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1 MATERIA: ÁLGEBRA LINEAL CÓDIGO: REQUISITOS: Algebra y Fucioes (08272), Lógica y Argumetació (0827) PROGRAMAS: Admiistració de Empresas, Biología, Ecoomía (ENI), Ecoomía (EPP), Igeierías, Química, Química Farmacéutica PERÍODO ACADÉMICO: INTENSIDAD HORARIA: 4 Horas por semaa CRÉDITOS 1 OBJETIVO GENERAL: Como resultado de aprobar este curso, el estudiate sabrá utilizar el Álgebra Lieal e la solució de problemas que ivolucra sistemas de ecuacioes lieales, álgebra matricial y trasformacioes lieales. Igualmete, habrá fortalecido su competecia para eteder demostracioes de resultados matemáticos y su capacidad para propoer demostracioes propias. 2 OBJETIVOS TERMINALES. Al fializar el curso el estudiate estará e capacidad de: 2.1 Defiir los elemetos ecesarios para cocebir, costruir y solucioar modelos matemáticos que ivolucre sistemas de ecuacioes lieales. 2.2 Utilizar las técicas propias del Álgebra Lieal para maipular matrices, sistemas de ecuacioes, espacios vectoriales, valores y vectores propios, y resolver problemas básicos que ivolucre estos coceptos. 2. Idetificar la estructura de espacio vectorial e diferetes cotextos y sus propiedades comues o específicas. 2.4 Idetificar trasformacioes lieales típicas, a partir de su defiició vectorial o de su represetació matricial, y utilizar esta última represetació para resolver problemas que las ivolucra. 2.5 Idetificar las hipótesis y la coclusió de resultados básicos de Álgebra Lieal, aalizarlos y argumetar co base e dichos resultados, sobre posibles solucioes a problemas de carácter teórico. 2.6 Utilizar las técicas básicas de demostració matemática. OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE FORMACIÓN ACADÉMICA. NOTA: Para todas las uidades del curso se espera que el estudiate alcace el objetivo específico de: propoer o reproducir la demostració de alguos resultados básicos de la uidad..1 UNIDAD 1: Los Sistemas de Ecuacioes Lieales y las Matrices..1.1 Idetificar u Sistema de Ecuacioes Lieales (S.E.L) y escribir su matriz asociada..1.2 Eteder el cocepto de solució de u sistema de ecuacioes lieales..1. Utilizar el método de elimiació para resolver u sistema de ecuacioes lieales dado.. Reducir ua matriz a su forma escaloada o escaloada reducida utilizado operacioes elemetales por fila..1.5 Eteder el cocepto de matriz iversa y su relació co el cojuto de solucioes de u.sistema de ecuacioes lieales..1.6 Costruir y resolver sistemas de ecuacioes lieales utilizado elimiació gaussiaa.

2 .2 UNIDAD 2: Los Determiates..2.1 Idetificar el determiate como u úmero real úico asociado a cada matriz cuadrada..2.2 Calcular el determiate de ua matriz cuadrada utilizado operacioes elemetales por fila..2. Asociar el valor del determiate co la existecia de la matriz iversa y su relació co la solució del sistema de ecuacioes lieales asociado... UNIDAD : Los vectores e R, Ubicar putos e el plao y e el espacio utilizado coordeadas cartesiaas...2 Realizar operacioes básicas (suma, resta, multiplicació por escalar) co vectores e el plao y e el espacio, utilizado tato el método geométrico (traslacioes, cotraccioes y dilatacioes) como el método aalítico (operacioes coordeada a coordeada)... Calcular el producto puto y el producto cruz etro dos vectores dados...4 Utilizar las propiedades algebraicas y geométricas tato del producto puto como del producto cruz para simplificar cálculos co estas operacioes y aplicarlos al cálculo del área de u triágulo o el volume de u paralelepípedo...5 Determiar cuádo u par de vectores dados so paralelos o perpediculares....6 Resolver problemas típicos de rectas y plaos..4 UNIDAD 4: Los Espacios Vectoriales Reales..4.1 Idetificar las propiedades que caracteriza a R como u espacio vectorial..4.2 Verificar las propiedades de espacio vectorial e cojutos coocidos (clásicos), como matrices y poliomios, co las operacioes usuales..4. Idetificar bajo qué codicioes u subcojuto de u espacio vectorial es u subespacio vectorial del mismo..4.4 Recoocer aalítica y geométricamete los subespacios típicos de rectas por el orige y los plaos por el orige e R ) 2 R y R (los triviales, las.4.5 Idetificar bajo qué codicioes u subcojuto dado de R o de u espacio vectorial clásico es liealmete idepediete, subcojuto