TEMA 6 MUESTRAS ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

Transcripción

1 .- Itroducció: TEMA MUESTRAS ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO Los aálisis estadísticos que se realiza e el mudo real tiee como objetivo estudiar las propiedades características de las poblacioes (cuyos idividuos puede ser persoas, aimales o cosas. el porcetaje de torillos defectuosos producidos por ua máquia e u determiado período de tiempo el gasto (e alimetació, vestido, vivieda, etc de las familias españolas. el coeficiete itelectual de los alumos uiversitarios europeos Pero estudiar todos los idividuos de la població supoe: Elevados costes ecoómicos Mucho tiempo de trabajo Errores de medició E alguos casos, la destrucció del elemeto objeto del estudio (vida media de u motor, tiempo de duració de determiado tipo de cubiertas de automóvil, Se recurre etoces a cosiderar cojutos de elemetos represetativos de dicha població, llamadas muestras, cuyas propiedades os permite iducir las propiedades que os iteresa de la població. El estudio de poblacioes mediate muestras adecuadas tomadas de ellas costituye la llamada Iferecia Estadística, Estadística Iductiva, Teoría de la Estimació o Teoría de Muestras Para iferir resultados de las poblacioes a partir de datos de las muestras cabe distiguir dos formas geerales de actuar: Estimació: Etederemos por estimació de u parámetro poblacioal al cálculo del valor de este a través de ua muestra. Por ejemplo, si pretedemos determiar el valor de la media poblacioal, podríamos calcular la media de la muestra elegida y atribuir este valor a aquella. Para que esta estimació sea correcta debe cumplir ciertas codicioes. Prueba o cotraste de hipótesis: E este caso se realiza ua cojetura (hipótesis sobre el valor del parámetro poblacioal descoocido, basádoos e iformacioes o coocimieto previo del problema y se trata de elaborar ua regla que os permita dilucidar sobre su validez. Esta regla se deomia cotraste o test de la hipótesis. Ambas formas de actuar para producir ua iferecia so complemetarias..- Noció y tipos de muestras: Para que las coclusioes de la teoría del muestreo y de la iferecia estadística sea válidas, las muestras debe escogerse represetativas de la població. El aálisis de los métodos de muestreo y los problemas relacioados co ellos se llama diseño del experimeto.

2 Existe varias formas de seleccioar muestras de las poblacioes: Muestra aleatoria: cuado los elemetos de la població se elige de forma aleatoria, usado cualquier mecaismo de azar aleatoria simple (m.a.s.: Se garatiza que todos los idividuos de la població tega la misma probabilidad de ser elegidos e la muestra y que los miembros de esta se elija de forma idepediete. sistemática: se obtiee eligiedo al azar, mediate m. a. s., u elemeto de los k primeros (x i. El resto de los elemetos muestrales vedrá dados por x i+k, x i+k,. Siedo k el etero más próximo a N/, dode N es el tamaño de la població y el de la muestra. estratificada: se divide los elemetos de la població e clases o estratos (edad, reta, etc y detro de cada uo de ellos se elige los elemetos por m. a. s. o sistemático. Muestra o aleatoria: Se seleccioa los idividuos de forma subjetiva (opiática, lo que puede itroducir cierto sesgo a los resultados obteidos. Nosotros supodremos a partir de ahora que utilizamos siempre el muestreo aleatorio simple. Ua muestra aleatoria simple puede obteerse de ua població usado mecaismos que de igual oportuidad de selecció a todo miembro de la població, etre los que podemos ombrar: lazar ua moeda sacar bolas umeradas, cada ua de las cuales represeta a u elemeto de la població, tomadas de ua ura dode ha sido mezcladas geerar úmeros aleatorios por medio de u ordeador E defiitiva cualquier mecaismo que cumpla co las reglas coocidas del azar, es cofiable para seleccioar ua muestra aleatoria simple. De maera más formal, para seleccioar ua muestra aleatoria simple de tamaño de ua població f(x, debe defiirse ua variable aleatoria i :,,...,, que represete la medició o valor muestral iésimo que se observe. Las variables aleatorias,,,,..., (o la variable aleatoria multidimesioal (,,..., costituirá etoces ua muestra aleatoria de la població f(x co valores uméricos x,, x,,..., x, si las medicioes se obtiee repitiedo el experimeto veces, idepedietemete, esecialmete bajo las mismas codicioes. Debido a las codicioes idéticas bajo las cuales se seleccioa los elemetos de la muestra, es razoable supoer que las variables aleatorias,,,,..., so idepedietes, y que cada ua tiee la misma distribució de probabilidad f(x. Esto es, las distribucioes de probabilidad de,,,,..., so, respectivamete, f(x, f(x,..., f(x y su distribució de probabilidad cojuta es: f(,,... f(.f(...f(. Etediedo por tal, a la població cuyas observacioes so valores de ua variable aleatoria que tiee ua distribució f(x. Por ejemplo, si ispeccioamos artículos que sale de ua líea de esamblaje para verificar los defectos; etoces cada observació de la població puede ser u valor de ó de la variable aleatoria biomial co distribució de probabilidad f(xp x.q -x x,,...

