TEMA 10: POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS

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1 TEMA 0: POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS Ates de itroducir los coceptos que correspode a este apartado, haremos u repaso de dos coceptos que ecesitamos, matrices y determiates, así como alguas de sus propiedades. MATRICES Las matrices se utiliza e el cálculo umérico, e la resolució de sistemas de ecuacioes lieales, de las ecuacioes difereciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuacioes lieales, las matrices aparece de forma atural e geometría, estadística, ecoomía, iformática, física, etc... La utilizació de matrices (arrays costituye actualmete ua parte esecial de los leguajes de programació, ya que la mayoría de los datos se itroduce e los ordeadores como tablas orgaizadas e filas y columas : hojas de cálculo, bases de datos,... Se llama matriz de orde m a u cojuto de m elemetos de u cuerpo K distribuidos e m filas y columas. Se represeta ecerrados e u parétesis: a a2 a a2 a22 a2 am am2 a m Al cojuto de todas las matrices de orde m lo represetaremos como M m (K CONCEPTO DE MATRIZ Ua matriz es u cojuto de elemetos de u cuerpo K ordeados e filas y columas. Defiició 0..- Se llama matriz de orde "m " a u cojuto rectagular de elemetos a dispuestos e m filas y e columas. El orde de ua matriz tambié se deomia dimesió o tamaño, siedo m y úmeros aturales. Si m=, se dice que A es ua matriz cuadrada. Las matrices se deota co letras mayúsculas: A, B, C,... y los elemetos de las mismas co letras miúsculas y subídices que idica el lugar ocupado: a, b, c,... U elemeto geérico que ocupe la fila i y la columa j se escribe a. Si el elemeto geérico aparece etre parétesis tambié represeta a toda la matriz : a a2 a a2 a22 a2 A ( a = = am am2 a m 2 A 2 = siedo sus filas: 2, 5 4 y sus columas 5 4 2,, 5 4 ( ( El úmero total de elemetos de ua matriz A m es m.. E matemáticas, tato las Listas como las Tablas recibe el ombre geérico de matrices. Defiició Dos matrices A= ( a y B ( b m = so iguales, sí y solo si, tiee e los mismos lugares elemetos iguales, es decir : m = p, = q y a = b i, j p q GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. de

2 OPERACIONES CON MATRICES.- SUMA DE MATRICES Defiició 0..- La suma de dos matrices A ( a = y B ( b m dimesió (equidimesioales : m = p y = q es otra matriz C A B c a + b = + = ( = ( m = de la misma a a2 a b b2 b a + b a2 + b2 a + b A = B = A+ B = a2 a22 a2 b2 b22 b2 a2 + b2 a22 + b22 a2 + b A = B = A+ B = La suma de matrices es ua ley de composició itera co las siguietes PROPIEDADES : Asociativa: A + (B + C = (A + B + C Comutativa : A + B = B + A Elemeto eutro : ( matriz cero 0 m, 0 + A = A + 0 = A Elemeto simétrico : ( matriz opuesta -A, A + (-A = (-A + A = 0 Al cojuto de las matrices de dimesió m cuyos elemetos so úmeros reales lo vamos a represetar por M (K y como hemos visto, por cumplir las propiedades ateriores, ( M m m (K, + es u grupo abeliao. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Defiició Para multiplicar u escalar por ua matriz se multiplica el escalar por todos los elemetos de la matriz, obteiédose otra matriz del mismo orde. a a2 a λa λa2 λa a2 a22 a2 A= ( a = λa2 λa22 λa2 ; λ. A = am am2 a m λam λam2 λa m 2 λ. λ. λ.( 2 A= λ. A= 5 2 λ.( λ.5 λ.2 El producto de matrices por escalares es ua ley de composició extera co las siguietes PROPIEDADES : a Asociativa : λ ( µ A = ( λµ A b Distributiva I: λ( A+ B = λa+ λb c Distributiva II: ( λ + µ A= λ A+ µ A d Elemeto eutro de escalares:.a = A. = A λ, µ,, AB, M m Por lo tato ( M (,,. es u espacio vectorial real. m + PRODUCTO DE MATRICES Defiició Para multiplicar ua matriz A por ua matriz B, debe ser la matriz A de orde m y la matriz B, de orde p, es decir, A debe teer el mismo úmero de columas que filas tiee B. El resultado será otra matriz C de orde m p. Los elemetos de C se obtiee de la siguiete forma: c = a. b ik kj k = p q GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. 2 de 2

