Potencias, radicales y logaritmos

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1 . Los úmeros egativos Potecias, radicales y logaritmos BLOQUE I: ARTIMÉTICA

2 El tema comieza co el estudio de las potecias; éste se iicia co las potecias de expoete atural, se prosigue co las de expoete etero y fializa co las de expoete racioal. E esta primera parte, se resalta las propiedades de las potecias, la jeraruía de las operacioes y el uso de la calculadora, co el objetivo de evitar errores de cálculo posteriores. E la seguda parte del tema se estudia los radicales y la relació de escritura etre radicales y potecias. Se aaliza co detalle las propiedades de los radicales, la simplificació, el procedimieto para extraer e itroducir factores e el radical, las operacioes, la racioalizació y el uso de la calculadora. E la última parte, se itroduce los logaritmos como expoetes e ua cierta base positiva y distita de uo, y se resalta los logaritmos decimales y eperiaos. Se establece la relació etre potecias, radicales y logaritmos, y se explica el uso de la calculadora y, fudametalmete, las propiedades de los logaritmos. ORGANIZA TUS IDEAS POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS se trata de hallar ua variable e la expresió a = p si se trata de hallar p se tiee si se trata de hallar a se tiee si se trata de hallar se tiee potecias: p = a a a ) a radicales: a = p logaritmos: = p ue tiee ue tiee ue tiee propiedades: a a p = a + p a : a p = a p (a ) p = a p (a b) = a b (a : b) = a : b propiedades: a b = = a b a : b = = a : b ( a ) p = ( p a a p ) = p a propiedades: (p ) = = p + p = = p p = p p = p

3 . Potecias de expoete atural y etero P I E N S A Y C A L C U L A Calcula metalmete las siguietes potecias: a) b) ( ) c) d) ( ).. Potecia de expoete atural Propiedades de las potecias a a p = a + p a : a p = a p (a ) p = a p (a b) = a b (a : b) = a : b Ua potecia es u producto de factores iguales. expoete base a = a a a La base de ua potecia es el factor ue se multiplica, y el expoete es el úmero de veces ue se multiplica la base. = = 8 ( ) = ( ) ( ) = 8 ( ) = = 8 Casos particulares a) Ua potecia de base cero y expoete positivo es cero. b) U úmero distito de cero, elevado a cero, es igual a uo. c) Ua potecia de base uo y expoete cualuiera es uo. d) U úmero elevado a uo es igual a dicho úmero. 0 = 0 0 = = =.. Calculadora Nombres x x ì o Cuadrado Cubo x y Potecia La calculadora tiee las teclas de cuadrado, x ; cubo, x ; potecia e geeral, ì o x y ; y potecia e base 0, EXP 7, 7. x =,,. =, 8 ì 8 = 0 EXP = x.. Sigo de ua potecia de expoete atural El sigo de ua potecia es positivo salvo cuado la base es egativa y el expoete es impar, e cuyo caso es egativo. Base Expoete Sigo del resultado + Par o impar Par Impar + + = 8; = ( ) = ( ) = BLOQUE I: ARTIMÉTICA

4 = = 8.. Potecia de expoete etero egativo Ua potecia de expoete etero egativo es igual a uo dividido por la misma potecia pero co expoete positivo. a = siempre ue a? 0 a.. Evitar errores habituales Casos particulares a) No debe cofudirse potecia co producto: a o es igual ue a b) No debe cofudirse ( a) co a. Si es impar, so iguales; y si es par, es igual a a c) (a + b) o es igual ue a + b d) (a b) o es igual ue a b = = = ( ) = 8 = 8 ( ) = = = ( + ) = 8 = + = 9 + = (8 ) = = 8 = 9 =.. Jeraruía de las operacioes ( ) a : + La jeraruía de las operacioes dice ue éstas se realiza e el siguiete orde: a) Parétesis. b) Potecias y raíces. c) Multiplicacioes y divisioes. d) Sumas y restas. e) Si las operacioes tiee el mismo ivel, se empieza por la izuierda. Calcula metalmete los cico primeros cuadrados perfectos. Calcula metalmete: a) b) ( ) c) d) ( ) Calcula metalmete: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) Calcula metalmete: a) 0 7 b) ( ) 0 c) d) ( ) Utilizado la calculadora, realiza las siguietes operacioes y redodea los resultados a dos decimales: a), b), c) 0,9 d), 0 7 8, 0 ( 9) 8,09 = ( 9), =, = 87, ( ì apple 9 ) Ò 8.09 = 87, A P L I C A L A T E O R Í A Escribe e forma de potecia de base : a) b) c) d) / 7 Utilizado la calculadora, realiza las siguietes operacioes y redodea los resultados a dos decimales: a) (,7 + 8), b) (,, 7,) :, c) (, 7,7 :,), 8 Calcula metalmete: a) ( + ) b) + c) ( ) d) 9 Expresa el resultado e forma de ua sola potecia utilizado las propiedades de las potecias: a) x x b) x 7 :x c) (x ) d) x x :x 0 Ua pecera tiee forma cúbica y su arista mide 7 cm. Si está llea, cuátos litros de agua cotiee?. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

