Tema 4: Números Complejos

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1 Tema : Números Complejos 1.- Itroducció.- Forma biómica del úmero Complejo.- Operacioes e forma biómica.- Propiedades algebraicas de los úmeros Complejos 5.- Forma Polar y trigoométrica del úmero Complejo 6.- Propiedades del módulo, del cojugado y del argumeto de u úmero Complejo. 7.- Operacioes e forma Polar 8.- Radicació de úmeros Complejos 9.- Ecuacioes co úmeros Complejos 10.- Ejercicios Resueltos 11.- Resume de Coceptos Raúl Gozález Media 017 Números omplejos IV-1

2 .1.- Itroducció Los úmeros complejos coforma u grupo de cifras resultates de la suma etre u úmero real y uo de tipo imagiario. U úmero real, de acuerdo a la defiició, es aquel que puede ser expresado por u (, 15, 686) o decimal (1,5; 8,16; 985,15). E cambio, u úmero imagiario es aquél cuyo cuadrado es egativo. El cocepto de úmero imagiario fue desarrollado por Leoard Euler e 1.777, cuado le otorgó a 1 el ombre de i (de imagiario ). La oció de úmero complejo aparece ate la imposibilidad de los úmeros reales de abarcar a las raíces de orde par del cojuto de los úmeros egativos. Los úmeros complejos puede, por lo tato, reflejar a todas las raíces de los poliomios, algo que los úmeros reales o está e codicioes de hacer. Gracias a esta particularidad, los úmeros complejos se emplea e diversos campos de las matemáticas, e la física y e la igeiería. Por su capacidad para represetar la corriete eléctrica y las odas electromagéticas, por citar u caso, so utilizados co frecuecia e la electróica y las telecomuicacioes. Y es que el llamado aálisis complejo, o sea la teoría de las fucioes de este tipo, se cosidera ua de las facetas más ricas de las matemáticas. Cabe resaltar que el cuerpo de cada úmero real está formado por pares ordeados (a, b). El primer compoete (a) es la parte real, mietras que el segudo compoete (b) es la parte imagiaria. Los úmeros imagiarios puros so aquellos que sólo está formados por la parte imagiaria (por lo tato, a=0). Los úmeros complejos compoe el deomiado cuerpo complejo ( ). Cuado el compoete real a es idetificado co el correspodiete complejo (a, 0), el cuerpo de estos úmeros reales ( ) se trasforma e u subcuerpo de. Por otra parte, coforma u espacio vectorial de dos dimesioes sobre. Esto demuestra que los úmeros complejos o admite la posibilidad de mateer u orde, a diferecia de los úmeros reales. Historia de los úmeros complejos Ya desde el siglo I ates de Cristo, alguos matemáticos griegos, como ser Heró de Alejadría, comezaro a esbozar el cocepto de úmeros complejos, ate dificultades para costruir ua pirámide. Si embargo, recié e el siglo XVI empezaro a ocupar u lugar importate para la ciecia; e ese mometo, u grupo de persoas buscaba fórmulas para obteer las raíces de los poliomios de grados y. E primer lugar, su iterés era dar co las raíces reales de las ecuacioes ates mecioadas; si embargo, tambié debiero efretarse a las raíces de úmeros egativos. El famoso filósofo, matemático y físico de orige fracés Descartes fue quie creó el térmio de úmeros imagiarios e el siglo XVII, y recié más de 100 años más tarde sería aceptado el cocepto de los complejos. Si embargo, fue ecesario que Gauss, cietífico alemá, lo redescubriera u tiempo después para que éste recibiera la ateció que merecía. El Plao Complejo Para iterpretar de maera geométrica los úmeros complejos es ecesario valerse de u plao complejo. E el caso de su suma, ésta puede ser relacioada co la de los vectores, mietras que su multiplicació es posible expresarla mediate coordeadas polares, co las siguietes características: la magitud de su producto es la multiplicació de las magitudes de los térmios; el águlo que va desde el eje real del producto resulta de la suma de los águlos de los térmios. A la hora de represetar las posicioes de los polos y los ceros de ua fució e u plao complejo, a meudo se utiliza los deomiados diagramas de Argad. Raúl Gozález Media 017 Números omplejos IV-

