FACULTAD DE CIECIAS I CICLO DEL 2014 ESCUELA DE MATEMATICAS. Carta al estudiante. Información general

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1 UIVERSIDAD DE COSTA RICA DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA FACULTAD DE CIECIAS I CICLO DEL 2014 ESCUELA DE MATEMATICAS Carta al estudiate Iformació geeral Nombre del curso: Álgebra lieal Sigla: MA 1004 Naturaleza del curso: Teórico- práctico No de horas preseciales: 5 No de horas estudio idepediete: 10 Horas totales: 15 Modalidad: Semestral Créditos: Requisito: Igreso a carrera Correquisito: Niguo Estimado(a) estudiate: Por parte de la cátedra del curso MA 1004 Algebra lieal, reciba ua cordial bieveida y esperamos que éste cotribuya sigificativamete e su formació profesioal. E este documeto ecotrará la iformació referete a la descripció, objetivos, coteido, evaluació, croograma y bibliografía del curso. ASPECTOS GEERALES DEL CURSO: I Itroducció: Este curso brida las herramietas básicas que so eseciales e muchos campos de estudio. Su utilidad práctica se ha cosolidado e la explicació de pricipios fudametales y e la simplificació de cálculos e distitas ramas como igeiería, ciecias de cómputo, matemáticas, física, biología, procesamieto de imágees, ecoomía y estadística, lo que esperamos se covierta e u estímulo para el trabajo que deberá realizar e el curso. El curso iicia co la teoría de matrices de compoetes reales y su relació co el estudio de los sistemas de ecuacioes lieales. Posteriormete se utilizará herramietas algebraicas e la resolució de problemas de tipo geométrico. E la seguda parte del curso se llega al estudio de los espacios vectoriales y las trasformacioes lieales e dimesió fiita. Fialmete se hace ua aplicació al estudio de las formas cuadráticas. A cada cocepto pricipal tratado se le dará ua iterpretació geométrica, lo cual ayudará a visualizar mejor los coceptos. Se pretede que el estudiate apreda diferetes métodos de cálculo para la resolució de sistemas de ecuacioes lieales, ecuacioes e térmios matriciales y problemas geométricos. Además, se busca que el estudiate coozca los coceptos y resultados teóricos básicos ecesarios para la resolució de ejercicios prácticos. E este curso se requiere que el estudiate desarrolle su capacidad de pesamieto abstracto. Se busca que obtega coclusioes sobre cómo resolver u 1

2 problema, recoociedo las hipótesis plateadas, y utilizar los coceptos teóricos e el plateamieto de la solució de dicho problema. Para este fi será ecesario icluir alguas demostracioes simples y la geeralizació de alguos coceptos, si llegar a u ivel de abstracció extremo. Este curso tiee u ivel medio de dificultad y se requiere que el estudiate dedique ua gra catidad de tiempo a compreder los diferetes coceptos y los resultados teóricos estudiados e la clase. Como apoyo a esta tarea, todos los profesores de la cátedra cotamos co horas de oficia destiadas a ateder las cosultas de los estudiates del curso. Las horas de cosulta de cada profesor será publicadas oportuamete e la pizarra de aucios del curso, la cual se ecuetra ubicada e el pasillo del segudo piso del edificio de Física y Matemáticas. E esta misma pizarra se publicará todos los avisos importates del curso, por lo que le recomedamos pasar a revisarla de maera frecuete. Otro apoyo adicioal, e cojuto co la Vicerrectoría de Vida Estudiatil, so los llamados Estudiaderos, éstos fucioa los miércoles de cada semaa a partir de las 8 a.m. y so atedidos por asistetes, quiees le ayudará a salir adelate cuado tega dudas sobre los ejercicios. Este espacio se desarrollará e el aula 102 FM y se extederá durate todo el semestre. Para mayor iformació al respecto puede cosultar la Oficia de Vida Estudiatil, ubicada e el segudo piso de la Escuela de Matemáticas. II Objetivos geerales del curso: Cotribuir a la formació matemática del estudiate, esecial para describir, eteder y resolver problemas propios de su disciplia. Cotribuir al desarrollo del estudiate, de su habilidad para iterpretar y deducir aalíticamete resultados del álgebra lieal y aplicar éstos a su