5 . Radicales Halla metalmete el valor de x e los siguietes casos: a) 000 = x b) x = 0 c) 8 = d) = x x P I E N S A Y C A L C U L A.. Radical Nombres a Radical Sigo radical Ídice a Radicado b Raíz La raíz eésima de u úmero a es otro úmero b, tal ue b elevado a es a a = b ï b = a La raíz eésima es la operació iversa de la potecia. = porue = 8 = Ï porue = 8 ( ) = Coveio E las operacioes co radicales de ídice par, la raíz toma el sigo ue lleve el radical. = 8 =.. Número de raíces de u radical Se puede presetar los siguietes casos: a) Si el ídice del radical es impar, a tiee ua raíz y es del mismo sigo ue el radicado. b) Si el ídice del radical es par y el radicado positivo, tiee dos raíces reales opuestas. a c) Si el ídice del radical es par y el radicado egativo, a o tiee raíz real. 8 = 8 = 8 = Ï o tiee raíz real Nombres Raíz cuadrada Raíz cúbica x Raíz eésima 7 x 7 =, Calculadora x La calculadora tiee la tecla o x /y. E el caso de ue o la tega, hay ue pasar la raíz a potecia y utilizar la tecla ì o x y.. Relació e la escritura etre potecias y radicales Ua potecia de expoete fraccioario es euivalete a u radical cuyo ídice es el deomiador del expoete y cuyo radicado es la base elevada al umerador del expoete. Potecia a / = a a / = ; a? 0 a a p/ = a p a p/ = ; a? 0 a p / = / = / = / = BLOQUE I: ARTIMÉTICA

6 = : : = 7 M.C.D.(, ) =.. Simplificació de radicales Dos radicales so euivaletes si tiee las mismas raíces. Si e u radical se multiplica o divide el ídice de la raíz y el expoete del radicado por u mismo úmero, el valor aritmético del radical o varía, es decir, se obtiee u radical euivalete. 9 7 = 7 = 7 = 7 8 = =,907 Simplificació de radicales Para simplificar u radical, se divide el ídice del radical y el expoete del radicado por el M.C.D. de ambos. Esta simplificació es válida si existe los dos radicales. s Ä a ps = Ä a p.. Itroducir y extraer factores e el radicado Para itroducir u factor e u radical, se eleva el factor al ídice del radical y se itroduce detro del radical multiplicado al radicado. a Ä b = Ä a b = = 8 = 0 Para extraer u factor de u radical se divide el expoete etre el ídice de la raíz; el cociete sale fuera del radical como expoete del úmero, y el resto se ueda como expoete del úmero detro del radical. = Calcula metalmete el valor de los siguietes radicales: a) b) 8 c) d) Utilizado la calculadora, halla las siguietes raíces. Redodea los resultados a dos decimales. a),7 b) 89, c) 89, d) 000 Escribe e forma de radical las potecias: a) / b) x / c) a / d) / Escribe e forma de potecia los radicales: a) 7 b) a c) d) 7 a Simplifica los siguietes radicales: 8 a) b) x c) d) 7 8 A P L I C A L A T E O R Í A a 8 Itroduce detro del radical el factor ue está delate: a) b) a c) a d) x a x Extrae todos los factores posibles de los siguietes radicales: a) 0 b) a 7 c) 8a b d) x 7 y z El volume de u cubo es m. Cuáto mide la arista? Redodea el resultado a dos decimales.. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

7 . Operacioes co radicales Calcula metalmete el resultado de las siguietes operacioes: a) 9 + b) 9 + c) 9 d) 9 P I E N S A Y C A L C U L A Evitar errores habituales a + b a b? a + b? a b Cálculo metal Para extraer factores de u radical cuadrático, se descompoe el radicado como producto del mayor cuadrado perfecto y u úmero. 0 = = 8 = 9 =.. Suma y resta de radicales Radicales semejates so auellos radicales ue, después de simplificados, tiee el mismo ídice y el mismo radicado. Para sumar y restar radicales, éstos tiee ue ser semejates. Si es así, se suma o resta los coeficietes y se deja el mismo radical. 0 8 = = Los radicales ue o so semejates o se puede sumar i restar. Si se uiere obteer el valor aproximado, se suma o resta co la calculadora. 7 =,7 7 apple =, Producto y cociete de radicales del mismo ídice El producto de dos radicales del mismo ídice es otro radical del mismo ídice y de radicado el producto de los radicados. El cociete de dos radicales del mismo ídice es otro radical del mismo ídice y de radicado el cociete de los radicados. a a b = a b : b = a : b 0 = 8 = : = = Propiedades de los radicales a b = a : b = ( ) p a = p a p a = p a a b a : b.. Producto y cociete de radicales cuado o tiee el mismo ídice Para realizar el producto y el cociete de radicales ue o tiee el mismo ídice, se sigue este procedimieto: a) Se reduce los radicales al míimo ídice comú. Para ello: Se halla el m.c.m. de los ídices, ue es el m.i.c. Se divide el m.i.c. etre cada uo de los ídices, y el resultado se multiplica por el expoete del radicado. b) Se multiplica o divide los radicales ue ya tiee ídice comú. Multiplica los radicales: y 7 m.i.c. (, ) = m.c.m (, ) = : = : = 7 = = BLOQUE I: ARTIMÉTICA

