INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA. Curso Práctico I Introducción a los Métodos Estadísticos. Fecha de Entrega: 5 de Setiembre de 2012.

Transcripción

1 INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA Curso 01 Práctico I Itroducció a los Métodos Estadísticos. Fecha de Etrega: 5 de Setiembre de Parte A: Ejercicios Teóricos: Ejercicio N o 1 Pruebas de Beroulli y Desigualdad de Chebyshev: Se llama prueba de Beroulli a u experimeto aleatorio cuyos posibles resultados so agrupados e dos cojutos excluyetes, que llamaremos éxito o fracaso, co probabilidades p y q respectivamete. a) Demuestre que la probabilidad de obteer éxitos e N pruebas de Beroulli N! está dada por la distribució biomial p q N.! N! ( ) b) Demuestre que el valor esperado de ua distribució biomial es Np y su variaza es Npq. c) (Opcioal) Demuestre la siguiete desigualdad (deomiada Desigualdad de Chebyshev ) que verifica ua variable aleatoria X de valor medio µ y variaza σ σ : P ( X µ ε) para cualquier ε >0. ε d) Cosidere la variable aleatoria X igual al úmero de éxitos e ua sucesió de N pruebas de Beroulli. Utilizado la desigualdad de Chebyshev X pq demuestre que: P p ε. N Nε e) Demuestre que 1 pq y aplique a la desigualdad de la parte aterior. 4 Ejercicio N o (*) Distribució de Poisso (Reif 1.9 y 1.10): La probabilidad ( ) W de que u suceso, caracterizado por ua probabilidad p ocurra veces e N experimetos viee dada por la distribució biomial: W ( ) = p 1! N! ( N )! N ( p) 1 - La etrega míima debe coteer los ejercicios marcados co asterisco, que e este repartido so: Ejercicios N o, 7, 8 y 10. I 1/7

2 INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA Curso 01 Cosidere ua situació e que la probabilidad p es pequeña (p << 1) y el úmero de experimetos muy grade (N >> 1). Note que W ( ) se hace muy pequeña si N, a causa de la pequeñez del factor p. E cosecuecia, W ( ) es solo apreciable cuado << N. E este caso puede hacerse alguas aproximacioes para reducir W ( ) a ua forma más secilla. N a) Demuestre que ( 1 p) exp( Np) utilizado que l( p) p N! N! b) Demuestre que N ( ) c) Utilizado los resultados ateriores cocluya que: W. λ! ( ) = exp( λ). 1. siedo λ Np el úmero medio de sucesos. Esta distribució se llama Distribució de Poisso. d) Demuestre que la distribució de Poisso está adecuadamete ormalizada, o sea que: N = 0 W ( ) = 1 NOTA: La suma aterior puede extederse hasta ifiito porque ( ) despreciable si N. e) Use la distribució de Poisso para calcular. f) Use la distribució de Poisso para calcular ( ) ( ). W es g) Demuestre que e el caso e que >> 1 la distribució de Poisso tiede a ua distribució gaussiaa. 1 SUGERENCIA: Use la aproximació de Stirlig:! = ( ) exp( ) expada l W ( ) e potecias de. π y h) (Opcioal) Verifique uméricamete estos resultados. E particular realice u histograma de la distribució biomial y ajuste ua gaussiaa. Parte B: Ejercicios Prácticos: Ejercicio N o 3 Pruebas de Beroulli: Aplique los resultados del Ejercicio N o 1 a los siguietes casos: a) Se laza ua moeda 1000 veces. Acote la probabilidad de que salga cara u úmero de veces etre 450 y 550. I /7