disciplia de estudio. Fometar el uso correcto del leguaje de la matemática y desarrollar la habilidad para expresar ideas de maera rigorosa y coherete. Que el estudiate adquiera el domiio de los temas básicos del álgebra lieal. III Objetivos específicos: Aplicar algoritmos coveietes para resolver sistemas de ecuacioes lieales. Expresar, e forma adecuada, el cojuto solució de u sistema de ecuacioes lieales. Coocer el álgebra de matrices y aplicarla adecuadamete a la solució y aálisis de los sistemas de ecuacioes lieales. Determiar, si existe, la iversa de ua matriz cuadrada. Coocer y aplicar las propiedades básicas del cálculo de determiates. Aplicar el cálculo de determiates a la solució de sistemas de ecuacioes lieales, idetificado los casos e los cuales es factible. Coocer y aplicar la geometría vectorial a diferetes tipos de problemas. Idetificar el cojuto IR como u espacio vectorial co producto itero. Coocer la geometría de los espacios IR y poder geeralizar los coceptos de líea recta y plao. Coocer y aplicar las propiedades básicas del producto vectorial e IR. Coocer la estructura de espacio vectorial. Determiar si u cojuto de vectores costituye ua base para u espacio vectorial. Obteer ua base ortogoal a partir de ua base dada de u espacio vectorial. Determiar el complemeto ortogoal de u subespacio de IR. Idetificar los espacios vectoriales de dimesió fiita co los espacios IR. m Determiar si ua fució dada, de IR e IR es ua aplicació lieal. Represetar ua aplicació lieal mediate ua matriz. 2

3 Coocer las propiedades básicas de las aplicacioes lieales y su relació co el álgebra de matrices. Determiar bases para el úcleo y la image de ua aplicació lieal. Represetar ua aplicació lieal mediate ua matriz, asociada a cualquier par de bases dadas de su domiio y de su codomiio respectivamete. Determiar matrices de cambio de bases y relacioarlas co la represetació matricial de ua aplicació lieal. Obteer los valores propios de ua matriz y los espacios propios asociados a cada valor propio. Determiar si ua matriz u operador lieal, es diagoalizable o o. Aplicar los coceptos sobre ortogoalizació al estudio de las ecuacioes cuadráticas e dos y tres variables co sus represetacioes gráficas. IV Programa: 1.- Matrices y sistemas de ecuacioes lieales: Cocepto geeral de ua matriz. Matrices especiales. Álgebra de matrices. Propiedades básicas del álgebra de matrices. Sistemas de ecuacioes lieales e m variables. Solució y cojuto solució de u sistema de ecuacioes lieales. Matriz de coeficietes y matriz aumetada de u sistema de ecuacioes lieales. Operacioes elemetales sobre las filas de ua matriz. Matrices equivaletes. Sistemas de ecuacioes lieales equivaletes y su relació co las operacioes elemetales sobre las filas de ua matriz. Forma escaloada y forma escaloada reducida. Rago de ua matriz. Método de reducció de Gauss-Jorda. Solució de u sistema de ecuacioes lieales que depede de uo o más parámetros. Sistemas de ecuacioes lieales o homogéeos y homogéeos. 2.- Matrices ivertibles: Iversa de ua matriz y matrices ivertibles. Método de Gauss-Jorda para hallar la iversa de ua matriz. Matrices ivertibles y sistemas lieales. Matriz traspuesta y sus propiedades. Combiació lieal de u cojuto de vectores de IR. Depedecia e idepedecia lieal de u cojuto de vectores de IR. - Determiates: Defiició del determiate de ua matriz cuadrada y sus propiedades elemetales. Cálculo del determiate de ua matriz triagular. Determiate de ua matriz ivertible. Determiate de la traspuesta de ua matriz. Cálculo de determiates aplicado operacioes elemetales sobre las filas y/o columas de matriz. Regla de Cramer. Relació etre el rago de ua matriz y su determiate. 4- Geometría vectorial: Represetació geométrica de u vector. Suma y resta de vectores, su represetació geométrica y propiedades. Producto escalar de vectores y sus propiedades. Norma de u vector. Águlo etre dos vectores. Producto cruz e IR y sus propiedades. Proyeccioes ortogoales. Parcial I 5.- Rectas y plaos: Descripció de ua líea recta e IR. Ecuacioes vectorial, paramétricas y simétricas de ua líea recta e IR. Plaos e IR. Ecuació vectorial y ormal de u plao e IR. Hiperplaos e IR. Distacias etre dos putos. Distacia etre u puto y ua recta. Distacia etre dos rectas, etre u puto y u plao, y etre dos plaos. 6- Espacios vectoriales:

