AUTÓMATAS Y SISTEMAS DE CONTROL

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1 º ITT SISTEMAS ELECTRÓNICOS º ITT SISTEMAS DE TELECOMUNICACIÓN º INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN AUTÓMATAS Y SISTEMAS DE CONTROL PRÁCTICA 7: SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA La fució de trasferecia de u sistema de segudo orde, expresada e u formato estádar, preseta uo de los dos aspectos siguietes: X( K +as+bs Y( X( K ω s + ξ ω s+ω Y( La seguda represetació resultara más práctica a la hora de aalizar el comportamieto de estos sistemas. E particular, os iteresará coocer dos factores: Gaacia e régime permaete Comportamieto trasitorio.. Gaacia e régime permaete La gaacia represeta la relació etre el valor de la salida y el valor de la etrada ua vez que el sistema se ha estabilizado (se cosidera ua etrada tipo escaló). Puede demostrarse que el valor de la gaacia es K si la fució de trasferecia se expresa e cualquiera de los formatos que se propoe. A cotiuació se creará u esquema e Simulik que permita comprobar este dato. Utilizaremos el siguiete sistema de segudo orde: K ξ.5 ω ( K ω G s + ξω s + ω s 8 + s + 4 Las figuras siguietes muestra el aspecto que debe teer el esquema y el resultado de aplicar u escaló uitario como etrada al mismo: Práctica 7: Sistemas de Segudo Orde

2 Se puede comprobar como el valor al que tiede el sistema e régime permaete es. Esto era de esperar ya que se aplica u escaló uitario y la gaacia del sistema es K. Los experimetos a realizar a cotiuació so los siguietes: Cambio del valor K: probaremos co distitos valores de K modificado el umerador de la fució de trasferecia y observaremos las variacioes de la respuesta. Cambio del valor de la señal de etrada: modificaremos el valor del escaló pichado dos veces sobre él y cambiado el parámetro fial value. Debemos comprobar como la salida tiee siempre u valor e régime permaete K veces mayor que la etrada... Comportamieto e régime trasitorio El comportamieto del sistema e régime trasitorio vedrá codicioado por la situació de sus polos (raíces del deomiador). De acuerdo co el formato estádar que veimos utilizado, las raíces del deomiador so: s + ξω s + ω s ξω ± ξ Se puede presetar tres tipos de comportamieto distitos e fució del valor de ξ: ξ> s y s reales sistema sobreamortiguado (o hay sobreoscilacioe ξ ss sistema críticamete amortiguado (valor límite) ξ< s y s complejos cojugados sistema subamortiguado (hay sobreoscilacioes e régime trasitorio) Nos cetraremos e el estudio de los sistemas subamortiguados, por lo que s y s será dos polos complejos cojugados, tal y como se represeta e el diagrama siguiete: (s) x ( x La situació exacta de los polos determiará las características del comportamieto temporal del sistema. Utilizaremos los siguietes valores para localizar los polos: -σ-ξω presetació cartesiaa Parte real polo: σ -ξω Parte imagiaria polo: ω d ω (-ξ ) ω d ω (-ξ ) ω presetació polar Módulo polo: Águlo de fase polo: ω θ acos(ξ) θacos(ξ) Práctica 7: Sistemas de Segudo Orde

3 . VALORES CARACTERÍSTICOS DE LA RESPUESTA ANTE ESCALÓN. Porcetaje de sobreoscilació (M p ) Ua de las características importates del comportamieto trasitorio de u sistema de segudo orde es el porcetaje de sobreoscilació medido co respecto del valor e régime permaete:.5 A.5 B A M p B Para u sistema de segudo orde como el que hemos descrito se cumple: M p π tg(θ ) e Lo que quiere decir que los polos que posea u mismo valor de θ (mismo águlo de fase) resultará e picos de sobreoscilació iguales. Por tato las líeas que se muestra e el gráfico iferior correspode a lugares de sobreoscilació costate. El aumeto de la sobreoscilació irá e el setido de la flecha: aumeta M p θ θ 4 θ θ.. Tiempo de pico de sobreoscilació (t p ) El tiempo del pico de sobreoscilació es ua de las posibles medidas de la velocidad de respuesta de u sistema ate ua solicitació determiada: t p Práctica 7: Sistemas de Segudo Orde

