació estádar, coeficiete de variació. 20. E el siguiete histograma, ubique, los cuartiles y la mediaa. Idique, e forma aproximada, dóde estaría el promedio. 21. Ordee de meos a más co respecto a su sesibilidad a putos extremos, las siguietes medidas de dispersió: La desviació estádar, el rago, la desviació itercuartil, la variaza, la desviació media. 17

18 22. Se mide los pesos de u grupo de pacietes, e kilos. E qué uidad se expresa las siguietes medidas de dispersió? El rago, la desviació media, la variaza, la desviació stadard, la desviació itercuartil. 23. Se mide el peso de la producció de ua muestra de idustrias, e pesos. E qué uidad se expresa las siguietes medidas de resume? Promedio, mediaa, desviació media, desviació estádar, promedio recortado al 15% desviació itercuartil, variaza. 24. Explique las siguietes afirmacioes: El promedio de otas de Jua está sobre el percetil 90. La desviació itercuartil de las edades de los cosumidores de este producto es 25 años. 25. E el siguiete histograma, ubique, e forma aproximada, el promedio y la mediaa. 26. Se hizo u curso de capacitació sobre uso de Excel a u grupo de 50 secretarias de ua istitució. Rosario y Cosuelo estuviero etre ellas. Rosario estuvo e el percetil 62, mietras que Cosuelo estuvo e el percetil 76. Cuál de las dos estuvo mejor, y aproximadamete cuátas secretarias obtuviero putajes etre los de Rosario y Cosuelo? 18

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