4 Defiició y propiedades básicas de los espacios vectoriales. Subespacio vectorial. Combiació lieal de u cojuto de vectores de u espacio vectorial. Cojuto geerador de u espacio vectorial. Bases y dimesió de u espacio vectorial. Coordeadas de u vector co respecto a ua base. Espacio fila y espacio columa de ua matriz. Itersecció y suma de subespacios vectoriales. 7.- Ortogoalidad y proyeccioes: Cojutos de vectores ortogoales. Bases ortoormales. Complemeto ortogoal de u subespacio. Proyecció ortogoal sobre u subespacio. Método de ortoormalizació de Gram-Schmidt para la costrucció de bases ortoormales. Distacia de u puto a u subespacio vectorial. Parcial II 8- Trasformacioes lieales: Cocepto de trasformació lieal. Determiació de ua trasformació lieal coocida su acció sobre ua base. Núcleo e image de ua trasformació lieal. Iyectividad y sobreyectividad de ua trasformació lieal. Relació etre las dimesioes del domiio, el úcleo y la image de ua trasformació lieal. Matriz asociada a ua trasformació lieal. Trasformació lieal asociada a ua matriz. Composició de trasformacioes lieales y producto de matrices. Matriz de cambio de base. Rotacioes y reflexioes. Trasformacioes lieales ivertibles. 9- Valores y vectores propios: Cocepto de valor y vector propio. Subespacio asociado a u valor propio. Poliomio característico de ua matriz. Diagoalizació de matrices. Matrices ortogoalmete diagoalizables. Valor y vector propio de u operador lieal. Diagoalizació de operadores lieales. Operadores lieales ortogoalmete diagoalizables. 10- Curvas y superficies cuadráticas: Formas cuadráticas. Diagoalizació de formas cuadráticas. Curvas y superficies cuadráticas. Ecuacioes caóicas de las curvas y superficies cuadráticas. Rotació y traslació de las seccioes cóicas. Ejes pricipales y águlo de rotació. Parcial III V. Croograma: Este croograma es ua guía de la distribució por semaa de los coteidos del curso, cada profesor está e libertad de expoer los coceptos y realizar la práctica que cosidere ecesaria segú su estilo y e el orde que desee, siempre que o altere los coteidos que debe cubrir cada exame parcial al 15 de marzo 2 17 al 22 de marzo Cocepto geeral de ua matriz. Alguos tipos de matrices. Álgebra de matrices. Propiedades básicas del álgebra de matrices. Matriz simétrica. Matriz atisimétrica. Operacioes elemetales sobre las filas de ua matriz. Matrices equivaletes. Sistemas de ecuacioes lieales e m variables. Solució y cojuto solució de u sistema de ecuacioes lieales. Matriz de coeficietes y matriz aumetada de u sistema de ecuacioes lieales. Sistemas de ecuacioes lieales equivaletes y su relació co las operacioes elemetales sobre las filas de ua matriz. Forma escaloada y forma escaloada reducida. Rago de ua matriz. Método de reducció de Gauss-Jorda. Solució de u sistema de ecuacioes lieales que depede de uo o más parámetros. Sistemas de ecuacioes lieales o homogéeos y homogéeos. 4

5 Iversa de ua matriz y matrices ivertibles. Matriz traspuesta y sus 24 al 29 de propiedades. Combiació lieal de u cojuto de vectores de IR. marzo Depedecia e idepedecia lieal de u cojuto de vectores de IR. Defiició del determiate de ua matriz cuadrada y sus propiedades 4 elemetales. Cálculo del determiate de ua matriz triagular. Determiate de 1 de marzo al 5 ua matriz ivertible. Determiate de la traspuesta de ua matriz. Cálculo de de abril determiates aplicado operacioes elemetales sobre las filas y/o columas de matriz. 