TEORÍA DEL CONTROL III

Transcripción

1 Igeiería e Cotrol y Atomatizació Formas caóicas Trasformació de similitd TEORÍA DEL CONTROL III 5 de agosto de 5 Ator: M. e C. Rbé Velázqez Cevas Escela Sperior de Igeiería Mecáica y Eléctrica

2 Formas caóicas Trasformació de similitd Como se ha mecioado co aterioridad, la represetació e espacio de estados para sistema determiado o es úica, debido a qe los estados de sistema se pede defiir de formas ifiitas. A las diferetes represetacioes de mismo sistema se les cooce como represetacioes similares. Todas las represetacioes similares está relacioadas etre sí mediate a matriz o siglar de trasformació llamada trasformació de similitd. E otras palabras, el sistema e espacio de estados descrito por las ecacioes: ɺ ( t) A( t) B( t) y( t) C( t) D( t) Se pede reescribir defiiedo el vector de estado como ( t) Pz ( t) ; dode P es a matriz o siglar y z ( t) es vector de estado similar a ( t). Sstityedo el vector de estado se tiee: Pzɺ ( t) APz( t) B( t) y( t) CPz( t) D( t) Por lo tato, la represetació similar del sistema e espacio de estados es: zɺ ( t) Az ( t) B ( t) y( t) Cz ( t) D ( t) La matriz P se cooce como matriz de trasformació de similitd y el sistema similar se describe mediate las matrices: A P AP ; B P B Formas caóicas 5 de agosto de 5 C CP ; D D Es importate resaltar qe la trasformació de similitd o modifica las propiedades del sistema como so la matriz de trasferecia, la ecació característica y los valores propios Ejemplo : Sea el sistema e espacio de estados descrito por las ecacioes ɺ 4 ( ) t ɺ y( t) [ ] [ ] ( t)

3 a) Determiar el sistema similar tilizado a matriz de trasformació de similitd P b) Comprobar qe para ambos sistemas la ecació característica, los valores propios y la matriz de trasferecia so igales Solció: a) La matriz de trasformació de similitd P es o siglar, por lo tato eiste s iversa:.5 P.5 De ese modo, el sistema similar esta descrito por las matrices: Es decir: A B.5.5 C [ ] [ ] D [ ] b) Para el sistema origial se tiee: zɺ z.5 ( ) t zɺ z z y( t) [ ] [ ] ( t) z s 4 s 4 p( s) det ( si A ) s s s s Mietras qe para el sistema similar se tiee: s s pˆ( s) det ( si A ).5.5 s s s.5 s.5 Formas caóicas 5 de agosto de 5

4 Para ambos casos se observa qe los valores propios está dados por las raíces de la ecació característica: ( )( ) p s pˆ s s s s λ s λ λ λ ( ) ( ) ; 5 Fialmete, la fció de trasferecia e ambos casos es: s 4 [ ] s 4 ( ) [ ] [ s G s C si A B D ] s s s G ( s) C si A B D [ ] G( s) s s 4 s s [ ] s s s s s G ( s) s s 4 s Como se observa, siempre qe se tega a matriz P o siglar de eiste sistema similar relacioado co la matriz de trasformació de similitd y viceversa, siempre etre dos sistemas similares eiste a matriz de trasformació de similitd P. Más a, eiste represetacioes similares qe permite visalizar características my particlares de los sistemas de cotrol. A estas formas similares particlares se les cooce como formas caóicas. E geeral eiste siete formas caóicas para los sistemas de cotrol represetados mediate las ecacioes de estado:. Forma caóica ormal Formas caóicas 5 de agosto de 5. Forma caóica compañera. Forma caóica cotrolable 4. Forma caóica observable 5. Forma caóica diagoal 6. Forma caóica modal 7. Forma caóica de Jordá A cotiació se mestra los esqemas de las formas caóicas obteidos a partir de la fció de trasferecia (efoqe SISO) y posteriormete se hará algas adicioes para el caso MIMO.

