APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 11 DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL

Transcripción

1 APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Ferado Pito Parra UNIDAD 11 DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL Cuado u objeto real gira alrededor de algú eje, su movimieto o se puede aalizar como si fuera ua partícula, porque e cualquier istate, diferetes partes del cuerpo tiee velocidades y aceleracioes distitas. Por esto es coveiete cosiderar al objeto real como u gra úmero de partículas, cada ua co su propia velocidad, aceleració. El aálisis se simplifica si se cosidera al objeto real como u cuerpo rígido. U cuerpo rígido, es u caso especial de u sistema de muchas partículas, dode la distacia etre las partículas se cosidera que permaece costate, lo que permite señalar que so absolutamete ideformables auque se aplique fuerzas al mismo. El movimieto geeral de u cuerpo rígido es la composició de u movimieto de traslació del cetro de masas y de u movimieto de rotació alrededor de u eje que pasa por el cetro de masas, dode ocurre que: E el movimieto de traslació, todos los putos del sólido se mueve e trayectorias paralelas. La velocidad de u puto del sólido es la misma que la velocidad del cetro de masas. E el movimieto de rotació alrededor de u eje que pasa por el cetro de masas, la velocidad de u puto del sólido es proporcioal al radio de la circuferecia que describe, y su direcció es tagete a dicha circuferecia. Variables rotacioales La figura, que a cotiuació se muestra, represeta u cuerpo rígido que rota alrededor de u eje fijo, perpedicular a u plao se deomia plao de rotació. E la figura, el plao de rotació coicide co el plao (x,y), además el cuerpo rota de derecha a izquierda. Es posible cosiderar el cuerpo como u sistema de partículas, que como se ha señalado, i la posició relativa de las partículas etre sí, i la distacia de cada partícula al eje de rotació, varía co el trascurso del tiempo. E estas codicioes, la trayectoria descrita por cualquiera de las partículas será siempre ua circuferecia.

2 Para describir la rotació de la partícula e el puto P, se asocia u sistema de coordeadas al eje de rotació, de forma de poder especificar el puto mediate su vector de posició R, costate. Además de especificar la posició de la partícula mediate el vector de posició, es posible hacerlo dado los valores del par (x,y) ya que: R = R x + R y Ahora esto es utilizado las coordeadas cartesiaas, pero e realidad R o varía co el tiempo, mietras que el águlo θ que barre si lo hace, lo que permite expresar las coordeadas del vector como: R x = R cos θ y R y = R si θ E las rotacioes se escoge ésta última posibilidad, ya que si se desea describir la variació temporal del puto P, sólo hay que aalizar como varia θ co el tiempo, es decir, que la forma de la fució es: θ = θ t E otras palabras, El águlo θ que se forma co el eje x describe la posició rotacioal del cuerpo; por lo que se defie como la variable rotacioal o coordeada de rotació. Esta coordeada agular θ gira sobre u eje fijo y puede ser positiva o egativa. Como ejemplo tomemos el caso plateado e la figura, que como se ha señalado, el cuerpo gira de derecha a izquierda, si hacemos que los águlos positivos se mida e setido atihorario, es decir, e el setido cotrario al de las agujas del reloj, etoces θ e la figura es positivo. E cambio, si elegimos la direcció horaria como la rotació positiva, será egativo. Ahora, prestemos ateció a la siguiete figura, cualquier familia de circuferecias co u orige comú tiee la propiedad de que la razó etre la logitud de los arcos defiidos por dos radios cualesquiera y la logitud del radio correspodiete es costate: R S = R S = R S = costate Esa costate es el águlo θ, es decir la variable rotacioal, por tato y como se ha señalado: θ = R S.

3 Mometo de ua fuerza o mometo estático Cuado se aplica fuerzas a u cuerpo que tiee u eje fijo de rotació, se ecuetra los siguietes resultados experimetales: 1. La aceleració agular α depede del puto de aplicació de la fuerza. Será mayor mietras más lejos se ecuetre la fuerza F del eje de rotació. 2. Dado u puto de aplicació, α depede de la direcció de aplicació de F. E la figura, las fuerzas F, F y F, auque iguales e módulo y aplicadas e el mismo puto, ejerce efectos diferetes sobre el cuerpo. E particular, la fuerza F, cuya prologació pasa por el eje de rotació, o produce aceleració algua. 3. La aceleració agular α depede de la distribució de masa alrededor del eje de rotació. Auque el puto de aplicació está a la misma distacia del eje de rotació y el águlo de la fuerza tambié es el mismo, al ivertir el cuerpo se cambia la distribució de masa respecto al eje de rotació, y tambié varía el efecto de F y la correspodiete aceleració agular. E tal setido, se itroduce cocepto de torque τ o mometo de ua fuerza F co el fi de describir correctamete el efecto de las fuerzas sobre los cuerpos que tiee la posibilidad de rotar. El torque que actúa sobre ua partícula e u puto P, cuya posició, e toro al orige O del marco de referecia, está dado por el vector posició r, se defie como el producto vectorial etre F y r, es decir: τ = F r

