UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER. Matemática Básica APUNTES DOCENTES Departamento de Ciencias Básicas

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1 Matemática Básica APUNTES DOCENTES Departameto de Ciecias Básicas 11

2 UNIDAD 1 CONJUNTOS NUMÈRICOS LOS NÚMEROS REALES Recordemos las clases de úmeros que forma el cojuto de Los Números Reales(R): Los Números Naturales N= {1,,, } Los Números Eteros Z= {,-,-,-1, 0, 1,,, }, formados por los Naturales juto co los úmeros egativos y el cero. Los Números racioales Q, defiidos como el cociete etre dos eteros: { Q / Ejemplos:, ( todo etero es racioal) Todo úmero racioal se puede epresar como u decimal, dividiedo el umerador etre el deomiador. El decimal obteido que puede ser: decimal de cifras fiitas como por ejemplo 0.7, o u decimal de cifras ifiitas periódicas por ejemplo Los Números irracioales Q, su epresió decimal es ifiita pero o periódica, por tato o es posible es posible represetarlos como cociete de eteros. Ejemplos:.... La uió del cojuto de los úmeros racioales co el cojuto de los úmeros irracioales, recibe el ombre de cojuto de los úmeros reales y se deota co el símbolo R, R = Q U Q El siguiete gráfico, preseta u esquema de la coformació de los úmeros reales. REALES (R) Departameto de Ciecias Básicas II- 011

3 LA RECTA NUMÉRICA Se puede establecer ua relació etre los úmeros reales y la recta umérica. A cada úmero real le correspode u úico puto de la recta, y cada puto de la recta represeta u úico úmero real. A esta recta la llamamos Recta Real. Escogemos u puto de referecia O arbitrario, al que llamamos orige, el cual correspode al úmero real cero. Dada ua uidad de medició, cada úmero positivo se represeta por u puto e la recta a ua distacia uidades a la derecha del orige, el opuesto de, es decir se represeta por u puto a uidades a la izquierda del orige. Los restates úmeros reales se represeta e esta recta, usado su represetació decimal, Ejemplo represetemos los úmeros 6. ;7. El cojuto de los úmeros reales está ordeado, decir que a<b, sigifica que b-a >0 (es positivo), geométricamete sigifica que a está a la izquierda de b. VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS REALES El valor absoluto de u úmero real a, deotado como, es la distacia sobre la recta real desde a hasta 0, por tato siempre 0. Ejemplos: OPERACIONES CON REALES E los Números Reales se puede defiir dos operacioes biarias + y, las cuales l satisface las siguietes propiedades: Departameto de Ciecias Básicas II- 011

4 - Clausurativa Si a y b está e R etoces a+b y a b so úmeros determiados e forma úica que está tambié e R. - Comutativa (Suma y Multiplicació) Si a y b está e R etoces a+b = b+a y a b = b a. - Asociativa. (Suma y Multiplicació) Si a, b y c está e R etoces a+(b+c) = (a+b)+c y a (b c) = (a b) c - Distributiva. Si a, b y c está e R etoces a (b+c) = a b + a c - Modulativa R cotiee dos úmeros distitos 0 y 1 tales que a+0 = a, a 1 = a para a que perteece a los reales. - Ivertiva Si a está e R etoces eiste u (-a) e R tal que a + (-a) = 0 Si a está e R y a 0 etoces eiste u elemeto 1/a e R tal que a (1/a) = 1 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS ADICIÓN - Si se tiee dos úmeros de sigos iguales, etoces se suma sus valores absolutos y se deja el mismo sigo. - Si se tiee dos úmeros de sigos diferetes, etoces se resta sus valores absolutos y se deja el sigo del úmero de mayor valor absoluto aplicado la propiedad distributiva, agrupo úmeros del mismo sigo (0++) + (-1-) = 7 + (- 0)= - MULTIPLICACIÓN Y DIVISÓN Multiplico o dividió el valor absoluto de los úmeros el sigo del resultado lo asigo de acuerdo a la ley de los sigos para el producto: Ejemplos: (-)(-)()(-)= -10 (-16) (- )= (8 - )()= (- )()=-1 Departameto de Ciecias Básicas II- 011

5 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES ADICIÓN Para sumar o restar fraccioes: - Si las fraccioes tiee el mismo deomiador, se suma o resta los umeradores y se poe el mismo deomiador. Ejemplos: Si tiee distitos deomiadores, se procede de la siguiete maera: - Se ecuetra el míimo comú múltiplo de los deomiadores, este será el comú deomiador. - Se divide el comú deomiador etre el primer deomiador y el resultado se multiplica por el umerador - Se repite la operació para cada uo de las fraccioes - Se suma los resultados obteidos y la fracció obteida se simplifica (si es posible) MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN E IGUALDAD OPERACIÓN EJEMPLO DESCRIPCIÓN 1. a b c d ac bd. a c a d b d b c a b c d. Si a b a d bc ( ) ( ( 6 ) ( ) ( ) ) X X6 X X 6 6 Se multiplica los umeradores etre si y los deomiadores etre sí, se aplica la ley de los sigos para el producto. Se ivierte el divisor y se multiplica las fraccioes. Se multiplica etremos y se multiplica medios. E ambos casos se aplica la ley de los sigos y se simplifica el resultado. c d etoces d bc etoces Si dos fraccioes so iguales se multiplica e forma cruzada. Departameto de Ciecias Básicas II- 011

6 OPERACIONES CON NÚMEROS IRRACIONALES - La suma de radicales semejates (igual ídice, igual subradical) es otro radical semejate a los dados, cuyo coeficiete es igual a la suma de los coeficietes de los radicales dados. b a c a ( b c) a Ejemplos: 6 ( 6) 9 Si los radicales o so semejates, la suma se deja idicada. 7 - El producto de radicales, co el mismo ídice, es igual a otro radical cuyo coeficiete y radicado so iguales, respectivamete, a los productos de los coeficietes y radicados de los factores, así teemos: b a d c bd ac ( ) ( ) ( )( ) Si los radicales so de distito ídice, primero hay que reducirlos a ídice comú El cociete de dos radicales co el mismo ídice, es igual a otro radical, cuyo coeficiete y radicado so iguales, respectivamete, al cociete de los coeficietes y radicados de los radicales dividedo y divisor, quedado: b d a c b d a c POTENCIACION DE REALES Defiició: Sea a u úmero real, etoces el producto de a por sí mismo veces se escribe: a.a.a.a..a = a dode a es la base y es el epoete. Ejemplos: ( ) ( )( )( ) 7 ( ) 9 PROPIEDADES Departameto de Ciecias Básicas II- 011

7 0 1. a 1 (a 0). a 1 a. a a a m m a a m m. ( abc) a. a 6. b 7. a a a m a a b 8. m b c a b b a b a 1 a a 0 y es par etoces a 9. S i S i a 0 y es impar etoces a 0 Ejemplos: Aplicar las propiedades de la poteciació y resolver ( ) ( X ) ( ) ;1 ( ) 1 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ;1 ( ) 1 ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( y ); ( y ) ( y ); ( y ) ( y )1 ( y )1 RADICACION DE REALES Defiició: Se llama raíz -ésima de u úmero a, y se escribe a, a u úmero b que elevado a dé a. Dode: a b si b a se llama radical a subradical ídice de la raíz b raíz Ejemplos: 196 1, porque1 8, porque 8 7, porque( ) Departameto de Ciecias Básicas II- 011

8 PROPIEDADES DE LOS RADICALES 1. Eistecia de Radicales - Si a es positivo, etoces a eiste, cualquiera que sea., 7, 0,8 eiste - Si a es egativo, sólo eiste sus raíces de ídice impar. 6 8 eiste 0,8 o eiste. 1/ m a a a a m Ejemplos: 1 1 a a a. ab a b Ejemplos: y y. a a Ejemplos: b b 8 8 p p a a. ( ) ( ) 6. m Ejemplos: m a a m m b a b a m ( ) ( ) ( ) ( ) 8 1 Departameto de Ciecias Básicas II- 011