5 Forma caóica ormal. ɺ β β ɺ ɺ β ɺ β a a a a [ ] [ β ] y Esta forma es la qe se obtiee de la fció de trasferecia para el caso e el qe se tiee poliomio de orde m e el merador. Por ejemplo, para el caso m se tiee: Y( s) b s b s b s b s b s b U ( s) s a s a s a s a s a E la figra se mestra el diagrama de simlació aalógica correspodiete a la forma caóica ormal, dode: y β ɺ β ɺ β ɺ β ɺ a a a β Para: β b β b aβ β b aβ aβ β b aβ aβ a β β b aβ aβ a β aβ Figra. Diagrama de simlació aalógica correspodiete a la forma caóica ormal Formas caóicas 5 de agosto de 5 4

6 Forma caóica compañera. ɺ a ɺ a ɺ a ɺ a [ β β β β ] [ β ] y Esta forma caóica se deomia como el sistema dal de la forma caóica ormal. E geeral, sistema dal (,,, ) A B C D de a represetació e espacio de estados co matrices (,,, ) A A T ; B C T ; C B T ; D D T A B C D se defie mediate: E la figra se mestra el diagrama de simlació aalógica de la forma caóica compañera. Nótese qe el diagrama de la figra es dal al de la figra ivirtiedo el setido de las señales e itercambiado de lgar los ptos de bifrcació co los ptos sma. Formas caóicas 5 de agosto de 5 Figra. Diagrama de simlació aalógica correspodiete a la forma caóica compañera 5

7 Forma caóica cotrolable. ɺ ɺ ɺ ɺ a a a a [ ] [ ] y b ab b a b b ab b ab b E la figra se mestra el diagrama de simlació aalógica de la forma caóica cotrolable, de dode se obtiee las ecacioes: ɺ ɺ ɺ ɺ a a a y b ɺ b b b y a b a b a b b b b b y ( b a b ) ( b a b ) ( b a b ) b Figra. Diagrama de simlació aalógica correspodiete a la forma caóica cotrolable Formas caóicas 5 de agosto de 5 6

8 Forma caóica observable. ɺ a b ab ɺ a b a b ɺ a b a b ɺ a b a b [ ] [ β ] y E la figra 4 se mestra el diagrama de simlació aalógica de la forma caóica observable, de dode se obtiee las ecacioes: y b ɺ a y b a ( b a b ) ɺ a y b a ( b a b ) ɺ a y b a ( b a b ) ɺ a y b a ( b a b ) Formas caóicas 5 de agosto de 5 Figra 4. Diagrama de simlació aalógica correspodiete a la forma caóica observable Nótese qe si (,,, ) A B C D es la realizació de la forma caóica cotrolable etoces las matrices C C C C ( T, T, T, T O C O C O C O C ) A A B C C B D D coforma la realizació de la forma caóica observable. E otras palabras, la forma caóica observable es el dal de la forma caóica cotrolable. 7

9 Forma caóica diagoal. ɺ λ λ ɺ ɺ λ ɺ λ [ ] [ ] y c c c c b Esta forma caóica preseta los valores propios e la diagoal pricipal de la matriz de estados, para el caso e qe todas los eigevalores so reales y diferetes. E la figra 5 se mestra el diagrama de simlació aalógica qe describe la forma caóica diagoal. Figra 5. Diagrama de simlació aalógica correspodiete a la forma caóica diagoal Formas caóicas 5 de agosto de 5 8

