UNA APLICACIÓN ACÚSTICA DE LAS FUNCIONES DE BESSEL DE ORDEN ENTERO Y DE PRIMERA ESPECIE.

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1 Curso de Acústica Istituto de Física de la Facultad de Igeiería Uiversidad de la República. Motevideo - Uruguay UNA APLICACIÓN ACÚSTICA DE LAS FUNCIONES DE BESSEL DE ORDEN ENTERO Y DE PRIMERA ESPECIE. E muchos problemas de la Física que da lugar a ecuacioes difereciales e derivadas parciales, de Laplace o de odas e coordeadas cilídricas, aparece ua ecuació diferecial ordiaria e la coordeada radial, de la forma d df x x x f x dx dx, () dode la variable x es proporcioal a la coordeada radial y es u etero. La ecuació () se cooce como ecuació de Bessel de orde. Como es ua ecuació diferecial de segudo orde e las derivadas, su solució geeral está formada por dos fucioes liealmete idepedietes, que podemos escribir como dode J x f x AJ x BY x, () se llama fució de Bessel de primera especie y de orde, y la fució Y x se llama fució de Bessel de seguda especie y de orde (o fució de Neuma o fució de Weber). Estas fucioes se obtiee propoiedo solucioes e desarrollo e serie de potecias para la ecuació (), esto es, solucioes de la forma k k. (3) k f x x a x Al sustituir (3) e () e igualar los coeficietes correspodietes a los térmios co la misma potecia de x, se obtiee el valor del expoete y ua relació de recurrecia etre los valores de a k. Para la fució de Bessel de primera especie estos coeficietes proporcioa el desarrollo J x k x k k x k k!! (4) De esta expresió se puede probar que J x J x, (5) para todo etero. La fució de Bessel (4) sigue siedo solució de la ecuació () aú si el úmero o es u etero. E este caso la factorial que ivolucra a e (4) se debe sustituir por la

2 e la variable cotiua, dode si etero, etoces fució cotiua!. E este caso, la solució de la ecuació de Bessel () para u valor de o etero se idica como La fució de Neuma Y J x x. La relació (5) o se cumple si o es u etero. de orde etero o se puede obteer de u desarrollo e serie de potecias del estilo de (4). No obstate, se puede obteer haciedo uso de las fucioes de Bessel o eteras J x calculado el límite Y x cos si J x J x lim (6) Para valores pequeños de x, la aproximació al primer térmio e el desarrollo (4) es J x x, (7)! estado etoces defiida e x para todo. La fucioes de Neuma Y x, o obstate, se prueba que tiee u comportamieto divergete para x. Por lo tato, si el domiio de la variable x e la ecuació de Bessel () (co etero) cotiee el orige, solamete la fució de Bessel de primera especie J x es ua solució aceptable. E las figuras y se muestra, respectivamete, las primeras fucioes de Bessel de orde etero y de Neuma. Figura. Primeras fucioes de Bessel de primera especie

3 Figura. Primeras fucioes de Bessel de seguda especie (fucioes de Neuma) Como se observa e las gráficas de la figura, ua fució de Bessel de cualquier orde es oscilatoria y cotiee ifiidad de raíces. No obstate, estas raíces o está periódicamete distribuidas e el eje x, y dos raíces cualesquiera correspodietes a fucioes de diferetes órdees o coicide. Para cada fució de Bessel existe etoces u cojuto ifiito de raíces J,,,, tales que J. El primer subídice idica el orde de la 3 k fució de Bessel y el segudo subídice idetifica ua raíz correspodiete a ese orde. Mediate el cálculo umérico se puede obteer los valores aproximados de las primeras raíces de cada orde, como se muestra e la tabla I. k k Tabla I. Primeras raíces de los primeros órdees de las fucioes de Bessel. Ortogoalidad de la fucioes de Bessel E muchos problemas físicos se impoe codicioes de frotera que lleva a que, e la depedecia radial de las coordeadas cilídricas, la fució f solució de () se aule para cierto borde circular de radio a. Esta codició se asegura si la variable x se poe como fució de la coordeada radial r e la forma x ra, de maera que r f x Jk. (8) a k Etoces, para cualquiera de las raíces de se aula e r a. J tedremos la codició de que la fució 3

