Mecánica de Materiales II: Análisis de Esfuerzos

Transcripción

1 Mecáica de Materiales II: Aálisis de Adrés G. Clavijo V.,

2 Coteido Itroducció Fueras de volume Coveció de sigos de cauch Estado Triaial Circulo de Mohr Método gráfico Estado plao de Circulo de Mohr - Reglas de correspodecia Circulo de Mohr - Método gráfico

3 de Cauch Estado plao de Supogamos ua barra sometida a carga aial úicamete

4 de Cauch Estado plao de Co Al hacer los plaos Zoom e utiliados el círculo aaliado señalado sesolo tiee: u pequeño fragmeto de la viga, podemos cocluir que todos los putos está sometidos a tracció

5 de Cauch Estado plao de Supogamos ahora ua barra apoada e sus etremos sometida a ua carga cortate.

6 de Cauch Estado plao de E Al hacer este Zoom caso, e para el círculo esos plaos señaladode se corte tiee: aparece cortates Los tageciales ormales se se idetifica segú: la orietació del eje sobre Orietació el cual sede produce la ormal del plao sobre el cual actúa Orietació del propio

7 de Cauch Estado plao de Veamos Hipótesis: el El caso material geeral: es homogéeo ocupa todo el volume q Q Ω+ Q Ω Ω Γ Σ Q M Fueras de superficie Fueras de volume

8 de Cauch Estado plao de Q q F Ω+ Fi Q Σ Σ Ω Γ F Q M

9 de Cauch Estado plao de Q Ω+ F F Fi T T T f ( r, ˆ ) F Lim A 0 A df da Q M o r F El vector e u puto va a depeder: De la posició Del plao que pasa por dicho puto

10 de Cauch Estado plao de El vector o es perpedicular al plao, por lo que se puede descompoer e: Esfuero ormal Esfuero tagecial T ˆ T T Σ T ˆ El vector surge de la geeraliació del cocepto de presió e Mecáica de los fluidos (Cauch, 8). Tal como se preseta acá se debe al Igeiero Sait-Veat Augustie-Louis Cauch ( ) Barré de Sait- Veat ( )

11 de Cauch Estado plao de Volvamos al caso de la barra sometida a carga aial úicamete utilicemos u plao icliado para seccioar la viga T

12 de Cauch Estado plao de So aquellas Q cua magitud es proporcioal a la masa coteida e el volume ocupado por el sólido q Ω V Q P F Γ M Fueras de volume o r f df dv Q F df f Lim V 0 V dv d dm ( m g ) g dv dv f ρ g

13 de Cauch Estado plao de Plaos: se cosidera positivos, si su ormal (saliete del elemeto de volume) aputa a la direcció positiva de u eje coordeado. ormales: se cosidera positivo si es de tracció egativo si es de compresió. tageciales: so positivos si, actuado e u plao positivo (o egativo), aputa e la direcció positiva (o egativa) de u eje coordeado. El caso cotrario, so egativos Coveció de sigos

14 de Cauch Estado plao de Veamos Al aislardel uevo cubo el defiir caso geeral: u sistema de coordeadas e el orige, se obtiee el vector para cada cara q Q T(r,k) T(r,i) Q Ω+ T(r,j) Ω Ω Γ Σ Q M

15 de Cauch Estado plao de T(r,k) T(r,i) T(r,j) [ ] T T T ( r, iˆ ) ( r, ˆj ) ( r, kˆ )

16 de Cauch Estado plao de C γ ˆ Cos ( α ) + Cos ( β ) + Cos ( γ ) ( α ) iˆ + Cos( β ) ˆj + Cos( ) kˆ Cos( α ) T(r,) ˆ Cos( β ) ( ) Cos γ T(r,-i) Cos γ T(r,-j) α P β B A T(r,-k)

17 de Cauch Estado plao de C θ T(r,) T ˆ B T A θ arctg

18 de Cauch Estado plao de Ua ve coocidos los e u puto a través de la matri de, es ecesario compararlo co ua Teoría de falla (como veremos más adelate e el curso) La maoría de dichas teorías basa su formulació e el coocimieto de los valores etremos del ormal, es decir valores máimos míimos.

