Capítulo 5. Oscilador armónico

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1 Capítulo 5 Oscilador aróico 5 Oscilador aróico uidiesioal 5 Reescalaieto 5 Solució e series 53 Valores propios 54 Noralizació 55 Eleetos de atriz 5 Operadores de creació y de aiquilació 5 Ecuació de valores propios 5 Fució propia del estado basal λ u Aexo 5 Coportaieto asitótico de u Aexo 5 Polioios de Herite H (

2 5 Oscilador aróico El estudio de las oscilacioes tiee gra iportacia e la ecáica cuática Las oscilacioes aróicas se usa coo odelo para describir las iteraccioes que preseta ua posició de equilibrio y e particular so el odelo ás usado para estudiar vibracioes 5 Oscilador aróico uidiesioal U oscilador aróico se carateriza por u fuerza que es proporcioal al desplazaieto respecto a la posició de equilibrio Por lo tato para este sistea se tiee u potecial cuadrático V( x x E este caso la ecuació de valores propios de la eergía Hu E Eu toa la fora E d ue ω x u E EuE dx e dode ω así ω E u x u u E E E 5 Reescalaieto Esta ecuació diferecial de segudo orde co coeficietes polioiales preseta varias cobiacioes de costates que puede eliiarse ediate u cabio de escala (reescalaieto Sea x la ueva variable idepediete co > etoces d dx d d dx d d d y u ( x u u E E Mediate esta trasforació la ecuació diferecial toa la fora ω u E e dode λ > u λ u 4 Si se elige de tal fora que ω etoces 5-

3 u u λ u ω co y E ωλ 5 Solució e series Para resolver la ecuació diferecial co coeficietes variables se usa el étodo de Frobeius (étodo geeralizado de serie de potecias E este étodo se propoe ua solució e series de la fora s j s u C C j j j j j e dode C Al sustituir el serie e la ecuació diferecial se tiee que λ C s s C s s C s s C [ j j j ] j ( C ( s 3( s C λ C ( s j ( s j C C λ 3 j y al igualar los polioios se obtiee las relacioes siguietes Cs s Cs s C s s λ C C s s 3 C λ 3 C s j s j C C j j j λ ( j 3 A la priera ecuació se le deoia ecuació idicial y perite deteriar los valores de s e este caso se tiee que s Debido a que se tiee u potecial siétrico las fucioes propias debe teer paridad defiida pero por la fora de la serie de potecias el factor que aparece fuera de la sua tiee la isa paridad que el paráetro s por lo que la sua debe ser par Por esta razó C al igual que todos los coeficietes ipares Los coeficietes pares se obtiee a partir de las relacioes de recurrecia 5-3

4 C C λ ( s ( s C j C j λc ( s j ( s j j ( j 4 6 Esta ecuació diferecial geera ua relació recursiva de tres térios para la cual o es posible obteer ua solució cerrada de los coeficietes Por esta razó es ecesario trasforarla Ua posibilidad cosiste e separar su coportaieto asitótico (ver Aexo 5 Para valores grades de x u ~ u por lo que la solució debe teer la fora u ~ e Así u e y [ ] ~ [ ] u u λu e 4 λ e 4 por lo que 4 o bie ± Sólo para egativa se tiee ua solució oralizable por tato u Así y ~ e El resultado aterior sugiere el cabio de variable u e H u e H e H u e H e H e H e H [ ] ( λ ( ( λ u u e H H H H por lo que H( satisface la ecuació diferecial H H λ H 5-4

5 Esta ecuació diferecial produce relacioes de recurrecia de dos térios que si perite obteer solucioes cerradas Aplicado el étodo de Frobeius e dode C se obtiee H e dode j s C j H C j ( s j j j j j s C ( s ( s H C s j s j j j j o j Por lo que C s s C s s { C ( s ( s C[ ( λ ( s ]} Al igualar a cero cada coeficiete s( s s Cs s C C C s λ ( s ( s C s ( 4 s Dado que sólo aparece térios pares la solució tiee paridad y tabié puede escribirse e la fora s H A A A C 4 s λ ( ( s s A ( s 53 Valores propios Dado que la solució debe ser fiita se copara la serie obteida co ua fució expoecial 5-5

6 e D D! D! D ~ D E uestro caso A A 4 ~ 4 y coparado abos casos se tiee que Así para valores grades de H y u ~ e Etoces si H es ua serie la fució de oda diverge Por lo tato ~ e H debe ser ua sua fiita (solució polioial es decir existe u etero N tal que A AN co A N Al sustituir esta codició e la relació de N recurrecia se tiee que por tato O bie 4N s λ ( ( N s N s A N λ 4 ( N N s ( N 4N estado par ( s λ λ ( 4N 3 estado ipar ( s Esto iplica que el espectro es discreto e igualete espaciado adeás E ω( ω ( ( x ( u x u u N e H N e H x e dode las fucioes H so polioios de grado deoiados polioios de Herite (ver Aexo 5 y los coeficietes N garatiza la oralizació 5-6