4 Llamemos ra la variable adimesioada cuyos valores de iterés está e el itervalo. E este itervalo defiimos u producto itero etre dos fucioes reales itegrables f, g, como Costruyamos la fució f, g f g d (9) u J, () dode k es ua raíz k-ésima arbitraria de J, esto es J. Tambié formamos la fució v J, () dode es u úmero real positivo arbitrario. Las fucioes () y () satisface la ecuació diferecial (), sustituyedo x e u caso, y x e el otro caso. Resulta, respectivamete, para la fució u, y d du d d u d dv d d v, (), (3) para la fució v. Dividiedo etre la variable podemos poer las ecuacioes () y (3) como y d du d d u d dv d d v Multiplicamos ahora la ecuació (4) por v, la ecuació (5) por ambas e itegramos el resultado respecto de etre y. Resulta, (4) (5) u, restamos 4

5 d du d dv v u d uv d d d d d (6) Cada térmio de la primera itegral de (6) se puede efectuar por partes. Esto da d du du du dv v d v d d d d d d, (7) para el primer térmio de la itegral y v du du dv d d d d d dv dv du dv u d u d, (8) d d d d d para el segudo térmio de la primera itegral de (6). Si restamos (7) y (8) como se establece e la ecuació (6), obteemos para ésta el resultado du dv v u uv d d d (9) Recordado las defiicioes de las fucioes u y v dadas e () y () teemos que u J, v J, du d J, dode J dj x dx. x Etoces el resultado (9) queda J J J J d () Obsérvese que si fuese otra raíz de (), de la cual resulta que J diferete de, etoces será J e para dos raíces, cualesquiera de J. J J d si, () Las derivadas de las fucioes de Bessel puede expresarse como combiacioes de las propias d fucioes correspodietes a distitos órdees. Así teemos que x Jx x J x. dx 5

6 Es e este setido que se dice que dos fucioes de Bessel del mismo orde, cuyos factores de escala so raíces distitas de J, so ortogoales co respecto al producto itero defiido e (9). Si se trata de la misma raíz, o es aplicable directamete la (), pero podemos calcular el límite de esta expresió cuado el úmero real arbitrario tiede a la raíz. Esto os permite calcular la orma de J co factor de escala respecto a este producto itero. Para ello poemos y hacemos teder a cero la diferecia. Desarrollado e serie hasta el primer orde teemos que J J J J, () dado que J por ser raíz de J. Además del resultado () podemos poer e () que Por lo que la expresió () resulta. (3) J J d, (4) siedo ua raíz arbitraria de J. Este resultado (4) complemeta el resultado () obteido para dos raíces diferetes. E base a la ortogoalidad de las fucioes Jk e el itervalo, dode los úmeros reales,, k, so las raíces de J, y a la aceptació de que estas fucioes forma ua base del espacio de todas las fucioes codició de borde f fucioes e la forma f que verifica la, podemos desarrollar e series de Fourier-Bessel estas f A J. (5) k f, los coeficietes k k Dada la fució A k se obtiee utilizado las relacioes de ortogoalidad () y (4). Esta fució será ua solució geeral de la ecuació de Bessel de orde etero, que cumple co las codicioes de existecia e y de frotera f. Vibracioes de ua membraa elástica circular co borde fijo (el tambor). Ua membraa elástica uiforme co desidad superficial de masa está sometida a ua tesió superficial tambié uiforme. La membraa e equilibrio se ecuetra e 6

