Números complejos. Un cuerpo conmutativo es un conjunto de números que pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse.

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1 Núeros coplejos 1. Cuerpos U cuerpo coutativo es u cojuto de úeros que puede suarse, restarse, ultiplicarse y dividirse. Los úeros racioales, esto es, los úeros que puede escribirse e fora de fracció, fora u cuerpo coutativo que se represeta por la letra Q. Los úeros reales, forados por los racioales e irracioales, se represeta por la letra R y tabié tiee estructura de cuerpo coutativo. Si ebargo el cojuto de los úeros eteros Z o es u cuerpo pues, e geeral, los úeros eteros o se puede dividir, por ejeplo, el cociete de 7 etre 3 o es u úero etero. De fora ás precisa, u cuerpo coutativo F es u cojuto co cuyos eleetos puede hacerse dos operacioes, sua y producto y estas operacioes tiee las propiedades siguietes: Propiedades de la sua: 1. Asociativa. Para suar tres eleetos puede asociarse coo se quiera (a + b) + c a + (b + c). Eleeto eutro o cero. Existe u eleeto que se le suele llaar cero co la propiedad: a + 0 a 3. Eleeto siétrico u opuesto. Para cada eleeto a del cuerpo existe otro eleeto (represetado geeralete por a) co la propiedad de que al suar abos se obtiee el eleeto eutro: a + ( a) 0. Coutativa. El resultado de la sua es idepediete del orde de los suados: a + b b + a La existecia de eleeto opuesto hace que exista siepre la diferecia de los úeros. La diferecia es la sua de u eleeto y el opuesto del otro: a b a + ( b) Propiedades del producto: 1. Asociativa. Para ultiplicar tres eleetos puede asociarse coo se quiera (a b) c a (b c). Eleeto eutro o uidad. Existe u eleeto que se le suele llaar uo co la propiedad: a 1 a 1

2 NÚMEROS COMPLEJOS 3. Eleeto siétrico o iverso. Para cada eleeto a del cuerpo salvo para el cero, existe otro eleeto (represetado geeralete por a 1 ) co la propiedad de que al ultiplicar abos se obtiee el eleeto uidad: a a 1 1. Coutativa. El producto es idepediete del orde de los factores: a b b a La existecia de eleeto iverso garatiza que se pueda dividir dos úeros salvo si el divisor es cero. El cociete es el producto del prier eleeto por el iverso del segudo:? a/b a b 1 Propiedades de la sua y el producto Distributiva a (b + c) a b + a c Dado u cuerpo F y u úero a o perteeciete al cuerpo, siepre puede ecotrarse u cuerpo que cotega a abos, es decir, al cuerpo F y al úero a. Por ejeplo, si cosideraos el cuerpo Q de los úeros racioales y el úero que o es racioal, los úeros de la fora a + b co a y b racioales, fora u cuerpo que icluye a todos los racioales y a.. Núeros coplejos Tato el cojuto Q de los úeros racioales coo el cojuto R de los úeros reales so cuerpos. La ecesidad de apliar el cuerpo de los racioales, surge del hecho de que uchas fucioes, coo por ejeplo las raíces o el logarito, o tiee setido detro de este cojuto. Segú heos visto, e el cojuto de los úeros reales tapoco puede defiirse alguas fucioes coo la raíz cuadrada o el logarito para úeros egativos. La apliació del cocepto de úero a los úeros coplejos perite exteder el doiio de estas fucioes a todos los úeros. Para costruir los úeros coplejos vaos a añadir a los úeros reales u úero i que llaareos uidad iagiaria y que cuple que i 1, es decir, el úero i es ua raíz de 1. Si quereos que el uevo cojuto sea u cuerpo, para que esté defiida la ultiplicació, debeos añadir todos los úeros de la fora bi dode b es u úero real. Estos úeros, producto de u úero real por la uidad iagiaria, se llaa úeros iagiarios puros. Adeás, puesto que los úeros se puede suar, debe existir los úeros de la fora a + bi dode a y b so úeros reales. Estos úeros so sua de u úero real y u úero iagiario puro. Vereos que co úeros de la fora a + bi co a, b R puede defiirse la sua y la ultiplicació co todas las propiedades de u cuerpo coutativo. Estos úeros fora el cuerpo de los úeros coplejos y esta represetació de los coplejos coo sua de u úero real y u úero iagiario puro se llaa fora bióica del úero coplejo. El cuerpo de los úeros se represeta por C. Por cosiguiete, u úero coplejo a + bi está forado por dos úeros reales a y b. El úero a se llaa parte real del coplejo, y el úero b (el que aparece ultiplicado a la uidad iagiaria) se deoia parte iagiaria del coplejo. Esto es siilar a los úeros fraccioarios que esta copuestos por dos úeros eteros, el uerador y? el deoiador. De la isa fora que los úeros reales se represeta sobre ua recta, los úeros coplejos se represeta e u plao llaado Plao de Argad, toado la parte real sobre el eje de abscisas (que llaareos eje real) y la parte iagiaria sobre el eje de ordeadas (eje iagiario). El puto represetativo de u úero se llaa afijo del coplejo.