3 r s a a2 a Sea A =, B = Calcular A.B t u b b2 b2 r s a a2 a ra + sb ra2 + sb2 ra + sb Solució: AB. =. = t u b b2 b ta + ub ta2 + ub2 ta + ub Ejemplo2: Dada la matriz A = 2 calcular. A Solució: AA. = 2. 2 = ( ( ( 4 + ( 4( ( 4 + 2( = ( 2+ ( 4 2( 4 + ( ( ( + ( = ( 2 + ( ( 4 ( 4( 4 + 4( + ( 4 ( ( ( MATRIZ INVERSA Defiició Se llama matriz iversa de ua matriz cuadrada A y la represetamos por A, a la matriz que verifica la siguiete propiedad : A - A = A A - = I PROPIEDADES : A. A= AA. = I AB. = B. A 2 ( A ( = A ka. =. A k 4 ( T 5 ( A = ( A T La matriz iversa de ua matriz cuadrada, si existe, es úica. RANGO DE UNA MATRIZ Defiició Se llama rago de ua matriz al úmero máximo de vectores columa, ( o bie de vectores fila, liealmete idepedietes, que la forma. (véase espacios vectoriales e el tema 2 PROPIEDADES: ª. - El rago de ua matriz o varía si a ua columa o a ua fila se le suma ua combiació lieal de otras columas o filas. 2ª. - El rago de ua matriz o varía si se suprime ua columa o fila que sea combiació lieal de otras columas o filas. ª. - El rago de ua matriz o varía si se multiplica ua columa o ua fila por u escalar o ulo. 4ª. - El rago de ua matriz es igual al de su matriz traspuesta. 5ª. - El rago de ua matriz o varía al itercambiar dos filas o dos columas. GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. de

4 Estas propiedades os dice tambié, que, a la hora de calcular ragos, si aparece ua fila, o ua columa de ceros, se puede elimiar. DETERMINANTES. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Defiició Sea A= ( a ua matriz cuadrada co coeficietes e u cuerpo K (co filas y columas. El determiate de A es u elemeto de K cuya defiició es bastate compleja, por lo que os preocuparemos solo de cómo se calcula e la práctica. E los casos particulares de los determiates de orde 2 y, que será los que más ecesitaremos calcular, teemos: a a2 = a. a22 a2. a2 a a 2 22 a a a 2 ( a a a = a a a + a a a + a a a a a a + a a a + a a a a a a 2 (Regla de Sarrus Defiició Se llama adjuto del elemeto a, y se deota por A, al determiate de la matriz M acompañado del sigo ( i+ j suprimir e A la fila i y la columa j ; el determiate complemetario del elemeto a i j. + adjuto( a = A = ( i j M,dode M es la submatriz que obteemos al M recibe el ombre de meor Cuado el orde de la matriz A es superior a, se puede calcular el determiate de A, de maera recursiva eligiedo ua fila cualquiera (o columa y calculado determiates de orde ua uidad iferior. Por ejemplo eligiedo la fila i-ésima, teemos que: det( A A a A = = La matriz Adj ( A =( A cuyos elemetos so los adjutos de los elemetos de A se llama matriz adjuta de A. Desarrollado por la primera columa, calcular x j= x 0 0 x 0 0 Solució: x 0 0 x x 0 = x x x = x 0 0 x 0 0 x 0 x 0 0 x x Decimos que ua matriz cuadrada es regular si su determiate es distito de cero, y es sigular si su determiate es igual a cero. A 0 A Regular A = 0 A Sigular GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. 4 de 4