7 el plao Oxy, sobre z. La vibració de los putos de su superficie costituye ua fució z x, y, t que obedece a la ecuació de odas z z z, c x y c t (6) Aalizaremos el caso de ua membraa circular de radio a y fija e el borde. E este caso, itetamos obteer la fució e coordeadas polares zr,, t, por lo cual a las derivadas espaciales de (6) (el laplaciao) lo expresamos e coordeadas polares. Esto es z z r z. (7) r r r r c t Buscamos los modos ormales de oscilació de la membraa, por lo que propoemos ua solució oscilatoria co frecuecia de la forma,,, exp z r t F r j t. (8) Al sustituir este resultado e (7) obteemos la ecuació F F r r r r r c Fr, (9) Poiedo k c y multiplicado todo por r obteemos, F F r r k r F (3) r r Utilizado el método de separació de variables propoemos la solució, Rr F r, (3) que al sustituirla e (3) y dividir todo por el producto R ésta resulta r d dr d Rdr dr r k r (3) Como el segudo térmio de (3) es solamete fució de y los otros dos lo so solamete de r, cada uo será ua costate. Es decir, d, (33) 7

8 dode, e pricipio, es cualquier úmero real o complejo. Lo escribimos de esta forma por las codicioes que se impodrá a cotiuació. La solució geeral de la ecuació (33) está dada por las dos fucioes idepedietes de la forma aexp j bexp j (34) La fució debe de ser periódica, puesto que al barrer la coordeada u águlo completo llega al mismo lugar del espacio, de forma que. Etoces el úmero itroducido e (33) por la separació de variables debe de ser real y además etero. El resultado (34) tambié puede expresarse como combiació de seo y coseo, de la forma Acos Bsi (35) Sustituyedo (33) e (3) obteemos ua ecuació para la fució podemos escribir como Rr, que d dr, (36) dr dr r r k r R siedo u etero arbitrario. Haciedo el cambio de variable x kr vemos que la ecuació (36) es la ecuació de Bessel de orde que se itrodujo e (). Por cosiguiete, la solució aceptable que se matiee fiita e el orige es la fució de Bessel de primera especie y de orde. Esto es R r J kr (37) siedo u etero arbitrario. Haciedo el cambio de variable x kr vemos que la ecuació (36) es la ecuació de Bessel de orde que se itrodujo e (). Por cosiguiete, la solució aceptable que se matiee fiita e el orige es la fució de Bessel de primera especie y de orde. Esto es R r J kr. (38) Por otra parte, la codició de frotera fija de la membraa de radio a implica que, J ka ka q,,3 q (39) Esto sigifica que el producto ka debe de ser ua raíz de J, lo cual limita los posibles valores de k y, por cosiguiete, los valores posibles de las frecuecias ck de los modos de oscilació de la membraa. De (39) etoces resulta 8

9 q q k kq, q c (4) a a Rr puede escribirse etoces como Las posibles solucioes para r Rr Jkqr Jq (4) a Cada modo de oscilació de la membraa se idetifica por dos ídices correspodietes a ua determiada frecuecia q dada e (4). El movimieto de la membraa e u modo dado resulta etoces de multiplicar las fucioes itroducidas e la separació de variables: R r,,exp jt. Obteemos etoces, luego de tomar la parte real, zq r,, t J r q Aq cos Bq si cosqt q a (4) La solució más geeral para la vibració zr,, t de la membraa circular co borde fijo e r a ivolucra la suma de todos los modos (4). Esto es r zr,, t Jq Aqcos Bqsi cosqt q q a (43) Los coeficietes Aq, Bq y los águlos de fase q depede de las codicioes iiciales de la membraa. Por ejemplo, supogamos que e el istate iicial la membraa se golpea (como e el caso del tambor) partiedo de su posició de equilibrio z y se proporcioa el dato de la velocidad iicial e cada puto: v r, z r,,. z r,, r,, por lo tato es ecesario Esto sigifica que e (43) debe de ser que cos q, q, co lo que el resultado (43) cotiee solamete fucioes seoidales del tiempo. Esto es, r zr,, t Jq Aqcos Bqsi si qt q a (44) Dada la velocidad iicial de los putos de la membraa, la derivada temporal de (44) y su evaluació e t arroja el resultado r v r, J A cosb si q q q q q a. (45) La sumatoria e del resultado (45) se levata utilizado las propiedades de las series de Fourier e seos y coseos. Esto determia que 9