10 La forma caóica diagoal mostrada, se obtiee mediate la fció de trasferecia represetada e fraccioes parciales. Es decir: Y( s) bs b s b s b c c c c b U ( s) s λ s λ s λ s λ s λ s λ s λ s λ ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Forma caóica modal. Para el caso e qe eiste polos complejos cojgados, o es posible presetar los eigevalores sobre la diagoal pricipal de la matriz de estados. Si embargo, se tiliza a forma coveiete coocida como forma caóica modal. Cabe señalar qe para el caso e qe todas los eigevalores so reales y diferetes la forma caóica modal coicide co la diagoal. A modo de ejemplo, cosidérese el caso de sistema de tercer orde co dos polos complejos cojgados cya fció de trasferecia separada e fraccioes parciales está dada por: Y ( s) b s b s b c s σ cω c U ( s) λ σ ω s λ s σ ωd s σ ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( s ) ( s ) Por lo tato, la realizació e espacio de estados es: ɺ λ σ ω ɺ ɺ ω σ y [ c c c ] [ ] Formas caóicas 5 de agosto de 5 Forma caóica de Jordá. Esta forma caóica se preseta cado se desea obteer la forma caóica diagoal pero el sistema preseta eigevalores múltiples (repetidos). Tambié se le cooce como forma caóica diagoal a bloqes, dode cada bloqe de Jordá se represeta mediate las raíces repetidas colocadas e la diagoal, mietras qe por arriba se coloca otra diagoal de os. Es decir, si por ejemplo la fció de trasferecia está dada por el sistema de tercer orde: Y ( s) b s b s bs b c c c b U ( s) λ ( s λ ) ( s λ ) ( s λ ) ( s ) 9

11 La realizació de estados viee dada por: ɺ λ λ ɺ ɺ λ y [ c c c ] [ b ] De ese modo, si sistema preseta dos o más raíces múltiples, s realizació e espacio de estados presetada e la forma caóica diagoal, presetará bloqes de Jordá. E geeral, si sistema tiee eigevalores repetidos, la represetació e espacio de estados se pede presetar mediate solo bloqe de Jordá de la forma: ɺ λ λ ɺ ɺ λ ɺ λ [ ] [ ] y c c c c b E la figra 6 se mestra el diagrama de simlació aalógica de dicho algoritmo Figra 6. Diagrama de simlació aalógica correspodiete a la forma caóica de Jordá Formas caóicas 5 de agosto de 5

12 Ejemplo. Sea los sistemas LTI descritos por las fcioes de trasferecia:. F( s) 5s 75s 7s 6 s 6s s 6. G( s) s s s 4 s s s s F( s) 5s s 6s 4 s s s 4. G( s) s s s 4 s s s s Determiar la realizació e espacio de estados: a) E las formas caóicas ormal y compañera b) E las formas caóicas cotrolable y observable c) E la forma caóica diagoal, modal o de Jordá segú sea el caso Solció:. Nótese qe: 5s 75s 7s 6 b s b s b s b.5s 7.5s 7s 6 F( s) s 6s s 6 s a s a s a s 6s s 6 ( )( )( ).5s 7.5s 7s 6 c c c 5.5 F( s) b.5 s s s s s s s s s y Dode: b.5; b 7.5; b 7; b 6; a 6; a ; a 6; c 5; c ; c.5 Por lo tato: Para β.5 β 7.5 6(.5) 4.5 β 7 6(4.5) (.5) 4.5 β 6 6(4.5) (4.5) 6(.5) 9.5 & ( b ab ) ( b ab ) ( b a b ) Formas caóicas 5 de agosto de 5 Se tiee: a) La forma caóica ormal: ɺ 4.5 ɺ 4.5 ɺ y [ ] [.5]

13 b) La forma caóica compañera: c) La forma caóica cotrolable: d) La forma caóica observable: ɺ 6 ɺ ɺ 6 y [ ] [.5] ɺ ɺ ɺ 6 6 y [ ] [.5] ɺ ɺ ɺ 6 57 y [ ] [.5] ɺ ɺ ɺ e) La forma caóica diagoal: y [ 5.5 ] [.5]. Nótese qe: 5s s 6s 4 b s b s b s b F( s) s s s s as as a y por lo tato tambié se tiee qe 5s s 6s 4 c c c F( s) b 5 s ( s ) ( s ) ( s ) s ( s ) ( s ) Dode: b 5; b ; b 6; b 4; a ; a ; a ; c 5; c 5; c 5 Formas caóicas 5 de agosto de 5