5 7 al 12 de abril Regla de Cramer. Relació etre el rago de ua matriz y su determiate. Represetació geométrica de u vector. Suma y resta de vectores, su represetació geométrica y propiedades. Producto escalar de vectores y sus propiedades 6 14 al 19 de abril SEMAA SATA 7 8 SEMAA UIVERSITARIA 21 al 26 de abril 28 de abril al de mayo 9 5 al 10 de mayo al 17 de mayo al 24 de mayo al 1 de mayo 1 2 al 7 de juio 14 9 al 14 juio al 21 de juio al 28 de juio 0 de juio al 5 de julio Norma de u vector. Águlo etre dos vectores. Producto cruz e IR y sus propiedades. Proyeccioes ortogoales. Hasta aquí los coteidos a evaluar e el I Exame Parcial. Descripció de ua líea recta e IR. Ecuació vectorial, ecuacioes paramétricas y simétricas de ua líea recta e IR. Plaos e IR. Ecuació vectorial y ormal de u plao e IR Hiperplaos eir. Distacias etre dos putos. Distacia etre u puto y ua recta. Distacia etre dos rectas, etre u puto y u plao, y etre dos plaos. Defiició y propiedades básicas de los espacios vectoriales. Subespacio vectorial. Combiació lieal de u cojuto de vectores de u espacio vectorial. Cojuto geerador de u espacio vectorial. Bases y dimesió de u espacio vectorial. Coordeadas de u vector co respecto a ua base. Espacio fila y espacio columa de ua matriz. Cojutos de vectores ortogoales. Bases ortoormales. Subespacios mutuamete ortogoales. Complemeto ortogoal de u subespacio vectorial. Proyecció ortogoal sobre u subespacio. Método de ortoormalizació de Gram-Schmidt para la costrucció de bases ortoormales. Distacia de u puto a u subespacio vectorial. Hasta aquí los coteidos a evaluar e el II Exame Parcial. Cocepto de trasformació lieal. Determiació de ua trasformació lieal coocida su acció sobre ua base. Núcleo e image de ua trasformació lieal. Iyectividad y sobreyectividad de ua trasformació lieal. Relació etre las dimesioes del domiio, el úcleo y la image de ua trasformació lieal. Matriz asociada a ua trasformació lieal. Trasformació lieal asociada a ua matriz. Composició de trasformacioes lieales y producto de matrices. Matriz de cambio de base. Rotacioes y reflexioes. Trasformacioes lieales ivertibles. Cocepto de valor y vector propio de ua matriz. Subespacio asociado a u valor propio. Poliomio característico de ua matriz. Diagoalizació de matrices. Matrices ortogoalmete diagoalizables. Valor y vector propio de u operador lieal. Diagoalizació de operadores lieales. Operadores lieales ortogoalmete diagoalizables. Formas cuadráticas. Diagoalizació de formas cuadráticas. Curvas y superficies cuadráticas. Ecuacioes caóicas de las curvas y superficies cuadráticas. Rotació y traslació de las seccioes cóicas. Ejes pricipales y águlo de rotació. Hasta aquí los coteidos a evaluar e el III Exame Parcial. VI Evaluació: Se realizará tres exámees parciales co el siguiete peso: el primero 5%, el segudo 0% y el tercero 5% para obteer así la ota de aprovechamieto NA. 5

6 Reporte de la ota fial Para efectos de promoció rige los siguietes criterios, los cuales se refiere a la ota de aprovechamieto NA idicada arriba, expresada e ua escala de 0 a 10, redodeada, e eteros y fraccioes de media uidad, segú el reglameto vigete: Si NA 6,75 el estudiate gaa el curso co calificació NA redodeada a la media más próxima, los casos itermedios como 7,25 se redodea hacia arriba, es decir, 7,5 Si 5,75 NA < 6,75, el estudiate tiee derecho a realizar el exame de ampliació, e el cual se debe obteer ua ota superior o igual a 7 para aprobar el curso co ota 7, e caso cotrario su ota será 6,0 o 6,5, la más cercaa a NA. Si NA<5,75 pierde el curso. La calificació fial del curso se otifica a la Oficia de Registro e Iformació, e la escala de cero a diez, e eteros y fraccioes de media uidad. VII Caledario de exámees: Exame Día Hora Sábado de mayo 1 pm Miércoles 14 de mayo 1pm Miércoles 11 de juio 1 pm Sábado 21 de juio 8 am Jueves 10 de julio 1 pm Lues 14 de julio 1 pm Lues 21 de julio 1pm Miércoles 25 de juio 8 am Parcial I Reposició parcial I Parcial II Reposició parcial II Parcial III Reposició parcial III Ampliació Suficiecia Horas de cosulta E la pizarra de MA 1004, ubicada e el pasillo del segudo piso de Física y Matemática, se publicará iformació sobre: distribució de aulas para exámees, horarios, horas de cosulta, etc. Uso de calculadoras: E los exámees solamete se permitirá calculadoras cietíficas básicas o de meor potecia, es decir, o está permitido el uso de calculadoras programables. Disposicioes para la realizació de las evaluacioes: Los exámees so de cátedra y su resolució es e forma idividual. No está permitido que el estudiate utilice su celular, tabletas o cualquier otro medio de comuicació electróico durate los exámees. Cualquier iteto de copiar e el exame será sacioado de acuerdo co lo que estipula el reglameto correspodiete. El estudiate debe presetarse putualmete el día del exame e el aula que fue asigada a su grupo y expuesta e la pizarra de MA o se permite los cambios de grupo, todo estudiate debe realizar las evaluacioes e el grupo e que está matriculado. Además, el estudiate debe traer u cuaderillo de exame y bolígrafo de tita azul o egra, o se permitirá hojas sueltas. Tambié es idispesable portar algú tipo de idetificació (cédula, licecia de coducir o caré uiversitario co foto, vigetes) de lo cotrario o podrá efectuar la prueba. 6

7 Exámees de reposició: Aquellos estudiates co ausecia justificada a u exame de cátedra tales como efermedades (co justificació médica), o choques de exámees (co costacia del Sr. coordiador respectivo), o casos de giras (reportados por escrito) y co el visto bueo del órgao resposable, podrá realizar el exame de reposició, siempre que llee la boleta de justificació (se pide e la secretaría de la Escuela de Matemática), adjute la respectiva costacia y la deposite e el casillero del coordiador de MA 1004 (casillero 05, segudo piso FM), e los cico días hábiles siguietes después de realizada la prueba. Calificació de exámees: El profesor debe etregar a los alumos los exámees calificados y sus resultados, a más tardar 10 días hábiles después de haberlos efectuados, de lo cotrario, el estudiate podrá presetar reclamo ate la direcció de la Escuela de Matemática. La pérdida comprobada de u exame por parte del profesor da derecho al estudiate a ua ota equivalete al promedio de sus calificacioes, o a criterio del estudiate, a repetir el exame. El estudiate tedrá derecho a reclamar ate el profesor lo que cosidere mal evaluado del exame, e los tres días hábiles posteriores a la fializació del plazo señalado e el iciso aterior. E el caso extremo de o poerse de acuerdo el profesor y el estudiate e cuato a la calificació, éste último podrá apelar ate el Director de La Uidad Académica e los tres días hábiles siguietes, aportado ua solicitud escrita razoada y las pruebas del caso. El Director de la Uidad Académica, co asesoría de la Comisió de Evaluació y Orietació, emitirá su resolució escrita a más tardar siete días hábiles después de recibida la apelació. VIII Objetivos de evaluació 1- Sistemas de ecuacioes lieales: Al cocluir esta secció el estudiate estará e capacidad de: Determiar si ua ecuació dada es lieal o o, respecto de las variables ivolucradas. Idetificar la matriz de coeficietes de u sistema de ecuacioes lieales. Escribir u sistema de ecuacioes lieales e forma matricial (matriz aumetada). Aplicar operacioes elemetales a las filas de la matriz aumetada de u sistema de ecuacioes lieales para obteer el cojuto solució del sistema. Expresar, adecuadamete, el cojuto solució de u sistema de ecuacioes lieales. Calcular la forma escaloada reducida de ua matriz. Determiar si dos matrices dadas so equivaletes por filas. Determiar el rago fila de ua matriz. Determiar si u sistema de ecuacioes lieales es icosistete, comparado los ragos de la matriz de coeficietes y de la matriz ampliada del sistema. Estudiar sistemas de ecuacioes lieales, homogéeos o o, co coeficietes alfa uméricos, determiado codicioes algebraicas sobre los coeficietes para que el sistema sea icosistete, o tega solució úica, o tega ifiitas solucioes y e este último caso determiar el úmero de parámetros libres de los cuales depede el cojuto solució del sistema. 2- Matrices: Al cocluir esta secció el estudiate estará e capacidad de: 7

