Tema 6: Teoremas Asinto ticos

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1 Tema 6: Teoremas Asito ticos Teorı a de la Comuicacio Curso 27-28

2 Coteido 1 Teorema del Límite Cetral 2 Teorema de DeMoivre-Laplace 3 Desigualdad de Chebychev 4 Ley de Los Grades Números

3 Coteido 1 Teorema del Límite Cetral 2 Teorema de DeMoivre-Laplace 3 Desigualdad de Chebychev 4 Ley de Los Grades Números

4 Teorema del Límite Cetral Teorema del Límite Cetral Teorema: Sea X 1, X 2,..., X N v.a. idepedietes co medias y variazas η i = E[X i], σ 2 i = E[(X i η i) 2 ], i = 1,..., N, y la v.a. Y = N i=1 Xi, etoces dode lím P (y1 < Y y2) = G N G(y) = ( y2 η Y y σ Y e x2 2 dx ) ( ) y1 η Y G, σ Y Es decir, Y se aproxima a ua distribució N (η Y, σ Y ), co N N η Y = η i, σy 2 = i=1 i=1 σ 2 i

5 Teorema del Límite Cetral Cometarios Se puede aplicar siempre que ua v.a. o predomie sobre el resto La aproximació es buea a partir de N 6 Aproximació fiable co N pequeño. Sobre todo para los valores cetrales. El Teorema asegura que F Y (y) tiede a ser Gaussiaa E pricipio o dice ada sobre la fdp. Si X i so v.a. cotiuas f Y (y) tiede a ser Gaussiaa Teorema de la Covolució: La fdp de la suma de v.a. idepedietes es la covolució de las fdp s Podemos decir que la covolució de fdp s tiede a ser Gaussiaa! El Teorema del Límite Cetral sugiere ua maera alterativa de geerar variables aleatorias Gaussiaas Ejemplo: Receptor de Comuicacioes: Iterferecias, Ruido Térmico, Ruido Galáctico...

6 Teorema del Límite Cetral Ejemplo Suma de N v.a. idepedietes uiformes e [,1] (1 6 realizacioes y 1 bis) N=1 x y N=4 x y N=2 x y N=5 x y N=3 x y N=6 x y

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8 Teorema de DeMoivre-Laplace Teorema de DeMoivre-Laplace Teorema: Dadas X 1,..., X v.a. idepedietes de Beroulli co η i = E[X i] = p, σ 2 i = E[(X i η i) 2 ] = pq, i = 1,..., y la v.a. Biomial X = i=1 Xi, etoces lím P (k 1 < X k 2 ) T a Lim. Cet. = G ( P (k 1 < X k) = p k) k q k ( k2 p pq ) G k 1 x=k 1 Por lo tato, B(, p) se puede aproximar por P (X = k) 1 e (k p)2 2pq 2πpq ( ) k1 p pq 1 e (x p)2 2pq 2πpq } {{ } cte. para pq 1 dx

9 Teorema de DeMoivre-Laplace Cometarios Buea aproximació, icluso para pequeña, e el cetro de la fució { P(p) 1, p < 5 Aproximació de B(, p) : N (p, pq) 1, p 1 Ejemplo B( = 1, p =.3) B( = 1, p =.2).25.2 Distribució Biomial (fdp) Biomial B(1,.3) Poisso P(3).1.8 Distribució Biomial (fdp) Biomial B(1,.2) N(2,4).15.6 fdp fdp x x

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11 Desigualdad de Chebychev Desigualdad de Chebychev Sea X ua variable aleatoria co media η y variaza σ 2, se tiee P ( X η ɛ) σ2 ɛ 2 ɛ E fució del suceso cotrario: P ( X η < ɛ) 1 σ2 ɛ 2 ɛ=kσ P ( X η < Kσ) 1 1 K 2 Aproximació geeral pero muy coservadora. Demostració: η ɛ P ( X η ɛ) = f X (x)dx + f X (x)dx = f X (x)dx η+ɛ x η ɛ σ 2 = (x η) 2 f X (x)dx (x η) 2 f X (x)dx x η ɛ ɛ 2 f X (x)dx = ɛ 2 P ( X η ɛ) x η ɛ

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13 Ley de Los Grades Números Ley de Los Grades Números Teorema: Dadas realizacioes idepedietes de u exp. aleatorio ε, y u suceso A co P (A) = p, se verifica ɛ > lím P ( fa p ɛ) = 1, dode f A = A es la frecuecia relativa del suceso A. Demostració: ( A es ua v.a. B(, p)) P ( f A p ɛ) = P (p ɛ A p + ɛ) = P (p ɛ A p + ɛ) ( ) ( ) p + ɛ p p ɛ p P ( f A p ɛ) = G G pq pq ( ) ( ) ( ) ɛ ɛ ɛ = G G = 2G 1 pq pq pq ( ) ɛ lím P ( fa p ɛ) = lím 2G 1 = 1 pq

14 Ley de Los Grades Números Ley de Los Grades Números Aplicació Práctica: Suceso A co P (A) = p? para que P ( f A p ɛ) µ Ejemplo: P (A) = p =.6 ɛ =.1 µ =.98 P ( f A.6.1) 2G ( ) 1 P ( f A.6.1) Y si descoocemos P (A) = p? lím P ( fa p ɛ) = 2G ( ) ɛ 1 2G(2ɛ ) 1 pq pq 1/4 2G(.2 )