Jueves, 25 de abril. Dificultades de los modelos PNL. Dónde está la solución óptima? Otro ejemplo: Óptima Local frente a Global

Transcripción

1 . Jueves, de abril Teoría sobre la programació o lieal Programació separable Dificultades de los modelos PNL PL: Etregas: material de clase PNL: Aálisis gráfico de la programació o lieal e dos dimesioes: u eemplo Miimizar ( ) + ( ) sueto a ( - 8) + ( - 9) 9 + Dóde está la solució óptima? Nota: la solució óptima o está e ua esquia. Está dode el isocotoro toca la regió factible. Otro eemplo: Miimizar (-8) + (-8) Etoces el mi global o restrigido tambié es factible. La solució óptima o se ecuetra e el límite de la regió factible. Óptima Local frete a Global Defiició: sea ua solució factible, etoces es u ma global si f() f() para cada factible. es u ma local si f() f() para cada factible. suficietemete cerca de (p.e., -ε + ε para todo algú pequeño ε). z = f() z A B ma f() s. a. Puede eistir varias solucioes óptimas locales. C

2 Cuádo ua solució local óptima lo es tambié globalmete? Estamos miimizado. La fució obetiva es covea. La regió factible es covea. Coveidad putos etremos P 8 Decimos que u couto S es coveo, si por cada dos putos e e S, por cada úmero real λ e [,], λ + (-λ) ε S. La regió factible de u programa lieal es covea. Decimos que u elemeto w ε S es u puto etremo (vértice, esquia), si w o es el puto medio de cualquier segmeto detro de S. 7 8 W 8 Recoocer regioes factibles coveas Cuáles so coveas? Si todas las restriccioes so lieales, etoces la regió factible es covea. La itersecció de regioes coveas es covea. A B C D Si para todo e factible, el puto medio de e es factible, etoces la regió es covea (ecepto e eemplos que sea ada realistas). B C B C B C 9 Fucioes coveas Fucioes Coveas: f(λ + (- λ)z) λ f() + (- λ)f(z) por cada z para λ. p.e., f((+z)/) f()/ + f(z)/ Decimos coveidad estricta si el sigo es < para < λ <. Fucioes cócavas Fucioes cócavas: f(λ + (- λ)z) λ f() + (- λ)f(z) por cada z para λ. p.e., f((+z)/) f()/ + f(z)/ Decimos coveidad estricta si el sigo es > para < λ <. f() La uió mediate líeas de cualquier puto está por ecima de la curva f() La uió mediate líeas de cualquier puto está por debao de la curva (+z)/ z z (+z)/

3 Clasificar como cócava o covea o como ambas o igua. Qué fucioes so coveas? f() = + 7 todo fucioes lieales f() = alguas fucioes cuadráticas f() = e f() = / para > f() = f() = - l() para > Codició suficiete: f () > para todo. Qué fucioes so coveas? Máimo (míimo) local Si f() es covea, g() es covea. Etoces tambié lo es h() = a f() + b g() para a>, b>. Si = f() es covea, etoces {(,) : f() } es u couto coveo U máimo local de ua fució cócava e ua regió factible covea es tambié u máimo global. U míimo local de ua fució covea e ua regió factible covea es tambié u míimo global. La coveidad o cocavidad estricta implica que el óptimo global es úico. Dado esto, podemos resolver co eactitud: Problemas de maimizació co ua fució obetiva cócava restriccioes lieales. Problemas de miimizació co ua fució obetiva covea restriccioes lieales. Cuáles so regioes factibles coveas? (, ) : + Más sobre optimidad local (, ) : + (,) : = + = + ^ Las técicas de miimizació de optimizació o lieal suele hallar u óptimo local. Esto es útil cuado ua solució óptima local es ua solució óptima global No lo es e muchas ocasioes. Coclusió: si resuelve u programa o lieal, itete averiguar qué tal so las solucioes óptimas locales. 8