3 3.- Estadísticos o estimadores: U parámetro es ua caracterizació umérica de la distribució de la població de maera que describe total (λ de ua de Poisso o parcialmete (µ de ua ormal N(µ,, la fució de desidad de probabilidad de la característica de iterés de la població. Es u valor fijo y descoocido, puesto que para coocerlo ecesitaríamos estudiar toda la població. Como los parámetros poblacioales so difíciles de obteer directamete, se recurre a los estadísticos o estadigrafos para estimarlos. U estadístico o es más que ua fució de las variables aleatorias que costituye la muestra y que o cotiee igú valor descoocido. Es ua caracterizació umérica de la muestra (media, variaza, et Su valor o es fijo sio que depede de la muestra particular seleccioada. El estadístico es a la muestra lo que el parámetro es a toda la població. Más formalmete, dada ua m.a.s.,,...,, de ua població e la que se estudia la variable aleatoria, se defie Y H(,,...,, dode H es cualquier fució real, como u estadístico o estadigrafo, que, para cada realizació de la muestra, defiida por el -tuplo (x, x,... x toma u valor diferete y H(x, x,..., x. Dicho de otra forma, u estadigrafo es ua fució real de la muestra. El estadístico calculado desde la muestra aleatoria rara vez, si es que algua, cocuerda exactamete co el parámetro de la població de dode fue tomada la muestra y además, el estadístico calculado a partir de ua muestra de la població por lo geeral o cocuerda exactamete co el estadístico calculado a partir de otra muestra de la misma població. Esta diferecia se preseta porque el mecaismo azaroso, empleado para seleccioar la muestra, puede hacerlo cada vez de forma ligeramete diferete. De acuerdo co la defiició aterior u estadigrafo es ua variable aleatoria, que como tal, tiee ua distribució de probabilidad. Cosideremos todas las posibles muestras de tamaño e ua població dada (co o si reposició. Para cada muestra podemos calcular u estadístico (tal como la media o la desviació típica, cuyo valor variará de muestra a muestra. De esta maera obteemos ua distribució del estadístico que se llama distribució e el muestreo. Si, por ejemplo, el estadístico utilizado es la media muestral, etoces la distribució se llama distribució de muestreo de la media. Aálogamete podríamos teer distribució de muestreo de la desviació típica, de la variaza, de la mediaa, de las proporcioes, etc... Para cada distribució de muestreo podemos calcular, a su vez, la media, variaza, etc... Así pues, podemos hablar de la media y la desviació típica de la distribució de muestreo de la media, etc... La distribució muestral de u estadístico depede del tamaño de la població, del tamaño de las muestras y del método de selecció de estas últimas. E el resto de este tema se estudiará varias de las distribucioes muestrales de uso más frecuete e Estadística. Las aplicacioes de estas distribucioes muestrales a problemas de iferecia estadística se verá e los temas siguietes. E el resto de este tema se estudiará varias de las distribucioes muestrales de uso más frecuete e Estadística. Las aplicacioes de estas distribucioes muestrales a problemas de iferecia estadística se verá e los temas siguietes. Ejemplo: Teemos ua població co los siguietes N 3 elemetos: {, y 3}, dode µ,7. 3

