Técnicas para problemas de desigualdades

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1 Técicas para problemas de desigualdades Notas extraídas del libro de Arthur Egel [] 5 de marzo de 00 Medias Comezamos co dos de las desigualdades más básicas pero al mismo tiempo más importates Sea x, x, x,, x úmeros reales, etoces y x 0 () x i 0 () i= La igualdad se dará e ambas sólo cuado x = 0 e () o x i = 0 para todo i e () Ua de las estrategias más simple y fructífera a la hora de resolver problemas de desigualdades cosiste e trasformar uestras desigualdades e algua de las formas () o () Este proceso o es simple, por lo que coviee coocer otras desigualdades de aspecto más complejo pero que básicamete se reduce a las ateriores Sea x = a b co a > 0 y b > 0, etoces se tiee la siguiete secuecia de equivalecias: () a + b ab (a + b ) (a + b) a b + b a x + a + b a + b, x > 0 x De este modo podemos ver cómo uestras iofesivas desigualdades de partida empieza a tomar aspectos más aterradores, pero qué tal si reemplazamos a y b por a y b? () a + b ab a + b ab ab ab a + b A partir de aquí se deduce la siguiete secuecia de desigualdades que resultará fudametales Estas desigualdades recibe el ombre de desigualdades de las medias armóicasgeométricas-aritméticas-cuadráticas o desigualdad HM-GM-AM-QM: mi(a, b) ab a + b ab a + b a + b max(a, b) Recoocer las desigualdades ateriores bajo cualquier situació que pueda aparece e los distitos problemas será ua gra vetaja a la hora de resolver estos problemas Los siguietes ejemplos ilustra lo que acabamos de decir:

2 Ejemplo x + x + para todo x Ejemplo Si a, b, c 0 etoces (a + b)(b + c)(c + a) 8abc Ejemplo 3 Si a i > 0 para i =,, y a a a = etoces ( + a )( + a ) ( + a ) La desigualdad HM-GM-AM-QM se tiee icluso e la siguiete versió más geeral Sea a, a,, a 0, etoces mi(a, a,, a ) a + a + + a a a a + a + + a a a + a + + a max(a, a,, a ) La siguiete desigualdad es coocida como la desigualdad de Nesbitt: sea a, b, c úmeros o egativos, etoces a b + c + b a + c + c a + b 3 Es útil saber que el térmio de la izquierda, que deotaremos por f(a, b, c), se puede reescribir de las siguietes maeras: a + b + c + a + b + c + a + b + c 3 = (a + b + c)( b + c a + c a + b b + c + a + c + a + b ) 3; [(a + b) + (b + c) + (c + a)]( b + c + a + c + ) 3 (3) a + b A cotiuació ofrecemos dos pruebas de la desigualdad de Nesbitt: Sea x = a + b, y = b + c y z = a + c, etoces f(a, b, c) = (x + y + z)( x + y + z 6) = x y + y + x x z + z + y x }{{}}{{} z + z 3 3 y }{{} Ahora demostraremos la desigualdad de Nesbitt usado la desigualdad etre las medias aritméticas y armóicas auque primero deberemos trasformarlas para poder aplicar (3): u + v + w u v w Por tato, f(a, b, c) 9 3 = 3 (u + v + w)( u + v + w ) 9 Igualdades U problema muy iteresate y que sirve para resolver ecuacioes e lugar de iecuacioes es estudiar cuádo las desigualdades ateriores so igualdades E el caso de las desigualdades de medias, estas so igualdades sí, y sólo sí, todos los úmeros so iguales