3 ..- Forma biómica del úmero complejo..1.- Necesidad de ampliar el cojuto de los úmeros reales. Al resolver alguas ecuacioes de segudo grado co coeficietes reales se obtiee solucioes o raíces que o so úmeros reales, porque hay que hallar la raíz cuadrada de u úmero egativo. Para resolver estas ecuacioes se ecesita ampliar el cojuto de los úmeros reales. Ejemplo:...- La uidad Imagiaria x x 1 0 x Para poder resolver estas ecuacioes, ecesitamos itroducir el cocepto de uidad imagiaria. Llamamos uidad imagiaria a 1 y se represeta por la letra i (i viee de imagiario). i 1 Utilizado esta defiició, ya podemos hallar las raíces cuadradas de los úmeros egativos, y por tato resolver las ecuacioes de segudo grado co discrimiate egativo que desde la ESO o podemos resolver. Así que cotiuado co el ejemplo aterior, ya podemos ecotrar sus solucioes: ( 1) 6 1 6i x x x x 1 0 x...- El cojuto de los úmeros complejos. 1 i i A partir del cojuto de los úmeros reales, se defie el cojuto de los úmeros complejos de la siguiete maera: Forma Biómica de u úmero Complejo: z a bi / a, b, i 1 Llamamos forma biómica de u úmero complejo a la expresió a+bi, dode a es la parte real y b es la parte imagiaria. Tambié llamadas compoete real y compoete imagiaria. Si la parte imagiaria de u úmero complejo es ula, b=0, etoces el úmero es real, por lo que podemos decir que los úmeros reales está coteidos e los úmeros complejos. Si la parte real de u úmero complejo es ula, a=0, decimos que el úmero es imagiario puro. Dos úmeros complejos so iguales si tiee la misma parte real y la misma parte imagiaria. a c a bi c di b d Raúl Gozález Media 017 Números omplejos IV-

4 ...- Represetació gráfica de u úmero Complejo. Los úmeros complejos se represeta e uos ejes de coordeados e el plao, que se llama plao complejo o plao de Gauss. La parte real se represeta e el eje de abscisas X, que recibe el ombre de eje real, y la parte imagiaria e el eje de ordeadas Y, que llamamos eje imagiario. El úmero complejo z abi se puede represetar como u puto de coordeadas P(a,b) (llamado afijo) o como u vector de orige e el (0,0) y extremo e (a,b)...- Operacioes co úmeros complejos e forma biómica..1.- Suma y resta de úmeros complejos. Sea z1 a bi y z c di dos úmeros complejos, para sumar o restarlos e forma biómica se suma o resta las partes reales y las partes imagiarias. z1 z a bi c di a c b d i parte real parte imagiaria El opuesto de u úmero complejo se halla cambiado el sigo de la parte real y de la parte imagiaria. Si dos úmeros complejos so opuestos, su represetació gráfica es simétrica respecto del orige de coordeadas....- Producto de úmeros complejos. Sea z1 a bi y z c di dos úmeros complejos, para multiplicar úmeros complejos e forma biómica, se multiplica como si fuera biomios, teiedo e cueta que i =-1. z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i Cojugado de u úmero complejo. parte real parte imagiaria El cojugado de u úmero complejo es el que se obtiee al cambiar el sigo de su parte imagiaria. Se represeta por z. Si dos úmeros complejos so cojugados, su represetació gráfica es simétrica respecto del eje de abscisas, o eje real. z a bi z a bi El producto de u úmero complejo z por su cojugado z es u úmero real y es igual a la suma de los cuadrados de la parte real y la imagiaria....- Divisió de úmeros complejos. z z a b Sea z1 a bi y z c di dos úmeros complejos, para dividir úmeros complejos e forma biómica, se multiplica el umerador y el deomiador por el cojugado del deomiador. ac bd bc adi ac bd bc ad z1 a bi a bi c di i z c di c di c di c d c d c d Iverso de u úmero complejo: Sea z a bi u úmero complejo, o ulo, deotamos 1 z al iverso de z y se calcula: z 1 a bi a b Raúl Gozález Media 017 Números omplejos IV-