4 Se extrae muestras de elemetos: Co reposició, teemos 9 posibles muestras: (, ; (, ; (, 3; (, ; (, ; (, 3; (3, ; (3, ; y (3, 3. Si reposició, teemos posibles muestras: (, ; (, 3; (, ; (, 3; (3, ; y (3,. E cada ua de las muestras puede calcularse los correspodietes estadísticos descriptivos: Por ejemplo, co reposició: Las medias muestrales ( x sería: ;,5; ;,5; ;,5; ;,5; y 3 Las variazas muestrales (S sería: ;,5; ;,5; ;,5; ;,5; y Por tato, los estadísticos so variables aleatorias que puede adoptar diferetes valores y que tiee su propia distribució de probabilidad. E el ejemplo vemos que x puede tomar 5 posibles valores y que la probabilidad que correspode a cada uo de ellos (f ( x i, su distribució es: No es ecesario costruir la distribució de u estadístico (p.e. de x e todos los casos ya que cada estadístico tiee su propia distribució muestral coocida. 4.- Pricipales distribucioes e el muestreo: Las distribucioes muestrales de uso más frecuete e Estadística que aquí estudiaremos será: DISTRIB. MUESTREO Media Muestral Proporció Muestralp Cuasivariaza muestrals Diferecias y sumas 4..- Distribució de muestreo de la media muestral: La primera distribució muestral importate a cosiderarse es la de la media muestral. Esta estadística tiee u papel muy importate e problemas de toma de decisioes para medias poblacioales descoocidas. Supógase que se toma ua muestra aleatoria de observacioes de ua població (co cualquier 4

5 distribució co media µ y co variaza fiita. Cada observació i :,,...,, de la muestra aleatoria costituye ua variable aleatoria idepediete, co la misma distribució que la població que está siedo muestreada. (E[ i ] µ; V( i. Etoces, la estadística: i se defie como la media de las v.a.i.i.d. o, secillamete, media muestral. Nótese que ua vez que se cooce las realizacioes x, x,..., x de,,...,, respectivamete, la realizació x de se obtiee promediado los datos muestrales. La media (esperaza de la distribució de esta media muestral, simbolizada µ x es la misma que la media de la població, esto es: E [ ] µ E xi E[ i] E[ ] E[ ] µ i La variaza de la distribució de la media muestral, que se simboliza por de la població dividida por el tamaño de la muestra. Esto es: i xi xi i i i i La desviació típica (error típico de la distribució de la media muestral sería: x, es igual a la variaza Si la variable origial sigue ua distribució Normal, la media muestral sigue tambié ua distribució Normal N( µ, N( µ, Si la variable origial sigue ua distribució cualquiera, pero el tamaño de la muestra es suficietemete grade ( 3, dado que la media muestral es igual a la suma de variables idepedietes de igual media y variaza, aplicado el Teorema Cetral del Límite (que veremos a cotiuació, podemos decir que el estadístico media muestral se distribuye tambié segú ua Normal, como ates. Ejemplo: El CI de los alumos de u cetro especial se distribuye ormalmete co media 8 y desviació típica. Si extraemos ua muestra aleatoria simple de 5 alumos: a Si se extrae u sujeto al azar, Cuál es la probabilidad de que obtega como míimo ua putuació e CI de 75? b Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea mayor de 75? c Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea como máximo 83? d Qué valor debería tomar la media aritmética para que la probabilidad de obteerlo e esa muestra sea como máximo,85? 5

6 4..- Distribució e el muestreo de proporcioes: Supogamos que ua població es ifiita y que la probabilidad de ocurrecia de u suceso (su éxito es p, mietras que la probabilidad de que o ocurra es q-p. (Por ejemplo todas las posibles tiradas de ua moeda, e la que la probabilidad de cara es p/. Esta població sigue ua distribució de Beroulli. Queremos estimar la proporció de éxitos poblacioal (proporció de caras que ha salido e todas las tiradas posibles. Para ello cosideramos todas las posibles muestras de tamaño de tal població, y para cada ua de ellas determiamos la proporció muestral de éxitos p, que viee dada por: p dode cada i se distribuye como ua Beroulli(p. º de éxitos e itetos, por lo que B(,p, cuya media sería.p, y desviació típica sería pq La media (esperaza de la distribució de esta proporció muestral, así como su variaza y su desviació típica (error típico viee dadas por las siguietes expresioes: p q p q E( pˆ p pˆ pˆ La distribució e el muestreo del estadístico proporció muestral de éxitos seguiría ua Biomial, cuya media y variazas so los idicados arriba, que o es más que el resultado de dividir por los correspodietes a la distribució Biomial de la variable origial (de hecho las probabilidades asociadas al estadístico pˆ se obtiee de la tabla de la biomial de. Cuado es suficietemete grade ( 3, se hace válida la aproximació de la Biomial a la Normal, por lo que podemos cosiderar que el estadístico proporció muestral sigue ua distribució ormal co los parámetros siguietes: p* q p pˆ p µ pˆ ˆ i p* q p(- p