3 Desigualdad triagular Otro tipo de desigualdades de gra iterés so las que se puede asociar co las logitudes a, b y c de los lados de u triágulo La desigualdad triagular suele tomar los siguietes aspectos equivaletes (se supoe que a, b y c represeta las logitudes de los lados de u triágulo): a + b > c, b + c > a, c + a > b a > b c, b > a c, c > a b 3 (a + b c)(b + c a)(c + a b) > 0 Por supuesto o toda tripleta (x, y, z) de úmero reales positivos de correspode co los lados de u triágulo, si embargo sí que a partir de toda tripleta de esas características se puede forma otra (a, b, c) que sí se correspode co los lados de u triágulo Basta co aplicar las fórmulas, a = y + z, b = z + x y c = x + y La desigualdad de Cauchy-Schwarz La desigualdad de Cauchy-Schwarz es ua de las desigualdades de mayor utilidad e matemáticas Dados a, a,, a y b, b,, b dos coleccioes de úmeros reales, etoces (a b + a b + + a b ) (a + a + + a )(b + b + + b ) Ua de las aplicacioes más imediatas de esta desigualdad es la desigualdad etre las medias aritméticas y cuadráticas para úmeros ( a + a + + a ) ( )(a + a + + a ) Desigualdades de ordeació Sea a, a,, a y b, b,, b dos coleccioes de úmeros reales y sea c,, c ua permutació de los úmeros b, b,, b Nos pregutamos cuáles de las posibles sumas del tipo S = a c + a c + a c so extremales, es decir, da la mayor y la meor de todas las posibles sumas Este problema o es difícil de resolver ya que se puede reducir a estudiarlo para =, ya que la diferecia a c + a c (a c + a c ) = (a a )(c c ) Se puede apreciar que, si a a, esta diferecia es la mayor posible si c c El resultado geeral dice que la suma a b + a b + + a b es la mayor posible si ambas coleccioes está ordeadas de modo creciete o decreciete, mietras que la suma es la meor posible si ua colecció se ha ordeado de modo creciete mietras que la otra se ha hecho de modo decreciete Este resultado es fácil de visualizar si supoes que puedes elegir etre billetes de 50, 0 y 0 euros y que puedes elegir 4, 3 y de cada tipo Obviamete la mayor catidad se obtedrá si elegimos 4 billetes de 50, 3 de 0 y de 0 Las siguietes desigualdades se puede obteer como ua aplicació de las desigualdades de ordeació: 3

4 a + b + c ab + bc + ca para cualesquiera úmeros reales a 3 + b 3 + c 3 a b + b c + c a 3abc para cualesquiera úmeros positivos Otra aplicació de las desigualdades de ordeació so las desigualdades de Chebyshev Sea a, a,, a y b, b,, b dos coleccioes de úmeros reales ordeadas de igual modo, o bie creciete o decrecietemete, etoces a b + a b + a b = a b + a b + a b a b + a b + a b a b + a b 3 + a b a b + a b + a b a b 3 + a b 4 + a b a b + a b + a b a b + a b + a b Sumado todas estas desigualdades, se obtiee (a b + a b + + a b ) (a + a + + a )(b + b + + b ), de dode se deduce imediatamete la primera desigualdad de Chebyshev para coleccioes de úmeros co igual orde: a + a + + a b + b + + b a b + a b + + a b Si se repite el mismo razoamieto pero partiedo de dos coleccioes de úmeros reales ordeadas ua decreciete y a la otra crecietemete, se llega a la desigualdad de Chebyshev para coleccioes de úmeros de orde cotrarios: a + a + + a b + b + + b a b + a b + + a b La desigualdad de Jese Esta desigualdad os permite dar ua desigualdad etre ua media aritmética y su image mediate ua fució covexa (es decir, de seguda derivada positiva) Sea a,, a úmeros reales y f ua fució covexa, etoces f( a + a + + a ) f(a ) + f(a ) + + f(a ) Esta desigualdad admite ua expresió más geeral Sea t, t,, t úmero etre 0 y y tales que t + t + + t =, etoces, si f es covexa, f(t a + t a + + t a ) t f(a ) + t f(a ) + + t f(a ) Si la fució f es cócava etoces se tiee la desigualdad cotraria Dos técicas muy prácticas: simetría y homogeeizació 4