8 Recoocer ua matriz, establecer su dimesió, idetificar sus filas y sus columas, referirse a sus elemetos de acuerdo al puesto que ocupa e la matriz. Clasificar ua matriz como cuadrada, triagular iferior, triagular superior, o diagoal. Calcular la matriz traspuesta de ua matriz, e idetificar si ua matriz dada es simétrica o o. Determiar cuado es posible sumar dos matrices. Sumar matrices, multiplicar matrices por úmeros reales, idetificar la matriz ula como elemeto eutro de la suma de matrices. Determiar e cuales casos es posible multiplicar dos matrices. Multiplicar matrices y coocer la o comutatividad del producto de matrices. Idetificar a la matriz idetidad como elemeto eutro para la multiplicació de matrices. Coocer y aplicar las propiedades de la multiplicació de matrices: asociatividad, distributividad respecto de la suma de matrices, producto de u escalar por el producto de dos matrices. Coocer y aplicar las propiedades de la trasposició de matrices e relació co la suma y el producto de matrices y la multiplicació por escalar. Coocer el cocepto iverso multiplicativo de ua matriz y su uicidad, cuado exista la matriz iversa. Determiar e qué casos ua matriz cuadrada tiee iversa. Calcular la iversa de ua matriz, cuado esta exista. Resolver ecuacioes matriciales, aplicado las propiedades algebraicas de la suma y la multiplicació, de la trasposició y de la iversió de matrices. Recoocer ua combiació lieal de u cojuto de vectores e IR e idetificar el producto de ua matriz por u vector columa como ua combiació lieal de las columas de dicha matriz. Determiar si u cojuto de vectores e IR es liealmete idepediete asociado esto a determiar si u sistema de ecuacioes lieales homogéeo tiee solució úica y/o hallado el rago de la matriz cuyas columas (filas) es el cojuto de vectores dado. - Determiates: Al cocluir esta secció el estudiate estará e capacidad de: Calcular el determiate de ua matriz 2 2. Calcular el determiate de ua matriz triagular. Coocer las propiedades del determiate de ua matriz respecto a las operacioes elemetales sobre sus filas o sus columas. Aplicar operacioes elemetales sobre las filas y/o columas de ua matriz para llevarla a forma triagular y calcular su determiate. Coocer y aplicar la liealidad por filas (columas) del determiate de ua matriz. Coocer y aplicar las propiedades del determiate respecto a la multiplicació y la trasposició de matrices. Calcular el determiate de la matriz iversa de ua matriz dada, ivertible. Determiar, calculado el determiate, si ua matriz cuadrada dada es ivertible o o. Coocer y aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuacioes lieales, co igual úmero de ecuacioes que de variables y matriz de coeficietes ivertible. 4- Geometría vectorial: 8

9 Al cocluir esta secció el estudiate estará e capacidad de: Iterpretar flechas etre putos de IR como vectores. Iterpretar geométricamete la suma de dos vectores y el producto de u escalar por u vector. Calcular el producto puto de dos vectores y la orma de u vector. Determiar el coseo del águlo formado por dos vectores. Coocer y aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Determiar la proyecció ortogoal de u vector sobre otro. Calcular el producto vectorial de dos vectores e IR y coocer sus propiedades algebraicas. Aplicar el producto vectorial e IR para calcular áreas de paralelogramos y volúmees de paralelepípedos. Iterpretar el valor absoluto del determiate de ua matriz como el volume del paralelepípedo formado por sus vectores fila. Aplicar los coceptos de la geometría vectorial para resolver problemas geométricos. 5- Rectas y plaos: Al cocluir esta secció el estudiate estar e capacidad de: Determiar ua ecuació vectorial para ua líea recta e IR. Determiar ecuacioes paramétricas para ua líea recta e IR. Determiar ecuacioes simétricas para ua líea recta e IR. Determiar ua ecuació vectorial para u plao e IR. Determiar ua ecuació ormal para u plao e IR. Geeralizar el cocepto de ecuació ormal para u plao e IR al cocepto de hiperplao e IR. Determiar iterseccioes etre dos líeas rectas, etre ua líea recta y u plao y etre dos plaos. Determiar la distacia etre dos putos de IR. Determiar la distacia etre u puto y ua líea recta, etre dos líeas rectas, etre ua líea recta y u plao y etre dos plaos. Resolver problemas geométricos relacioados co líeas rectas y plaos. 