7 Ejemplo Distribució del úmero de aciertos e u test de 5 ítems co p,5 Aproximació a la Normal: Distribució de muestreo de la cuasivariaza s Otra estadística importate empleada para formular iferecias co respecto a las variazas de la població es la variaza muestral deotada por ˆ. Recuérdese que ˆ es ua medida de la variabilidad e idica la dispersió o extesió etre las observacioes. Dado que la dispersió es ua cosideració ta importate como la tedecia cetral, el sigificado de ˆ para formular iferecias de es comparable co el que tiee para formular iferecias co respecto a µ. 7

8 Vamos a estudiar la distribució de muestreo de que tiee ua distribució ormal. ˆ cuado este se lleva a cabo sobre ua població ( i -µ ˆ e dode,,..., costituye ua muestra aleatoria de ua distribució ormal co media µ y variaza descoocida y lo que queremos es determiar ua distribució de muestreo que permita hacer iferecias sobre co base a ˆ como la hemos defiido. Desde u puto de vista práctico, la variaza muestral tal y como la hemos defiido tiee poco uso, ya que es muy raro que se coozca el valor de la media poblacioal µ. De acuerdo co lo aterior, si se muestrea ua distribució ormal co media µ y variaza, la variaza muestral (cuasivariaza se tedría que defiir como: V( ( i - dode se ha reemplazado la media descoocida µ por la muestral, dado orige a la presecia de otra estadística e la defiició de V(. La media o esperaza de la distribució e el muestreo de este estadístico sería: E[ V( ] como podemos comprobar uméricamete e el ejemplo iicial. El problema que teemos co este estadístico es que o coocemos qué distribució muestral sigue, (auque sepamos que la distribució de partida es Normal. Debemos buscar por tato otro estadístico del que si coozcamos su distribució e el muestreo, al meos, cuado la població de partida es Normal. Este estadístico es la cuasivariaza muestral que se defie como: S ( i - - dode tambié se ha reemplazado la media descoocida µ por la muestral, y se divide por ( - para que sea u estimador isesgado de. Si la distribució de partida es ormal, etoces: S ( - que es la estadística cuya distribució e el muestreo os permite hacer iferecias sobre co base e S, es ua χ co ( - grados de libertad. La media (esperaza de este estadístico, su variaza y desviació típica viee dados por: ( 4 E( S S S 4 Veamos por que esta estadística sigue la distribució idicada. Partiedo de ( obteemos: s ( - 8 ( i - Sumado y restado la media descoocida µ, se observa que:

9 ( i - [( i -µ - ( -µ ] ( i -µ + ( -µ -( -µ ( i -µ como ( -µ ( -µ y ( i -µ ( -µ ( i 9 -µ - ( -µ Dividiedo cada térmio de la igualdad etre y sustituyedo ( i - por el uevo valor calculado e (, obteemos: ( - S ( i -µ ( ( µ que sigue siedo la misma fórmula de partida, pero puesta de otra forma. Lo que os iteresa es coocer la distribució e el muestreo de este estadístico, que lo podemos deducir de la expresió aterior, sabiedo que: ( i -µ es ua variable aleatoria χ co grados de libertad. Dado que, si la distribució de la que se parte es N (µ,, cada i de la muestra sigue la misma distribució: i N (µ,,,..., ; Z i ( i -µ/ defie variables aleatorias ormales estádar idepedietes, se tiee: Y Z i es ua variable χ co grados de libertad ( -µ es el cuadrado de ua v. a. ormal estádar y por lo tato puede cosiderarse ua v. a. χ co grado de libertad. Si partimos de ua distribució ormal, etoces es ua ormal de media µ y desviació típica : -µ ( -µ es ua N(,y por tato es ua N(, o uaχ Utilizado técicas avazadas por ecima del ivel que se pretede e este curso, se puede demostrar que las v. a. χ ateriores so idepedietes, y por el siguiete teorema, podemos cocluir que la distribució de muestreo de ( - S / es ua distribució χ co ( - grados de libertad, cuado se muestrea ua població cuya distribució es ormal co media y variaza descoocidas. Teorema: Si, so dos variables aleatorias idepedietes y cada ua tiee ua distribució χ co y grados de libertad respectivamete, etoces las variables: Y + e Y - sigue distribucioes χ co ( + y ( - grados de libertad respectivamete.