10 para los coeficietes r v r, cosd qj q Aq (46) q a A q de los coseos, y r v r, sid qj q Bq (47) q a para los coeficietes B q. Fialmete utilizamos la ortogoalidad de las fucioes de Bessel () para factores de escala co diferetes raíces de ua misma J. Hacemos ra e (46), multiplicamos J e itegramos e. Resulta ambos miembros por p Jpv a, cosd d qaq JqJp d q dode hemos puesto v r, v a,. (48) De () sabemos que si pqp q y la itegral del segudo térmio de (48) se aula. Etoces e la sumatoria sobre q solamete sobrevive el térmio e que p q, de forma que Jpv a, cosd d pap Jp d (49) Utilizado el resultado (4) e (49) teemos la expresió fial para el coeficiete de la forma A p Jpv a, cosd d A p (5) p J p De la misma forma despejamos los coeficietes B q de (47) resultado Jpv a, sid d B p (5) p J p Si el golpe de excitació se produce ormalmete a la membraa e u cierto puto r,, podemos elegir y la velocidad iicial impuesta a la membraa será simétrica co respecto a la coordeada agular. Esto es v r, v r,. Etoces la itegral e el seo de (5) resulta ula, por lo que

11 será ulos todos los coeficietes B q. Solamete importa los coeficietes de los coseos e (5), y la vibració geeral se puede expresar simplificado la expresió (44) de forma que resulta r zr,, t AqJ q cossiqt (5) q a Si el tambor es golpeado e el cetro la velocidad iicial tedrá simetría circular, y o depederá del águlo, es decir, z r,, v r. E este caso, la itegral del coseo e (5) se aula para todo, excepto para. La úica fució de Bessel ivolucrada e la solució e este caso es J, y los coeficietes A e (5) resulta p J 4 p p J pvad Ap (53) La solució geeral (5) se simplifica aú más, resultado r zr, t A J si t q a q q q, (54) siedo,,,3, q q las raíces de J y q las frecuecias de los modos ormales simétricos (o circulares) que, de acuerdo co (4), so q ca q dode a es el radio de la membraa circular. La costate c es, segú (6), la velocidad de propagació de las odas superficiales e la membraa c. Segú la ota al pie de la págia 5, poiedo allí, podemos expresar la derivada de J como J J. De acuerdo co (5) resulta J J, por lo que podemos escribir (53) como J 4 p p J pvad Ap (55) Como ejemplo de aplicació supogamos que la membraa del tambor de radio a se golpea e su cetro y adquiere u perfil de velocidades iiciales e forma parabólica. Esto es, V r vrv V, r a, (56) a dode es la velocidad iicial e el cetro de la membraa. Sustituyedo esta expresió e (55) teemos las itegrales para los coeficietes del desarrollo de Fourier-Bessel,

12 A 4 V p J p J p p d (57) Las dos itegrales que resulta e el segudo miembro de (57) se resuelve utilizado la relació Resulta d x J x x J x dx. (58) A 8V J p p p p J p (59) Por lo que la vibració de la membraa del tambor resultará, de acuerdo co (54), q J r zr, t 8V J q siq t. (6) q q qj q a Recordemos que,, 3, so las sucesivas raíces de J, a es el radio del tambor y c a so las frecuecias de los modos de vibració correspodietes q q a las diferetes raíces de J. La costate c es la velocidad de propagació de las odas elásticas e la membraa, para la cual es su tesió superficial y su desidad superficial de masa. E el siguiete lik se preseta ua aimació de la vibració de la membraa circular co las codicioes iiciales proporcioadas e (56). El cálculo se hizo co el programa tambor.m que utiliza las primeras raíces de J.