6- Espacios vectoriales: Al cocluir esta secció el estudiate estará e capacidad de: Coocer la estructura algebraica de espacio vectorial sobre IR. Determiar si ua estructura algebraica dada, sobre u cojuto, lo hace espacio vectorial o o. Recoocer a IR, al cojuto de matrices de dimesió m, al cojuto de poliomios de grado meor o igual que, a cojutos de fucioes de valor real defiidos adecuadamete y a otras estructuras coocidas por los estudiates, como espacios vectoriales sobre IR. Coocer las propiedades algebraicas básicas de u espacio vectorial. Determiar si u subcojuto de u espacio vectorial es u subespacio vectorial. Recoocer subespacios formados por las combiacioes lieales de u cojuto fiito de vectores de u espacio vectorial. Hallar u cojuto geerador de vectores para u subespacio vectorial dado. Coocer el cocepto de base y dimesió de u espacio vectorial. Hallar bases para los espacios fila y columa de ua matriz. 9

10 Hallar bases para subespacios geerados por u cojuto de vectores coocidos. Determiar el vector coordeado de u vector de u espacio vectorial, co respecto a ua base fija. Determiar codicioes para que u cojuto de vectores, que depede de uo o más parámetros, sea liealmete idepediete. 7- Ortogoalidad y proyeccioes: Al cocluir esta secció el estudiate estará e capacidad de: Recoocer u cojuto ortogoal de vectores de u espacio vectorial co producto itero. Recoocer u cojuto ortoormal de vectores de u espacio vectorial co producto itero. Determiar el complemeto ortogoal de u subespacio dado. Obteer ua base ortoormal a partir de ua base dada de u subespacio. (Proceso de ortogoalizació de Gram-Schmidt.) Obteer la proyecció ortogoal de u vector sobre u subespacio vectorial. Calcular la distacia de u puto a u subespacio vectorial. 8- Trasformacioes lieales: Al cocluir esta secció el estudiate estará e capacidad de: Coocer el cocepto de aplicació lieal y sus propiedades básicas. Determiar si ua fució dada etre dos espacios vectoriales es ua aplicació o trasformació lieal. Recoocer los subespacios vectoriales úcleo e image de ua aplicació lieal. Obteer bases para el úcleo y la image de ua aplicació lieal. Determiar completamete ua trasformació lieal, a partir de las imágees de los elemetos de ua base de su domiio. Determiar completamete ua trasformació lieal a partir de las imágees de alguos objetos geométricos dados. Determiar si ua aplicació lieal es iyectiva. Determiar si ua aplicació lieal es sobreyectiva. Coocer y aplicar la relació etre las dimesioes del domiio, el úcleo y la image de ua aplicació lieal. Coocer que la suma de aplicacioes lieales, la multiplicació por escalar de ua aplicació lieal y la composició de aplicacioes lieales es ua aplicació lieal. Coocer que el cojuto de todas las aplicacioes lieales etre dos espacios vectoriales tiee estructura de espacio vectorial, co las operacioes usuales. Recoocer que todo matriz de dimesió m determia ua aplicació lieal de IR m e IR. Obteer ua represetació matricial para ua aplicació lieal dada de IR co respecto a las bases caóicas, e idetificar la acció de la aplicació lieal como ua multiplicació de ua matriz por u vector. m Obteer ua represetació matricial para ua aplicació lieal dada de IR e IR co respecto a bases dadas para el domiio y el producto de matrices. Recoocer ua represetació matricial de la aplicació idetidad, como ua matriz de cambio de base. 10

11 Obteer distitas represetacioes matriciales de ua aplicació lieal, mediate multiplicació por matrices de cambio de base. Determiar si ua aplicació lieal es ivertible y e caso afirmativo obteer la aplicació lieal iversa. Coocer la relació etre trasformacioes lieales ivertibles y matrices ivertibles y aplicarlo a obteer iversas de aplicacioes lieales iyectivas. (Biyectivas sobre su Image). 