7 54 Noralizació Dado que las fucioes propias debe estar oralizadas el coeficiete de oralizació toa la fora N e H dx e H d Estos coeficietes se puede obteer ediate el uso de la fució geeradora de los polioios de Herite (ver Aexo 5 Cosidere la itegral s t I G( s G G( t e d e H H d!! [ ] exp s s t t d Copletado cuadrados e el expoete se tiee que [ ] s t s t s st t [ ( s t ] st w st st I e de e dwe πe e dode w ( s t y dw d Desarrollado este resultado e series se tiee que s t I e H d s t π!!! e igualado coeficietes por lo tato e H H d π π! δ δ! N N e H d π! N π! Observe que estos coeficietes cuple las relacioes siguietes 5-7

8 N N i j ji j! i! N N i ; ( i i ; N N i i i Fialete las fucioes propias toa su fora fial ( x e H x π! δ 55 Eleetos de atriz Para calcular braets se puede utilizar las relacioes de recurrecia de los polioios de Herite Por ejeplo para los eleetos de atriz del operador diferecial d dx N N e H d dx e H dx N N e H d d d e H dx d [ ] N N e H H H d Dado que H H H H etoces d dx N N e H H H d N N π! δ π! δ N N δ N N δ N N N N δ δ δ δ N N E fora siilar se puede calcular el braet x δ δ 5-8

9 y se puede verificar que se cuple la igualdad E E x d dx Los proedios de la eergía ciética y potecial tabié puede calcularse por este étodo T D ω ( ( ω E V x ω ω E T ω ω Esta expresió correspode a la expresió del teorea virial para el oscilador aróico 5 Operadores de creació y de aiquilació La ecuació diferecial del oscilador aróico puede resolverse usado u étodo algebráico aprovechado las propiedades de coutació de los operadores E la ecuació diferecial reescalada ( u u D u el operador de segudo orde tiee la fora algebráica de ua diferecia de cuadrados Esta observació sugiere usar los operadores que provedría de la factorizació hipotética a a E térios de la variables físicas estos operadores tiee la fora d x a dx ω x i p ω d x a dx ω x i p ω que puede cosiderarse coo parte de la factorizació del operador hailtoiao 5-9

10 H p x ω A partir de su defiició es posible deostrar que los operadores a y a o so heritiaos pero uo es adjuto del otro Dado que estos operadores so cobiació de los operadores físicos está relacioados etre sí x a a ω Adicioalete por tato ω ( p i ( a a ω a a x i i xp px p ω p ω x i H [ x p] ω ω ( a a H ω Los uevos operadores o couta [ a a ] ω p ω p x i x i ω ω i i [ p x] i [ x p] [ x p] así a partir del coutador aa a a se tiee que H aa a a ω H ( aa ω Defiiedo al operador de úero N a a se puede observar que éste está relacioado co el hailtoiao ( ω N [ ] H H N Aalizado las propiedades de coutació de estos objetos 5-

11 [ ] [ ] [ ] [ ] N a a a a a a a a a a a [ H a ] [ N a ] [ a a a ] a [ a a ] a [ H a ] ω a ω a se puede observar que los coutadores ivolucra a los isos operadores 5 Ecuació de valores propios Dado que H y N couta tiee los isos ets propios N M H E etoces N H E ω ω a a au au por lo tato el espectro está acotado E ω Aplicado a a la ecuació valores propios de la eergía así ( [ ] ah E a Ha H a Ha ω a ( H a E ω a es decir a es la fució propia co valor propio E ω Por esta razó al operador a se le deoia operador de aiquilació E fora siilar ( [ ] a H E a Ha Ha Ha a ω ( H a E ω a y a es la fució propia co valor propio E ω por lo que se le llaa operador de creació 5-

12 Coo el espectro está acotado por abajo deotareos co a la fució propia co eor valor propio E Por otro lado el et a o puede ser u et propio ya que o existe iguo co eergía eor que E por lo tato este et debe ser igual al et ulo a Adeás E N a a au au ω por lo tato E ω Los valores propios siguietes se obtiee aplicado el operador de creació E E ω ω Observe que N Las fucioes propias tabié se obtiee aplicado los operadores de creació y aiquilació a c a d e dode las costates está fijas por la oralizació au au c c a a N a u a u d d aa N etoces c y d por lo que y a a a! 5-