5 ..5.- Potecias de la uidad imagiaria. Haciedo las sucesivas potecias de la uidad imagiaria se obtiee: i 1 i i i i i 1 i i i 1 i i i i ( 1) ( 1) 1 5 i i i i 6 i i 5 i i i 1 7 i i 6 i 1 i i 8 i i i i i 8 i i 10 i i 9 i i i 1 11 i i 10 i 1 i i 1 8 i i i i i 1 i i 1 i i 1 i i i 1 15 i i 1 i 1 i i i i i Para calcular cualquier otra potecia de i, basta co dividir la potecia etre cuatro y observar el resto. El resultado es i elevado al resto. Por ejemplo: resto de la divisió i i i 1..- Propiedades algebraicas de los úmeros complejos El cojuto de los úmeros complejos co las operacioes de suma y producto tiee estructura de cuerpo comutativo, es decir, que verifica las siguietes propiedades: z z z z z z, z, z, z I. Propiedad asociativa de la suma: II. Propiedad comutativa de la suma: z1 z z z1, z1, z III. Existecia de elemeto eutro co la suma: z 0 0 z z, dode i IV. Existecia de elemeto opuesto: verifica: z z 0 V. Propiedad asociativa del producto: z a b i z, defiido como z a b i y tal que z z z z z z, z, z, z VI. Propiedad comutativa del producto: z1 z z z1, z1, z VII. Existecia de elemeto eutro co el producto: z 1 1 z z, dode i z a b i z, defiido como VIII. Existecia de elemeto iverso: * 1 que verifica: 1 z z 1 z 1 1 a bi z a b y tal IX. Propiedad distributiva co respecto a la suma: z z z z z z z, z, z, z El cuerpo de los úmeros complejos es algebraicamete cerrado. Esto sigifica que cualquier poliomio de grado, mayor o igual que 1, co coeficietes reales o complejos tiee al meos ua raíz compleja. Este resultado se cooce como Teorema Fudametal de Álgebra y fue probado por Gauss e Como cosecuecia de este teorema se tiee que cada poliomio de grado, co coeficietes reales, tiee exactamete raíces e el campo complejo o ecesariamete distitas..5.- Forma Polar y trigoométrica de u úmero complejo Forma Polar: Como hemos visto co aterioridad, podemos represetar u úmero complejo co u vector. Raúl Gozález Media 017 Números omplejos IV-5