9 8. Racioalizació: Permite elimiar radicales del deomiador de ua fracció. Cosiste e multiplicar el umerador y el deomiador por ua potecia de la raíz del deomiador tal que quede igual el ídice y el epoete de la raíz y de eta maera por propiedad elimiar el radical E caso que e el deomiador hay u biomio, multiplicamos umerador y deomiador por su epresió cojugada y aplicamos la propiedad (a+b)(a-b) = (a) -(b) 1 1 ORDEN PARA REALIZAR L AS OPERACIONES CON REALES Veamos el orde jerárquico de las operacioes Reglas Importates para Resolver Operacioes Aritméticas: 1. Resolver todo lo que esté detro de símbolos de agrupació.. Evaluar las epresioes epoeciales.. Hacer todas las multiplicacioes y divisioes e orde de izquierda a derecha.. Hacer todas las sumas y restas e orde de izquierda a derecha. Ejemplos: 1) + 7 = + = 9 ) 7 (8-6) = 7 = 7 8 = 7 0 = 17 ) 1 (1) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS USANDO LA TEORÍA DE GEORGE POLYA No hay reglas difíciles i rápidas que asegure el éito al resolver problemas. Pero es posible esbozar uos pasos geerales e el proceso de la resolució de problemas y dar pricipios que so útiles para resolver ciertos problemas. Esta teoría fue plateada por el matemático George Polya, quie basó su teoría e l profudo coocimieto de la psicología cogitivo del ser humao. E su libro How to Solve It, plateo los siguietes pasos a la hora de solucioar u problema. Vamos a coocerlos a partir de u ejemplo práctico: Se tiee u terreo rectagular de dimesioes. Largo 0 y de acho 0. El terreo se va a cubrir co pasto japoés, el cual viee porcioado e rectágulos de dimesioes de largo y acho m. Departameto de Ciecias Básicas II- 011

10 Cuátas porcioes de pasto será ecesarias para cubrir el terreo? I.ENTIENDO EL PROBLEMA Respodamos las siguietes pregutas: - Coozco el sigificado de todas las palabras? - Cuáles so las catidades dadas (costates)? dimesioes del terreo rectagular : Largo 0 y de acho 0 Dimesioes de las porcioes rectagulares de pasto: largo y acho m. - Cuáles so las codicioes del problema? El terreo se cubre co las porcioes de pasto - Cuál es la preguta? Cuátas porcioes (superficies) ecesitamos para cubrir la superficie del terreo II. HAGAMOS UN ESQUEMA 0 0 III.TRAZAMOS Y EJECUTAMOS UN PLAN Cómo puedo relacioar la iformació dad co la preguta? Debo repartir la superficie del terreo etre la superficie de cada porció, y para eso ecesito hallar el área de cada ua. El área de u rectágulo es igual al producto de su largo por su acho. Por tato área del terreo: 0 0 = m Área de cada porció: m.= 6m Como repartir sigifica dividir 0 m / 6m = 1 1 = Respuesta. Se ecesita 7 porcioes rectagulares de pasto para cubrir el terreo. Departameto de Ciecias Básicas II- 011

11 UNIDAD EXPRESIONES ALGEBRAÌCAS E álgebra se emplea letras para represetar úmeros. Mediate letras y símbolos matemáticos las proposicioes verbales se reduce a proposicioes algebraicas muy cortas. Este proceso es la base para ua de las competecias básicas que todo estudiate debe desarrollar como es la modelació matemática. Epresioes algebraicas: Es ua combiació de úmeros y letras relacioados co operacioes de suma, resta, multiplicació, divisió, poteciació, radicació ; 7 ; ; y a b b y c b Dos o más epresioes algebraicas uidas co u sigo + ó recibe el ombre de térmios. Dos o más epresioes algebraicas uidas por ua multiplicació recibe el ombre de factores. ab ( a b)( a ab) Primer térmio Tres factores segudo térmio dos factores Todo térmio preseta las siguietes partes: Coeficiete: El que precede a la parte literal. Parte Literal: Está represetada por ua o varias letras. Epoete: Idica cuatas veces se toma como factor la parte literal. Parte literal Epoete Coeficiete De acuerdo al úmero de térmios las epresioes algebraicas puede ser: MONOMIO: tiee u térmio. Ejemplo y z ; BINOMIO: tiee dos térmios. Ejemplo 7 y y ; p q TRINOMIO: tiee tres térmios. Ejemplo POLINOMIO: tiee más de tres térmios. Ejemplo 1 Grado de u térmio: Es la suma de los epoetes del factor literal Departameto de Ciecias Básicas II- 011

12 E el térmio tiee grado (por el epoete de ) E el térmio y tiee grado ( +, la suma de los epoetes) Grado de ua epresió: Es el grado mayor de sus distitos térmios. E la epresió + y tiee grado (por el grado del segudo termio) E el térmio y b y z 7 tiee grado 1 (por el grado del segudo térmio) Térmios semejates: Dos térmios so semejates si tiee el mismo factor literal. Ejemplos: y so semejates, ½ y ; 6 y ; y ; y so térmios semejates Reducció de térmios semejates. Para reducir térmios semejates se suma los coeficietes de los térmios semejates y a cotiuació se escribe la parte literal comú. Reduciedo: y y y 6y y 1 y 1 y y 1 Se llama térmio idepediete a aquel que o cotiee variable. E el ejemplo aterior idepediete 1 es el térmio Poliomio ordeado: U poliomio está ordeado co respecto a las potecias crecietes de ua de sus letras cuado ésta figura e cada térmio co u epoete mayor o igual que e el aterior. el poliomio +, está ordeado co respecto a la variable OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAÍCAS - Suma y Resta Agrupamos los térmios semejates y operamos co ellos: Sea 7 y A B determiar: A B A B 6 6 Elimiamos el parétesis, teiedo e cueta que cambia los sigos que está detro del parétesis que está precedido por el sigo egativo A B 6 Agrupamos los térmios semejates y realizamos las operacioes correspodietes: 1 Departameto de Ciecias Básicas II- 011

13 1 1 7 A B A B - Multiplicació - Para multiplicar moomios, multiplicamos los coeficietes de los térmios, co las variables comues aplicamos el producto de potecias de igual base, las o comues se deja igual. - Para multiplica moomios por poliomios o poliomios etre sí, aplicamos la propiedad distributiva: (bc) b + c ( + b)(c + d) c + d + bc + bd Ejemplos: moomios por moomios moomios por poliomios poliomios por poliomios ( -a b ) ( 1ab )= 7 a b ( a a b + b )= 8 a 6 b 6 a b a 7b 1 a 7 b 7 a b + a b 6a 1ab 9ab + 1b = 6a ab +1b ( 6 m - p - ) ( m -1 p )= 0 m 6 p m a m a1 1 a 7a m m m a + + 8= 8 1 a b ab a b ( a + b y c z ) ( y )= a y by + cyz m m 8 m m. Divisió - Para dividir dos térmios algebraicos, dividimos o simplificamos los coeficietes, co las variables comues aplicamos el cociete de potecias de igual base y las o comues se deja igual ; 9 - Para dividir poliomios seguimos los siguiete pasos. Departameto de Ciecias Básicas II- 011

14 Departameto de Ciecias Básicas II Se ordea los dos poliomios tomado e cueta los epoetes de la variable () e orde decreciete y completado co coeficiete cero (0) la potecia faltate Se divide el primer térmio del poliomio dividedo etre el primer térmio del divisor Para efectuar esto se divide el coeficiete del dividedo etre el del divisor y co la variable se aplica la regla de potecia de u cociete de igual base Este es el primer térmio del cociete Se multiplica el primer térmio del cociete por todos los térmios del divisor, a estos productos se les cambia el sigo y se ordea debajo del dividedo segú el epoete de la variable Estos productos se resta del dividedo Se repite todo el procedimieto cosiderado que ahora el primer térmio del uevo dividedo es Cotiuamos ahora dividiedo los demás térmios El cociete de la divisió es : 1 8