3 3 OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA 3 E esta represetació, los afijos de los úeros reales está sobre el eje de abscisas y los úeros iagiarios puros sobre el eje de ordeadas. De ahí los obres de eje real y eje iagiario co que desigaos estos ejes. Los coplejos que tiee la isa parte real y parte iagiaria del iso valor y sigo cotrario, es decir, los coplejos a + bi y a bi, se llaa cojugados. El cojugado de u coplejo z se represeta por z. Los afijos de estos coplejos so putos siétricos respecto al eje real. Los úeros reales so cojugados de sí isos. E la figura siguiete puede verse los afijos de alguos pares de coplejos cojugados. 3. Operacioes co coplejos e fora bióica Sua y diferecia. La sua de coplejos e fora bióica se obtiee suado las partes reales e iagiarias de los dos coplejos: Por ejeplo: (a + bi) + (c + di) a + c + (b + d)i ( 5 + i) + (3 i) + i?( 5 + i) (3 i) 8 + 3i

4 POTENCIA Y RAÍZ CUADRADA EN FORMA BINÓMICA Producto. Los coplejos se ultiplica coo si fuese bioios y el polioio resultate se reduce teiedo e cueta que i 1: Por ejeplo: (a + bi) (c + di) ac + adi + bci + bdi ac bd + (ad + bc)i (6 i) (1 + 5i) i i 10i 6 + 8i i El producto de u coplejo por su cojugado es?u úero real positivo. E efecto, sea z a+bi: z z (a + bi)(a bi) a b i a + b La raíz cuadrada positiva de este úero se llaa ódulo del coplejo y se represeta por z : Por ejeplo: z z z a + b z 7 5i z Cociete. La divisió de u coplejo por u úero real es uy secilla, basta dividir opr ese úero tato la parte real coo la parte iagiaria: a + bi a c c + b c i Si el divisor es u úero coplejo, puede reducirse al caso aterior ultiplicado uerador y deoiador por el cojugado del deoiador: Por ejeplo: a + bi (a + bi)(c di) ac + bd + (bc ad)i c + di (c + di)(c di) c + d ac + bd bc ad c + + d c + d i 1 + i (1 + i)( 3i) 3i i 6i + 3i ( + 3i)( 3i) + 3 7i i. Potecia y raíz cuadrada e fora bióica La potecia de u úero coplejo puede calcularse ediate la fórula del bioio de Newto: ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) a + a 1 b + a b + + b 0 1 dode ( ) 1 si 0 ( 1)( )... ( + 1) si 0! estos coeficietes puede obteerse tabié del triágulo de Tartaglia:

5 POTENCIA Y RAÍZ CUADRADA EN FORMA BINÓMICA 5 Para u coplejo e fora bióica, la fórula de Newto puede escribirse coo ( ) ( ) ( ) ( ) (a + bi) a + a 1 bi + a b i + + b i 0 1 Para calcular las potecias de la uidad iagiaria teeos e cueta lo siguiete: i 1 i i 1 i 3 i ( 1) i i i ( i) i 1 i 5 i 1 i i 6 i i 1 i 7 i ( 1) i i 8 i ( i) i 1 i 9 i 1 i i 10 i i 1 i 11 i ( 1) i i 1 i ( i) i 1 Puede verse que las potecias de i se repite e el orde i, 1, i, 1, y que cuado el expoete es últiplo de la potecia vale 1. E geeral, puede escribirse: i i od dode od sigifica el resto de dividir etre (se lee ódulo ). Ejeplo 1 Calcular ( 5i) 3. Aplicado la fórula del bioio y teiedo e cueta que i 1 e i 3 i: ( 5i) i i 5 3 i i i i Supogaos ahora que quereos calcular la raíz cuadrada del coplejo a + bi, esto es, quereos calcular u úero coplejo x + yi que cupla: (x + yi) a + bi Desarrollado el cuadrado e igualado la parte real y la parte iagiaria de cada úero resulta: { x y x y a xyi a + bi xy b resolviedo el sistea se obtiee las dos raíces cuadradas. Hay que recordar que x e y so úeros reales. Más adelate vereos u étodo ejor para calcular las potecias y raíces de úeros coplejos. Ejeplo Calcular la raíz cuadrada 1 0i x + yi. Sea 1 0i x + yi. Segu heos visto se cuple que x y 1 xy 0 Despejado y e la seguda ecuació y sustituyedo e la priera: y 0 x 10 x x 100 x 1 x 1x Resolviedo la ecuació bicuadrada se obtiee x 5 y x 5. Los valores correspodietes de y so y. Por cosiguiete, las dos raíces so 5 + i y 5 i. Coprobeos, por ejeplo, el prier resultado: ( 5 + i) 5 0i + i 5 0i 1 0i