5 Ua matriz A tiee iversa si, y sólo si, su determiate es o ulo, es decir cuado A es regular. Además, e este caso, la matriz iversa de A es ( A = ( Adj( A T A Proposició 0.8 El Rago de ua matriz es el orde del mayor de los meores distitos de cero. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Si A y B so dos matrices cuadradas del mismo orde, se verifica: det (A B = det (A det (B Calcular determiate de A.B, siedo A = 2 0 y B = Solució: det( A = 2 0 = 4 = y 2 det( B = 4 5 = (0 + 9 (2 + 5 = AB. = = 7 0 det( AB. = det 7 0 = Por lo tato det(a.b = 6 = det (A. det (B = 2.= 6 Si todos los elemetos de ua líea (fila o columa de ua matriz cuadrada se descompoe e dos sumados, etoces su determiate es igual a la suma de dos determiates que tiee e esa líea los primeros y segudos sumados, respectivamete, y e las demás los mismos elemetos que el determiate iicial. det(l + L', L2, L... = det (L, L2, L... + det (L', L2, L... Si se multiplica todos los elemetos de ua líea de ua matriz cuadrada por u úmero k, el determiate queda multiplicado por dicho úmero: det (k L, L2, L... = k det (L, L2, L ( ( 2 = 2. 2 = = 2.( 22 = ( ( 2 = 2 = = (0 (54 = Si permutamos dos líeas paralelas de ua matriz cuadrada, su determiate cambia de sigo co respecto al iicial: det (L, L2, L... = (-.det (L2, L, L... GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. 5 de 5

6 2 4 5 Sea A = 4 5 y B = 2. Calcular sus determiates 0 0 Solució: Como las matrices A y B tiee dos filas permutadas, sus determiates debe teer sigos cotrarios. 2 det( A = 4 5 = (0 + 9 (2 + 5 = det( B = 2 = (2 + 5 (0 + 9 = 2 0 Si ua matriz cuadrada tiee ua líea co todos los elemetos ulos, su determiate vale cero. det (0, L2, L... = Calcular determiate de A, siedo A = Solució: Desarrollado por la primera fila, os queda que det( A = = = Si ua matriz cuadrada tiee dos líeas paralelas iguales, su determiate vale cero. det (L, L, L... = 0 2 Calcular el determiate de la matriz: 2 Solució: La matriz de la cual os pide calcular su determiate tiee dos filas iguales, por lo tato su determiate debe de valer 0. E efecto, aplicado la Regla de Sarrous teemos que: 2 2 = (2+ 6+ (6+ 2+ = 0 Si dos líeas paralelas de ua matriz cuadrada so proporcioales, su determiate se aula. det (L, k L, L... = 0 Si ua fila (columa de ua matriz cuadrada es combiació lieal de las restates filas (columas, su determiate vale cero: det (L, L2, a L + b L2,... = 0 Si a ua líea de ua matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determiate o varía. det (F + F2, F2, F = det (F, F2, F + det (F2, F2, F = det (F, F2, F GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. 6 de 6

