P en su plano, siendo C las correspondientes

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1 PRINIPIO DE OS TRBJOS VIRTUES El Pricipio de los Trabajos Virtuales se expresa diciedo: Para ua deforació virtual ifiitaete pequeña de u cuerpo que se ecuetra e equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual al trabajo virtual itero de deforació Válido cualquiera sea la ley del estado de tesioes y su relació co las deforacioes. Es coveiete, ates de pasar al aálisis geeral del pricipio, cosiderar alguos térios de la defiició: E prier lugar estaos cosiderado u cuerpo e equilibrio, al que co posterioridad se le provoca ua deforació. Dica deforació es arbitraria y posible, copatible co las codicioes de vículo, pero que o proviee de las cargas origiales e el cuerpo. as cargas exteras ultiplicadas por esos desplazaietos arbitrarios represeta el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, e. os esfuerzos iteros geerados por las cargas e equilibrio origiales, geera trabajo debido a la deforació virtual ipuesta, dado orige al trabajo virtual itero de deforació, i. El Pricipio de Trabajos Virtuales puede etoces expresarse sitéticaete coo: e i osidereos aora el caso de ua estructura plaa co barras resistetes a flexió soetido a u sistea de cargas reaccioes de vículo exteriores. P e su plao, siedo las correspodietes Para este sistea e equilibrio se desarrolla esfuerzos iteros aera que existe equilibrio etre la acció itera y la extera. N, Q,, de tal Soeteos al sistea a ua deforació virtual, por lo que los putos de aplicació de P y, sufrirá desplazaietos y Δ c (si existe corriietos de las cargas apoyos) e la direcció de las isas. Por lo tato el trabajo virtual de las fuerzas exteras estará dado por: e P Δ c () Para expresar el trabajo virtual itero de deforació, es decir el trabajo de los esfuerzos iteros (, N, Q ) debido a la deforació virtual a que soetios al sistea, cosideraos u eleeto de ua barra de altura. Págia de 9

2 a deforació virtual provocará, u desplazaieto relativo de las dos seccioes del eleeto que podrá expresarse por ua traslació y ua rotació dϕ. a traslació la podeos cosiderar copuesta por dos copoetes; ua a lo largo del eje de la barra Δds y otra oral Δd. (Figura ). Δds Δd dϕ Figura El trabajo diferecial de las fuerzas iteras que actúa sobre el eleeto será: d i dϕ NΔds QΔd () a itegració de esta expresió a toda la estructura represeta el trabajo virtual de deforació i. Supogaos que la deforació virtual fue provocada por u sistea de cargas exteriores que icluye variació de teperatura, y que geera esfuerzos iteros que desigareos coo, N y Q. ditios que la teperatura varía liealete co la altura de la secció trasversal coo se idica e la figura. T ΔT G Tc dϕ () αδt T αδt αtc Δds Figura Dode defiios co T y T a las teperaturas de la fibra superior e iferior respectivaete, Tc la teperatura correspodiete al cetro de gravedad de la secció y ΔT T T. Págia de 9

3 Observaos que la teperatura geera deforacioes Δds y dϕ e la secció. o estas codicioes resulta para las deforacioes: dϕ Δds Δd ΔT α αtc Q χ G N (3) Dode: α: coeficiete de dilatació térica : Secció trasversal de la barra J: oeto de Iercia E: ódulo de elasticidad G: ódulo de elasticidad trasversal χ: oeficiete de fora que tiee e cueta la distribució o uifore del corte e la secció trasversal de la viga Reeplazado las expresioes (3) e la () e itegrado: i ΔT NN N Tc α χ QQ G α (4) Fialete igualado el trabajo extero y el itero resulta: P Δ c ΔT α NN QQ NαTc χ G (5) que es la expresió del Pricipio de Trabajos Virtuales, para el caso geeral de estructuras plaas. Págia 3 de 9

4 E el caso de teer eleetos soetidos a torsió se deberá agregar a la ecuació (5) el tério: t T t Para sisteas reticulados, la expresió (5) puede siplificarse si cosideraos: a) Q NN SS b) N Tc α SαTc siedo la logitud de la barra la expresió (5) se trasfora e: P S i i Δc i SiαTcii (6) i Ei i i que es la expresió del Pricipio de Trabajos Virtuales, para reticulados. S TEOR DE BETTI Supogaos que sobre ua estructura actúa u sistea de cargas P e equilibrio (por siplicidad o cosideraos i descesos de apoyos i variacioes de teperatura). Si aora itroducios otro sistea P de cargas, éste provocará desplazaietos (desplazaietos dode actúa el sistea P producidos por el sistea P) sobre las fuerzas P (Figura 3) P P P Figura 3 P j P i P Págia 4 de 9

5 Por el Pricipio de Trabajos Virtuales (Ec. 5), podeos escribir: N P N Q χ Q G (7) Si aora supoeos que iicialete está aplicado el sistea P e equilibrio co las tesioes iteras y luego aplicaos el sistea P, éste provocará desplazaietos de las fuerzas exteras, por lo que el trabajo quedará expresado coo: N P N Q χ Q G (8) Siedo iguales los segudos iebros de (7) y (8), tabié lo so los prieros, de dode resulta: P P (9) que es la ley de Betti, que podeos expresar así: El trabajo virtual de u grupo de fuerzas P, durate la deforació debida a otro grupo de fuerzas P, es igual al trabajo virtual de las fuerzas P por efecto de las deforacioes debidas a las fuerzas P. TEOR DE XWE Si los sisteas de fuerzas P y P se reduce a ua sola fuerza uitaria, resulta de la ecuació (9) que expresa la reciprocidad de las deforacioes elásticas. Págia 5 de 9

6 Ejeplo: P a) álculo del giro e debido a P e el puto ( ): / Debeos itegrar el diagraa de oetos producido por P co e diagraa de oetos producido por - P ( ) 3 8 / -/ b) álculo del desplazaieto e debido a e el puto ( ): - Debeos itegrar el diagraa de oetos producido por co e diagraa de oetos producido por P / ( ) 3 8 Págia 6 de 9

7 PIIÓN DE P.T.V. UO DE DEFORIONES: Supogaos ua viga sipleete apoyada co u estado de cargas cualquiera, que geera el diagraa de oetos idicado e la figura 4. a b Si quereos calcular la deforació de esa viga e el puto (desplazaieto vertical), aplicaos e ua carga ficticia, uitaria, e la direcció que se quiere calcular la deforació. El correspodiete diagraa de oetos está idicado e la figura 4. Si aplicaos aora la ecuació (5) y aditios que o ay desceso de apoyos, i variacioes de teperatura y despreciado los efectos de N y Q, resulta: P ab/ ds Figura 4 álogaete, si quereos calcular el giro del puto, aplicaos ua cupla uitaria e, de dode por aplicació de la ecuació (5), resulta: b/ a/ ϕ ds Págia 7 de 9

8 Ejeplo ) P ds P 3 P 3 3 P ϕ ds P ϕ P Ejeplo ) alcular el desplazaieto vertical del puto cetral de la viga usado P.T.V. El resorte e el puto, siula u desceso de apoyo, el cual estará e fució de la reacció del apoyo. K Kg/c P Kg B T c b 3 T E 6 Kg/c J 5 c 4 α -6 / Págia 8 de 9

9 a) álculo de reaccioes y diagraas de oetos debido a P (fig. a) P B Δ R P/ 5 P/ 5 Δ R /K,5 c P/4 5 Figura a) b) álculo de reaccioes y diagraas de oetos debido a la carga ficticia e el puto (fig. b) B / R / /4 5 Figura b) c) plicació de P.T.V., ecuació (5) R Δ ds α ( T T ) ds 3 ds P 4 4 α ( T T ) 4 ds R ΔT Δ,47,5,5,4 c Págia 9 de 9

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