SOLUCIONES EN UN CASO TÍPICO UNIDIMENSIONAL: EL POZO CUADRADO INFINITO

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1 SOLUCIONES EN UN CASO TÍPICO UNIDIMENSIONAL: EL POZO CUADRADO INFINITO Sea ua partícula de masa m costreñida a ua sola dimesió e el espacio y detro de u segmeto fiito e esa dimesió. Aplicamos tambié el costreñimieto de que el potecial es costate y ulo detro de ese segmeto y que fuera de sus límites el potecial es ifiito: V(x)= V(x)=0 V(x)= -a 0 +a 0 x < a V = a < x < a Como el potecial es ifiito fuera de los límites, la partícula o podrá existir e esa zoa y ψ(x) = 0 cuado x > a y como la fució de oda debe ser cotiua, tambié debe ocurrir que e los extremos: ψ ( ±a) = 0 Probaremos que esta es ua codició de cotoro y que ella es la resposable de la aparició de valores propios discotiuos o cuatizados. Reservados todos los derechos de reproducció. Luis A. Motero Cabrera, Uiversidad de La Habaa, Cuba, 003.

2 Tal y como se explicó ateriormete, el hamiltoiao, y sobre todo su compoete de eergía potecial siempre se adapta al sistema que se calcula. E este caso el potecial es ulo e el espacio cosiderado, por lo que a la ecuació de Schrödiger solo le queda la compoete ciética y e ua sola dimesió: d ψ = Eψ m La fució de oda que solucioa esta ecuació diferecial y que por lo tato caracterizará al sistema e térmios de la mecáica cuática es: = Asi kx + B cos kx ψ dode k es ua costate de periodicidad para las fucioes trigoométricas. Sólo os queda averiguar los valores de los parámetros A y B. E las froteras del segmeto o caja uidimesioal se cumple las codicioes de cotoro ateriores, y por lo tato, e esos putos: A si ka = 0 B cos ka = 0 Es preciso aalizar estas relacioes para lograr ua compresió adecuada del comportamieto de la fució de oda. Reservados todos los derechos de reproducció. Luis A. Motero Cabrera, Uiversidad de La Habaa, Cuba, 003.

3 Caso 1 de satisfacció de las codicioes de cotoro: A = 0 k = cos ka = 0 a Debe observarse que la característica de que la fució trigoométrica coseo toma valores ulos solo para ciertos valores de los águlos, crea ua periodicidad que coduce a valores discotiuos dados por = 1,3,5,... E este caso la fució propia quedaría: ψ = B cos kx que como debe de estar ormalizada cumpliedo que: a a B ψ a a * ψ cos x = 1 a 1 = 1 B = a De esta forma se llega a la expresió de la fució de oda que solo puede evaluarse co valores eteros impares de = 1,3,5,...: 1 a a cos x ψ = Reservados todos los derechos de reproducció. Luis A. Motero Cabrera, Uiversidad de La Habaa, Cuba, 003.

4 Caso de satisfacció de las codicioes de cotoro: B = 0 k = si ka = 0 a dode, cotrariamete al caso 1 co el coseo, los valores de que hace ulo al seo so pares, =,4,6,... La fució de oda ormalizada correspodiete, después de u proceso similar al del caso 1, es ahora para =,4,6,...: 1 a a si x ψ = Sustituyedo ambas e la ecuació de Schrödiger plateada al pricipio: m d ψ = Eψ d m d m cos x a = E cos x a si x a = E si x a se puede llegar a que la eergía tambié depede de y tiee la expresió: E π = 8m a para todos los valores eteros de = 1,,3,... Reservados todos los derechos de reproducció. Luis A. Motero Cabrera, Uiversidad de La Habaa, Cuba, 003.

5 CASOS DE LA FUNCIÓN DE ONDA DEL POZO CUADRADO PERFECTO CON a = =1 = =3 = ψ(x) x Debe otarse que el úmero de odos (putos e los que la fució se hace ula) aumeta co el valor de. Reservados todos los derechos de reproducció. Luis A. Motero Cabrera, Uiversidad de La Habaa, Cuba, 003.

6 CASOS DEL CUADRADO DE LA FUNCIÓN DE ONDA (PROBABILIDAD) EN EL POZO CUADRADO PERFECTO CON a = =1 = =3 = ψ (x) x Debe otarse que el cuadrado de la fució de oda siempre es positivo. Reservados todos los derechos de reproducció. Luis A. Motero Cabrera, Uiversidad de La Habaa, Cuba, 003.

7 E cuato a las eergías, el gráfico ilustra la relació de los iveles y la discotiuidad de los mismos: E [1.51(10-38 ) J m / a ] Observar que: la meor eergía o es cero y tiee u valor de 38 } π 1.51(10 ) E1 = = Jm 8ma a la diferecia eergética etre cada estado aumeta co el valor de. Reservados todos los derechos de reproducció. Luis A. Motero Cabrera, Uiversidad de La Habaa, Cuba, 003.

y = c n x n : Sustituyendo en la ecuación de partida obtenemos n=0 Si escribimos todas las potencias con el mismo exponente se obtiene:

y = c n x n : Sustituyendo en la ecuación de partida obtenemos n=0 Si escribimos todas las potencias con el mismo exponente se obtiene: Ejercicio. Obteer los cuatro primeros térmios o ulos de la solució e forma de serie de potecias de x del problema de valores iiciales < (x + )y y = y() = : y () = Solució Como os pide que resolvamos u

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