15 Y el residuo: 7 dividiedo por lo que la divisió es ieacta) (como el grado de este residuo es iferior al del divisor, o se puede cotiuar La respuesta se epresa como ;:7 ;:1 VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Hallar el valor umérico de ua epresió algebraica sigifica asigar u valor umérico a cada variable de los térmios y resolver las operacioes idicadas e la epresió para determiar su valor fial. Veamos u ejemplo: Hallar el valor umérico de la epresió: y 8y 9y cosiderado = ; y = y 8y 9y 1 = ( 1) ( 1) = Departameto de Ciecias Básicas II- 011

16 PRODUCTOS NOTABLES UNIDAD PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES Ciertos tipos de productos se preseta co frecuecia e el cálculo algebraico por tal motivo es coveiete memorizar ciertas reglas para simplificar y agilizar la obteció del resultado. Estos productos recibe el ombre de productos otables. 1. Cuadrado de u Biomio El cuadrado de u biomio es igual al cuadrado del primer térmio más el doble del producto del primer térmio por el segudo más el cuadrado del segudo térmio ( a b) a ab b p b p ( p)( b) b p pb b. Producto de la suma por la diferecia de dos catidades El producto de ua suma de dos térmios por su diferecia es igual al cuadrado del primer térmio meos el cuadrado del segudo ( a b)( a b) a b Ejemplos 10 8 (p 6 q )( p 6 q ) ( p ) (6 q ) p 6q. Cubo de u biomio El cubo de u biomio es igual al cubo del primer térmio más (o meos) el triple del producto del cuadrado del primer térmio por el segudo más el triple del producto del primer térmio por el cuadrado del segudo más(o meos) el cubo del segudo térmio ( a b) a a b ab b Ejemplos: a b a ( a b) ( a b) ( a ) ( a b) a ( a ) = 1a b a b 1a b 7a Multiplicació de Biomios co u Térmio Comú Cuadrado del primer térmio, más la suma de los térmios distitos multiplicada por el térmio comú y más el producto de los térmios distitos a ba c a b ca bc () 6, Ejemplos: Departameto de Ciecias Básicas II- 011

17 COCIENTES NOTABLES So aquellos cocietes eactos que si efectuar la operació de divisió, puede ser escritos por simple ispecció. Primer caso: ( + ) ( + ) ;1 ; + ; + ;1 se cumple para impar ( + y ) ( + y) = - y + y -y +y Segudo caso: ( ) ( ) ;1 + ; + ; + ;1 se cumple para par o impar ( 6 - y 6 ) ( - y) = + y + y + y +y +y c. Tercer caso: ( ) ( + ) ;1 ; + ; + ;1 se cumple para par ( - y ) ( + y) = - y + y -y Departameto de Ciecias Básicas II- 011

18 I. FACTORIZACION UNIDAD FACTORIZACIÒN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Aplicamos la propiedad distributiva para epadir las epresioes algebraicas. Factorizar es el proceso cotrario que permite escribir la epresió como producto de epresioes más simples. CASOS DE FACTORIZACIÓN 1. FACTOR COMUN 1.1 Factor comú moomio: - Determiamos u factor comú de los térmios ( m.c.m. de los coeficietes y variables comues co su meor epoete) - Dividimos cada térmio etre el factor comú y co los resultados formamos el segudo factor. Ejemplos: y z = 6( + y z) a 1ab 10ac = a(a b c) 6 y 0y + 1 y = 6y( y + y) 1. Factor comú poliomio: Es el poliomio comú que aparece e cada térmio de la epresió. Ejemplos: ( y) + ( y) + 7( y), tiee e comú el biomio (-y) Por tato ( y) + ( y) + 7( y) = ( y) ( + +7) 1. Factor comú por agrupació de térmios: E este caso de factorizació hacemos uso de los dos métodos ateriores. y + y 9y 1y : Primero debemos agruparlo y factorizar los térmios que agrupamos: seria así: y 1y = y ( y) y 9y = y ( y) Y por último si uimos los dos factores comues moomios quedaría así: y ( y) +y ( y): Después se aplica el factor comú poliomio. Etoces el resultado será el siguiete: ( y) (y +y) Departameto de Ciecias Básicas II- 011

19 . FACTORIZACION DE TRINOMIOS.1 Triomio cuadrado perfecto Para que u triomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer térmio debe teer raíz cuadrada y el segudo térmio debe ser el doble producto de las bases de los dichos térmios. Para Factorizar tomamos las raíces cuadradas del primer y tercer térmios separadas por el sigo del segudo térmio, elevamos al cuadrado. Factorizar 9 0 Halla la raíz pricipal del primer térmio 9 = Halla la raíz pricipal del tercer térmio = Factorizació: ( ). Triomio cuadrado perfecto por adició o sustracció: E este caso se iteta trasformar ua epresió (biomio o triomio), e otra igual e la que se pueda aplicar triomio cuadrado perfecto. m 10m 9 Resolviédolo queda: Aplicamos diferecia de cuadrados: m m 10m 9 m m 6m 9 m m m m m m m. Triomio de la forma: b c El triomio de la forma siguiete proceso: b c se puede descompoer e dos factores biomiales mediate el Ejemplo 1: Descompoer 6 Hallar dos factores que de el primer térmio Hallar los divisores del tercer térmio, puede ser 1 y es ó -1 y - seleccioamos aquellos cuya suma Departameto de Ciecias Básicas II- 011

20 Ejemplo. y 1y Factorizar Hallar dos factores del primer térmio, o sea : Hallar los divisores de 1y, estos puede ser: 6y y ó 6y y y y ó y y 1y y ó 1y y Pero la suma debe ser +, luego servirá 6y y y, es decir: y 1y 6y y. Triomio de la forma a b c Factorizar 11 El primer térmio se descompoe e dos factores Se busca los divisores del tercer térmio 1 ó - -1 Por lo tato, FACTORIZACION DE BINOMIOS.1 Diferecia de dos cuadrados: b ( + b)( b) Factorizar 9 16y Raíz cuadrada del primer térmio Y raíz cuadrada del segudo térmio 9 16y Luego la factorizació de 9 16y y. Cubo perfecto de u biomio: Factorizar a a a 1 Todos los sigos de los térmios so positivos a a : Raíz cubica del primer térmio del cuatriomio. 1 1: Raíz cubica del cuarto térmio del cuatriomio. Departameto de Ciecias Básicas II- 011

21 1 a a Triplo del cuadrado de la raíz cubica del primer térmio por la raíz cubica del cuarto: 1 Igual al segudo térmio del cuatriomio. a a Triplo de la raíz cubica del primer térmio del cuatriomio por el cuadrado de la raíz cubica del cuarto térmio: igual al tercer térmio del cuatriomio. Por lo tato: a a a 1 Desarrollo de u cubo perfecto de biomios. a a a 1 a 1. Suma o diferecia de cubos perfectos..1 Diferecia de cubos: a b a ba ab b 8.. Suma de cubos: a b a ba ab b 7a 1 a 19a a 1. Divisió sitética o regla de Ruffii E alguos casos es coveiete factorizar los poliomios mediate divisioes sitéticas (regla de Ruffii). Esta regla se aplica e poliomios cuyos factores so de la forma ( ± a) Esta regla os dice que u poliomio tiee por factor ( ± a) si al reemplazar el valor por a e el poliomio, el resultado es cero. El valor de a de los posibles factores de la epresió, es u divisor del térmio idepediete del poliomio El posible valor de a deber ser divisor del térmio idepediete es este caso 16, es decir 1,,,,8,16. Cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la epresió. Para dividir e forma sitética, tomamos los coeficietes del poliomio y dividimos por los divisores de 16. Probamos co : Si , Sus coeficietes e orde so: NO 1. Bajas el primer cociete y multiplicas por el divisor. Ubicas bajo el do.cociete para sumar o restar segú sea el caso Departameto de Ciecias Básicas II- 011