7 Si a ua líea de ua matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por u úmero, su determiate o varía. det (L + k L2, L2, L... = det (L, L2, L... + det (k L2, L2, L... = det (L, L2, L Cálculo del rago usado determiates Si a u meor M de orde h de la matriz A se le añade la fila p y la columa q de A (que ates o estaba e el meor, obteemos u meor N de orde h+ que se dice obteido de M orlado este meor co la fila p y la columa q. Ejemplo El método para el cálculo del rago es u proceso iterado que sigue los siguietes pasos: Ates de comezar el método se busca u elemeto o ulo, ya que si todos los elemetos so 0, el rago será 0. El elemeto ecotrado será el meor de orde k= de partida. Se orla el meor de orde k hasta ecotrar u meor de orde k+ o ulo. Cuado se ecuetra u meor de orde k+ o ulo se aplica a éste el método. Si todos los meores orlados obteidos añadiédole al meor de partida los elemetos de ua líea i 0 so ulos, podemos elimiar dicha líea porque es combiació de las que compoe el meor de orde k. Si todos los meores de orde k+ so ulos el rago es k. (Si aplicamos bie el método e realidad, al llegar a este puto, la matriz tiee orde k. Ejemplo Cálculo del rago de ua matriz por el método de Gauss Trasformacioes elemetales So las trasformacioes que podemos realizarle a ua matriz si que su rago varíe. Es fácil comprobar que co estas trasformacioes el rago o se modifica, usado las propiedades de los determiates. Si se permuta 2 filas ó 2 columas el rago o varía. Si se multiplica o divide ua líea por u úmero o ulo el rago o cambia. Si a ua líea de ua matriz se le suma o resta otra paralela multiplicada por u úmero o ulo el rago o varía. De lo aterior, se desprede que se puede suprimir las filas o columas que sea ulas y las filas o columas que sea proporcioales a otras, si que el rago de la matriz se altere. Método de Gauss El método de Gauss cosiste e aplicar trasformacioes elemetales a ua matriz co objeto de coseguir que los elemetos que está por debajo de la diagoal pricipal se aule ( a = 0, i > j. Para coseguir "triagularizar" la matriz debemos dejar e la diagoal pricipal elemetos o ulos, salvo que la fila sea ula. Ua vez aplicado este proceso de triagularizació, el rago de la matriz es el úmero de filas o ulas de la matriz obteida. Esto es fácil probarlo usado las propiedades de los determiates F2 + F = F 2F A 6 2 F + F F4 F Por lo tato el rago de la matriz A es igual a, que es el úmero de filas o ulas GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. 7 de 7

8 Cálculo de determiates por el método de Gauss Se cooce cómo método de Gauss a u método para facilitar el cálculo de determiates usado las propiedades de éstos. Dicho método cosiste e hallar u determiate equivalete (co el mismo valor al que se pretede calcular, pero triagular. De esta forma el problema se reduce a calcular u determiate de ua matriz triagular que es el producto de los elemetos de la diagoal. Para coseguir triagularizar el determiate se puede aplicar las siguietes operacioes: Permutar 2 filas ó 2 columas. Multiplicar o dividir ua líea por u úmero o ulo. Sumarle o restarle a ua líea otra paralela multiplicada por u úmero o ulo. Ejemplos: 0 F 2F = 0-2 = 4 0 F F ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO AFÍN TRIDIMENSIONAL Para defiir ua recta, sólo ecesitamos u puto P= ( x0, y0, y0 y u vector v= ( v, v2, v. Veamos a cotiuació cómo hacerlo. Sea X = ( xyz,, u puto geérico de la recta. Etoces, PX = λ. v, para algú λ, luegoox = OP +λv. Escrito esto usado sus coordeadas, teemos: ( x, yz, = ( x0, y0, z0 + λ( v, v2, v. Esta es la ecuació vectorial de la recta, y a v se le llama vector director de dicha recta. Es claro que cualquier vector proporcioal a v tambié es u vector director de dicha recta. Vamos a desarrollar u poco más la ecuació que hemos obteido: GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. 8 de 8