4 E sistemas de segudo orde, la expresió para el tiempo de pico es la siguiete: Por tato, todos los polos cuyo valor de ω d sea igual (mismo valor para la parte imagiaria) correspoderá a sistemas co igual tiempo de pico. La gráfica que se muestra a cotiuació refleja los lugares geométricos correspodietes a tiempos de pico idéticos. t p π ω d ω d4 aumeta t p ω d ω d ω d NOTA: para la medida de tiempos es más práctico hacer que el escaló de etrada comiece e t. Tiempo de establecimieto (t s ) El tiempo de establecimieto mide el tiempo que tarda el sistema e estabilizarse sobre la posició de equilibrio. Se cosidera que la respuesta está estabilizada cuado se ecuetra e ua bada del ±5% del valor de régime permaete: t s E sistemas de segudo orde suele utilizarse esta expresió aproximada: Por tato, todos los polos cuyo valor de ξω sea igual (mismo valor para la parte real) correspoderá a sistemas co igual tiempo de establecimieto. La gráfica que se muestra a cotiuació refleja los lugares geométricos correspodietes a tiempos de establecimieto idéticos. t s π ξω aumeta t s ξω ξω ξω ξω 4 Práctica 7: Sistemas de Segudo Orde 4

5 INFORME DE LA PRÁCTICA 7 NOMBRE: APELLIDOS: DNI: TITULACIÓN: FIRMA: EJERCICIO COMPROBACIÓN EXPERIMENTAL DE LOS VALORES DE SOBREOSCILACIÓN Para los tres sistemas siguietes: G( s + s + G s ( 7 + s + 7 G( s +.5s + Se pide: Simular su comportamieto ate etrada escaló. Medir sobre las gráficas el valor de la sobreoscilació. Compruebe teóricamete los resultados obteidos. M p M p M p. presetar e u solo gráfico la posició de los polos de los tres sistemas (comados pzmap y sgrid) Práctica 7: Sistemas de Segudo Orde 5

6 EJERCICIO COMPROBACIÓN EXPERIMENTAL DE LOS VALORES DE TIEMPO DE PICO Para los tres sistemas siguietes: G( s + s + 5 G s ( + s + G( s + s Se pide: Simular su comportamieto ate etrada escaló. Mida sobre las gráficas el valor del tiempo de pico de sobreoscilació. Compruebe teóricamete los resultados obteidos. t p t p t p. presetar e u solo gráfico la posició de los polos de los tres sistemas (comados pzmap y sgrid) Práctica 7: Sistemas de Segudo Orde 6

7 EJERCICIO COMPROBACIÓN EXPERIMENTAL DEL TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO Para los tres sistemas siguietes: G( s + s + G s ( 6 + s + 5 G( s + 4s + Se pide: Simular su comportamieto ate etrada escaló. Mida sobre las gráficas el valor del tiempo de establecimieto. Compruebe teóricamete los resultados obteidos. t s t s t s. presetar e u solo gráfico la posició de los polos de los tres sistemas (comados pzmap y sgrid) Práctica 7: Sistemas de Segudo Orde 7

8 EJERCICIO 4 IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN ) El gráfico de la derecha muestra la respuesta a escaló uitario de u sistema de segudo orde descoocido. 6 5 Step spose 4 Amplitude 4 5 Time (sec.) ) E este caso se muestra la respuesta a escaló de valor.5 para u sistema de segudo orde descoocido Step spose Amplitude (-.9) (-.5) -.5 s 4. Determie la fució de trasferecia el sistema a partir de los valores que se muestra e el gráfico. Simular u sistema co esa fució de trasferecia para comprobar que los cálculos realizados so correctos. G( Práctica 7: Sistemas de Segudo Orde 8

9 4. Determie la fució de trasferecia del sistema a partir de los valores que se muestra e el gráfico. Simular u sistema co esa fució de trasferecia para comprobar que los cálculos realizados so correctos (el escaló debe teer valor fial.5). G( Práctica 7: Sistemas de Segudo Orde 9