4 Resolució de PNL co Ecel Solver Hallar ua óptima local para ua sola variable PNL Resolver PNLs co ua variable : ma f(θ) s.a. a θ b La solució óptima es u puto frotera o satisface f (θ ) = f (θ ) <. f(θ) f(θ) f(θ) a θ * b θ 9 a θ * b θ a θ * b θ Resolució de ua PNL co ua sola variable Si f(θ) es cócava (o uimoda l) difereciable ma f(θ) s.a. a θ b Búsqueda bisecció (o Bolzao): : Paso. Comezar por la regió de icertidumbre de θ como [a,b]. Evaluar f (θ) e el puto medio θ =(a+b)/. Μ Paso.. Si f (θ Μ ) >, elimie el itervalo hasta θ Μ. Si f (θ Μ ) <, elimie el itervalo más allá de θ Μ. Paso. Evaluar f (θ) e el puto medio del uevo itervalo Volver al paso hasta que el itervalo de icertidumbre sea suficietemete pequeño. Fucioes uimodales Ua fució de ua úica variable f es uimodal si eiste a lo sumo u máimo local (o a lo sumo u míimo local). Otras técicas de búsqueda E lugar de derivadas (que tal vez requiera mucha capacidad de computació), use dos evaluacioes de fucioes para determiar el itervalo actualizado. Búsqueda de Fiboacci: Paso. Regió de icertidumbre para θ como itervalo [a,b]. Evalúe f(θ ) f(θ ) para putos simétricos θ <θ. Paso. Si f(θ ) f(θ ), elimie el itervalo hasta θ. Si f(θ ) > f(θ ), elimie el itervalo a partir de θ. Paso. Seleccioe u segudo puto simétrico al que a está e el uevo itervalo, llame a estos putos θ θ de modo que θ <θ evalúe f(θ ) f(θ ). Vuelva al paso hasta que el itervalo sea lo bastate pequeño. Sobre la búsqueda de Fiboacci,,,,, 8,,, E la iteració, la logitud del itervalo de búsqueda es el úmero fiboacci k de orde para cierto k. E la iteració, la logitud del itervalo de búsqueda es el úmero fiboacci k-+. La técica coverge e la solució óptima cuado la fució es uimodal.

5 Hallar u máimo local co la búsqueda de Fiboacci Logitud del itervalo de búsqueda 8 La búsqueda halla u máimo local, pero o ecesariamete u máimo global Dóde estará el máimo La búsqueda halla u máimo local, pero o ecesariamete u máimo global Número de evaluacioes de fució e la búsqueda de Fiboacci Cada puto se elige simétricamete, la logitud l k de los itervalos de búsqueda sucesivos es: l k = l k+ + l k+. Resolviedo co estas logitudas dada u logitud fial de itervalo, l =, da los º Fiboacci:,,,, 8,,,, Por tato, si el itervalo iicial tiee logitud, se ecesita 8 cálculos de fució para reducirlo a. Cometario: si la fució es covea o uimodal, la búsqueda de fiboacci coverge e el ma global. 8 Programació separable Tiee la siguiete forma: Ma s.a. = = f ( ) g ( ), i =,, m i Cada variable aparece separada, ua e cada fució g i ua e cada fució f e el obetivo. Cada fució o lieal es de ua variable úica 9 Eemplos de programacío separable f (, ) = ( ) + ( ) f(, ) = + 8e + = + 7 f(,, ) l se e