5 Es bastate habitual que ua desigualdad dada sea equivalete a otra desigualdad que, al meos e apariecia, sea más simple No hay ua técica geeral que se pueda aplicar de modo uiversal para lograr este objetivo, si embargo sí hay ocasioes e que, si miramos muy atetamete uestra desigualdad, se puede aplicar ciertas técicas que ayude a simplificarla Esto ocurre cuado la desigualdad de partida tiee rasgos de simetría etre sus variables (es decir, la posició de las distitas variables o cambia la desigualdad) o bie de homogeeizació (todos los sumados so del mismo grado poliomial) Veamos alguos ejemplos: a + b ab es homogéea (todos los térmios so de grado ) y simétrica (si (a, b) es solució etoces (b, a) tambié lo es) ab + b 0 es homogéea pero o simétrica ((, 0) es solució pero (0, ) o lo es) Las simplificacioes que podemos hacer e estos casos so: si la ecuació es simétrica etoces podemos supoer que las variables está ordeadas de meor a mayor (a b c ); si la ecuació es homogéea etoces se puede multiplicar por u factor que haga el problema más simple Por ejemplo, probemos que a 3 + b 3 + c 3 + 3abc ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) es cierto para a, b y c positivos Bie, es fácil ver que la desigualdad es simétrica y homogéea Por tato podemos podemos supoer que a b c y que (multiplicado por /a 3 ) obteemos ua ueva ecuació dode a = e itroducimos las uevas variable x, y 0 tales que b = + x e y = + y, de este modo pasamos de ua desigualdad e tres icógitas a otra e dos icógitas A cotiuació sustituimos, simplificamos y procedemos como se idica: x 3 + y 3 + x + y x y + xy + xy x 3 + y 3 + x xy + y xy(x + y) 0 x 3 + y 3 + (x y) + xy xy(x + y) 0 (x + y)(x xy + y xy) + xy 0 (x + y + )(x y) + xy 0 Problemas propuestos Fáciles Dados a, b, c úmeros reales tales que a + b + c = etoces ab + bc + ca Dados a, b, c úmero positivos, muestra que a + b + c abc a + b + c 5

6 3 Probar que a + a + b + b (a + b ) + (a + b ) 4 Si < x < y < y < prueba que Problema fase local 004 x y x + y xy + xy 5 Sea a, b > 0 tales que a + b = Prueba que (a + a ) + (b + b ) 5 Itermedios Sea x, y, z tres úmeros positivos Es algua de las siguietes desigualdades cierta? a) Si x + y + z 3 etoces x + y + z 3 b) Si x + y + z 3 etoces x + y + z 3 Justifica tu respuesta si es egativa y da ua demostració si es positiva Problema fase local 005 Idicació: ua es positiva y otra egativa Para la positiva se puede razoar mediate ua desigualdad tipo Jese Prueba que para cualesquiera a, b co 0 < a, b < se tiee que ab + ab + ( a)( b) + ( a) ( b) Fase acioal 008 Idicació: Aplicar la desigualdad de medias geométricas-aritméticas para tres factores Difíciles Dados a, b, c úmeros positivos tales que a + b + c =, prueba que a a +ac b b +ba + c c +bc 3 Problema fase local 008 Idicació: aplicar desigualdad tipo Jese Sea a, b, c úmeros reales positivos tales que abc = Prueba que Problema fase acioal 008 a b c ( + ab ) + ( + bc ) + ( + ca ) Hallar todas las teras (x, y, z) de úmeros reales que resuelve la ecuació: 3x (5 y + 7 z ) + 5 y (7 z + 3 x ) + 7 z (3 x + 5 y ) = (3 x + 5 y + 7 z ) Problema fase local 008 Las solucioes a los problemas de olimpiadas se puede ecotrar e [] 6

7 Referecias [] Arthur Egel, Problem-solvig strategies, Spriger-Verlag 998 [] Págia web Olimpiada Matemática Española: csachez/olimmaihtm 7

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