el blog de mate de aida. MATEMÁTICAS ESO: COMBINATORIA pág. 1 COMBINATORIA

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1 el blog de ate de aida. MATEMÁTICAS ESO: COMBINATORIA ág. COMBINATORIA Los étodos de coteo so estrategias utilizadas ara deteriar el úero de osibilidades diferetes ue existe al realizar u exerieto. MÉTODO DEL PRODUCTO Para obteer el úero total de osibilidades, este étodo cosiste e ultilicar el úero de ocioes ue se da e cada uo de los cooetes Ejelo: Iree tiee 4 ataloes, 6 caisetas y 3 ares de zaatos. Cuátas iduetarias uede elegir? DIAGRAMA DE ÁRBOL Sirve ara cotabilizar cojutos ordeados y erite ver cuáles so las distitas osibilidades ue se da e cada uo de los asos. Ejelo: Atoio, Beatriz, Care y Darío juega la fase fial de u caeoato de ió. Hay ua coa ara el caeó y ua laca ara el subcaeó. a) De cuátas foras uede adjudicarse los trofeos? B) Cuátas osibles calificacioes fiales uede haber? VARIACIONES CON REPETICIÓN Las variacioes co reetició de eleetos toados de e se defie coo las distitas agruacioes foradas co eleetos ue uede reetirse, eligiédolos de etre los eleetos de ue disoeos, cosiderado ua variació distita a otra tato si difiere e algú eleeto coo si está situados e distito orde. No cogeos todos los eleetos, se uede reetir. El úero de variacioes ue se uede costruir se uede calcular ediate la fórula: Ejelos: a) Cuátos úeros de tres cifras distitas se uede forar co los dígitos,2,3,.,9? 9! V ! b) Co las letras del alfabeto esañol (25 letras), cuátas alabras (co o si setido) de 6 letras distitas uede forarse? Cuátas eieza or vocal? V 6 25, 5V 5 24

2 el blog de ate de aida. MATEMÁTICAS ESO: COMBINATORIA ág. 2 VARIACIONES SIN REPETICIÓN Las variacioes si reetició de eleetos toados de e se defie coo las distitas agruacioes foradas co eleetos distitos, eligiédolos de etre los eleetos de ue disoeos, cosiderado ua variació distita a otra tato si difiere e algú eleeto coo si está situados e distito orde. Es decir, agruaos o todos los eleetos, y o se uede reetir. El úero de variacioes ue se uede costruir se uede calcular ediate la fórula: Ejelo: De cuátas foras se uede reartir las tres edallas de los ocho fialistas de ua carrera? V = = 336 PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN Las erutacioes si reetició de eleetos se defie coo las distitas foras de ordear todos esos eleetos distitos, or lo ue la úica diferecia etre ellas es el orde de colocació de sus eleetos. El úero de estas erutacioes será: Teiedo e cueta ue:! =. (-). (-2) Ejelos: a) Cuátos úeros de 5 cifras distitas se uede forar co los dígitos,2,3,4,5? P 5 =5! = = 20 b) Cuátos úeros de 4 cifras se uede forar co los dígitos 0,,2,3? P 4 P 3 = 4! -3!= 24-6 = 8 Heos restado P 3 ara descotar los úeros ue eieza or cero, ya ue estos o so de cuatro cifras. c) Cuátos úeros de 6 cifras se uede forar si e ellos siere hay uo, 2 doses y 3 treses? 6!!2!3! ,2,3 P 6 = 60 COMBINACIONES Las cobiacioes si reetició de eleetos toados de e se defie coo las distitas agruacioes foradas co eleetos distitos, eligiédolos de etre los eleetos de ue disoeos, cosiderado ua variació distita a otra sólo si difiere e algú eleeto, (No ifluye el orde de colocació de sus eleetos). El úero de cobiacioes ue se uede costruir se uede calcular ediate la fórula:

3 el blog de ate de aida. MATEMÁTICAS ESO: COMBINATORIA ág. 3 Ejelos: a) Coo resuesta a u aucio de trabajo se reseta 2 ersoas ara cubrir tres lazas de adiistrativo. Cuátos gruos diferetes de ersoas se uede seleccioar? Debeos elegir gruos de 3 de etre los 2, o ifluye el orde. 3 2! 2..0 C (2-3)!3! 3.2 b) Cuátos triágulos distitos se uede forar co 8 utos e el lao si tres de ellos uca está alieados? Para ue dos triágulos sea distitos se tiee ue difereciar al eos e u vértice y el orde e ue toaos los vértices o ifluye. 3 8! C 56 8 (8 3)!.3! 3.2 c) Cuátos cojutos de tres letras existe elegidas etre a, b, c, d, e, f, g si e cada cojuto uede haber ás de ua letra igual? Teeos e cueta ue el cojuto a, b, c coicide co el cojuto b, c, a y ue los eleetos se uede reetir, es decir a, a,b es u cojuto de tres letras, luego: 9! CR C !3! 3.2

4 el blog de ate de aida. MATEMÁTICAS ESO: COMBINATORIA ág. 4 NÚMEROS COMBINATORIOS El úero cobiatorio rereseta el úero de gruos distitos de eleetos ue se uede forar eligiédolos de etre eleetos. Se calcula alicado la exresió:!!! (Tabié se uede calcular los úeros cobiatorios leyédolos de las filas corresodietes del triágulo de Tartaglia).. Costrucció del triágulo de Tartaglia: El triágulo de Tartaglia (llaado tabié de Pascal) se costruye oiedo u arriba y costruyedo u triágulo hacia abajo, de fora ue cada úero es la sua de los dos úeros ue tiee ecia, exceto los extreos, ue so siere. El triágulo resultate es siétrico:

5 el blog de ate de aida. MATEMÁTICAS ESO: COMBINATORIA ág. 5 Recuerda el úero cobiatorio: Blais Pascal diseñó ua disosició triagular ara los úeros cobiatorios, los úeros ue aarece e el triágulo de Tartaglia so los valores de los corresodietes úeros cobiatorios: Alguas roiedades iteresates del triágulo de Tartaglia, útiles ara deducir las roiedades de los úeros cobiatorios: - la riera diagoal so todo uos, y la seguda diagoal so todos los úeros aturales - las suas horizotales so las otecias de 2. E el triágulo de Tartaglia aarece la faosa sucesió de Fiboacci. Prueba a hacerlo: eieza co u de la izuierda, da u aso arriba y uo al lado, sua los cuadrados dode caigas (coo e el dibujo) las suas ue sale so la sucesió de Fiboacci:

6 el blog de ate de aida. MATEMÁTICAS ESO: COMBINATORIA ág. 6 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS: Los úeros cobiatorios cule roiedades uy iteresates: `..+ BINOMIO DE NEWTON Recordaos ue el desarrollo de la otecia de viee dado or el bioio de Newto: El triágulo de Pascal (o de Tartaglia) os da los coeficietes del bioio de Newto: (a+b) 0 0.b a b ab... b a a

7 el blog de ate de aida. MATEMÁTICAS ESO: COMBINATORIA ág. 7 La fórula geeral del llaado Bioio de Newto (a + b) está forada or uos coeficietes ue coicide co la líea úero + del triágulo de Pascal (la ue eieza or y ). Ua fora de evitar teer ue calcular uo a uo todos los coeficietes es utilizar el Triágulo de Pascal (o de Tartaglia), ya ue los coeficietes de la otecia aarece e la fila + de dicho triágulo. El triágulo de Tartaglia os da, or tato, los coeficietes de la otecia de u bioio: