Composición de fundamental con tercera armónica Onda fundamental. Onda resultante

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1 Fució POLARMÓNCAS ENSONES Y CORRENES POLARMÓNCAS 7. troducció E los aálisis ateriores, hemos trabajado co geeració de tesioes alteras del tipo seoidal, y circuitos co características lieales, lo cual se veía reflejado e circulació de corrietes tambié del tipo seoidal. E circuitos e los cuales teemos compoetes electróicos, variadores de velocidad, circuitos magéticos, estos deja de ser lieales y por lo tato las corrietes que circula deja de ser seoidales, presetado ua forma de oda periódica deformada, que a su vez origia caídas de tesió tambié deformadas. El estudio de este tipo de odas o seoidales, se ecara mediate el desarrollo e serie de Fourier, mediate el cual ua oda periódica deformada se puede obteer como la suma ifiita de fucioes seos. E las figuras 7. se observa la curva resultate de sumar la oda fudametal co ua de º armóica y e la 7. la suma de ua fudametal co º, 5º y 7º armóica. Composició de fudametal co tercera armóica Oda fudametal Oda resultate º Armóica iempo Figura 7. Composició de ua oda fudametal co otra de º armóica g. Julio Álvarez 9/ 4

2 7º Armóica 5º Armóica º Armóica Fució POLARMÓNCAS Composició de fudametal co,5 y 7 armóicas Oda fudametal Oda resultate iempo Figura. Composició de ua oda fudametal co º, 5º y 7º armóica Si teemos ua fució: f(t) = f(t+.) Dode es el período de la fució y u úmero etero Si se tiee ua fució periódica cuya pulsació está dada por: Esta fució se puede desarrollar de acuerdo a la siguiete expresió: f(ωt) = B + C se (ωt + Θ ) + C se (ωt + Θ ) + C se (ωt + Θ ) +.+ C se (ωt + Θ ) f t C se t Θ Siedo para C B y Θ Θ se 9 = El coeficiete B represeta la compoete costate ó cotiua de la fució, el segudo térmio C se ((ωt + Θ ), represeta la fudametal o primera armóica, siedo Θ el águlo iicial, mietras que los térmios A se (ωt + Θ ), los armóicos de la fució. Reemplazado de acuerdo a la expresió: se (α + β) = se α cos β + cos α se β C se (ωt + Ө ) = C (se ωt cos Ө + cos ωt se Ө ) = C se ωt cos Ө + C cos ωt se Ө ) De acuerdo al esquema de la figura 7. se cumple: g. Julio Álvarez 9/ 5 C B Ө

3 Fució POLARMÓNCAS Figura 7. Esquema de compoetes A = C cos Ө B = C se Ө C A B f B Θ Arc tg A t B A set B cos t f(ωt) = B + A se ωt + A se ωt + A se ωt +.+ A se ωt + B cos ωt + B cos ωt + B cos ωt +.+ B cos ωt 7.. Codicioes de simetría Las señales eléctricas que os ocupa, so periódicas y simétricas de medio período, quiere decir que repite sus valores a itervalos iguales, llamado a ese itervalo (período), y además cada medio período repite su valor pero co sigo cambiado, lo cual observamos e la figura 7.4. Señal deformada Período M - M wt / E este tipo de señales se cumple: Figura 7.4 Señal periódica y simétrica de medio período g. Julio Álvarez 9/ 6

4 POLARMÓNCAS f ωt fωt E estos casos, o existe compoetes de orde par, y por lo geeral tampoco la compoete cotiua, co lo cual las señales tedrá las siguietes formas: u = Max. se (ωt + ψ ) + Max se (ωt + ψ ) +.+ Max se (ωt + ψ ) [] Para el caso de ua tesió, siedo ψ el águlo iicial de la armóica correspodiete. E forma aáloga para ua corriete: i = Max. se (ωt + ξ ) + Max se (ωt + ξ ) +.+ Max se (ωt + ξ ) [] siedo ξ el águlo iicial de la armóica correspodiete. 7. Circuito co poliarmóicas Aalicemos u circuito serie, como el de la figura 7.5, cuya fuete geera ua tesió poliarmóica, co lo cual e dicho circuito tedremos ua corriete del mismo tipo. + R j X L - j X C - Figura 7.5 Circuito serie La expresió geeralizada de la impedacia es la siguiete: Z R j ω L j ω C De la cual resulta que su valor va a depeder de la armóica e cosideració. El valor eficaz de la corriete va a estar dada por: i se(ω t R ξ ) L ω C se(ω t ξ )... Co lo cual os queda: se(ω t ξ ) Siedo : mpar Se defie como valor eficaz de ua corriete seoidal, al valor de ua corriete equivalete costate, que circulado por ua resistecia, disipa el mismo valor de potecia que ua corriete de itesidad i(t). g. Julio Álvarez 9/ 7

5 POLARMÓNCAS Para ua oda seoidal dicho valor surge de la siguiete expresió: i dt Max El valor eficaz de ua poliarmóica, puede calcularse como el valor cuadrático medio de la oda, o a partir de los coeficietes del desarrollo de la serie de Fourier, co lo cual os queda:... El valor eficaz de ua poliarmóica es igual a la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores eficaces de cada ua de las armóicas. 7.. Potecia activa e poliarmóicas Por defiició la potecia activa está dada por la siguiete expresió: P p.dt u.i.dt Si reemplazamos los valores de u e i por las expresioes [] y [] os queda: P u.i.dt Max. Max se(ωe ψ ). se(ωe ξ ) dt Max. Max se( ωt ψ ). se( ωt ξ ) dt. Max. Max se ωt ψ ). se( ωt ξ ) dt... Max. Max se(ωe ψ ). se (ωω ξ) dt... Vemos que aparece térmios e los cuales la tesió y la corriete tiee el mismo subídice y otros que so diferetes, o sea que itegrales de productos de tesió y corriete co la misma frecuecia y otros co distita frecuecia- Dado que la sumatoria de las itegrales que tiee distito subídice so ulas (a de las propiedades de las itegrales trigoométricas), os queda: P Resolviedo os queda:. Max Max se( ωt ψ ). se( ωt ξ ) dt Max Max P cos( ) Siedo: (ψ ξ ), la diferecia de águlo etre la tesió y la corriete de cada poliarmóica al que llamaremos φ, co lo cual os queda: P cos g. Julio Álvarez 9/ 8

6 POLARMÓNCAS Esto os idica que la potecia activa de ua poliarmóica, es la suma de las potecias activas de cada ua de las armóicas, que la itegra. E forma aáloga la potecia reactiva estará dada por: Q 7... Potecia aparete e poliarmóicas se La potecia aparete está dada por la siguiete expresió: S 7... Factor de potecia Se defie el factor de potecia como la relació etre la potecia activa y la aparete, llamado al mismo: cos cos esioes seoidales - Factor de cotracció E la práctica las tesioes que sumiistra las fuetes, prácticamete so de tipo seoidal, y debido a las impedacias de las cargas que o so lieales, aparece corrietes deformadas, co lo cual las expresioes ateriores, e estos casos os queda de la siguiete maera: = P =.. cos φ Siedo la potecia activa para el resto de los armóicos igual a cero, debido a que el valor de la tesió para esos armóicos es cero. E forma aáloga: Q =.. se φ, mietras que la potecia aparete es: S y el factor de potecia: cos cos cos Llamado factor de cotracció a: k Co lo cual el factor de potecia os queda: g. Julio Álvarez 9/ 9

7 POLARMÓNCAS cos λ = k. cos φ Co k < Potecia de deformació Si las tesioes y corrietes e u circuito so seoidales, la potecia aparete se obtiee de la siguiete expresió: S P Q e cambio si la corriete es deformada: S P Q Se demuestra a través del teorema de Bodema, que: S = P + Q + D Llamado a D potecia de deformació 7.. Poliarmóicas e sistemas trifásicos 7... Corrietes poliarmóicas Si teemos u sistema trifásico coectado e estrella co eutro tal como se muestra e la figura 7.6. R i R S O i S i i Figura 7: Sistema trifásico coectado e estrella Las corrietes está defasadas etre si, o sea que las corrietes poliarmóicas, adoptado u sistema equilibrado, será las siguietes: i R se ω t se ω t... se ω t i S. se (ω t - ) se (ω t -. )... se (ω t -. ) g. Julio Álvarez 9/