14 Por lo tato: Para β 5 β (5) 5 β 6 (5) (5) β 4 () (5) (5) 7 & ( b ab ) ( b ab ) ( b a b ) Se tiee: a) La forma caóica ormal: ɺ 5 ɺ ɺ y [ ] [ 5] b) La forma caóica compañera: ɺ 6 ɺ ɺ 6 y [ 5 7 ] [.5] Formas caóicas 5 de agosto de 5 ɺ ɺ ɺ 6 6 c) La forma caóica cotrolable: y [ ] [.5] ɺ ɺ ɺ 6 5 d) La forma caóica observable: y [ ] [.5]

15 e) La forma caóica de Jordá: ɺ ɺ ɺ y [ ] [.5] 4 s 6s s 6 bs b s b s bs b4. Para G( s) ; además: 4 4 s 6s 8s 4s 6 s a s a s a s a Dode: Por lo tato: 4 ( )( ) ( ) 4 b s b s b s b s b s 6s s 6 G( s) s s s 4s 8 s σ ω s σ ω ( σ ) c ( ) ( ) 4 ( )(( ) ) ( σ ) c ( ) ( ) c s ω c s G( s) b 4 s σ ω s σ ω s σ ω s σ ω ( s ) ( ) ( ) ( s ) ( ) ( ) ( ) G( s) s s s 4 s 4 b ; b ; b 6; b ; b 4 6; a 6; a 8; a 4; a 4 6; c.5; c.5; c.5; c 4 ; ω Se obtiee: Para β β 6() β 6 6() 8() β 6() 8() 4() 7 β4 6 6( 7) 8() 4() 6() 4 & ( b ab ) ( b ab ) ( b ab ) ( b a b ) Formas caóicas 5 de agosto de 5 4

16 a) La forma caóica ormal: ɺ ɺ ɺ 7 ɺ [ ] y [ ] 4 b) La forma caóica compañera: ɺ 6 4 ɺ ɺ 8 ɺ [ 7 4] y [ ] 4 Formas caóicas 5 de agosto de 5 ɺ ɺ ɺ ɺ c) La forma caóica cotrolable: [ 6 6 ] y [ ] 4 ɺ ɺ ɺ 8 6 ɺ d) La forma caóica observable: [ ] y [ ] 4 5

17 e) La forma caóica modal: ɺ ɺ ɺ ɺ 4 4 [ ] y [ ] 4 4 s 6s s 6 bs b s bs bs b4 4. Para G( s) ; 4 4 s 4s 7s 6s s a s a s a s a 4 además: s 6s s 6 b s b s b s b s b G( s) λ σ ω 4 4 ( ) ( s ) ( s s ) ( s ) ( s ) ( ) c ( s σ ) ( ) ( ) c c c4ω G( s) b s λ s λ s σ ω s σ ω ( s ) ( ) ( ) G( s) ( s ) s s Dode: b ; b ; b 6; b ; b 4 6; a 4; a 7; a 6; a 4 ; Por lo tato: Se obtiee: Para c ; c ; c ; c 4 ; β β 4() β 6 4() 7() β 4() 7() 6() 4 β4 6 4( 4) 7() 6() () & ( b ab ) ( b ab ) ( b ab ) ( b a b ) Formas caóicas 5 de agosto de 5 6

18 a) La forma caóica ormal: ɺ ɺ ɺ 4 ɺ [ ] y [ ] 4 b) La forma caóica compañera: ɺ 6 ɺ ɺ 7 ɺ [ 4 ] y [ ] 4 Formas caóicas 5 de agosto de 5 ɺ ɺ ɺ ɺ c) La forma caóica cotrolable: [ 6 6 ] y [ ] 4 ɺ 6 6 ɺ ɺ 7 6 ɺ d) La forma caóica observable: [ ] y [ ] 4 7