19 de Cauch Estado plao de Geeralmete, el vector o es perpedicular al plao o paralelo a la ormal. Si embargo, eiste la posibilidad e que el vector tega la direcció de la ormal. Recordemos la viga a tracció: T

20 de Cauch Estado plao de Cuado el vector es perpedicular al plao, la compoete tagecial desaparece, e ese mometo, el vector se covierte e u pricipal T

21 de Cauch Estado plao de Por defiició: T ( r, ˆ ) [ ] ˆ ( r, ˆ ) λ [ I ] ˆ T 0 dode: [ ] ( α ) ( β ) Cos ˆ Cos ( ) Cos γ α γ α γ β α β γ β λ λ I λ + I λ I λ 0 I, I, I so los ivariates de la matri de f ( α,, β,, )) γ Cos ( α )) ) Cos ( β ) Cos ( γ )) 0

22 de Cauch Estado plao de Dado u estado pricipal de, vamos a calcular el vector sus compoetes: C γ α P β T(r,) B A Christia Otto Mohr (85-98) Circulo de Mohr

23 r r r c c c ma ( ) r c + + c r + c r + c r Itroducció de Cauch Estado plao de Circulo de Mohr

24 de Cauch Estado plao de Los Se Por Esta Co arcos el cetro el dibuja calcula puto recta AB ep c, CD los P se coloca traamos círculos itersecta itersecta el cuos los ua ua arco co cetros recta de el puto, icliada círculo circuferecia radios PP Pse asociados formado calcula e cuas que el coordeadas a co: ue puto los águlo los Aputos co γ, os P, APP que α P da co Be se las P: itersecta respecto el puto Ba compoetes la co vertical + los tagecial círculos c < PP < e ormal C del PP e D. Co cetro del e c plao rse traa estudiado el arco que ue los putos C D T(r,) γ α β α Mohr Método gráfico D B P C A P P P r c c c r r γ Cos α + Cos β + Cos γ

25 de Cauch Estado plao de Aálogamete, Se Para Ua Coocidos traa cetro ve resolver coocidos ua α recta γ, c el que problema los cetro águlo radio cp, itersecte e β iverso, c calcula traa radio los de el putos cual, cp arco la siguiete se que A, cosiste traa itersecta Bmaera: cetros el P. arco e El el águlo determiar radios, que circulopase que PP forme ubica por el e plao co los el Cos la dode putos vertical α + CA Cos actúa P D. βα + co Cos Luego es los de el γ mismo coordeadas se circulo traa que ua PP tageciales recta forma que la el itersecte puto ormales Bdellos plao putos co el C, eje D pricipal P. El I águlo que forme co la vertical γ es el mismo que forma la ormal del plao co el eje pricipal I α Mohr Método gráfico D B P C A P P P r c c c r r γ

26 de Cauch Estado plao de Los Se Esta Co Por arcos el cetro el dibuja calcula puto recta AB e c, P EF los P se coloca traamos círculos itersecta traa itersecta el cuos los dos ua arco co cetros rectas de el puto, círculo circuferecia icliadas radios PP Pse asociados formado calcula e cuas que el coordeadas a co: ue puto los águlo los putos A co β, os AP, PP que α P Bda co e se las P: respecto el itersecta puto Ba compoetes la co vertical + los tagecial círculos c < PP < e ormal F del PP e E. Co cetro del e c plao rse traa estudiado el arco que ue los putos E F γ α β T(r,) P P P r c c c r B P F E A α β β Mohr Método gráfico r Cos α + Cos β + Cos γ

27 de Cauch Estado plao de T(r,-i) γ β α ( α ) ( β ) Cos ˆ Cos ( ) Cos γ T(r,) T(r,-k) ˆ β Cos( θ ) ( ) Cos θ 90 Cos( 90 ) T(r,) αθ θ Cos Se 0 ( θ ) ( θ ) T(r,-j)

28 de Cauch Estado plao de Viste desde el plao XY, se tiee: θ Pero Para tambié el sistema pudiera de lapresetar figura, la siguiete matri de forma depediedo es: del sistema: [ ]

29 de Cauch Estado plao de Circulo de Mohr Método gráfico P() C.φ R θ P(,) P(,) P() Co El Si Se La circuferecia cetro ubica queremos e águlo Clos se radio (direcció determiar putos itersecta CP, P(,) co se pricipal) traa el eje los la circuferecia que P(,-) de las forma abscisas el se Ptraa de P radio e ua que co u Rcorrespode recta el plao eje cua que es igual ormal itersecta los el forma deeje setido de las u cotrario águlo abscisas φe ae la el setido mitad puto del ati C. águlo horarioetre co elcp eje, CP medimos u águlo φ e setido horario e el círculo de Mohr P(, ) + ( ) R 4 + φ

30 de Cauch Estado plao de Circulo de Mohr Reglas de correspodecia C.φ.θ (,) () () P(,) P(,) Los E Si u elejes plao ejex XY, forma Ylos se ormales represeta agulos u águlo soθ positivos co e otro el tageciales círculo cuado eje de sel Mohr plao mide como XY, u e plao radios setido etoces perpedicular ati el radio horario. CP al plao E formael u XY diagrama águlo so las -θ de coordeadas Mohr co CP so positivos ele circulo u si puto se de Mohr mide sobre e setido la circuferecia horario de Mohr (, ) θ φ