6 Llamamos módulo de u úmero complejo z a bi, y se desiga por z a la logitud del segmeto que lo represeta e el plao de Gauss, es decir. Módulo de u úmero complejo es el módulo del vector que lo represeta: r z a b Llamamos argumeto, y lo represetamos por arg z, de u complejo z, co z o ulo, al águlo que forma el vector co el eje real. b Podemos calcularlo mediate: ta a El argumeto pricipal de u úmero complejo es el que está compredido etre 0 y 60. Se suele represetar por Arg (z). Si z r y arg z, el úmero complejo se represeta: z r Esta es la forma módulo-argumetal o polar de describir u úmero complejo. Observa que u úmero complejo admite ifiitos argumetos: r r60 r70 r Forma trigoométrica La forma trigoométrica es ua variate de la forma polar, porque tambié utiliza el módulo y el argumeto. De la represetació gráfica de u úmero complejo, z a bi, y utilizado los coocimietos de trigoometría que ya deberíamos haber adquirido, llegamos fácilmete a: a cos a r cos r b se b r se r z r cos r i se r cos i se Expresió que recibe el ombre de forma trigoométrica del úmero complejo z Paso de ua forma a otra Para pasar de forma biómica a polar o trigoométrica, basta co hallar el módulo del úmero complejo y su argumeto, e otros casos tedremos que calcular a y b utilizado las razoes trigoométricas. Veamos esto co varios ejemplos: Ejemplo 1: Expresa el úmero (cos 60 -i se 60 ) e forma biómica y e forma polar. No podemos poer directamete la forma polar, porque el sigo del parétesis tiee que ser positivo, y ahora es egativo, así que lo que haremos será u cambio; puesto que cos(-α)=cosα y que seα=-se(-α), podemos escribir: 1 cos 60 i se 60 cos 60 i se60 i i Que es su forma biómica. Su forma polar será: Ejemplo : Expresa el úmero 15 e forma biómica y e forma trigoométrica. 15 lo podemos expresar rápidamete e forma trigoométrica 15=(cos15 +ise15 ). Sustituyedo el seo y el coseo de 15 por su valor, teemos: 15 cos15 i se15 i i su forma biómica. que es Raúl Gozález Media 017 Números omplejos IV-6

7 Ejemplo : Expresa el úmero z = i e forma polar y e forma trigoométrica. 1 Lo primero es calcular su módulo: r 1, su argumeto lo calculamos mediate arc ta, teemos dos águlos que cumple co esta tagete, los águlos de 150 y el de 0. Como z tiee su afijo e el cuarto cuadrate, elegimos como argumeto el de 0, y por tato su forma polar es: 0, y su forma trigoométrica es (cos0+ise0). 0 z i cos 0 i se0.6.- Propiedades del módulo, del cojugado y del argumeto de u complejo Alguas de las propiedades del módulo, del cojugado y del argumeto de u úmero complejo so: z, z z z z z z z z z z z z z I II. z z z Arg z Arg z arg z arg z III. z z z IV. z z z, w z z z z z z w z w w w V. z 0 z 0 z z z z VI. z Re( z) Im( z) i VII. z, w z w z w z w.7.- Operacioes co complejos e forma polar El módulo y el argumeto poco tiee que ver co los argumetos y los módulos de los sumados Producto de complejos e forma polar Dados r y r dos úmeros complejos, el producto de ambos viee dado por: r r ' cos ise r r ' r r r cos ise r ' cos ise r r ' cos cos se se i cos se se cos Por tato, el producto de dos úmeros complejos es otro úmero complejo tal que: Su módulo es el producto de los módulos. Su argumeto es la suma de sus argumetos Producto por u complejo de módulo 1 r r r r ' ' Al multiplicar u úmero complejo z r por 1, se produce u giro de dicho úmero complejo, z, u águlo alrededor del orige de coordeadas. r 1 r Raúl Gozález Media 017 Números omplejos IV-7

8 Dados r y r dos úmeros complejos, el cociete de ambos viee dado por: r r cos ise r cos ise cos ise r cos cos se se i se cos se cos r r ' cos ise r ' cos ise cos ise r ' cos se.7..- Divisió de dos úmeros complejos r r cos ise r ' r ' Por tato, La divisió de dos úmeros complejos es otro úmero complejo tal que: Su módulo es el cociete de los módulos. Su argumeto es la diferecia de los argumetos. r r r r '.7..- Potecias de u úmero complejo Al elevar u úmero complejo a ua potecia atural,, su módulo se eleva a (r ) y su argumeto se,. multiplica por r r r r r r... r r r r... r... Observació: Los afijos de las potecias sucesivas de z r z m z m... describe espirales que se cierra si r<1, o se abre si r>1. Si r=1, describe ua circuferecia Fórmula de Moivre: Si la fórmula r r la expresamos e forma trigoométrica, obteemos: Si r=1, resulta la fórmula de Moivre: cos cos cos r ise r i cos ise cos icos Esta fórmula os permite obteer resultados trigoométricos ya coocidos de maera más rápida. Por ejemplo si =, aplicado la fórmula de Moivre teemos: De dode desarrollado, llegamos a: cos ise cos icos cos ise cos i se ise cos cos se ise cos cos icos Si igualamos la parte real y la imagiaria: Que so las fórmulas del águlo doble. cos cos se se se cos Raúl Gozález Media 017 Números omplejos IV-8

