Introducción al Método de Fourier. Grupo

Transcripción

1 Itroducció al Método de Fourier. Grupo Problema 1.) Ua cuerda elástica co ρ, y logitud L coocidos, tiee el extremo de la izquierda libre y el de la derecha sujeto a u muelle de costate elástica κ. 1. Establece matemáticamete las CC y explica de que especie so. (1) 2. Ecuetra la ecuació que satisface los úmeros de oda de los armóicos.(1) 3. Platea gráficamete la ecuació. (1) 4. Estudia todos los límites e los que la ecuació admite solucioes aalíticas secillas y explica su fudameto físico. (1) Nota: Cuado e u extremo de la cuerda se aplica ua fuerza F, la relació que se debe cumplir es u x x=l = F 1. X () = seguda especie. X (L) = κ X(L) tercera especie 2. La parte espacial debe ser u coseo para satisfacer la CC e el extremo libre. X(x) = cos(kx) derivado e igualado e x = L teemos k si(kl) = κ cos(kl) ta(kl) = κ k 3. Coviee hacer el cambio θ = kl. ato se puede repesetar θ 1 y tagete como θ y cotagete. 4. κ muelle blado o cuerda tesa aplicado ua fuerza domiate sobre el muelle. Recuperamos los umeros de oda k = π de u sistema co L sus dos extremos libres. κ : muelle duro o cuerda destesada aplicado ua fuerza despreciable sobre el muelle. Recuperamos los umeros de oda k = ( + 1) π co u 2 L extremo fijo y otro libre. k >> L 1 modos de alta eergía y frecuecia. La respuesta del muelle a frecuecias altas es despreciable. Equivaletemete, la eergía potecial acumulada e el muelle (que equivaldria a la eergía del modo cero) es despreciable frete a la eergia total de los modos de ídice grade. Problema 2.) Cosidera el sistema elástico que viee regido por el problema de cotoro: { ρ 2 u 2 u + κu = F(x, t) t 2 x 2 (2) u(, t) = u(l, t) = 1 (1)

2 Figura 1: Para tiempos t <= el sistema se ecuetra e ua cofiguració estática impuesta por la fuerza exterior F(x, t) = δ(x L/2). E el istate t = esa fuerza desaparece de forma repetia. 1. Escribe la ecuació de la estática de este sistema. (κ > ) (1) 2. Calcula la cofiguració estática de la cuerda para t <. (1) 3. Calcula la fució de oda del sistema u(x, t) para tiempos t >. (1) 1. La ecuació de la estática es: u = κ u = κu δ(x L/2) 2. Dode o se aplique fuerzas, la ecuació de la estática idica que la curvatura de la cuerda crece proporcioalmete a la desviació de la posició de equilibrio. La fuerza esta aplicada solo e el puto medio. El perfil estático debe ser curvo y simétrico como e la figura. Defiimos k 2 = κ y resolvemos la ecuació homogeea: u = k 2 u u(x) = A sih(kx) + B cosh(kx) (4) si aplicamos las dos CC de cotoro, la cotiuidad de la cuerda y las codicioes de simetría: (3) u(x) = { A sih(kx) < x < L/2 A sih(k(l x)) L/2 < x < L (5) E el puto de aplicació de la fuerza habrá u salto e la pediete de la cuerda igual al peso de la delta: lím ǫ (u (L/2 + ǫ) u (L/2 ǫ)) = 1 (6) 2