6 Aproimació de ua fució o lieal co ua fució lieal por tramos Aproimació de ua fució o lieal de variable Aspecto. Elegir la aproimació. = ^/ + - Aspecto. Cuádo es la aproimació lieal por tramos u programa lieal disfrazado? , -, -,8 -, - -, -...,, 8,, - Aproimació de ua fució o lieal de variable: el método λ - -, -, -,8 -, - -, -, = ^/ + -.,, 8,, Elia diferetes valores of para apro. el ee Aproime utilizado segmetos rectilíeos Más sobre el λ método - -, -. -,8 -, a = -, f(a ) = - = ^/ + - a = - f(a ) = -7 / Supoga que para -, decimos que tiee λ (-) + λ (-) dode λ + λ = λ, λ Etoces aproimamos f() como λ (-) + λ (-7 /). Más sobre el método λ a = - f(a ) = -7 / a = f(a ) = - / = ^/ + - Supogamos que para -, decimos que tiee λ (-) + λ (-) dode λ + λ = λ, λ...8. Cómo aproimamos f( ) e este itervalo?. Y si? Casi el método λ Problema origial: mi / + + más térmios s.a. - + muchas más restriccioes a = -; a = - ; a = ; a = f(a ) = -; f(a ) = -7 /; f(a ) = - /; f(a ) = Problema aproimado: mi λ f(a ) + λ f(a ) + λ f(a ) + λ f(a ) más térmios lieales s.a. λ + λ + λ + λ = ; λ + muchas más restriccioes

7 Por qué la aproimació es icorrecta? Problema aproimado: mi λ f(a ) + λ f(a ) + λ f(a ) + λ f(a ) más térmios lieales s.a. λ + λ + λ + λ = ; λ Cosidere + ma more λ costraits = ½ ; λ = ; λ = ½ ; λ = ; El método da la aproimació correcta si sólo dos λ cosecutivas so positivas. 7 Codició de adacecia. Al meos dos pesos (λs) so positivos. Si eáctamete dos pesos (λs) so positivos, etoces so λ λ + para cierto. La misma codició se aplica a toda fució aproimada. 8 Aproimació de ua fució obetiva o lieal para u PNL de miimizació problema origial: miimizar {f(): P} Supoer que = Σ λ a, dode Σ λ = λ >=. Aproimar f(). miimizar {Σ λ f(a ): Σ λ a P} Nota: si se da la oportuidad de represetar e modos alterativos, la PL eligirá el que coduzca al valor meos obetivo para la aproimació. Para miimizar ua fució covea, el método λ satisface automáticamete la propiedad de adacecia adicioal. mi z = λ f(a ) + λ f(a ) + λ f(a ) + λ f(a ) + λ f(a ) s.a. λ + λ + λ + λ + λ = ; λ + codició de adacecia + otras restriccioes 9 a a a a a Fucioes obetivas aproimadas factibles si las codicioes de adacecia mi z = λ f(a ) + λ f(a ) + λ f(a ) + λ f(a ) + λ f(a ) s.a. λ + λ + λ + λ + λ = ; λ + otras restriccioes Pero u míimo e este caso siempre sucede e la curva lieal por segmetos. mi z = λ f(a ) + λ f(a ) + λ f(a ) + λ f(a ) + λ f(a ) s.a. λ + λ + λ + λ + λ = ; λ + otras restriccioes a a a a a a a a a a

8 Programació separable (e el caso de restriccioes lieales) Ma f ( ) Comezar co u PNL: sa.. D = d Trasformar a separable: Ma f ( ) s D = d ; = Aproimar co el método λ : Aproimació Reepresar e térmios de λ variables: k Ma f ( a k) λ k = k= sa.. D = d ; ; k λ =, =,, k k= λ para todo, k k las codicioes de adacecia Si el problema origial es cócavo, etoces se puede elimiar las codicioes de adacecia (se satisface automáticamete) Cómo se puede costruir fucioes separables? Térmio Sustitució Restriccioes Restrició ( + ) + = + Nigua i i i Eemplos de trasformació ( + + ) E: Sustitua sea = + + =.( + ) i i i = =.( ) Nigua = log = log + log, > i i i i z = i i = i > z = i i E : + Sea = = + añada la restricció log = log + log + log + + i i = log = (log )( + ) i Nigua Resume PNL Las fucioes covea cócava los coutos coveos so propiedades importates Técicas de búsqueda de Bolzao Fiboacci se utiliza para resolver fucioes uimodales de variable Programació separable fució obetiva restriccioes o lieales que so separables Técica geeral de aproimació 7