9 Ejercicio: Expresa cos y se e fució del seo y del coseo de α, ayudádote de la fórmula de Moivre. Sol: si(a)=se(a)(cos²a -1); cos(a)=cos (a)-cos a.8.- Radicació de úmeros complejos Si es u úmero atural, se llama raíz -ésima del úmero complejo z a todo úmero complejo z tal que z ' z, se escribe z z ' Expresado los úmeros z y z e forma polar, si z r y z ' s, z z ' r s r s r s Por la igualdad de úmeros complejos e forma polar: s r s r r s 60 k 60 k co k 0,1,,,..., 1 Observa que u úmero complejo z r : Tiee raíces -ésimas (e particular u úmero real tambié tedrá raíces -ésimas, alguas de las cuales puede ser reales) Todas ellas tiee el mismo módulo, r y sus argumetos forma ua progresió aritmética, de diferecia 60. Por lo tato, si >, los afijos de dichas raíces, so los vértices de u polígoo regular de lados, iscrito e ua circuferecia de radio el módulo comú. Por ejemplo, las raíces cuartas de -16 so: 5 ( Tomado k 0) 15 ( Tomado k 1) k 5 ( Tomado k ) 15 ( Tomado k ) 180 Estas cuatro raíces está situadas sobre ua circuferecia de radio y so los vértices de u cuadrado iscrito e ella..9.- Ecuacioes co úmeros complejos A diferecia de lo que ocurría co las ecuacioes co coeficietes reales, e el cojuto de los úmeros complejos siempre es posible ecotrar las solucioes de cualquier ecuació algebraica. Además, el úmero de solucioes de ua ecuació, coicide co el grado de dicha ecuació. Este resultado fue demostrado por Gauss y recibe el ombre de Teorema fudametal del álgebra, que dice: Toda ecuació algebraica de grado, co coeficietes reales o complejos, tiee raíces e el cojuto de úmeros complejos. Raúl Gozález Media 017 Números omplejos IV-9

10 Para resolver estas ecuacioes se utiliza los mismos recursos que si tuviese coeficietes reales. Veamos alguos ejemplos: 1) Para resolver la ecuació 1 i z 5i basta co despejar la icógita z. Su valor será: 5i 5i 1 i 1 11 z z i 1 i 1 i 1 i ) Para resolver la ecuació z z 0 puede factorizarse (por ejemplo usado Ruffii) y obteemos: z 0 z z z z 0 cuya solució se halla resolviedo: por tato, z z 0 z 1 i la ecuació tiee tres raíces: z1 z 1 i z 1 i ) Para resolver la ecuació z 81 0 basta co despejar, obteiédose: z 0 i 70 i k Ejercicios resueltos 1.- Halla las solucioes de la ecuació: z i Despejado z, teemos: z 1 i Si escribimos 1 i, e forma polar: Z=10, por tato: 1 0 r 1, como estamos e el segudo cuadrate, arg arg Z arcta i 10 Por tato, la ecuació queda: z 10 z.- Calcula El módulo de dicho úmero complejo es: z 6 Y el argumeto es: si k si k 1060k si k si k 7 0' ' 1 1 ' 1 z1 ' 1 z1 ' 1 z1 ' 1 z1 ' 1 k ' z1 k ' z k 17 0' 5 60k 6 k 187 0' k 5 7 0' k ' Si represetamos las solucioes, teemos el gráfico de la derecha. 67 0' 17 0' 187 0' 7 0' 07 0' 0; z1 0 1; z1 10 ; z1 10 ; z1 00 Raúl Gozález Media 017 Números omplejos IV-10