9 ( ( x, yz, = ( x, y, z + λ( v, v, v = x+ λv, y+ λv, z+ λv Ahora, como sabemos que dos vectores so iguales si y sólo si lo so compoete a compoete, teemos que: x= x0 + λv y = y0 + λv2 Ecuacioes paramétricasde la recta z = z0 + λv Ahora, si despejamos λ e cada ua de las ecuacioes, e igualamos, se obtiee la que se cooce co el ombre de ecuació cotiua de la recta: x x0 y y0 z z0 = = v v v 2 siempre que v, v, v 2 sea distitos de cero. Cuado esto es así, podemos coger dos igualdades y de ahí obteer ua ueva forma de escribir la ecuació de la recta. x x0 y y0 = v2x vy + ( x0v2 + y0v = 0 Ax + By + D = 0 v v2 x x0 z z0 = vx vz + ( xv 0 + zv 0 = 0 Ax + By + D = 0 v v POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Podemos determiar la posició relativa de dos rectas e el espacio utilizadodos efoques. I. E forma vectorial r Sea las rectas y r defiidas mediate su ecuació vectorial: r:( x, y, z = ( x0, y0, z0 + λ ( v, v2, v r :( x, y, z = ( x 0, y 0, z 0 + λ ( v, v 2, v Y llamamos: P= ( x0, y0, z0, Q= ( x 0, y 0, z 0, v= ( v, v2, v, v = ( v, v 2, v etoces, si: rago( v, v, PQ = las rectas so coicidetes rago( v, v = y rago( v, v, PQ = 2 las rectas so paralelas rago( v, v, PQ = 2 las rectas se corta rago( v, v = 2 y rago( v, v, PQ = las rectas se cruza II. E forma implícita Ax + By + Cz = D Sea las rectas: r : Ax 2 + By 2 + Cz 2 = D2 y Ax + By + Cz = D r : Ax 4 + By 4 + Cz 4 = D 4 Llamaremos A a la matriz del sistema formado por esas cuatro ecuacioes, y A a la ampliada, es decir GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. 9 de 9

10 A A B C A B C = A B C A4 B4 C 4 A A B C D A B C D = A B C D A4 B4 C4 D 4 Éstas so las posibilidades: I rago(a = 2, rago(a =2. Etoces, so dos rectas coicidetes. II rago(a = 2, rago(a =. Etoces, so dos rectas paralelas, distitas. III rago(a =, rago(a =. Etoces, so dos rectas secates; su puto de corte es la solució del sistema. IV rago(a =4, es decir, Det(A 0. Etoces, se dice que las rectas se cruza. Dos rectas que se cruza siempre podrá situarse e dos plaos paralelos. Además, éste es el úico caso e el que o existe u plao que cotega las dos rectas (rectas o coplaarias ECUACIONES DEL PLANO El espacio tridimesioal tiee ua direcció más que el plao, y eso os permite icluir u uevo elemeto del que o dispoíamos e el plao (salvo tomado e su totalidad: plaos. Sea P= ( x0, y0, z0 u puto cocreto de u cierto plao π, u = ( u, u2, u, v= ( v, v2, v los vectores que geera ese plao (so, por tato, liealmete idepedietes, y sea GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. 0 de 0

11 X = ( x, y, z u puto geérico del plao. La forma de obteer la ecuació del plao es la siguiete: OX = OP + PX OX = OP + λu + αv PX = λu + αv Escrito esto usado sus coordeadas, teemos: ( x, yz, = ( x, y, z + λ( u, u, u + α( v, v, v Esta es la ecuació vectorial del plao, y u, v so los vectores que geera el plao. Es claro que cualesquiera vectores proporcioales a u y a v tambié geera dicho plao. Vamos a desarrollar u poco más la ecuació que hemos obteido: ( xyz,, = ( x, y, z + λ( u, u, u + α( v, v, v = ( x0, y0, z0 ( λu, λu2, λu + ( αv, αv2, αv = ( x + λu + αv, y + λu + αv, z + λu + αv = + = Ahora, como sabemos que dos vectores so iguales si y sólo si lo so compoete a compoete, teemos que: x = x0 + λu+ αv y = y0 + λu2 + αv2 Ecuacioes paramétricas del plao z = z0 + λu+ αv Al cotrario que e el caso de las ecuacioes de la recta, aquí o podemos llegar a la ecuació cotiua del plao, porque o la hay. Si embargo, sí que podemos llegar a obteer la ecuació implícita del plao: ( x x0, y y0, z z0 = λ. ( u, u2, u + α( v, v2, v Estos tres vectores, pues, so liealmete depedietes, por lo tato, la matriz que forma es sigular, es decir: x x y y z z u u u 2 v v v 2 = 0 Si desarrollamos este determiate por los elemetos de la primera fila, teemos que: u2 u u u u u2 x x0 y y0 + z z0 v v v v v v ( ( ( 2 2 de dode, operado, se llega a la ecuació geeral del plao, Ax + By + Cz + D = 0 siedo GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. de