3 Práctico I Itroducció a los Métodos Estadísticos. b) Cuátas veces hay que tirar u dado para que, co probabilidad mayor que 0.9, la frecuecia relativa co que salga el úmero 1 difiera de la probabilidad teórica 1/6 e meos de 0.01? c) Se desea averiguar el porcetaje de fumadores de ua cierta població. Para ello se elige N persoas al azar y se calcula la frecuecia de fumadores e este grupo. Qué valor debe teer N para que esta frecuecia o difiera de la real e más de co ua probabilidad mayor que 0.95? Ejercicio N o 4: Cosidere ua sociedad e dóde las familias tiee hijos hasta el acimieto de la primera hija. Calcule e úmero medio de hijos por familia, el úmero medio de hijos varoes y mujeres, y la fracció hombres/mujeres e esa sociedad. Ejercicio N o 5 El Sigificado de Nuca (Kittel, Problema 4.4): Se ha escrito que seis moos, dedicados a golpear iiteligetemete las teclas de máquias de escribir durate milloes de milloes de años, hubiera sido capaces de escribir todos los libros del Museo Britáico. Esta frase es u disparate descocertate, pues lleva a ua coclusió erróea sobre los grades úmeros. Podría todos los moos del mudo haber escrito u solo libro desde que existe el uiverso? Supoga que moos ha permaecido setados ate uas máquias de escribir desde el pricipio del uiverso, o sea por s. Este úmero de moos es aproximadamete tres veces más grade que la població humaa presete sobre la Tierra 3. Supoga que u moo puede escribir 10 letras por segudo e ua máquia de escribir. Ua máquia de escribir puede teer 44 teclas. Acepte letras miúsculas e lugar de mayúsculas. Supoiedo que Hamlet de Shakespeare tiee 10 5 caracteres, pudiero los moos haber escrito Hamlet? a) Demuestre que la probabilidad de que cualquier secuecia de 10 5 caracteres escrita al azar aparezca e la secuecia correcta (la secuecia de Hamlet) es ~ b) Demuestre que la probabilidad de que u Hamlet-moo haya podido ser escrito a máquia desde el pricipio del uiverso es ~ La probabilidad de Hamlet es por lo tato cero e el setido operacioal de u acotecimieto, de forma de que la afirmació iicial e el euciado de este problema es u disparate: uca ocurrirá, e la producció literaria total de los moos, que escriba u solo libro dado, mucho meos ua biblioteca etera. c) Qué ocurre co el resultado aterior si o especificamos el libro pero aceptamos u libro cualquiera? Puede existir uos 30 x 10 6 libros distitos. Aldous Huxley, U mudo Feliz. 3 El libro de C. Kittel, Termal Physics e dode está propuesto este ejercicio es de I 3/7

4 INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA Curso 01 NOTA: La producció total de los moos es equivalete a 10 4 volúmees cortos de 10 5 caracteres cada uo de ellos, pero iguo de ellos sirve de duplicado a cualquier libro existete. Ejercicio N o 6: Ua fábrica produce piezas co p = 0.0 de que ua de ellas sea defectuosa. a) Calcule la probabilidad de que u lote de 100 piezas o tega igua defectuosa. b) Haga el mismo cálculo pero co 3 piezas defectuosas. c) Repita los cálculos ateriores pero usado la aproximació de Poisso (ver Ejercicio N o ) y calcule el error cometido e la aproximació. Ejercicio N o 7 (*) Camiatas al azar e ua dimesió: a) (Reif 1.4) U borracho parte de u farol e el cetro de ua calle, dado pasos de igual logitud a la derecha o a la izquierda co igual probabilidad. Cuál es la probabilidad de que esté uevamete e el farol después de dar N pasos si: i. N es par, ii. N es impar? b) Cosidere u camio al azar co probabilidad ½ de quedarse e el lugar y ¼ de dar u paso a la izquierda o a la derecha. Calcule la posició media y su dispersió al cabo de N pasos. c) (Reif 1.8) Dos borrachos parte jutos del orige, teiedo cada uo la misma probabilidad de dar u paso a la derecha o a la izquierda. Calcular la probabilidad de que vuelva a ecotrarse después de N pasos. SUGERENCIA: Se recomieda cosiderar los pasos de los borrachos como variables aleatorias idepedietes, e lugar de estudiar su movimieto relativo. Ejercicio N o 8 (*) Gas Ideal (Reif 1.16 y 1.17): Cosidere u gas de N 0 moléculas si iteraccioes mutuas ecerrado e u recipiete de volume V 0. Efoque la ateció e u subvolume cualquier V de este recipiete y desige N el úmero de moléculas coteidas e este subvolume. Cada molécula tiee la misma probabilidad de ecotrarse e u puto cualquiera del recipiete; e cosecuecia, la probabilidad de que ua molécula esté situada detro del subvolume V es V. V 0 a) Cuál es el úmero medio N de moléculas detro de V? I 4/7

