Guía de estudio Fracciones parciales Unidad A: Clase 19 y 20

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Lorenzo Villanueva Revuelta
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1 Guía de estudio Fraccioes parciales Uidad A: Clase 19 y 0 Camilo Eresto Restrepo Estrada, Lia María Grajales Vaegas y Sergio Ivá Restrepo Ochoa Fraccioes parciales Ua fracció racioal es ua expresió de la forma p( x) / q( x ) dode p( x ) y q( x ) so poliomios de grados y m respectivamete, e la variable x. Alguos ejemplos de fraccioes racioales so los siguietes: x x 1 + 5x x + 5x + 7x 1 x + 5x + 6 E el primer ejemplo, el grado del poliomio del umerador es meor que el del deomiador y por esta razó se dice que la fracció es propia; mietras que, e el segudo, el grado del umerador es mayor que el del deomiador y por esta razó se dice que dicha fracció es impropia. E geeral, Ua fracció racioal e la cual el grado del umerador es meor que el grado del deomiador se llama ua fracció propia. Ua fracció racioal e la cual el grado del umerador es mayor o igual que el grado del deomiador se llama ua fracció impropia. Fracció parcial: Si ua fracció propia puede escribirse como la suma de fraccioes propias cuyos deomiadores tiee grado meor que el grado del deomiador de la fracció iicial, cada ua de estas fraccioes sumados se llama fracció parcial de la fracció dada. Por ejemplo, las fraccioes /( x + 3) y para la fracció propia (5x 7) /( x 3) 3 (7x x 7) /( x 3x 3x 9) pues + + so fraccioes parciales 1 Camilo Eresto Restrepo Estrada. Facultad de Ciecias Ecoómicas Uiversidad de Atioquia. Direcció electróica: milosos@gmail.com. Lia María Grajales Vaegas. Facultad de Ciecias Ecoómicas Uiversidad de Atioquia. Direcció electróica: liamaria54@gmail.com. Sergio Ivá Restrepo Ochoa. Facultad de Ciecias Ecoómicas Uiversidad de Atioquia. Direcció electróica: siro@ecoomicas.udea.edu.co. 106

2 7x + x + 7 7x + x + 7 5x x + 3x + 3x + 9 ( x + 3)( x + 3) x + 3 x + 3 El propósito de esta secció es mostrar las técicas para descompoer ua fracció e fraccioes parciales. Lo aterior se eucia e el siguiete teorema. Teorema Fudametal. Cualquier fracció racioal propia fraccioes parciales, como sigue: P( x) Q( x ) puede descompoerse e ua suma de a) Si Q( x ) es u producto de factores lieales distitos, es decir, si Q( x) ( a x + b )( a x + b ) ( a x + b ) si que se repita u factor, etoces 1 1 la descomposició e fraccioes parciales tiee la forma: P( x) 1 ( ) A + + A A Q x a x b a x b a x + b 1 1 dode A1, A,..., A so costates a determiar. b) Si Q( x ) tiee u factor lieal repetido veces, de la forma ( ax + b ), etoces la descomposició e fraccioes parciales de P( x) Q( x ) cotiee térmios de la forma A1 + A + ( + ) + + A ax b ax b ( ax + b ) dode A1, A,..., A so costates a determiar. c) Si Q( x ) tiee u factor cuadrático de la forma ax + bx + c, o repetido, que o se puede seguir factorizado, etoces la descomposició e fraccioes parciales de P( x) Q( x ) tedrá u térmio de la forma Ax + B ax + bx + c. dode A, B so costates a determiar. 107

3 d) Si Q( x ) tiee u factor cuadrático repetido veces, de la forma ( + + ), ax bx c y ax + bx + c, o se puede factorizar, etoces la descomposició e fraccioes parciales de P( x) Q( x ) tedrá los térmios A1 x + B1 A x + B A x + B ax + bx + c ( ax + bx + c) ( ax + bx + c ) dode A1, A,..., A, B1, B,..., B so costates a determiar. Ejemplo 1 7x 3 Descompoga e fraccioes parciales 3 x + x 3x Solució Primero factorizamos el deomiador como sigue: 3 x x x x x x x x x + 3 ( + 3) ( + 3)( 1) El deomiador tiee tres factores lieales distitos y por tato la descomposició e fraccioes parciales tiee la forma 7 x 3 A + B + C x x x x x x Para ecotrar las costates A, B y C procedemos de la siguiete forma: 7x 3 A B C A( x + 3)( x 1) + Bx( x 1) + Cx( x + 3) ( + 3)( 1) 3 x x x x x x x x x Ax Ax 3A Bx Bx Cx 3Cx x( x + 3)( x 1) ( + + ) + ( + 3 ) 3 A B C x A B C x A x( x + 3)( x 1) Para que la igualdad plateada e la ecuació aterior sea válida se requiere que A+ B + C 0 (1) A B+ 3C 7 () 3A 3 (3) Para resolver este sistema de ecuacioes procedemos así: 108