11 .- U rombo tiee su cetro e el orige de coordeadas y su diagoal mayor de doble logitud que su diagoal meor. Uo de los vértices de la diagoal meor es el puto correspodiete al úmero complejo + i. Averigua los afijos correspodietes al resto de los vértices del rombo. Si llamamos A al vértice -+i, como es u rombo (cuadrilátero) las solucioes se diferecia e u argumeto de 90. Para coseguir el vértice B, como A está e la diagoal meor, para calcularlo, multiplicamos por el úmero complejo de módulo (porque la diagoal mayor es doble de la meor) y argumeto 90, es decir: B i i i i 6i i 6 B( 6, ) 90 Los otros vértices A y B so los afijos de los opuestos de los otros dos vértices, es decir: A (,-) y B (6,). Por tato los vértices so: A(-,); B(-6-); A (,-) y B (6,).- Hallar el valor de x para que xi 1 i represetació esté e la bisectriz del primer y tercer cuadrate. a) Sea u úmero real, b) sea imagiario puro y c) su Si multiplicamos arriba y abajo por el cojugado del deomiador, llegamos a: xi i i xi xi x x i i i 1 9i a) Para que sea u úmero real, la parte imagiaria ha de ser ula: 6 x 0 x 6 b) Para que sea imagiario puro, la parte real ha de ser ula: x 0 x c) Para que esté e la bisectriz del 1º y º cuadrate, la parte real y la imagiaria ha de ser iguales: x 6 x x x Los afijos de las raíces de u úmero complejo so vértices de u octógoo regular iscrito e ua circuferecia de cetro e O y radio ; sabiedo que el argumeto de uas de las raíces es 5. Hallar el úmero complejo y las restates raíces. Si ua de las raíces es 5, como sabemos que so 8, quiere decir que cada ua de ellas se cosigue girado 60 5 grados co respecto al primer vértice, por tato: 8 V V 1 V 1 V V 1 V 1 V 1 V Para hallar de qué úmero complejo so solució estas raíces, basta co elevar a 8 cualquiera de ellas: Z Z Z 56 5* El producto de dos úmeros complejos es -8 y el primero es igual al cuadrado del segudo. Calcula ambos úmeros. Sea w y z dichos úmeros complejos, y segú los datos del problema, obteemos el sistema: Si sustituimos y operamos u poco: w 8 8 Dode k = 0, 1,, k 6010k z w 8 z w Raúl Gozález Media 017 Números omplejos IV-11

12 Por tato, teemos tres solucioes: w1 60 z w 180 z w 00 z De dos úmeros complejos sabemos que tiee el mismo módulo, igual a, que sus argumetos 17 suma y además que el primero es opuesto del segudo 6 Cuáles so esos úmeros? Sea z r y w s dichos úmeros complejos, segú el euciado teemos que: r s 17 6 Y por tato: como so opuestos Así que los úmeros pedidos so: o bie Halla dos úmeros complejos cojugados cuya suma sea 8 y la suma de sus módulos sea 10. Si llamamos z al úmero complejo, su cojugado será z, así que, co los datos del problema podremos escribir el siguiete sistema: z z 8 z z 10 como z z etoces z 10 z 5 Si escribimos los complejos e forma biómica: de la ecuació (1): Y de z 5 : z a bi z a bi a bi a bi 8 a 8 a z z 5 b 5 16 b 5 9 b b Por tato, teemos dos solucioes: z i y z i 1 1 z i y z i Raúl Gozález Media 017 Números omplejos IV-1

13 .11.- Resume de Coceptos Raúl Gozález Media 017 Números omplejos IV-1