5 Práctico I Itroducció a los Métodos Estadísticos. b) Determie la dispersió relativa ( N N ) N e el úmero de moléculas situadas detro de V. Exprese el resultado e fució de N, V y V 0. c) Cuál será la respuesta a la parte aterior si V << V 0? d) Qué valor tomará la dispersió ( N N ) si V V 0? Está de acuerdo la respuesta a la parte b co esta presució? V e) Si 0 << << 1, cuál es la probabilidad de que el úmero de moléculas que V 0 hay e este volume esté etre N y N + dn? Ejercicio N o 9 Camiata al azar e tres dimesioes (Reif 1.18): Ua molécula de gas recorre distacias iguales l etre colisioes, co la misma probabilidad e cualquier direcció. Después de u total de N desplazamietos, cuál es el valor medio de los cuadrados de los desplazamietos su puto de partida? Ejercicio N o 10 (*) Variables Aleatorias (Reif 1. y 1.3): r de la molécula desde Cosidere el problema del camio aleatorio para ua partícula e ua dimesió. Supoga que e cada paso su desplazamieto es siempre positivo y que tiee la misma probabilidad de estar e cualquier sitio detro del itervalo etre l b y l + b, siedo b < l. Después de N pasos: a) Cuál es el desplazamieto medio x? b) Cuál es la dispersió ( x x )? c) Repita las partes ateriores si la probabilidad de u desplazamieto etre s y s + ds es gaussiaa co valor medio l y dispersió σ. Parte C: Ejercicios Numéricos: Ejercicio N o 11: Se laza u dado 100 veces. Calcule las probabilidades de que: a) salga el úmero 6 exactamete 0 veces; b) salga el úmero 6 a lo sumo tres cuartas partes de las veces; c) salga los úmeros 3 y 6 por lo meos 15 veces. I 5/7

6 INSTITUTO DE FÍSICA MECÁNICA ESTADÍSTICA Curso 01 d) salga el úmero 6 más de 0 veces. E este caso calcule exactamete y usado la aproximació ormal. Ejercicio N o 1: Cosidere u grupo de r persoas; calcule la probabilidad de que al meos dos de ellas cumpla años el mismo día. Grafique los valores obteidos para r = 1,, y calcule a partir de qué valor de r esta probabilidad es mayor que 0.5. Parte D: Ejercicios Adicioales: Ejercicio N o 13 Ruleta Rusa (Reif 1.5): E el juego de la ruleta rusa (o recomedado por Reif) se itroduce u cartucho e el tambor de u revolver, dejado libre las otras cico cámaras. Se hace girar el tambor, se apoya el cañó e la sie y se aprieta el gatillo. a) Cuál es la probabilidad de estar co vida después de jugar N veces? b) Cuál es la probabilidad de sobrevivir a N 1 jugadas, produciedo el disparo la N-sima vez que se aprieta el gatillo? c) Cuál es el úmero medio de veces que u jugador tiee oportuidad de apretar el gatillo e este macabro juego? Ejercicio N o 14 (Reif 1.1): U foco de radioactividad emite partículas α durate u cierto tiempo t. Imagie que este itervalo de tiempo está subdividido e muchos itervalos t. Como las partículas α se emite e istates aleatorios, la probabilidad de que ua desitegració radiactiva tega lugar durate uo cualquiera de estos t es completamete idepediete de las desitegracioes ocurridas e otros istates. Imagie además que t se elige lo suficietemete pequeño para que la probabilidad de que e ese itervalo ocurra más de ua desitegració sea despreciablemete pequeña. Esto sigifica que existe cierta probabilidad p de que haya ua desitegració durate u tiempo t (co p << 1, puesto que t se ha elegido suficietemete pequeño) y ua probabilidad 1 p de que o haya desitegració e este espacio de tiempo. Cada itervalo t puede cosiderarse como u experimeto idepediete, habiedo u total de N = t/ t experimetos durate el tiempo t. a) Demuestre que la probabilidad ( ) W de desitegracioes durate u tiempo t viee dada por ua distribució de Poisso (ver Ejercicio N o ). b) Supoga que la itesidad del foco radiactivo es tal que el úmero medio de desitegracioes por miuto es 4, cuál es la probabilidad de obteer de ellas e 10 segudos? Dar valores uméricos para valores eteros de desde 0 hasta 8. I 6/7

7 Práctico I Itroducció a los Métodos Estadísticos. Ejercicio No 15: U líquido cotiee 4 bacterias por cm 3, calcule la probabilidad de teer 1 cm 3 si bacterias y la probabilidad de teer e 0.5 cm 3 por lo meos ua bacteria. Ejercicio N o 16 (Reif 1.19): Ua batería de potecial V está coectada a ua resistecia R; e cosecuecia se V disipa ua potecia P = e dicha resistecia. La batería está formada por N celdas R idividuales coectadas e serie de forma que V es la suma de todos los poteciales de todas las celdas. La batería es vieja de forma que o todas las celdas está e perfectas codicioes. Por lo tato, existe ua probabilidad p de que el potecial de cualquier celda idividual tega su valor omial v; y ua probabilidad 1 p de que el potecial de cualquier celda idividual sea cero por cortocircuito itero. Las celdas idividuales so estadísticamete idepedietes etre sí. Bajo estas codicioes calcule la potecia media P disipada e la resistecia, expresado el resultado e fució de N, V, p y R. I 7/7