geerador o ua base del espacio vectorial..4.6 Idetificar cuádo u subcojuto de R o de u espacio vectorial clásico es ua base ortoormal, y como ecotrar cojutos ortoormales para subespacios vectoriales dados..4.7 Formular y eteder el problema de los Míimos Cuadrados..4.8 Estudiar los espacios más relevates asociados a todo subespacio vectorial: Rago y Espacio Nulo..5 UNIDAD 5: Valores y Vectores Propios. Aplicacioes..5.1 Calcular los Valores Propios y Vectores Propios de ua matriz cuadrada..5.2 Idetificar las codicioes bajo las cuales ua matriz cuadrada es diagoalizable..5. Dada ua matriz cuadrada diagoalizable, utilizar sus vectores propios para costruir ua base ortoormal de R..5.4 Ecotrar ua matriz diagoal semejate a ua matriz diagoalizable dada..6 UNIDAD 6: Trasformacioes Lieales..6.1 Determiar cuádo ua fució etre espacios vectoriales es ua Trasformació Lieal..6.2 Idetificar y difereciar los espacios vectoriales asociados a ua trasformació lieal: domiio, codomiio, úcleo e image..6. Calcular el Núcleo y la Image de ua Trasformació Lieal dada.. Determiar si ua Trasformació Lieal dada es biyectiva..6.5 Recoocer y usar la Idetificació etre R y los espacios vectoriales clásicos de dimesió fiita: los poliomios y las matrices..6.6 Ecotrar la matriz de ua trasformació lieal dada.

3 4 CONTENIDO. El coteido total del curso se detalla por temas e la parcelació que se adjuta a este programa. 5 METODOLOGIA. 5.1 El efoque: E cocordacia co los propósitos de la uiversidad, e el desarrollo de este curso se cosidera que el apredizaje es el resultado de u proceso de costrucció del coocimieto, que tiee como cetro al estudiate y como guía al profesor. Este efoque se cocretará e la práctica co el aprovechamieto de los resultados del estudio previo hecho por los estudiates, como elemeto geerador de pregutas, discusioes y coclusioes. 5.2 La discusió e clase: La discusió, orietada por el profesor es el elemeto cetral e la metodología del curso. Se fudameta e el estudio prelimiar de las seccioes asigadas, e las pregutas de los estudiates y e sus respuestas a sus pregutas y a las del profesor, que alimete el proceso de apredizaje activo. El profesor iterviee esecialmete como guía y moderador de las discusioes, y se ecarga de hacer la sítesis fial para socializar el coocimieto cosolidado e clase y de idicar al estudiate la labor que debe realizar como preparació para la clase siguiete y los objetivos que debe alcazar como parte de tal preparació. 5. Las actividades del estudiate: Para el logro de los objetivos de apredizaje el estudiate debe desarrollar co total resposabilidad u cojuto de actividades ates, durate y después de la clase, así: Ates de la clase Realizar todas las actividades idicadas por el profesor para la preparació del tema de clase, hacer explícitas las dudas e iquietudes que le surja como resultado de este proceso y preparar las pregutas que formulará durate la clase de presetació del tema, co el fi de resolver las dudas e iquietudes. Durate la clase: Participar activamete e las discusioes que se geere a partir de las pregutas formuladas por los estudiates y por el profesor, y de las respuestas a las mismas. Igualmete, presetar las dudas e iquietudes que le surgiero al prepararse para esta clase, y discutir alterativas propias de solució de problemas, cuado las tega. Después de la clase: Asegurarse de cosolidar el uevo coocimieto resolviedo ejercicios y problemas que e la fase de preparació o haya podido resolver, o que reviste mayor complejidad, y relacioádolo co coocimietos previamete adquiridos. 6 EVALUACIÓN. Preparació para la clase 15% Primer Parcial 20% Segudo Parcial 20% Exame Fial 25% Todo el coteido del curso Pruebas cortas 20% Por lo meos tres; se elimia la de meor calificació. NO HAY supletorio de pruebas cortas. EXAMEN FINAL: Noviembre 29 de 2016, 9:0 a 12:00 EXÁMENES SUPLETORIOS: Octubre 29 de 2016, 9:0 a 12:00, (exámees parciales) Diciembre 5 de 2016, 9:0 a 12:00, (exame fial) OBSERVACIÓN IMPORTANTE Si u estudiate obtiee ua ota mayor o igual a. e el exame fial y la ota así acumulada está etre 2.8 y.0, la ota fial del curso será de.0. 7 BIBLIOGRAFIA. 1. Texto Guía: Álgebra Lieal. Berard Kolma y David R Hill. Octava Edició. Pearso (Pretice Hall), Álgebra lieal aplicada. Be Noble Pretice Hall, 1989.