22 SI Coeficietes resultates ( + -7+) (+) Volvemos a dividir: SI. Multiplicas por el divisor y ubicas bajo el er.coeficiete y asi sucesivamete hasta termiar todos los coeficietes. Compruebas que la operació co el ultimo coeficiete te de cero caso cotrario busca otro divisor y vuelve a itetar. Si obtiees cero etoces ese divisor es el valor de la variable y para que sea cero el factor será co el sigo cotrario E uestro caso os salió para - etoces el factor es (+) ( +-) (-1) (+) por tato la factorizació total es (+) (-1) (-1) (+). El poliomio se factoriza etoces dismiuyedo u grado al poliomio iicial tomado los coeficietes resultates. II. FRACCIONES ALGEBRAICAS Ua fracció algebraica es el cociete idicado de dos epresioes algebraicas, es decir de la forma co q() 0. p ( ) q ( ) Ejemplos: 8 ( a) ( ) ( b) y ( c) ( d) (, ) 7 8 Simplificació de fraccioes algebraicas Simplificar ua fracció algebraica es covertirla e ua fracció equivalete reducida a su míima epresió, Ua fracció después de simplificada se dice que es irreducible. - Para simplificar ua fracció cuyos térmios sea moomios se divide el umerador y el deomiador por sus factores comues hasta lograr que la fracció sea irreducible. - Para simplificar ua fracció cuyos térmios sea poliomios se descompoe e factores(se Factoriza) Departameto de Ciecias Básicas II- 011

23 los poliomios y se suprime los factores comues e el umerador y el deomiador hasta lograr que la fracció sea irreducible. Ejemplos Simplificar las siguietes fraccioes algebraicas: (a) (b) a b 8a ab 8a 1ab 7b ab 7b Observa que podemos factorizar el umerador y deomiador de la fracció dada, ya que: 7 1 ( )( ) 16 ( )( ) Luego: 7 1 ( )( ) 16 ( )( ) Míimo comú múltiplo de epresioes algebraicas La operació de reducir las fraccioes algebraicas al míimo comú deomiador cosiste e covertirlas e fraccioes equivaletes que tega el mismo deomiador y que éste sea el meor posible. Para ecotrar el m.c.m. debemos, e primer lugar, factorizar cada uo de los poliomios e sus factores primos y luego obteer el producto de los distitos factores primos, eligiedo e cada caso el de mayor epoete Reducir al míimo comú deomiador,,, Al factorizar los deomiadores obteemos: ( )( ), ( ), ( )( 1), ( ) ; m.c.m. = ( )( ) ( 1) OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS E las operacioes co fraccioes algebraicas se aplica las mismas reglas que se utiliza e aritmética para el cálculo de fraccioes uméricas. 1. Suma y Resta - Se simplifica las fraccioes, si es posible. - Se reduce las fraccioes dadas al míimo comú deomiador -Se divide el deomiador comú (m.c.m) etre cada uo de los deomiadores y cada cociete lo multiplicamos por su respectivo umerador. -Se suma o resta los umeradores que resulte y se divide este resultado por el deomiador comú. Departameto de Ciecias Básicas II- 011

24 - Se reduce térmios semejates e el umerador, si los hubiere. - Se simplifica la fracció que resulte, si es posible. a 9b 7a b 8a b (a 9 b) (7a b) (8a b) a 6b a b a b a b a b a b Luego, factorizado el umerador y simplificado, se obtiee: (a b) (a b) Etoces: a 9 b 7 a b 8 a b a b a b a b. Multiplicació - Se descompoe e factores y se simplifica las fraccioes, si es posible. - Se halla el producto de las epresioes que quede e los umeradores y el producto resultate se divide por el producto de las epresioes que quede e los deomiadores. m m m m m m 9 m m 8m 7m 7 Factorizamos y simplifiquemos ( m )( m ) m( m 1) 7( m ) ( m )( m ) m( m m 8) 7( m 1) ( m )( m ) m( m 1)( m 1) 7( m ) 1 ( m )( m ) m( m )( m ) 7( m 1)( m 1) m Etoces: m m m m m m m m m m m Divisió - Se multiplica el dividedo por el divisor ivertido - Se descompoe e factores y se simplifica las fraccioes, si es posible. y 6y 1y y 1 y 1y 1 y 1y 6y 1y Factorizamos y simplifiquemos Departameto de Ciecias Básicas II- 011

25 ( y) 1( y) 1 ( y) 6 y( y) y Etoces: y 6y 1y 1 1y 1 y y. Operacioes combiadas Para resolver ua epresió algebraica co distitas operacioes se realiza e primer lugar aquellas idicadas detro de los parétesis. Si o los hay, las multiplicacioes y divisioes tiee prioridad. y 6 6y y y y y y y Calculemos el cociete del parétesis y luego multipliquemos. ( y) ( y) y ( y) 6( y) y y Factoricemos y simplifiquemos ( y) ( y) ( y)( y) y ( y) 6( y) y y y y Etoces: y 6 6y y y y y y y y y y Departameto de Ciecias Básicas II- 011

26 I. ECUACIONES UNIDAD ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Ecuació: Es ua igualdad e la que hay ua o varias catidades descoocidas llamadas icógitas y que solo se verifica o es verdadera para determiados valores de las icógitas. Las icógitas se represeta co las últimas letras del alfabeto:, y, z, u, v. La ecuació o es ua idetidad. Miembros: Se llama primer miembro de ua ecuació o de ua idetidad a la epresió que está a la izquierda del sigo de igualdad, y segudo miembro, a la epresió que está a la derecha. Térmios: So cada ua de las catidades que está coectadas co otra por el sigo + ó -, o la catidad que está sola e u miembro. Raíces o Solucioes: So los valores de las icógitas que verifica o satisface la ecuació, es decir, que sustituidos e el lugar de las icógitas, covierte la ecuació e ua idetidad. Las ecuacioes de primer grado tiee ua sola raíz. Resolver ua ecuació es ecotrar su cojuto solució. Verificació: Es la prueba de que el valor obteido para la icógita es correcto. La verificació se realiza sustituyedo la icógita de la ecuació por el valor obteido, y si este es correcto, la epresió se covertirá e ua idetidad. TIPOS DE ECUACIONES Las ecuacioes co ua icógita suele teer u úmero fiito de solucioes, mietras que e las ecuacioes co varias icógitas ecotramos ifiitas solucioes, las que suele ser estudiadas cuado forma sistemas de ecuacioes. Podemos ecotrar distitos tipos de ecuacioes co ua icógita: poliómicas, racioales, epoeciales, trigoométricas, logarítmicas, etre otras. Las ecuacioes poliómicas so de la forma P ( ) 0, dode P ( ) es u poliomio e, que al traspoer térmios y simplificar adopta esa epresió. A cotiuació estudiaremos las ecuacioes poliómicas de primer y segudo grado. 1. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO Cualquier ecuació que se puede escribir e la forma: a b0, dode a y b so costates reales, co a 0, y es ua variable, se deomia de primer grado co ua variable. La gráfica de ua ecuació de primer grado es ua Líea Recta Pasos para resolver ecuacioes de primer grado 1. Quitar parétesis, si los hay.. Quitar deomiadores, si los hay. (Hallar m.c.m) Departameto de Ciecias Básicas II- 011