4 Segú la defiició de producto vectorial, el vector τ es perpedicular al plao de rotació, tal como se observa e la figura, sigue la regla de la mao derecha y su modulo viee dado por: τ = Fr si θ Las uidades que coicide co las uidades de la eergía, pero o es ua eergía, y se expresa usualmete como Nm. Propiedades del Torque 1. Si r y F so colieales, θ = 0 ó 180, el torque de F es cero. 2. La suma de torques es ua suma vectorial, e particular, si hay torques actuado sobre el cuerpo e el plao de rotació, el torque resultate vedrá dado por la suma vectorial de los torques: τ i = τ 1 + τ τ 3. La compoete de F paralela a r o cotribuye al torque, e la figura, el eje de rotació se ecuetra perpedicular al plao de rotació, lo que permite ver que la compoete paralela al vector de posició, F, o cotribuye al valor del torque. Nótese tambié de la figura que b = r si θ, dode el brazo b es la perpedicular que va desde el eje de rotació hasta la prologació de la fuerza. De aquí que el torque tambié puede ser iterpretado como el producto del brazo por la fuerza: τ = Fb Eergía ciemática de rotació y mometo de iercia U cuerpo rígido e rotació es ua masa e movimieto, así que tiee eergía ciética que podemos expresar e térmios de la rapidez agular del cuerpo y ua ueva catidad llamada mometo de iercia, que depede de la masa del cuerpo y de la forma e que se distribuye tal masa. Tal como se puede ver e la figura, cualquier cuerpo rígido girado alrededor de u eje fijo se puede cosiderar formado por rebaadas o discos de espesor despreciable. Por lo tato, para cosiderar la rotació

5 del cuerpo se aalizará solamete ua de estas rebaadas o discos, de allí se desprede que las propiedades derivadas para u disco será fácilmete extesibles a todo el cuerpo, co tal que las distacias cosideradas sea siempre las distacias desde cada puto hasta el eje de rotació. Como se ha señalado, la eergía ciética del sistema de partículas, está dada por la expresió: E C = 1 2 m iv i 2 Sustituyedo e esta ecuació la expresió dode se relacioa la velocidad lieal co la velocidad agular v = rω, se obtiee: E C = 1 2 m ir i 2 ω 2 De dode se obtiee que la expresió de la eergía ciética de rotació E CR sea: E CR = 1 2 ω2 m i r i 2 El otro cocepto que se ecuetra presete e la ecuació aterior, es el de mometo de iercia ó iercia de rotació del cuerpo I, del cua señalaremos que es ua medida umérica de la iercia rotacioal; es decir, de la propiedad que tiee los cuerpos para resistirse a cambiar su estado de reposo o movimieto circular uiforme mietras sobre ellos o actúe torques exteros, se defie por la expresió: I = m i r i 2 Dode la suma es para todas las partículas que compoe el cuerpo. Como se dijo ateriormete, r i es la distacia de cada partícula al eje de rotació. Por tato, expresado la eergía ciética e fució del mometo de iercia se obtiee: E CR = 1 2 ω2 I

6 Esta expresió es aáloga a la eergía ciética de traslació E C = 1 2 mv2, dode ω hace el papel de v y el mometo de iercia I hace el papel de la masa m. Por lo que se puede señalar que el mometo de iercia de u cuerpo depede del eje e toro al cual está girado, así como de la maera e que está distribuida su masa, y desempeña el papel de masa e las ecuacioes rotacioales, e la figura se muestra a cotiuació se preseta el valor de I de diversos cuerpos. La eergía de rotació tiee las mismas uidades que cualquier otra eergía. Para el mometo de iercia la uidad es Kg. m 2. Teorema de los ejes paralelos Como se ha señalado, u cuerpo o tiee u solo mometo de iercia. De hecho, tiee u úmero ifiito, porque el úmero de ejes sobre los que podría girar es ifiito. No obstate, hay ua relació simple etre el mometo de iercia I CM de u cuerpo de masa M alrededor de u eje que pasa por el cetro de masa y el mometo de iercia I P alrededor de cualquier otro eje paralelo al origial pero desplazado ua distacia d. Esta relació, llamada teorema de los ejes paralelos, dice que:

7 Sea I CM el valor del mometo de iercia respecto a u eje que pasa por el CM de u cuerpo y sea I P el valor respecto a u eje de rotació paralelo al aterior que se ecuetra a ua distacia d del mismo. Etoces se cumple que: I P = I CM + Md 2 Diámica rotacioal de u cuerpo rígido Al referiros a la diámica de rotació, lo que se pretede es deducir e térmios del movimieto rotacioal la seguda Ley de Newto, para lograrlo aalicemos el trabajo que realiza las partículas que rota, cuado actúa sobre ellas torques exteros, para ello observemos la figura: Trabajo ifiitesimal realizado por F, viee dado por: dw = τdθ Al derivar co respecto al tiempo se obtiee la expresió de la potecia. Si actúa varias fuerzas: P = τω dw = τ extero dθ = τ extero ωdt Recordado el teorema de trabajo y eergía ciética, que señala dw = de C, e térmios rotacioales al derivar la eergía ciética rotacioal co respecto al tiempo y recordado que dω dt = α, se obtiee: de CR = d 1 2 ω2 I = Iωdω = Iαωdt Por tato, como: dw = τ extero ωdt = de CR

8 Sustituyedo: τ extero ωdt = Iαωdt De dode se desprede que la ecuació de la rotació aáloga a la seguda ley de Newto, tato para torques iteros como exteros, es: τ = Iα El movimieto combiado de traslació y rotacioal de u cuerpo rígido Para aalizar la eergía ciética de u cuerpo rígido co movimieto tato traslacioal como rotacioal, veamos la siguiete figura, e ella el puto O es u eje istatáeo de rotació, que cambia cotiuamete mietras la rueda va rotado, otese que la fuerza de fricció f se opoe al movimieto relativo de las superficies, e impide que la rueda deslice, por lo tato f o realiza trabajo. E este caso, la eergía ciética del cuerpo es la suma de la eergía asociada al movimieto del cetro de masa y la eergía asociada a la rotació alrededor de u eje que pasa por el cetro de masa, es decir: E C = 1 2 mv CM Iω2