8 POLARMÓNCAS i 4. se (ω t - ) se (ω t - 4. )... se (ω t - 4. ) La corriete por el coductor eutro es la suma de las corrietes de fase: i O = i R + i S + i y si reemplazamos las ecuacioes ateriores os queda: i O se ω t 9 se 9 ω t 5 se5 ω t... Co lo cual auque el sistema sea equilibrado, cuado las corrietes so poliarmóicas, la corriete por el coductor eutro o es cero. Por el mismo circula las armóicas múltiplos de. Esta corriete de eutro puede provocar perturbacioes e redes telefóicas, o de datos, dado que las frecuecias puede ser del mismo orde que las de esos sistemas. La corriete de eutro será: O esioes poliarmóicas E los sistemas trifásicos simétricos, las curvas de tesió de la y fase se reproduce co u defasaje de. u RO se ω t se ω t... se ω t u SO. se (ω t - ) se (ω t -. )... se (ω t -. ) u O 4. se (ω t - ) se (ω t - 4. )... se (ω t - 4. ) Fases del geerador coectadas e estrella Si las tesioes de fase o so siusoidales, las tesioes de líea, que so la diferecia etre las tesioes de fase sucesivas, o va a coteer armóicas múltiplos de. F L L F Co ua carga simétrica, las corrietes de fase de frecuecia fudametal y todas las armóicas superiores, a excepció de las de orde múltiplo de, al sumarlas se aula, siedo estas últimas que sumadas circula por el eutro. g. Julio Álvarez 9/

9 POLARMÓNCAS De o existir eutro las armóicas de orde múltiplo de o puede circular por las fases, pero etre los cetros de estrella del geerador y de la carga ua tesió que solo cotiee armóicas de ese orde- Fases del geerador coectadas e triágulo E este caso, la suma de las tesioes de las tres fases o será cero, sió que será igual al triple de las armóicas de orde múltiplo de, lo cual provoca ua circulació de corriete itera, aú si que el geerador sumiistre potecia. La magitud de esta corriete va a depeder de la impedacia itera del geerador. E esta situació la tesió e bore de la fase, o cotiee armóicos de orde, ya que las mismas so compesadas por la caída de tesió e la impedacia de cada ua de las fases. O sea: F Si abrimos el triágulo tal cual se muestra e la figura 7.7, la tesió que aparece e sus bores está compuesta por armóicas de orde R u RS u R S u S S Figura 7.7 riágulo abierto La tesió idicada por el voltímetro está dada por: Si al geerador se le coecta ua carga e triágulo equilibrada, las corrietes e cada ua de las fases va a estar dada por: F Las corrietes que circulará por el circuito extero, o sea las corrietes de líea so: L O sea que: L F 7-4 Forma de oda de la corriete de vacío e u trasformador g. Julio Álvarez 9/

10 (B) ducció Magética [] POLARMÓNCAS Si a ua bobia co úcleo de aire se la alimeta co ua tesió seoidal, la corriete que circula tambié es seoidal, ya que la misma se comporta como u elemeto lieal. E cambio si el úcleo es de hierro tal cual se preseta e los trasformadores, la corriete por el primario, estado el secudario si carga deja de ser seoidal, debido a que la permeabilidad del úcleo o es costate, lo cual puede observarse e la figura 7.8, e la cual está represetadas las curvas de imaació típicas de este tipo de materiales (B-H). Curvas de maació,84 Hipersil Acero al % de Si Acero de bajo teor de carboo,5 Acero lamiado,,9,6,, (H) tesidad de Campo Magético [A/m] Figura 7.8 Curvas de imaació de materiales magéticos Dado que hay ua relació directa etre la tesió aplicada y el flujo magético, a través de la siguiete expresió ya utilizada: = 4,44. f. N. Φ Φ = B. S De aquí surge que la corriete que está represetada por H ya que: H.L = N., o va a ser seoidal debido a que la relació etre b y H o es lieal tal cual se observa de la curva mecioada, E la figura 7.9 se puede ver la curva de la tesió aplicada y la forma de la corriete que circularía por la bobia- g. Julio Álvarez 9/

11 S Fució POLARMÓNCAS Formas de oda de la tesió y corriete de vacio de u trasformador esió Corriete iempo Figura 7-9 Forma de oda de la corriete de vacío de u trasformador g. Julio Álvarez 9/ 4

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