27 . Pasar los térmios que cotiee la icógita a u miembro y los úmeros al otro miembro.. Simplificar cada miembro.. Despejar la icógita. Se obtiee, así, la solució. 6. Comprobació: Sustituir la solució e cada miembro de la ecuació iicial para comprobar que coicide los resultados. ( ) Resolver Se reduce a comú deomiador, calculado el míimo comú múltiplo de los deomiadores Se suprime los parétesis aplicado la propiedad distributiva: Se traspoe térmios (los térmios e a u miembro y los térmios idepedietes al otro) Se reduce térmios semejates: 0 Se despeja la icógita: La solució es: 8 Comprobació: (8) (8 ) ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Ua ecuació de segudo co ua variable es cualquier ecuació que pueda escribirse e la forma: a b c 0, dode a y b so costates reales y a 0 Ecuacioes completas: Cuado b 0 y c 0, se resuelve por factorizació o aplicado la fórmula cuadrática: La epresió de éste. Si b b b ac, se llama discrimiate de la ecuació. El úmero de solucioes depede del sigo ac 0 la raíz es u úmero real y se obtiee, por tato, dos raíces reales distitas, 1 Si doble, 1 = Si b ac imagiarias b b ac a ac 0 la raíz es cero, luego, obteemos dos raíces iguales, es decir, diremos que la raíz es 0 la raíz es u úmero imagiario o complejo (o real), por lo tato, se obtiee dos raíces Departameto de Ciecias Básicas II- 011

28 Ecuacioes icompletas: Si b = 0 ó c = 0. Se puede resolver de forma secilla si utilizar la fórmula aterior. c Si b = 0, se despeja la variable y tomado raíces cuadradas si es posible a c 0 a 0 Si c = 0, se saca factor comú la icógita a b 0 a b0 b a b 0 a La gráfica de la ecuació cuadrática es ua curva llamada parábola Reglas para resolver ecuacioes de º grado 1. Si la ecuació de segudo grado es completa, aplicar la fórmula o por factorizació si es posible.. Si la ecuació de segudo grado es icompleta, resolverla si la fórmula, sacado factor comú o despejado.. Si tiee ua forma complicada, arréglala: quita deomiadores, suprime parétesis, agrupa térmios y pásalos todos al primer miembro,...sólo cuado esté simplificada, aplica uo de los métodos ateriores.. Comprueba las solucioes. Y si la ecuació proviee de u problema co euciado, haz la comprobació sobre el euciado, pues es posible que algua de las solucioes carezca de setido real Resolver: Multiplicamos los dos miembros de la ecuació por el m.c.m = Primer método: Aplicado la formula cuadrática Las solucioes so: 1 y Segudo método: Factorizado 1 ( 1) (6)( ) (6) Departameto de Ciecias Básicas II- 011

29 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES Platear ua ecuació a partir de u problema es traducir al leguaje algebraico las codicioes que liga lo que se sabe co lo que se desea coocer. Coviee proceder de forma orgaizada, por lo que es útil dar estos pasos: 1. Idetificar los datos coocidos, lo que deseamos coocer y dar ombre a la icógita.. Relacioar mediate ua igualdad (ecuació) lo coocido co lo descoocido.. Resolver la ecuació. Comprobar e iterpretar la solució ajustádola al euciado. E problemas verbales, aparece u úmero de declaracioes que icluye frases tales como algua catidad mayor que o meor que cierto valor multiplicado, digamos, dos veces o por la mitad de otra catidad. A cotiuació damos uos ejemplos de cómo cambiar tales epresioes a térmios algebraicos. Epresió verbal Epresió algebraica, y ( 1 ( 7 ( ) ( 1) ( ) ( Dos úmeros cualesquiera El doble de u úmero La suma del doble de u úmero co uo 1 U úmero más su cosecutivo ) El triple de la suma de u úmero co 7 ) U úmero dismiuido e 9 9 El cuadrado de la diferecia de u úmero co U úmero par U úmero impar 1 La suma de tres úmeros impares cosecutivos ) La mitad de u úmero meos La semisuma de dos úmeros y U úmero más su tercera parte más su quita parte Cuádruple de la diferecia de u úmero y, aumetado e 6 ( ) 6 El triple de u úmero meos su doble Cico veces la diferecia de u úmero co 7 es igual a cuatro veces la suma del mismo úmero co ( 7) ( ) La base de u rectágulo mide el doble que su altura, si su perímetro es 0 cm. cuáto mide la base y la altura? Solució I.ENTIENDO EL PROBLEMA - Cuáles so los datos coocidos (costates)? perímetro del rectágulo= 0 cm; base= veces su altura - cuáles es la preguta? Cuato mide la altura= y cuáto su base= II. HAGAMOS UN ESQUEMA Departameto de Ciecias Básicas II- 011

30 III. TRAZAMOS Y EJECUTAMOS UN PLAN Plateamos ua ecuació, relacioado los datos co la icógita. Como el per Luego la altura mide cm. y la base 10 cm. 6 IV.COMPROBAMOS = 0 II. SISTEMAS DE ECUACIONES U sistema de ecuacioes cosiste e varias ecuacioes dadas cojutamete co el fi de determiar la solució o solucioes comues a todas ellas. Muchos problemas de la vida real os obliga a resolver simultáeamete varias ecuacioes lieales para hallar las solucioes comues a todas ellas. Tambié resulta muy útiles e geometría (las ecuacioes lieales se iterpreta como rectas y plaos, y resolver u sistema equivale a estudiar la posició relativa de estas figuras geométricas e el plao o e el espacio). Se llama sistema de ecuacioes lieales a u cojuto de igualdades algebraicas e las que aparece ua o varias icógitas elevadas a la potecia uo. Cada ua de estas ecuacioes lieales, o de primer grado, tiee la forma a + by + cz + = k, dode a, b, c,..., so los coeficietes de la ecuació;, y, z,..., las icógitas o variables, y k el térmio idepediete (tambié u valor costate). U sistema se caracteriza por su dimesió. La dimesió de u sistema se determia segú el úmero de ecuacioes y de variables ivolucradas e el sistema. U sistema de dos ecuacioes e dos variables se dice que es de dimesió. U sistema de dos ecuacioes e tres variables se dice que es de dimesió. U sistema de tres ecuacioes e tres variables se dice que es de dimesió. Los sistemas e los que el úmero de ecuacioes coicide co el de las icógitas se deomia cuadrados. U caso particularmete iteresate de sistemas cuadrados es el de dos ecuacioes co dos icógitas () Ejemplo 1 y y 8 Ejemplo y z y z Ejemplo a b c a b c a b c Dimesió ; hay dos ecuacioes y dos variables Dimesió ; hay dos ecuacioes y tres variables Dimesió ; hay tres ecuacioes y tres variables TIPOS DE SISTEMAS LINEALES Departameto de Ciecias Básicas II- 011

31 Atediedo al úmero de solucioes de u sistema, estos puede clasificarse e: 1. Si el sistema tiee solució, y ésta es úica, se deomia compatible determiado. y1 y 1. Cuado preseta ifiitas solucioes posibles, es compatible idetermiado. y 1 6y 0. Si o tiee solució, es decir, al itetar resolverlo llegamos a ua cotradicció, se deomia imposible o icompatible. y 1 y 1 Dos sistemas de ecuacioes lieales que tiee las mismas solucioes so equivaletes. E la oció de equivalecia se basa las pricipales técicas algebraicas de resolució de estos sistemas, que persigue covertirlos e otros cuya resolució sea más secilla y que se estudiará a cotiuació. MÉTODOS DE SOLUCION El estudio de sistemas de ecuacioes lieales es u problema clásico de las matemáticas. Cuado se trata de sistemas de dos ecuacioes de primer grado co dos icógitas, se aplica diversos métodos de resolució secillos de tipo gráfico y algebraico; si el úmero de ecuacioes es superior, es preferible recurrir al empleo de matrices y determiates. 1. Método gráfico Llamamos solució de u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas a todo par de valores y, que satisface las dos ecuacioes. Las ecuacioes lieales se represeta mediate rectas. Para obteer las solucioes de las icógitas se despeja ua de ellas y se le da valores a la otra. Si represetamos las dos ecuacioes que forma u sistema como dos rectas, se puede observar que el puto dode se corta dichas rectas (si se corta) es la solució al sistema (el sistema seria compatible determiado). Departameto de Ciecias Básicas II- 011