9- Valores y vectores propios: Al cocluir esta secció el estudiate estará e capacidad de: Coocer los coceptos de valor y vector propio de ua matriz cuadrada. Calcular el poliomio característico de ua matriz cuadrada. Idetificar los valores propios de ua matriz cuadrada co las raíces de su poliomio característico. Coocer el cocepto de espacio propio correspodiete a u valor propio. Determiar los espacios propios correspodietes a los distitos valores propios de ua matriz cuadrada, obteiedo ua base para cada uo de tales espacios propios. Idetificar la multiplicidad algebraica y geométrica de u valor propio. Determiar si ua matriz dada A es diagoalizable y e caso que lo sea obteer ua 1 matriz ivertible C tal que C AC sea diagoal. Determiar si ua matriz dada A es ortogoalmete diagoalizable y e caso que lo sea t obteer ua matriz ortogoal P tal que P AP sea diagoal. Coocer que ua matriz real es ortogoalmete diagoalizable si y solo si es simétrica. Iterpretar y aplicar todo lo desarrollado para matrices cuadradas a los operadores lieales e IR. 10- Curvas y superficies cuadráticas: Al cocluir esta secció el estudiate estará e capacidad de: Coocer el cocepto de forma cuadrática. Expresar ua forma cuadrática e forma matricial. (Represetada por ua matriz simétrica) Elimiar los térmios mixtos de ua forma cuadrática, mediate la diagolizació ortogoal de la matriz asociada y u cambio de variables apropiado. Aplicar la diagoalizació ortogoal de las formas cuadráticas a la represetació, e forma caóica, de las seccioes cóicas. Dada ua ecuació cuadrática e dos variables, idetificar la secció cóica correspodiete, llevarla a ua represetació caóica y represetarla gráficamete, dibujado, e u mismo gráfico, los ejes correspodietes a las variables origiales, los ejes correspodietes a la trasformació efectuada para llevar la secció cóica a su forma caóica; e idicar el valor del águlo de rotació de los ejes origiales (si hay rotació). Dada ua ecuació cuadrática e tres variables, idetificar la superficie cuadrática correspodiete, llevarla a ua ecuació caóica, e idicar el valor de los águlos de rotació de los ejes origiales (si hay rotació) respecto de cada uo de los uevos ejes. IX Bibliografía: 11

12 Libro de texto: Arce,C, Castillo,W y Gozález, J. (2004) Álgebra lieal. Tercera edició. UCR. Sa Pedro. La bibliografía icluida e este programa costituye ua guía para el profesor y el estudiate e cuato al ivel de presetació de los temas que forma el programa. El profesor puede ampliarla co otros libros de referecia de su preferecia. 1. Ato, H. (1992) Itroducció al Álgebra Lieal. Tercera edició. Limusa. México. 2. Del Valle, Jua C. (2012) Álgebra lieal para estudiates de igeiería y ciecias. Mc Graw Hill. México.. Harvey, G. (1992) Álgebra lieal. Grupo Editorial Iberoamérica. México. 4. Hill, R. (1996) Álgebra Lieal Elemetal co Aplicacioes. Tercera edició. Pretice Hall. México. 5. Howard, A. (1992) Itroducció al Álgebra lieal. Tercera edició. Limusa. México. 6. Kolma, B. (1999) Álgebra lieal co aplicacioes y Matlab. Seguda edició. Pretice Hall. México. 7. Grossma, S. (1996) Álgebra lieal co aplicacioes. Quita edició. Mc Graw Hill. México. 8. Grossma, S-Flores, José. (2012). Álgebra lieal. Mc Graw Hill. México. 9. Lay, D. (201) Álgebra Lieal Elemetal y sus Aplicacioes. Tercera edició. Pearso. México. 10.Lay, D. (201) Álgebra Lieal para cursos co efoque por competecias. Primera edició. Pearso. México. 11.Nicholso, W. (1979) Álgebra lieal co aplicacioes. Tercera edició. Mc Graw Hill. México. 12.Noble, D. (1989) Álgebra Lieal Elemetal y sus Aplicacioes. Tercera edició. Pretice Hall. México. 1.Pita, Claudio. (1991) Álgebra lieal co aplicacioes. Cuarta edició. Mc Graw Hill. España. Esta Carta al Estudiate estará dispoible e la págia de la Escuela de Matemática y e la fotocopiadora Copias KIKE, para los estudiates iteresados e obteerla para su cosulta. Atetamete: Prof: Carlos Erique Azofeifa Zamora. Oficia 420 FM, extesió 6580 Coordiador Correos: erique_a_z@hotmail.com carlos.azofeifazamora@ucr.ac.cr El profesor Christia Zamora va a teer ua págia e Moodle co material de ayuda para esta cátedra, la págia se llama Ayuda Algebra Lieal y está e la secció de Matemática aplicada: La clave para matricularse es Ayuda2014 y solo la debe usar los estudiates la primera vez que se matricule. E esta págia está el correo del profesor e caso que los estudiates quiera pregutar detalles sobre el material. 12

13 Distribució de grupos 1