13 5 Fució propia del estado basal El et propio del estado basal satisface la ecuació a por lo tato d d Esta es ua ecuació diferecial separable de prier orde du u d Itegrado u A exp du u d e dode A se deteria por la oralizació de la fució de oda e el espacio de coordeadas A A dx e d u π Así u ( x e π ( x y d d d! π! d e 5-3

14 Aexo 5 Coportaieto asitótico de u λ u Para este aálisis es coveiete trasforar la ecuació diferecial e u sistea de ecuacioes de prier orde Por tato se usará las variables u y y y u ( λ y u u que se agrupa e u vector de fucioes Así e dode X u y u y X X BX u λ u λ ( B B B λ λ y B B so atrices costates Para el aálisis asitótico se requiere que los valores propios de B sea diferetes por lo que se propoe la trasforació etoces Z a X a u b b y a a a a u a u a a y Z Z X Z b b b b y b y b b ( λ u ab b ab a y a Z ba Z Z b λ a ba ( u b ( λ 5-4

15 a ab a ab Z ( Z b b Z b a b a b a λ λ Dado que los valores propios de la atriz de ayor potecia tiee que ser diferetes etoces por siplicidad se puede elegir dos de las potecias de los eleetos o diagoales de tal fora que sea iguales por ejeplo b a a b y por tato ( b a o a b Así a a a Z Z Z Z Z λ b b λ λ b Para la priera atriz los valores propios so ± Si se toa a y b se tiee que Z Z Z A A Z λ Para esta ecuació se propoe ua solució asitótica de la fora Etoces a Z C e a µ a a e µ C a Z e a µ C a a C ( µ µ a e a l ( µ l Cl ac a C l a e a µ ac ac ac {( µ C ac ac } µ y sustituyedo la ecuació diferecial se tiee que 5-5

16 a Z A A a µ C e ( A C A C a a µ e a a µ l e A C A Cl l a a µ e A C A C ( A C A C igualado coeficietes a C A C a C a C A C ( µ a C a C C A C A C De la priera ecuació a C A C se puede observar que a correspode al valor propio de A por lo tato a ± o a ± Las otras ecuacioes queda e la fora ( A a I C a C [ ] ( a a ( A I C C µ I A C Cálculo de los vectores propios de A A C C C C C a a C C C c Etoces C C ac C c a A I C a C C a C a c C a C ( a a 5-6

17 Coo a C C c a C ac aca a etoces la seguda ecuació puede trasforarse e a C C c a a y al suar co la priera se tiee que a c por lo tato Para A I C a C C C µ C a C λ µ c λ µ a c ( a c ( µ ( λ a µ Multiplicado la seguda ecuació por a y suadola a la priera se tiee que ( λ µ a c µ a λ Coo Z u a de la solució asitótica u e µ C y ~ pero u sólo es fiita para a < Por lo tato toado el valor propio egativo a la solució queda e la fora λ ~ ( u e c 5-7

18 Aexo 5 Polioios de Herite H ( Los polioios de Herite so fucioes que satisface la ecuació diferecial H H H Mostrareos que estos polioios tabié puede obteerse a partir de ua fució geeradora Fució geeradora Sea G( s ua fució de dos variables defiida coo ( ( s s s H G s e e A esta fució se le llaa fució geeradora debido a que los polioios H se! obtiee a partir de los coeficietes del desarrollo e series de Taylor e la variable s A cotiuació se aaliza las propiedades de la fucioes H Por ejeplo e dode H H H s s G sg( s s!! (! y Igualado las series H ( H H E fora siilar s G s H s Hs Hs ( s G!!! l Hl s Hs H s l!! (! l e dode l H y H H H lh l l l l 5-8

19 Las propiedades ateriores perite obteer la ecuació diferecial de los polioios H así H H H H H H H H [ ] [ ] H H H H H H H H Por lo tato la fució G( s exp( s s polioios de Herite es la fució geeradora de los Fórula de Rodrigues Dado que los polioios so los coeficietes del desarrollo e series de Taylor de la fució G es posible obteer ua expresió explícita para ellos Al desarrollar a ( s G co respecto a s se tiee que e dode G s a s a s G s! s por lo tato H s G s s e ( e e s e ( s ( s s d e d ( s s s ( s e s ( s e e e ( s s ( s e e ( s ( s s 5-9

20 A la ecuació H e ( d e se le deoia fórula de Rodrigues de los d polioios de Herite Esta fórula perite evaluar sucesivaete a todos los polioios etre y por ejeplo aplicado la ecuació para se tiee que H H H 4 De igual fora se puede usar la relacioes recurretes para evaluar otros polioios por ejeplo H H H 5-

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