12 u u A = v v 2 2 u B = v u v u u C = v v 2 2 Sea ua recta r:( x, y, z = x, y, z + λ v, v, v, y sea ( ( ( x, y, z P= u puto tal que P r La ecuació del plao π que cotiee a r y a P es la siguiete: : x, yz, = x, y, z + v, v, v + x x, y y, z z ( ( ( ( π λ µ POSICIONES DE RECTA Y PLANO: Ax + By + Cz = D Sea la recta r : y el plao π : Ax + By + Cz = D Ax 2 + By 2 + Cz 2 = D2 Llamaremos A a la matriz del sistema formado por esas tres ecuacioes, y A a la ampliada. A B C A B C D A= A2 B2 C2 y A = A2 B2 C2 D2 A B C A B C D Éstas so las posibilidades: rag(a = 2, rag(a =2. Etoces, la recta está coteida e el plao 2 rag(a = 2, rag(a =. Etoces, la recta es paralela al plao, y o está coteida e él. rag(a =, rag(a =. Etoces, se dice que la recta es secate al plao. El puto de corte es la solució del sistema GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. 2 de 2

13 Es importate darse cueta de que el paralelismo de recta y plao se da exactamete cuado Det(A = 0. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS Al igual que podíamos estudiar las posicioes relativas de dos rectas, podemos estudiar las posicioes relativas de dos plaos, para lo que uevamete lo efocaremos bajo dos putos de vista. I.- E forma vectorial Sea dos plaos π y π defiidos como sigue: π : ( x, yz, = ( x0, y0, z0 + λ+ ( u, u2, u +µ ( v, v2, v π : ( x, yz, = ( x, y, z + λ( u, u, u +µ ( v, v, v Si llamamos P= ( x0, y0, z0, Q ( x 0, y 0, z 0 u = u, u, u u = ( u, u, u, v = ( v, v, v etoces teemos que, si: 2 2 =, (, v= ( v, v, v 2 2 rago ( uvpq,, = 2 Los plaos so coicidetes rago ( uvu,,, v = 2y rago ( uvpq,, = Los plaos so paralelos rago u, v, u, v = Los plaos secorta e ua recta ( II.- E forma implícita Sea dos plaos π y π defiidos como sigue: π : Ax + By + Cz + D = 0 π : Ax+ By+ Cz+ D = 0 A B C A B C D Si llamamos A = y B =, etoces, si: A B C A B C D rago( A = Los plaos coicide rago( A = y si rago( A = 2 Los plaos so paralelos, ( ( rago A = 2 = rago A Los plaos se corta e ua recta. GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. de

14 POSICIONES DE PLANOS: Llamaremos A a la matriz del sistema formado por esas tres ecuacioes, y A a la ampliada, es decir: a b c a b c d A= a2 b2 c2 y A' = a2 b2 c2 d2 a b c a b c d Éstas so las posibilidades: rago(a =, rago(a =. Etoces, los plaos coicide. 2 rago(a =, rago(a =2.Etoces, so plaos paralelos (Dos de ellos puede coicidir. rago(a = 2, rago(a =2. Etoces, los plaos cotiee ua misma ; es lo que se llama haz de plaos. 4 rag(a = 2, rag(a =. Etoces, hay dos posibilidades: 4.a Hay 2 plaos paralelos, y el otro los corta (U meor de orde dos de A es o ulo 4.b Se corta dos a dos. Los tres so caras de u prisma triagular (Todos los meores de orde dos de A so o ulos. GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. 4 de 4

15 5 rag(a =, rag(a =. Etoces, los plaos tiee exactamete, u puto comú (caras de triedro Codició de paralelismo y perpedicularidad Sea las rectas: : x x y y z r z = = s : x x x y z y = = z v v2 v u u2 u Y dos plaos π y π defiidos de forma explicita como sigue: π : Ax + By + Cz + D = 0 π : Ax + By + Cz + D = 0 Llamemos: v = ( v, v2, v que es u vector paralelo a la recta r u = ( u, u2, u que es u vector paralelo a la recta s w= ( A, B, C que es u vector perpedicular al plao π t = ( A, B, C que es u vector perpedicular al plao º. - La recta r es paralela a s v u ( v, v2, v = λ( u, u2, u para algú λ 2º. - La recta r es perpedicular a s v u vu. = 0, es decir v u + vu vu 2 2 = 0 º. - El plao π es paralelo al π w t ( A, B, C = µ ( A, B, C 4º. - El plao π es perpedicular al π w t w. t = 0 AA. + BB. + CC. = 0 5º. - La recta r es paralela al plao π v w vw. = 0, es decir va + vb 2 + vc = 0 6º. - La recta r es perpedicular al plao π vw π y ( v, v, v = γ ( A, B, C 2 APÉNDICE.- ALGUNOS TIPOS DE MATRICES Hay alguas matrices que aparece frecuetemete y que segú su forma, sus elemetos,... recibe ombres diferetes : GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. 5 de 5

16 Tipo de matriz Defiició Ejemplo FILA COLUMNA RECTANGULAR TRASPUESTA OPUESTA Aquella matriz que tiee ua sola fila, siedo su orde A = ( 2 Aquella matriz que tiee ua sola columa, siedo su orde A 2 m = Aquella matriz que tiee distito úmero de filas que de columas, siedo su orde m, m Dada ua matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiee cambiado ordeadamete las filas por las columas. Se represeta por A t ó A T La matriz opuesta de ua dada es la que resulta de sustituir cada elemeto por su opuesto. La opuesta de A es -A. A = Si es A ( a t A = ( aji m = su traspuesta es m t A= A = NULA CUADRADA Si todos sus elemetos so cero. Tambié se deomia matriz cero y se deota por 0 m Aquella matriz que tiee igual úmero de filas que de columas, m =, diciédose que la matriz es de orde. Diagoal pricipal : so los elemetos a, a 22,..., a Diagoal secudaria : so los elemetos a co i+j = + Traza de ua matriz cuadrada : es la suma de los elemetos de la diagoal pricipal tr A. Diagoal pricipal : Diagoal secudaria : SIMÉTRICA Es ua matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = A t, a = a ji ANTISIMÉTRICA Es ua matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -A t, a = -a ji Necesariamete a ii = A = GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. 6 de 6

17 DIAGONAL ESCALAR IDENTIDAD Es ua matriz cuadrada que tiee todos sus elemetos ulos excepto los de la diagoal pricipal Es ua matriz cuadrada que tiee todos sus elemetos ulos excepto los de la diagoal pricipal que so iguales Es ua matriz cuadrada que tiee todos sus elemetos ulos excepto los de la diagoal pricipal que so iguales a. Tambie se deomia matriz uidad A = I = TRIANGULAR Es ua matriz cuadrada que tiee todos los elemetos por ecima (o por debajo de la diagoal pricipal ulos. ORTOGONAL NORMAL INVERSA Ua matriz ortogoal es ecesariamete cuadrada e ivertible : A - = A T La iversa de ua matriz ortogoal es ua matriz ortogoal. El producto de dos matrices ortogoales es ua matriz ortogoal. El determiate de ua matriz ortogoal vale + ó -. Ua matriz es ormal si comuta co su traspuesta. Las matrices simétricas, atisimétricas u ortogoales so ecesariamete ormales. Decimos que ua matriz cuadrada A tiee iversa, A -, si se verifica que : A A - = A - A = I GEOMETRÍA 6.- POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS Pág. 7 de 7