4 ÁLGEBRA LINEAL. PERÍODO ACADÉMICO S#: Sesió úmero. S# TEMA PRESENTACION DEL PROGRAMA Prelimiares sobre sistemas de ecuacioes lieales Sistemas de ecuacioes lieales. Matrices. Producto puto y de matrices. (Hasta el ejemplo 17) Propiedades de las operacioes co matrices. Propiedades de las operacioes co matrices. (Cotiuació) Solució de sistemas de ecuacioes lieales (Método de elimiació de Gauss) El rago de la matriz (# de pivotes) y aálisis de # de solucioes (apoyarse e 6.5) Relació etre solucioes del sistema o homogéeo y el homogéeo asociado Aálisis de solucioes (cotiuació) La iversa de ua matriz cuadrada (relació co sistemas de ecuacioes) Determiates (defiició y propiedades) Desarrollo por cofactores. Propiedades (excluir regla de Cramer) 9 Determiates (cotiuació) 10 Vectores e el plao y e R ( vectores) 11 Vectores e R (cotiuació). Éfasis e las propiedades de las operacioes. SAE: Secció del texto guía asigada al estudiate para la clase siguiete Ejercicios recomedados SAE Ejercicios recomedados para que para programar la el estudiate cofrote su maejo discusió e clase previo de los temas. (*1) ES OBLIGATORIO EL ESTUDIO DE LOS EJEMPLOS DE CADA SECCIÓN DEL TEXTO De 1.1: 2, 6, 16, 18, 22, 24. T4. De 1.2: 2, 10. T : 4, 7. De 1.: 4, 8, 15, 22, 4. T: 1, 6, 10, 14. De : 8, 16. T: 19, 24, 26, 27, :, 7, 11, 15, 17, 19, 2, 27. Iterprete el sigificado de T: 1,2,. 1.2: 1,, 7, 9. T: 1, 4, 5. 1.: 1, 5, 7, 11, 1, 19, 21, 1. T:, 6, 7. : 1, 9, 1, 15. T: 10, 18, 20, 21, 2, , 5, 7, 1, 15, 21, 2, 25, 29, 5, 7, 9, 4, 45. T: 8, 12, 14. De 1.6: 10, 16, 18, 22, 24, Ejemplos 4 y 5 de 6.5 8, 46, 54. T: 5, 10, 11, 1. De 6.5: 21, : 1, 5, 20, 22, 25. T: 1, 6, 8, 9..1 De 1.7: 10, 15, 16, 18, 19, 24, 26. T:, 4, 7, 10.2 De.1: 2, 8, 14, 16, 18, T:, 9, 10, 15, De.2: 6, 16. T: 7, 8, 11, De 4.1: 4, 8, 1, 20, 26, 0. T: 6, 7, 8, 9. De 4.2: 4, 6, 14, 16, 20, 28. T: 6, 8, 10, 11, 1. De 4.2: discusió del Teorema :, 9, 11, 1, 15, 17, 2. T: 6, 8, 12, 18..2: c, 5a, 15, 17. T:, 5, :, 7, 14, 17, 19, 21, 29. T:, 4, : 7, 11, 1, 15, 17, 21, 27, 29, 0, 1. T: 5, 9, 14, 15, : 1,, 7, 11, 1. T: 2,, 4. Pruebas cortas 1 12 Producto cruz e R. De 5.1: 2, 6, 12. T: 5, PRIMER PARCIAL (hasta sesió 10 ) : Todos los impares. (**) 14 Rectas y plaos De 5.2: pares b), 14, 18, 20, 22. T Rectas y plaos (cotiuació) : 5, 6, : 1, 2,, 5, 7, 9, 15. T: 1, Defiició y ejemplos de espacios vectoriales (De 6.1 Ejemplos 1,4, 6, 7,8) 16 (R como espacio vectorial. Subespacios. Casos especiales de R 2 y R. Éfasis e sigificados De 6.1: 5,6,10 T: 1 al 6. De 6.2: 11, 14, 18, 24, 25 T: 2, 5, 7, 8 al 1 6.2