4 De (1) se obtiee B A C (4) De () se obtiee B A+ 3C 7 (5) Igualado (4) y (5) se sigue A C A+ 3C 7 4C 3A+ 7 3A + 7 C (6) 4 De (3) se obtiee A 1 Reemplazado A 1 e (6) se obtiee que C 1 y reemplazado A 1 y C 1 e (5) se tiee que B Por lo tato, la descomposició e fraccioes parciales es: Ejemplo 7x x x x x x x Obteer la descomposició e fraccioes parciales para la fracció. Solució x +1 3 x + x El deomiador se factoriza como x 3 + x x ( x + 1) y el factor x se repite dos veces e el deomiador, etoces la descomposició e fraccioes parciales tiee la forma x + 1 A B C x + x x x x + 1 Para ecotrar las costates A, B y C procedemos de la siguiete forma: x + 1 A B C Ax( x + 1) + B( x + 1) + Cx ( + 1) 3 x x x x x x x ( ) ( ) A + C x + A + B x + B x ( x + 1) 109

5 Para que la igualdad plateada e la ecuació aterior sea válida se requiere que A+ C 1 (1) A+ B 0 () B 1 (3) Reemplazado (3) e () se tiee que A 1 y reemplazado este valor e (1) se sigue que C Por lo tato, la descomposició e fraccioes parciales es: x x x x x x Ejemplo 3 Obteer la descomposició e fraccioes parciales para la fracció. 7x + x x + 3x + 3x + 9 Solució El primer paso es factorizar completamete el deomiador de la fracció iicial. La factorizació del deomiador es, 3 x + 3x + 3x + 9 x ( x + 3) + 3( x + 3) ( x + 3)( x + 3) Por lo tato, la fracció propia dada se puede reescribir como: 7x + x + 7 7x + x x + 3x + 3x + 9 ( x + 3)( x + 3) Uo de los factores del deomiador es lieal y el otro es cuadrático irreducible; por lo tato, la descomposició e fraccioes parciales es: 7x + x + 7 A Bx + C + ( x + 3)( x + 3) x + 3 x + 3 Para ecotrar las costates A, B y C procedemos de la siguiete forma: 110

6 7x + x + 7 A Bx + C A( x + 3) + ( Bx + C)( x + 3) + ( x 3)( x 3) x 3 x 3 ( x 3)( x 3) ( A+ B) x + (3 B + C) x + (3A + 3 C) ( x + 3)( x + 3) Para que la igualdad plateada e la ecuació aterior sea válida se requiere que A+ B 7 (1) 3B + C () 3A+ 3C 7 (3) Para resolver el sistema de ecuacioes aterior procedemos así: De (1) se obtiee B 7 A (4) De (3) se obtiee C 9 A (5) Reemplazado (4) y (5) e () obteemos 3(7 A) + (9 A) 30 4A A Reemplazado A e (4) y (5) se obtiee que B 7 5 C 9 7 Por lo tato, la descomposició e fraccioes parciales es: 7x + x + 7 5x ( x + 3)( x + 3) x + 3 x + 3 Ejemplo 4 Si ua fracció propia se puede descompoer como ( ) ( )( ) f x A + B x a x b x a x b 111

7 Etoces, verifique que: f ( a) f ( b) A B a b b a Solució ( ) ( )( ) ( ) + ( ) ( )( ) f x A x b B x a f x A x b + B x a x a x b x a x b f ( a) Si x a, f ( a ) A ( a b ) A a b f ( b) Si x b, f ( b) B( b a) B b a ( ) ( ) ( ) Referecias Purcell, Edwi. Dale, Varberg y Steve E. Rigdo. Cálculo. Pearso - Pretice-Hall. Novea edició, 007. Stewart, James. Cálculo Coceptos y cotextos. Editorial Thomso. Tercera edició, 006. Díez M, Luis H. Matemáticas Operativas. Primer año de uiversidad, preuiversitarios y semiileros, Lia Díez editora,

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