3 Co esta relació se determia el valor de A: Ak cosh(kl/2) Ak cosh(kl/2) = 1 (7) luego A = 1 2k cosh(kl/2) 3. Como partimos de u perfil estático A =. Busquemos los B. La fuerza estática aplicada es ua delta vamos a buscar ua relació directa de los B co las fuerzas aplicadas. Escribimos la ecuació de la estática u k 2 u = y cosideremos u, u y fucioes de x que podemos expadir e serie de Fourier e la base ortogoal que satisface las codicioes de cotoro del problema. (8) derivado dos veces u(x) = u (x) = B si(k x) (9) B k 2 si(k x) (1) expadimos ademas la fució = E si(k x) (11) dode E = 2 L δ(x L/2) si(k x)dx = 2 L si(k L/2) (12) sustituyedo e la ecuació de la estática teemos: B (k 2 + k 2 ) si(k x) = E si(k x) (13) por la ortogoalidad de la base empleada podemos igualar térmio a térmio. B = E k 2 + = 2 si(k L/2) k2 L(k 2 + k2 ) (14) u(x, t) = B cos(ω t) si(k x) (15) dode ω 2 = c2 (k 2 + k2 ) 3

4 Cuestió 1.) E ua determiada cuerda elástica la tesió o es costate sio que tiee ua depedecia espacial = (x). Escribe el Lagragiao de ua cuerda de este tipo y deduce la EDP que rige su movimieto. (2) Al cotrario que e la cuerda vibrate, o coocemos aquí de atemao la fuerza elástica. Si la fuerza elástica o es posible calcular el trabajo realizado cotra ella para establecer ua cofiguració de la cuerda. Si embargo sí sabemos que u elemeto diferecial de la cuerda, que esta etre x y x+dx, tedrá ua eergía potecial. dv = 1 2 (x)(u x) 2 dx (16) Es decir la tesió se evalua e el puto x e el que está el diferecial. La eergía ciética es la misma que para la cuerda simple. la desidad Lagragiaa es y el Lagragiao. d = 1 2 ρ(u t) 2 dx (17) L = 1 2 ρ(u t) (x)(u x) 2 (18) L = Ldx (19) La ecuació de movimieto se obtiee a partir de la ecuacio de Lagrage. d L + d L L dt u t dx u x u = (2) el úico térmio que difiere al de la cuerda elástica simple es: L u x = (x)u x La ecuació de movimieto es: d L dx u = (x)u x (x)u xx (21) ρu tt (x)u xx (x)u x = (22) Que tiee las uidades correctas, recupera el caso de tesió costate de forma atural ( (x) = ) Cuestió 2.) Supogamos que teemos u sistema lieal geérico regido por ua EDO. Queremos ecotrar su Fució Respuesta pero o teemos acceso a x(t), sio a la derivada primera de esta que es x (t). Podemos de todas formas coocer la Fució Respuesta del sistema?. Supó que la acció extera que utilizamos para caracterizar la Fució Respuesta tiee la forma F(t) = F e iωt (.5) 4

5 Auque o tegamos acceso a la x(t) sabemos que tedrá ecesariamete la forma x(t) = R(ω)F e iωt luego su derivada será x (t) = iωr(ω)f e iωt despejado la Fució Respuesta obteemos: R(ω) = x (t) (23) iωf e iωt Cuestió 3.) U cuerda elástica simple, co todas sus costates físicas coocidas, se ecuetra e ua cofiguració estática impuesta por la fuerza. E el istate t = la fuerza desaparece repetiamete. Comprueba que la posicio de la cuerda a partir de ese istate es: B cos(ω t)x (x) B = 2 Lk 2 X (x)dx (24) ( geérico) para cualquier combiació de CC de primera o seguda especie homogeeas. El euciado afirma que hay proporcioalidad etre el coeficiete de Fourier de la fuerza estática y el del perfil estático. Cuado partimos de ua cofiguració estática sabemos que la c.i. e velocidades es cero ψ(x) = y que la cofiguració estática de la cuerda es la c.i. e posicioes φ(x) = u(x). Podemos escribir: u(x) = B X (x) (25) sabemos que la fuerza estática es proporcioal la derivada seguda del perfil estático =- u (x) = u (x) = B X (x) = k 2 B X (x) (26) Podemos iterpretar esta ecuació como la expasió de la fuerza estática e serie de Fourier. De esta maera idetificamos k 2B como los coeficietes de Fourier de la fuerza estática: despejado k 2 B = 2 L X (x)dx (27) B = 2 Lk 2 X (x)dx (28) 5