5 geométricos) (De 6.2 Ejemplos 1, 2,4 al 7, 9 al 11, 1. Ateció especial al ejemplo 9 y ejercicio T) 17 Defiició y ejemplos de espacios vectoriales (cotiuació) Idepedecia lieal 18 (De 6. Ejemplos 1, al 14) : 1,, 5, 7, 10 T: 1, 2 De 6.: 6, 12, 15. T:2, 7, 8(!), 9, 10, 1, 14, :, 5, 7, 12, 1 T: 1, 2, 4 19 Idepedecia Lieal (cotiuació) Bases y dimesió (Teoremas. 6.5, 6.6, 6.7!) 6. De : 2, 4, 8, 12, 1 T:, 4, 9, 12 y : ejemplos 1,2 y 20 Bases y dimesió (cotiuació). De 6.5: 6,12 y discutir T: 1, 2 y (Sistemas Homogéeos) De 6.7: 2, 4, 8,10 y discutir T: 2 al 4. (Coordeadas. NO se hace cambio de base) :, 5, 7, 1, 15, 19, 21. T: 4, 7, 10, Rago de ua matriz y Aplicacioes De 6.6: 4, 6, 8, 14, 18, 20, 22. T: 5, 6, 8, 9, : 1, 7, 11, 1, 15, 17, 19, 21. T: 1, 5, 6, Bases Ortoormales. El proceso de Gram.- Schmidt De 6.8: 2, 8, 12, 16, 18, 20. T:, 9, SEGUNDO PARCIAL (hasta sesió 20 ) 6.9 Solo lo ecesario para hacer míimos cuadrados 24 Complemetos ortogoales (solo la teoría 7.2 ecesaria para hacer míimos cuadrados ) 25 De 7.2: Todos los ejemplos : Ejemplos 1a 7. Clase magistral: Aplicacioes de espacios vectoriales reales. Míimos cuadrados Ejercicios: 1,, 9, 11, 15, 16, 17. T: 1, 2. Ejercicios: 1, 9, 1, 15, 19, 21. T: 1, 2, 4, 8, Vectores y valores propios. De 8.1: 2, 12, 16, 22. T: 5, 7, 11, : 5, 7, 9, 1, 15, 21, 2, 5, 9, 4. T: 4, 5, 8, Diagoalizació. 28 Diagoalizació de matrices simétricas De 8.2: 8, 10, 16, 22, 24, 6, 8. T: 9, 10, 12 De 8.: 2, 8, 12, 18. T: 1, 7, 9, : 1, 7, 9, 15, 16. T: 2, 4, : Ejemplos 1 a 6 29 Revisió de aplicacioes: Formas cuadráticas De 9.4: 5, 6,8, 11 al Trasformacioes lieales El úcleo y la image de ua trasformació lieal. De 4.: 2, 24, 29, 0 De 10.1: 5, 12, 19. T: 8, 9, 11 De 10.2: 4, 12, 14, 20. T: 4, 7, 8, 9, 11(!) 10.1: Teorema 10. y ejemplo 8 Ejercicios 1,, 17, 18. T: 4, : 1,, 5, 11, 17, 19. T: 4, 5, : Ejemplos 1al 7. Ejercicios, 5, 11, 17. T: 2,, 7 1 Núcleo e image (cotiuació) Represetació matricial de las trasformacioes lieales. De 10.: 6, 14, 16, 20 a) y b). T: 7, 9 2 Repaso (*1) E el desarrollo de la clase el profesor puede propoer ejercicios y ejemplos adicioales para apoyar y complemetar el trabajo co el texto guía. El estudiate debe respoder e cada clase, como míimo, por haber estudiado los ejemplos de las seccioes asigadas previamete. * Se excluye e todos los casos el estudio de aplicacioes al sistema biario. ** Se excluye e la secció 5.2 los ejemplos 1 y 7.

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