10 4.4.- Distribucioes e el muestreo de diferecias y sumas: Supogamos que estamos iteresados e estudiar dos poblacioes. Para cada muestra de tamaño de la primera, calculamos u estadístico T ; eso da ua distribució de muestreo para T, cuya media y desviació típica deotaremos por E[T ] y T. Del mismo modo, para ua muestra de tamaño de la seguda, calculamos u estadístico T ; Eso da ua distribució de muestreo para T cuya media y desviació típica deotaremos por E[T ] y T. De todas las posibles combiacioes de estas muestras de las dos poblacioes podemos obteer ua distribució de las diferecias T - T, que se llama DISTRIBUCION DE MUESTREO DE DIFERENCIAS DE LOS ESTADISTICOS. La media y la desviació típica de esta distribució de muestreo, deotadas respectivamete por E[T -T ] y (T - T, viee dadas por: [ T T ] E[ T ] E[ T ] + E ( T -T T T supuesto que las muestras escogidas o depede e absoluto ua de otra (sea idepedietes. Si T y T so las medias muestrales de ambas poblacioes, que deotaremos por y respectivamete, etoces la distribució de muestreo de las diferecias de medias viee dada para poblacioes ifiitas co medias y desviacioes típicas (µ, (µ,, respectivamete por: E [ ] E[ ] E[ ] µ -µ ( A veces es útil hablar de DISTRIBUCION DE MUESTREO DE LA SUMA DE ESTADISTICOS. La media y la desviació típica de tal distribució so: [ T + T ] E[ T ] E[ T ] + E + ( T +T T T supuesto que las muestras sea idepedietes. 5.-Teorema cetral del límite: Si es la media de ua muestra aleatoria de tamaño que se toma de ua població co cualquier distribució (oblicua a la derecha, oblicua a la izquierda, co forma de tia, etc..., cuya media es µ y variaza fiita, etoces la forma límite de la distribució de: -µ Z coforme, es la distribució ormal estádar N (,. Qué ta grade debemos hacer el tamaño de la muestra para facilitar la obteció de ua buea aproximació, empleado este procedimieto? Esta aproximació ormal para geeralmete será buea si 3 si importar la forma de la població. Si la població es simétrica, es posible obteer ua buea aproximació co ua. Si se sabe que la població es ormal, la distribució muestral de seguirá exactamete ua distribució ormal, si importar qué ta pequeño sea el tamaño de la muestra. Ejemplo:

11 Cosidere la població formada por bolas, e cada ua de las cuales hay pitado uo de los úmeros,,,,, 3. El histograma de esta població es oblicuo hacia la derecha alrededor de ua media igual a 5/3. La població tiee ua variaza de 5/9. Valores posibles de la variable origial (x i 3 Prob. de aparició de cada valor x i (p i 3 3 µ i x i p i ( xi -µ * p [.435 * 3+.5 * +.795].555 5/9 i població origial 3/5 / /5 /3 /5 Supogamos ahora que seleccioamos, co reemplazamieto, ua muestra de tamaño ( de esta població. La distribució de la media muestral tiee la media y variaza siguietes: Casos totales : C 3 Valores posibles de (.5 (, (3,3,.5 (3,3 3 (33 Probabilidad de aparició de los valores 3 9 C 3 Pr( 3 C C. C Pr( + Pr( C C. C C C. C Pr(3 + Pr(3 + Pr( C C. C Pr(3 + Pr(3 C. C C C Pr( C. C3 C. C C C C. C C 3 4 3

12 5 5/9 5 µ µ 3 8 Podemos apreciar por su histograma que esta distribució de sigue siedo aú oblicua hacia la derecha. Pero auque la població o tiee tedecia para supoer ua forma de campaa, la distribució para comieza a mostrar algo de ua forma de campaa. /3 /7 /4 /5 /7 Si tomamos todas las posibles muestras de tamaño 3 (3, la distribució de tedría las siguietes media y variaza: µ µ + 3 5/ /3 /7 /4 /5 /7 La forma de campaa de este histograma es más prouciada que el de la figura aterior. Si tomamos cada vez mayor, veríamos los resultados del Teorema del Límite Cetral demostrados visiblemete. El histograma llegaría a tomar la suave forma de campaa de la distribució ormal. Podemos demostrar el mismo feómeo si muestreamos ua població e la cual la proporció p tega ua característica dada. E este caso la distribució tiee ua media µ p p y ua variaza p p ( - p/.