6 5 FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA DEL NÚMERO COMPLEJO 6 5. Fora polar y trigooétrica del úero coplejo El afijo de u úero coplejo puede deteriarse, e lugar de por sus coordeadas cartesiaas, por sus coordeadas polares. Éstas so el ódulo r y el argueto ϕ. El ódulo es la distacia del afijo del coplejo al orige de coordeadas. Si cooceos la parte real a y la parte iagiaria b del coplejo, el ódulo es: r a + b El ódulo de u coplejo es u úero real positivo. Se suele represetar tabié escribiedo el coplejo etre barras, por ejeplo z, o a + bi. El argueto de u coplejo es el águlo que fora el segeto que ue el orige y el afijo del coplejo co el seieje real positivo. E realidad, u coplejo tiee ifiitos arguetos que difiere e u últiplo de π, pues si ϕ es u argueto tabié lo es ϕ + kπ dode k es u úero etero. El argueto se relacioa co la parte real y la parte iagiaria del coplejo por: tg ϕ b a siepre deteriado el águlo teiedo e cueta el cuadrate e el que se ecuetra el afijo del coplejo. U coplejo e fora polar se escribe coo r ϕ. Por ejeplo π 3 argueto π 3. es el coplejo que tiee de ódulo y Ejeplo 3 Calcular el ódulo y el argueto del úero coplejo 1 + 3i. El ódulo del coplejo es: r El afijo del úero se ecuetra e el segudo cuadrate de odo que el argueto es: tg ϕ ϕ π π 3 + kπ π 3 + kπ (k Z) Si se cooce el ódulo y el argueto, la parte real y la parte iagiaria se obtiee ediate a r cos ϕ b r se ϕ

7 6 PRODUCTO Y COCIENTE EN FORMA TRIGONOMÉTRICA 7 de fora que el coplejo a + bi puede escribirse coo a + bi r cos ϕ + ir se ϕ r(cos ϕ + i se ϕ) Esta aera de escribir el coplejo, sustituyedo r y ϕ e la últia expresió, se llaa fora trigooétrica del úero coplejo. Por ejeplo, u coplejo e fora trigooétrica sería 3(cos π 3 + i se π 3 ). Este coplejo tiee de ódulo 3 y argueto π 3. Ejeplo Calcular la expresió e fora bióica del coplejo de ódulo y argueto 5 o. El argueto 5 o es igual a 5π radiaes. Pasado priero a la fora trigooétrica teeos que: 5π (cos 5π + i se 5π ) ( ) i i 6. Producto y cociete e fora trigooétrica Sea los coplejos: z 1 r 1 (cos ϕ 1 + i se ϕ 1 ) z r (cos ϕ + i se ϕ ) Multipliqueos los dos úeros: z 1 z r 1 (cos ϕ 1 + i se ϕ 1 ) r (cos ϕ + i se ϕ ) r 1 r [ cos ϕ1 cos ϕ + i cos ϕ 1 se ϕ + i se ϕ 1 cos ϕ + i se ϕ 1 se ϕ ] r 1 r [cos ϕ 1 cos ϕ se ϕ 1 se ϕ + i(se ϕ 1 cos ϕ + cos ϕ 1 se ϕ )] r 1 r [cos(ϕ 1 + ϕ ) + i se(ϕ 1 + ϕ )] Ésta es la fora trigooétrica de u coplejo de ódulo r 1 r y de argueto ϕ 1 + ϕ. Llegaos por tato a la siguiete coclusió: para ultiplicar dos coplejos e fora polar o trigooétrica, se ultiplica sus ódulos y se sua sus arguetos. No es difícil iagiar que para dividir coplejos se dividirá sus ódulos y se restará sus arguetos. E efecto, dividaos e fora trigooétrica ultiplicado uerador y deoiador por el cojugado del deoiador: z 1 r 1(cos ϕ 1 + i se ϕ 1 ) z r (cos ϕ + i se ϕ ) r 1(cos ϕ 1 + i se ϕ 1 )(cos ϕ i se ϕ ) r (cos ϕ + i se ϕ )(cos ϕ i se ϕ ) r 1(cos ϕ 1 cos ϕ i cos ϕ 1 se ϕ + i se ϕ 1 cos ϕ i se ϕ 1 se ϕ ) r (cos ϕ + se ϕ ) r 1 [cos ϕ 1 cos ϕ + se ϕ 1 se ϕ + i(se ϕ 1 cos ϕ cos ϕ 1 se ϕ )] r r 1 [cos(ϕ 1 ϕ ) + i(se ϕ 1 ϕ )] r r 1 r [cos(ϕ 1 ϕ ) + i(se ϕ 1 ϕ )] Coo habíaos previsto resulta que el coplejo cociete de otros dos, tiee coo ódulo el cociete de sus ódulos y coo argueto la diferecia de sus arguetos,