32 y y 7 Despejado y de las dos ecuacioes: y y 7 Tabla de la 1ª Ecuació Tabla de la ª Ecuació Represetació gráfica de ambas ecuacioes. Aquí podemos observar cómo la solució del sistema es = e y=1 Iterpretació geométrica de las solucioes a. Sistema de ecuacioes lieales co dos icógitas: Cada ua de las ecuacioes del sistema determia ua recta. Si el sistema es compatible determiado, todas las rectas perteecietes al sistema se corta e u úico puto. Si el sistema es compatible idetermiado, las rectas defiidas e el sistema coicide. Si el sistema es icompatible, las rectas o se corta e u úico puto. O bie so paralelas o bie, si e el sistema hay más de dos ecuacioes, las rectas se corta dos a dos e distitos putos. b. Sistema de ecuacioes lieales co tres icógitas: Cada ua de las ecuacioes del sistema determia u plao. Si el sistema es compatible determiado, todos los plaos perteecietes al sistema se corta e u úico puto. Si el sistema es compatible idetermiado, los plaos defiidos e el sistema se corta e ua recta (ifiitos putos). Si el sistema es icompatible, los plaos o se corta e u úico puto. O bie so paralelos o bie se corta e rectas distitas formado u prisma o bie, si e el sistema hay más de tres ecuacioes, los plaos se corta tres a tres e distitos putos. Departameto de Ciecias Básicas II- 011

33 . Método algebraico Cómo podemos resolver de forma secilla u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas? a. Método de igualació Ua primera técica algebraica comú para resolver sistemas de dos ecuacioes lieales co dos icógitas es el método de igualació. Pasos Se despeja la misma icógita e ambas ecuacioes. Se iguala las epresioes obteidas. Se resuelve la ecuació lieal que resulta. Se sustituye la solució obteida e cualquiera de las epresioes e las que aparecía despejada la otra icógita. y y Despejado la misma variable de las dos ecuacioes Igualádolas Resolviedo y despejado la variable 9-6 = = -1 = y y Reemplazado el valor de e cualquiera de las otras dos ecuacioes, se tiee y = - () = -1. La solució es: =, y = -1 b. Método de sustitució La técica algebraica deomiada método de sustitució, para resolver u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas, costa de los siguietes pasos: Pasos Se despeja ua de las icógitas e ua de las ecuacioes. Se sustituye el valor obteido e la otra ecuació. Se resuelve la ecuació de primer grado co ua icógita que resulta. Se sustituye la solució obteida e la epresió e la que estaba despejada la otra icógita. Ejemplo y Sea el mismo sistema aterior de ecuacioes. y Si se despeja y de la primera ecuació y, y se sustituye e la seguda ecuació, se tiee que: Departameto de Ciecias Básicas II- 011

34 Reemplazado este valor e la ecuació despejada, y = - () = -1 y 1 La solució es: =, y = -1 c. Método de elimiació o reducció La tercera técica algebraica de resolució de sistemas de ecuacioes lieales, el método de elimiació, costa de los siguietes pasos: Se multiplica o divide los miembros de las dos ecuacioes por los úmeros que covega para que ua de las icógitas tega el mismo coeficiete e ambas. Se resta las dos ecuacioes resultates, co lo que se elimia ua icógita. Se resuelve la ecuació co ua icógita obteida, y se sustituye su valor e cualquiera de las ecuacioes iiciales para calcular la seguda. Por ejemplo, para el mismo sistema de ecuacioes: y y Coviee multiplicar la seguda ecuació por y la seguda se deja igual y restar ambas ecuacioes: y 6y 10 7y 7 y 1 Reemplazado el valor de y e cualquiera de las dos ecuacioes, teemos 1 La solució es: =, y = -1 Nota 1: los tres métodos, sustitució, reducció e igualació, puede ser usados para resolver cualquier sistema de ecuacioes. Si embargo, depediedo de las ecuacioes, os iteresará elegir u método u otro, segú cuál os resulte más secillo de utilizar. Nota : cuado os ecotremos co que alguos de los coeficietes de las ecuacioes sea fraccioarios, es coveiete reducir las fraccioes a comú deomiador y elimiar deomiadores ates de empezar a aplicar cualquiera de los tres métodos. Nota : Para resolver sistemas de ecuacioes, lo primero que hay que hacer es trasformar las dos ecuacioes hasta llegar a escribir ambas de la forma a + by = c RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Para resolver problemas mediate el plateamieto de u sistema de ecuacioes lieales, se debe seguir varios pasos: 1. Platear el problema, etediedo su euciado y covirtiédolo e ecuacioes co coeficietes, costates y variables o icógitas.. Aalizar el tipo de sistema que se obtiee.. Elegir u método de resolució (algebraico o gráfico) y aplicarlo.. Estudiar si las solucioes obteidas so pertietes e el coteto del problema.. Comprobar las solucioes e las ecuacioes plateadas. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES 1º º º Departameto de Ciecias Básicas II- 011

35 E u bar se vede bocadillos de jamó a, y de tortilla a. E ua mañaa se vediero bocadillos y se recaudaro 19 Cuátos se vediero de cada clase? Llamamos: = bocadillos vedidos de jamó. y= bocadillos vedidos de tortilla. Teemos el sistema: y.y19 Multiplicado por - la primera ecuació: y 10.y19 Sumado: Reemplazado : y y 0 y Es decir, se ha vedido 0 bocadillos de jamó y de tortilla. Veamos si la recaudació coicide: María ha comprado u abrigo que estaba rebajado u 1 %. Marta ha comprado otro abrigo más caro, pero ha coseguido ua rebaja del 0%, co lo que sólo ha pagado 8 más que María Cuál era el precio de cada abrigo? Llamamos: = precio iicial del abrigo de María y= precio iicial del abrigo de Marta. 1 0y y y Simplificado y ordeado: y 0y 800 y 8 80y 800 y Multiplicado por 8 la seguda ecuació: 880y y 1 Sumado: 1 y 1 y 6 Reemplazado y: y 6 0 Es decir, el abrigo de maría valía 0 y el de Marta 6. Comprobemos: Si al de María le descotamos el 1 % os queda: Y al de Marta le descotamos el 0% Y, efectivamete Marta ha pagado 8 más. E ua graja hay coejos y gallias. Cotamos e total 0 cabezas y 160 patas Cuátos aimales hay de cada clase? Llamamos: = º de gallias. y= º de coejos y 0 y160 Multiplicado por - la primera ecuació: y 100 y160 Sumado: y y 0 Reemplazado y: y Es decir, hay 0 gallias y 0 coejos. Veamos si coicide las patas: Departameto de Ciecias Básicas II- 011

36 UNIDAD 6 DESIGUALDADES E uidades ateriores os hemos ocupado de las igualdades; tema relacioado co la solució de ecuacioes de primer grado y de segudo grado. La palabra desigualdad sirve para decir que ua catidad es mayor o meor que otra, para ello utilizamos los símbolos: >: Mayor que. : Mayor o igual que. <: Meor que. : Meor o igual que. Ua desigualdad umérica es ua comparació etre dos úmeros a y b, utilizado los símbolos de desigualdad: >, mayor que ; < meor que ;, mayor o igual que ;, meor o igual que. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Si a, b y c so tres úmeros reales, se cumple que: 1. Si a > b y b > c, etoces a > c (Trasitiva) Si a < b y b < c, etoces a < c. Si a > b, etoces (a c) > (b c) Si a < b, etoces (a c) < (b c).. Si a > b y c > 0, etoces ac > bc Si a > b y c < 0, etoces ac < bc.. Si a > b y c > 0, etoces Si a > b y c < 0, etoces a b c c a b c c. Si a > b y c > d, etoces a+c > b+d (Aditiva) 6. Si a > b y c > d, etoces ac > bd 7. Si a > b y a > 0 y b>0, etoces a > b 8. Si a > b, etoces 1 1 a b 9. a 0 b 0 ab 0, si a 0 b 0 a 0 b 0 ab 0, si a 0 b Al itercambiar los miembros de ua desigualdad, se modifica el setido de la misma. Ejemplo 6 6 Las desigualdades se divide e dos clases: absolutas y codicioales a. Desigualdades absolutas: o icodicioales, so semejates a las idetidades. Departameto de Ciecias Básicas II- 011