19 e) La forma caóica de Jordá-modal: ɺ ɺ ɺ ɺ 4 4 [ ] y [ ] 4 Cometarios fiales y Matriz de diagoalizació Como se ha mecioado, la represetació de sistema de cotrol descrito por ss ecacioes de estado o es úica, debido a qe la defiició de los estados pede ser arbitraria y además eiste siúmero de represetacioes similares asociadas co a matriz (o siglar) de trasformació de similitd Por otro lado, aqe el úmero de represetacioes diferetes co qe ceta mismo sistema e espacio de estados es ifiito, eiste algas represetacioes características qe permite establecer estádares para visalizar iformació my particlar respecto al sistema de cotrol y qe se cooce como formas caóicas. E otras palabras, sea cal sea la represetació e espacio de estados siempre es posible obteer calqiera de las formas caóicas a través de a matriz de trasformació de similitd para cada caso. E particlar, la forma caóica diagoal (o de Jordá) se obtiee a través de la matriz de trasformació qe coforma los vectores propios. Es por eso qe a la matriz de vectores propios se le cooce tambié como matriz de diagoalizació. Ejemplo. Demostrar qe la forma caóica diagoal se obtiee al tilizar la matriz de vectores propios X como matriz de trasformació de similitd para el sistema descrito por las ecacioes de estado: Dode: T Ad X AX ; Bd [ CX ] ; e la forma caóica diagoal. ɺ 4.5 ɺ 4.5 ɺ y [ ] [.5] T d C X B ; D D T ; coforma las matrices del sistema similar d Formas caóicas 5 de agosto de 5 8

20 Solció: Los valores propios se obtiee mediate: s ( I A ) det s s s 6s s 6 ( s )( s )( s ) 6 s 6 Por lo tato, los valores propios (o polos del sistema) so: λ ; λ ; λ Como los valores propios so reales y diferetes, los vectores propios se calcla mediate AX λ X i i i Para λ : ( ) 6 6 Dode: ; y 6 6 Si etoces y ; por lo tato: X Para λ : ( ) 6 6 Dode: ; 4 y 6 6 Formas caóicas 5 de agosto de 5 Si etoces y 4 Para ; por lo tato: X λ : ( ) Dode: ; 9 y 6 6 9

21 Si etoces y 9 ; por lo tato: X 9 Fialmete, la matriz de vectores propios X está dada por: X [ X X X ] λ λ λ 4 9 λ λ λ Tambié llamada matriz de Leverrier para valores propios reales y diferetes Se observa qe ( ) calclado: Fialmete se observa qe: det X ; por lo tato es o siglar y se pede tilizar como matriz de trasformació A X AX X d T B [ ] [ ] d CX 4 9 T T C d X B T D D.5 d T [ ] Formas caóicas 5 de agosto de 5

22 Matriz de Leverrier Faddeev para vectores propios Ua matriz de vectores propios se pede obteer de maera simple tilizado el algoritmo de Leverrier Faddeev, siempre y cado la matriz de estados A se ecetre e forma caóica ormal (o cotrolable). E geeral se tiee dos casos:. Cado se tiee valores propios λ i reales y diferetes. Cado se tiee valores propios λ reales y repetidos Para el caso úmero, la matriz de vectores propios se obtiee mediate: λ λ λ λ X λ λ λ λ λ λ λ λ Es decir, cada vector propio se calcla mediate: λ i X λ i i ; para i,,, i λ i Para el caso úmero, la matriz de vectores propios se determia mediate: Formas caóicas 5 de agosto de 5 λ λ λ X λ λ λ ( )( ) ( )( )( ) 4 λ ( ) λ λ λ!! Dode el primer vector propio X se calcla del mismo modo qe e el caso y el resto de los vectores propios se calcla mediate: k d d Xk X k ; k X para k,,, k! dλ k dλ

23 Problemas propestos I. Obteer las formas caóicas ormal, cotrolable y modal (diagoal o de Jordá) para los sistemas descritos por las sigietes fcioes de trasferecia: a) b) s 6s 4 ( ) G s G ( s) s s s 4s 4s 4.5 6s 6 G ( s) s s s c) d) G( s) s s s s II. Para el caso e qe las raíces sea reales, determiar la matriz de vectores propios X mediate el algoritmo de Leverrier Faddeev y comprobar qe es a matriz de diagoalizació. Formas caóicas 5 de agosto de 5