8 7 POTENCIA Y RAÍZ EN FORMA POLAR 8 Ejeplo 5 Calcular e fora polar el cociete: (1 + i)3i i E prier lugar, calculaos los coplejos e fora polar. Es fácil ver que: Etoces: 1 + i π 3i 3 π i 7π (1 + i)3i i π 3 π 7π ( 3 ) π + π 7π ( 3 ) ( 3 ) π π 7. Potecia y raíz e fora polar Puesto que la potecia de expoete atural o es sio u producto de factores iguales, podeos aplicar la regla de cálculo de productos para calcular las potecias: los ódulos deberá ultiplicarse y los arguatos suarse. Puesto que al ultiplicar veces el ódulo r por sí iso se obtiee r y al suar el argueto ϕ cosigo iso veces se obtiee ϕ se tiee que: [r(cos ϕ + i se ϕ)] r (cos ϕ + i se ϕ) Si r 1, la expresió aterior se escribe coo cos ϕ + i se ϕ (cos ϕ + i se ϕ) que se cooce coo fórula de Moivre. La fórula de Moivre perite calcular el seo y el coseo de los águlos doble, triple, cuádruple, etc, de u águlo cualquiera ϕ a partir de se ϕ y cos ϕ. Ejeplo 6 A partir de la fórula de Moivre, obteer cos 3x y se 3x. Desarrollado la fórula de Moivre para 3 resulta: (cos 3ϕ + i se 3ϕ) (cos ϕ + i se ϕ) 3 cos 3 ϕ + 3 cos ϕ i se ϕ + 3 cos ϕ i se ϕ + i 3 se 3 ϕ cos 3 ϕ + 3i cos ϕ se ϕ 3 cos ϕ se ϕ i se 3 ϕ dode se ha teido e cueta que i 1 y i 3 i. Igualado partes reales e iagiarias resulta: cos 3ϕ cos 3 ϕ 3 cos ϕ se ϕ se 3ϕ 3 cos ϕ se ϕ se 3 ϕ Dado que la raíz es la fució iversa de la potecia, para calcular la raíz eésia de u coplejo, habrá que extraer la raíz del ódulo y dividir el argueto por el ídice de la raíz. Pero aquí es preciso teer e cueta que a u coplejo le correspode ifiitos arguetos que difiere e u últiplo etero de π de fora que ( r(cos ϕ + i se ϕ) r cos ϕ + kπ + i se ϕ + kπ ) (k Z)

9 7 POTENCIA Y RAÍZ EN FORMA POLAR 9 Esto o quiere decir que u coplejo tega ifiitas raíces, ua para cada valor de k. Para k 0 se obtiee la raíz ( r cos ϕ + i se ϕ ) Se obtiee raíces diferetes para k 1,, 3,, 1 pero para k resulta: r (cos ϕ + π + i se ϕ + π ) ( ( ϕ ) ( ϕ )) r cos + π + i se + π que es igual que la raíz obteida para k 0. De aquí deducios que todo úero coplejo tiee exactaete raíces eésias. Todas las raíces de u úero coplejo r ϕ tiee el iso ódulo r. Puesto que el setido gráfico del ódulo es la distacia al orige del afijo del coplejo, los afijos de todas las raíces eésias se ecuetra e la circuferecia de cetro el orige y radio r. Las raíces puede obteerse uas de otras suado al argueto el águlo π. E el siguiete gráfico podeos ver las raíces quitas del úero coplejo i. Ejeplo 7 Calcular las raíces quitas de i. El úero i tiee de ódulo 1 y argueto π. El ódulo de todas las raíces será 5 1. La priera raíz tiee coo argueto π : 5 π 10. Las restates raíces puede obteerse de ésta suado π 5. Así obteeos: z 1 cos π 10 + i se π ( 10 π z cos 10 + π ) ( π + i se π ) cos π 5 + i se π ( π z 3 cos + π ) ( π + i se 5 + π ) cos 9π 9π + i se ( 9π z cos 10 + π ) ( 9π + i se π ) cos 13π 13π + i se ( 13π z 5 cos 10 + π ) ( 13π + i se π ) cos 17π 17π + i se

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