37 So satisfechas por todos los úmeros Reales ab a b ab Su validez se establece por medio de ua demostració aalítica (utilizado propiedades de las desigualdades). b. Desigualdades codicioales: so llamadas Iecuacioes, sólo so satisfechas por alguos úmeros Reales. So desigualdades que posee térmios descoocidos 6 0 INTERVALOS Los itervalos so subcojutos de los úmeros reales, determiados por las desigualdades, que se represeta geométricamete mediate segmetos de recta o semirrectas. Por lo tato, las operacioes etre cojutos tambié se aplica a los itervalos. Veremos a cotiuació las diferetes clases de itervalos que eiste y luego alguos ejemplos. CLASES DE INTERVALOS Ejemplo Sea los itervalos A = [, ], B = (, 8] 1. A C. B C Solució:. y C = (, ); hallar e las diferetes otacioes: AC B 1. A C = [, ] Notació itervalo A C = /. B C=, 8 Notació itervalo B C = / 8. AC B =,, 8 =,8 Notació itervalo AC B = / 8 Notació de cojuto INECUACIONES Notació de cojuto Notació de cojuto Departameto de Ciecias Básicas II- 011

38 Ua iecuació es ua desigualdad e la que hay ua o más catidades descoocidas (icógitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determiados valores de las icógitas. Las iecuacioes tambié se cooce como desigualdades codicióales, como se mecioó ateriormete. La desigualdad - > + es ua iecuació porque tiee la icógita y sólo se verifica para cualquier valor de mayor que 8. Para = 8 se covertiría e ua igualdad y para < 8 e ua desigualdad de sigo cotrario. Para resolver ua iecuació debe ecotrarse los valores de las icógitas que satisfaga la desigualdad. La resolució de iecuacioes se fudameta e las propiedades de las desigualdades ateriormete euciadas y e las cosecuecias que de las mismas se deriva. (La solució a ua iecuació se da mediate u itervalo). Solució de iecuacioes Resolver ua iecuació cosiste e aplicar las propiedades de las desigualdades ates epuestas para hallar u cojuto de valores que hace posible la desigualdad. La solució de ua iecuació recibe el ombre de cojuto solució y puede epresarse de tres formas diferetes: e otació de itervalo, e otació de cojuto y e forma gráfica. (Ver tabla de clases de itervalos ) CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES Las iecuacioes se clasifica atediedo al úmero de icógitas y al grado de la epresió algebraica que aparece e ellas. INECUACIÓN TIPO - > - 1º grado; 1 icógita - y 1º grado; icógita - º grado; 1 icógita y- > 0 º grado; icógita INECUACIONES DE UNA VARIABLE 1. Iecuacioes de Primer Grado Las iecuacioes de 1er grado co ua icógita so las que respode a las siguietes formas básicas: a + b < 0 a + b > 0 a + b 0 a + b 0 E la mayoría de los casos coviee seguir el siguiete procedimieto: 1. Quitar los parétesis, si los hay.. Quitar deomiadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuació por el m.c.m. de los deomiadores.. Pasar los térmios e a u miembro (ormalmete al primero) y los úmeros al otro.. Reducir térmios semejates, co lo que se llega a ua ecuació de forma básica.. Si el coeficiete de la es egativo multiplicamos por 1, por lo que cambiará el setido de la desigualdad. 6. Despejar la (la icógita). Departameto de Ciecias Básicas II- 011

39 7. Obteer la solució e forma de desigualdad, e forma de itervalo o grafica. Ejemplo 1: Resolver ( 7) 7 ( ) ( ) 6(7 ) S= (-, 11) Ejemplo : Resolver Pasado al primer miembro y al segudo se tiee: Reduciedo térmios: 8 S 8, R / 8 ( 8 Ejemplo : Dada la siguiete iecuació 7 6. Halle el cojuto solució y grafíquelo. Suprimiedo deomiadores (m.c.m. = 6) se tiee: 10 6 Traspoiedo térmios: Cambiado el sigo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el sigo de la desigualdad origial: Dividiedo por 1: < o sea, < 6 1 S,6 R / <6 ) 6 Ejemplo : Resolver 1 1 Efectuado las operacioes idicadas: 1 Departameto de Ciecias Básicas II- 011

40 Suprimiedo e ambos miembros y traspoiedo: 1 S, R / < ) Ejemplo : Dada la siguiete iecuació 1 1. Halle el cojuto solució y grafíquelo. Se ecuetra el m.c.m. (,, ) = 1 y se multiplica por 1 ambos miembros de la iecuació para obteer: Pasado todas las variables al lado izquierdo de la iecuació, se obtiee: Despejado la variable de la iecuació, se obtiee: 6 8 S, R / / Solució de iecuacioes simultáeas de primer grado Ua iecuació simultáea es ua iecuació co desigualdad doble; Si a < < b etoces >a < b, es decir, el cojuto solució es la itersecció de los dos cojutos solució: S / a / b Hallar el cojuto solució de 6 7 Separado e dos desigualdades: Sol: 9, Departameto de Ciecias Básicas II- 011

41 . INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO Las iecuacioes de º grado co ua icógita so las que se preseta segú algua de las siguietes formas básicas: a b c a b c a b c a b c 0, 0, 0, 0 Procedimieto Primer Paso: Igualamos el poliomio del primer miembro a cero y obteemos las raíces de la ecuació de segudo grado factorizado el poliomio o usado la formula cuadrática. Segudo Paso: Cosiderar los casos ecesarios para que se cumpla la iecuació. Tercer Paso: Realice la itersecció o uió de los cojutos solució de acuerdo al caso seleccioado. Cuarto Paso: dar la solució e forma de itervalos y graficarla. Ejemplo Dada la siguiete iecuació 6 0. Halle el cojuto solució y grafíquelo. Primer paso: Factorizar el poliomio dado 6 forma: 0 Segudo paso: Los casos que se debe cosiderar so los siguietes: Caso I: Cuado ambos biomios so positivos es decir:, quedado ua iecuació de la 0 y Caso II: Cuado ambos biomios so egativos, es decir: Solució Caso I: Sea 0 0 y 0 S A el cojuto solució de la iecuació 0 y B 0, la solució del Caso I viee dada por: SI SA SB S al cojuto solució de la iecuació Solució para Solució para S A S B 0 0 A, / S R B, / S R La solució paras es etoces: I I A B S S S,,, I S, R / Departameto de Ciecias Básicas II- 011

42 ( ( Solució Caso II: Si llamamos iecuació S C al cojuto solució de la iecuació 0 y D 0, la solució del Caso II viee dada por: SII SC SD S al cojuto solució de la Solució para S C : 0 c S, R / Solució para S D : 0 d S, R / La solució paras es etoces: II II c d S S S,,, II S, R / ) - ) - Solució Geeral: La solució geeral será la uió de S I y S II, es decir: G I II S S S,, El método que acaba de estudiarse, para resolver iecuacioes cuadráticas se llama método aalítico. Eiste u método alterativo, el método gráfico, que tambié se cooce como el. El procedimieto para resolver iecuacioes de segudo grado utilizado este método cosiste igualmete e Factorizar el poliomio cuadrático, ecotrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dado orige de esta maera a itervalos e la recta. Luego, para cada itervalo, se va evaluado cada biomio para determiar el sigo de éste, es decir, se le asigará a la variable, u valor arbitrario que perteezca a cada itervalo para coseguir el sigo de cada biomio. Por último, se seleccioa los itervalos para los cuales se cumple la desigualdad. Ejemplo 1 Dada la siguiete iecuació Se factoriza el poliomio 6 6 0, halle el cojuto solució y grafique., quedado la iecuació de la forma: Las raíces que aula 0 so y. (Valores críticos) Se ubica sobre la recta real (ver cuadro 1). Se le asiga valores arbitrarios a e cada itervalo, y se determia los sigos. Departameto de Ciecias Básicas II- 011

