[e j N 2 e j N 2 ]...} (22)

Transcripción

1 Trasformadores multiseccioales de cuarto de oda. La teoría de reflexioes pequeñas descrita e la secció aterior se puede usar para aalizar trasformadores multiseccioales de u cuarto de oda. Cosidere la distribució del trasformador de N seccioes como la de la figura 5. El coeficiete de reflexió parcial ρ etre las seccioes y ( + 1) se puede escribir como = Z 1 Z Z 1 Z (20) Figura 5 Trasformador de N seccioes. La última (la eésima) coeficiete de reflexió es N = Z N Z N dode es la impedacia de la carga. Todas las seccioes tiee igual logitud eléctrica βl = θ que es π /2 (logitud de u cuarto de oda) e la frecuecia cetral f 0. La carga se supoe puramete resistiva y puede ser mayor o meor que. E este aálisis, se supodrá mayor, de maera que ρ = ρ. Si fuera meor, todos los ρ sería úmeros reales egativos y la úica modificació que se requiere para efectuar el aálisis es sustituir ρ por ρ. Co la aproximació que se presetó e la secció aterior, el coeficiete de reflexió total se obtiee como la suma de las odas reflejadas de primer orde, dada por = 0 1 e j 2 2 e j 4... N e j 2 N (21) dode, por medio de los factores e j 2, se toma e cosideració el retardo e fase que itroduce las diferetes distacias que debe recorrer las diferetes odas parcialmete reflejadas. Ahora es oportuo supoer que el trasformador es simétrico; es decir, ρ 0 = ρ N, ρ 1 = ρ N-1, ρ 3 = ρ N-2...etc., y por lo tato la ecuació (21) se hace =e jn { 0 [e jn e jn ] 1 [e j N 2 e j N 2 ]...} (22) dode el último térmio es N 1 / 2 e j e j cuado N es impar y ρ N /2 cuado N es

2 par. Se ve así que, para el trasformador simétrico, el coeficiete de reflexió ρ está dado por la serie de Fourier e coseos =2 e jn { 0 cos N 1 cos N 2... cos N 2...} (23) E esta expresió, el último térmio es N 1 / 2 cos cuado N es impar y 1/2ρ N/2 cuado N es par. Es obvio ahora que mediate la selecció adecuada de los coeficietes ρ de reflexió parcial, se puede obteer ua gra variedad de características de bada de paso. Las impedacias Z para las diferetes seccioes se calcula a partir de los ρ. Como la serie es de coseos, la fució periódica que se defie es periódica e el itervalo π correspodiete al cambio de frecuecia por la cual la logitud eléctrica de cada secció de trasformador cambia e ua media logitud de oda. E la siguiete secció se preseta las especificacioes de los coeficietes ρ para obteer características de bada de paso de maxima repuesta plaa. Trasformador de respuesta máxima plaa. La característica de bada de paso co maxima respuesta plaa se obtiee si ρ y sus (N -1) derivadas respecto a la frecuecia (o a θ) se aula para la frecuecia cetral f o (dode θ = π/2). Tal característica se obtiee si se escoge e cuyo caso = A[1 e j ] N (24) = A2 N cos N (24b) Cuado θ = 0, se tiee = A2 N = y A=2 N (25) Etoces A=2 N 1 e j2 N N = 2 Z Z N L 0 C N Z e j 2 (26) 0 =0 dode los coeficietes biomiales está dadas por

3 C N = N N 1 N 2.. N 1! N! = N!! (27) De la aproximació co reflexioes pequeñas, se tiee = 0 1 e j 2 2 e j 4 3 e j 6... N e j 2 N (28) Al comparar 1a ecuació (26) co 1a ecuació (28) y observado que C N N =C N se ve que debemos escoger, C N 0 =1, C N N 1 =N =C N 1, etc, Z =2 N L C N Z = N (29) 0 Para obteer la solució secilla para 1as impedacias caracteristicas Z, es coveiete hacer aproximacioes ulteriores. Como ya se ha cosiderado que todos los ρ so pequeños, se puede escribir l Z 1 2 Z Z N 1 =2 Z Z N 1 Z (30) Además, usado la aproximació l =2 Z Z 3 L 0 2 Z Z 0 (31) Se tiee así la siguiete relació l Z 1 =2 Z =2 N C N l (32) Se obtiee así la solució para el logaritmo de las impedacias. Dado que estos valores so proporcioales a los coeficietes lieales, al trasformador se le deomia biomial. Como la teoría aterior es aproximada, el rago de se limita a 0.5 < < 2 aproximadamete, para obteer resultados exactos.

4 Figura 6 Trasformador de dos seccioes. Como ejemplo, cosidere el trasformador de dos seccioes de la figura 6. De la ecuació (32) se obtiee l Z 1 = 1 4 l es decir Z 1 = 1/ 4 3/ 4 (33) y l Z 2 Z 1 = 1 2 l es decir Z 2 = 3 /4 1 /4 (34) puesto que C 0 2 =1 y C 1 2 =2. Auque se ha utilizado la teoría aproximada, resulta que los valores ates mecioados para Z 1 y Z 2 para el caso especial de u trasformador de dos seccioes so las solucioes exactas y o aproximadas, u resultado que da ua idicació de la precisió de la teoría aproximada. Puede verse fácilmete que los valores ateriores de Z 1 y Z 2 coduce al acoplamieto perfecto e la frecuecia cetral f 0. Figura 7 Bada de paso de u trasformador de respuesta máxima plaa.

5 E la figura 7 se muestra la caracteristica de bada de paso que se obtiee e u trasformador de respuesta máxima plaa. Sea ρ m el valor maxima de ρ que se puede tolerar e la bada de paso. El águlo θ m que resulta e ρ = ρ m se obtiee de la ecuació (24) y se puede escribir 1 2 m =cos m l / 1/ N como obteido de la ecuació (24b). E el caso de seccioes de líeas de trasmisió TEM, θ = πf/2f 0, y de aquí que el acho de bada fraccioal está dado por cos 1 f = 2 f f 0 m =2 4 2 m f 0 f 0 l / 1 / N (35) (36) Observe que la solució a la fució coseo iverso se escoge de tal maera que θ m sea meor que π/2. De la expresió aterior se deduce que el trasformador multiseccioal de respuesta plaa máxima puede otorgar u acho de bada mucho más amplia y útil que u trasformador de ua sola secció. Como u ejemplo, para ρ m = 0.2, el acho de bada fraccioal que se obtiee para el trasformador de ua sola secció (la ecuació (10)), diseñado para acoplar ua carga de 18Ω a ua liea de 50Ω, es 0.5, mietras que el acho de bada fraccioal correspodiete (la ecuació (36)) es de