43 Cuadro 1. Raíces ubicadas e la recta real. Se aprecia e el cuadro aterior que la desigualdad se cumple para aquellos itervalos dode el producto de los dos biomios es positivo por ser la iecuació > 0, por lo tato la solució viee dada por: Ejemplo Dada la siguiete iecuació G,, S 1 1 8, halle el cojuto solució y grafique. Se desarrolla los productos otables, se multiplica por 6 ambos miembros de la iecuació y se reduce térmios semejates, obteiedo: 1 0 Factorizado el poliomio resultate, se tiee 1 la forma: Las raíces de 0, resultado ua iecuació de so y (valores críticos), las cuales se ubica sobre la recta real. Se le asiga valores arbitrarios a e cada itervalo, y se determia los sigos de la desigualdad. Se aprecia e el cuadro aterior que la desigualdad se cumple para aquellos itervalos dode el producto de los dos biomios es egativo por lo tato la solució viee dada por: G, / S R Gráficamete: Departameto de Ciecias Básicas II- 011

44 ) - ) Casos especiales 1. Si al resolver la iecuació se obtiee ua epresió de la forma: (a + b) 0 Solució (a + b) > 0 valor critico (a + b) 0 (a + b) < 0 = b/a Usado la fórmula cuadrática: Como u úmero elevado al cuadrado es siempre positivo la solució es. Cuado o tiee raíces reales (discrimiate meor que cero), le damos al poliomio cualquier valor si: El sigo obteido coicide co el de la desigualdad, la solució es El sigo obteido o coicide co el de la desigualdad, o tiee solució (vacio) INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR Solució Pasos: 1. Se descompoe e factores de primer o segudo grado.. Se obtiee los ceros de cada factor represetádolos e rectas distitas.. Se estudia el sigo de cada uo de los itervalos formados.. E ua ueva recta se lleva todos los ceros, aplicado la regla de los sigos.. Se ve cuales de los itervalos so solució de la iecuació. 0 Resolver la iecuació Resolverla es buscar los valores de la que hace que el miembro de la izquierda sea egativo (<0). El procedimieto más secillo cosiste e factorizar el poliomio (e este caso podemos sacar factor comú Departameto de Ciecias Básicas II- 011

45 ) 0, o lo que es lo mismo 0 Teemos tres valores de (el 0,, -) que hace que ese producto valga cero, los restates valores de la hará que ese producto sea distito de 0, bie positivo o egativo. El estudio es el mismo que ates, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hace cero el producto y vamos tomado valores de y se sustituye e la ecuació iicial para ver el sigo de la operació. Observa la gráfica: _ + _ + Los valores de la que hace egativo, 0,. el producto so - 0. INECUACIONES RACIONALES So iecuacioes racioales, aquellas e las que tato el umerador como el deomiador so iecuacioes poliómicas. Epresió geeral: so del tipo a b 0, o todas sus equivaletes a b 0, o a b 0, etc. y c d c d c d de grados mayores que uo. Se resuelve de u modo similar a las de segudo grado, pero hay que teer presete que el deomiador o puede ser cero. Estos tipos de problemas puede ser resueltos usado el método aalítico o el método gráfico. Pasos: 1º Hallamos las raíces del umerador y del deomiador. º Represetamos estos valores e la recta real, teiedo e cueta que las raíces del deomiador, idepedietemete del sigo de la desigualdad, tiee que ser abiertas. º Tomamos u puto de cada itervalo y evaluamos el sigo e cada itervalo º La solució está compuesta por los itervalos (o el itervalo) que tega el mismo sigo que la fracció poliómica. 1. Dada la siguiete iecuació 10 0 halle el cojuto solució y grafique. Factorizado los poliomios dados: 10, 1 Resultado ua iecuació de la forma: Las raíces que aula el umerador so 1 y, y las que aula el deomiador so y 1, las cuales se ubica sobre la recta real. Se le asiga valores arbitrarios a e cada itervalo, y se determia los sigos de la desigualdad. 0 Departameto de Ciecias Básicas II- 011

46 Se observa e el cuadro aterior que la desigualdad se cumple para aquellos itervalos dode el cociete es egativo, debido a que la iecuació origial es < 0 (es egativa) por lo tato la solució viee dada por: Gráficamete: ) ( G S, 1, ( ) Resolver , ojo, si pasamos multiplicado el deomiador al otro miembro estaríamos cometiedo u 1 error. Resuelve por tu cueta la iecuació 1 1 y compara los resultados. Para uestro caso, operado , y todo se reduce a averiguar cuál es el sigo del deomiador, cuádo éste es egativo, y lo es e. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO,1. RECORDEMOS: El valor absoluto os permite cosiderar ua magitud umérica si teer e cueta el sigo. Su defiició formal es: a a a para a 0 para a 0 y sigifica que el valor absoluto de u úmero uca es egativo. Propiedades del valor absoluto, a R Departameto de Ciecias Básicas II- 011

47 La solució de ecuacioes e iecuacioes co valor absoluto requiere del coocimieto y domiio de alguas propiedades fudametales que guíe los procesos. A cotiuació se da las propiedades que será usadas e el tema e cuestió. Sea a, b R. 1. a 0. a a. a a. a a. ab a b a 6. a, si b 0 b b 7. a b a b Desigualdad triagular 8. a b b 0 a b a b Desigualdades co valor absoluto Sea, y, a R. Se tiee etoces: 1. a sii a 0 a a ó a a. a sii a a. y sii y [ ] -a a ] [ -a a Iecuacioes de primer grado co valor absoluto So aquellas e las que parte de la iecuació, o toda ella, viee afectada por el valor absoluto de la misma. Para resolver estas iecuacioes es suficiete co desarrollar el valor absoluto de acuerdo a los teoremas ates mecioados, para luego aplicar los coocidos métodos de resolució de iecuacioes. Las iecuacioes de primer grado co valor absoluto puede presetar las siguietes formas: Sea, a, b, c R. 1) a b c Ejemplos: a b c y ó a b c c a b c Departameto de Ciecias Básicas II- 011

48 a) Ecuetre el cojuto de solucioes que satisface: 10 1 y grafique. Aplicado la propiedad de las desigualdades co valor absoluto, obteemos: [ ] - 1,1 / 1 S R b) Ecuetre el cojuto de solucioes que satisface: < 1 y grafique. 1 < < 1 ( ) < < < < 1 9 < < 9, / 9 < < S R ) a b c Ejemplos: a b c ó ó a b c a b c a b c a) Ecuetre el cojuto de solucioes que satisface: 8 y grafique , 10, b) Ecuetre el cojuto de solucioes que satisface: < 7 y grafique. >7 < 7 >7+ >10 >10 > < 7+ < < ) ( Departameto de Ciecias Básicas II- 011

49 ,, Otro ejemplo Resolvamos la desigualdad 1 Utilizado la propiedad (6) del valor absoluto, teemos la siguiete cadea de desigualdades equivaletes: Elaborado u diagrama de sigos teemos Sigo de 10 + Sigo de 8 + Sigo de Vemos que la solució de la desigualdad es 8 10, Problemas que se resuelve por medio de iecuacioes Las iecuacioes permite resolver problemas. Veamos el siguiete ejemplo. Ua camioeta pesa 87 kg. La diferecia etre el peso de la camioeta vacía y el peso de la carga que lleve o debe ser iferior que 1 kg. Si hay que cargar cuatro cajoes iguales, cuáto puede pesar, como máimo, cada uo de ellos para poder llevarlos e ella? E primer lugar, traducimos el euciado al leguaje simbólico, llamamos al peso de cada cajó y plateamos la siguiete iecuació: Peso de la furgoeta peso de cajoes o es meor que 1 kg Departameto de Ciecias Básicas II- 011