8 .. Potecia y raíz de u radical Operació La potecia de u radical es igual al radical de la potecia. ( a ) p = a p 7 ( ) = 7 La raíz de u radical es otro radical de ídice el producto de los ídices y de radicado el mismo. = = Suma por diferecia Es igual al cuadrado del primero meos el cuadrado del segudo. ( 7 + )( 7 ) = = ( 7 ) ( ) = = 7 =.. Racioalizació Racioalizar cosiste e elimiar los radicales del deomiador, trasformado la expresió e otra euivalete. E el deomiador solamete hay ua raíz cuadrada Se multiplica el umerador y el deomiador por dicha raíz cuadrada. E el deomiador solamete hay ua raíz eésima Se multiplica el umerador y el deomiador por u radical del mismo ídice, elevado al ídice meos el expoete del radicado. 7 = 7 = 7 = E el deomiador hay ua suma o resta co raíces cuadradas Se multiplica el umerador y el deomiador por el cojugado del deomiador. El cojugado de a + b es a b, y viceversa. ( ( = 7 ) = 7 ) = 7 + ( 7 + )( 7 ) 7 = = ( 7 ) ( 7 ) 9 Realiza las siguietes sumas y restas de radicales: a) b) p a = p a 7 Realiza los siguietes cocietes: a) : b) 0 : c) : d) 9 : A P L I C A L A T E O R Í A 8 = 7 0 Utilizado la calculadora, halla la siguiete suma y resta de radicales. Redodea el resultado a dos decimales: Realiza los siguietes productos: a) b) 0 8 c) d) Sustituye los putos suspesivos por igual, =, o distito,?: a) ( ) b) Racioaliza: 0 a) b) c) + 7 d) e) f) 7 7. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 7

9 . Logaritmos P I E N S A Y C A L C U L A Halla el valor de x e los siguietes casos: a) 0 = x b) 0 x = c) x = 00 d) x = 0 e) 0 x =.. Logaritmos Logaritmo = expoete El logaritmo e base a (a > 0, a? ) de u úmero p > 0 es el expoete x al ue hay ue elevar la base a para obteer el úmero p. Se represeta por p. Se tiee ue: p = x ï a x = p Halla log 8 log 8 =, porue = 8 Casos particulares a) a = ï a = a : log = b) = 0 ï a 0 = : log = 0 Logaritmos decimales log 000 = ï 0 = 000 log 00 = ï 0 = 00 log 0 = ï 0 = 0 log = 0 ï 0 0 = log 0, = ï 0 = 0, log 0,0 = ï 0 = 0,0.. Logaritmo decimal Los logaritmos decimales so los logaritmos e los ue la base es 0. E este caso, la base 0, ue es el subídice, o se escribe. log p = x ï 0 x = p Calcula log 000 ò log 000 =, porue 0 = Logaritmo eperiao Los logaritmos eperiaos so los logaritmos e los ue la base es el úmero e =,788 Se represeta por L o l L p = x ï e x = p Calcula L 000 ò L 000 =,9077 a) Potecia: halla = 8 b) Raíz: si a = 8, halla a a = 8 ò a = 8 = c) Logaritmo: si = 8, halla = log 8 =.. Relació etre potecia, raíz y logaritmo Dada la expresió a es la base. a = p es el expoete o logaritmo. p es el resultado de la potecia. a) Potecia: coocidos a y, debe hallarse p b) Raíz: coocidos y p, debe hallarse a c) Logaritmo: coocidos a y p, debe hallarse 8 BLOQUE I: ARTIMÉTICA

10 .. Calculadora Las calculadoras tiee las teclas log para hallar el logaritmo decimal, y para calcular el logaritmo eperiao. Calcula log, log, =,0 log. =,0 Calcula L 8, L 8, =,90 l 8. =,90 l.. Propiedades de los logaritmos Propiedad Logaritmos a) El logaritmo de u producto es la suma de los logaritmos. (p ) = p + log ( 8) = log + log 8 b) El logaritmo de u cociete es el logaritmo del umerador meos el del deomiador. c) El logaritmo de ua potecia es el expoete multiplicado por el logaritmo de la base. d) El logaritmo de ua raíz es el logaritmo del radicado dividido por el ídice. p = p 7 log = log 7 log p = p log = log = p p log 7 = log 7 Halla el valor de x e los siguietes casos: a) = x b) x = 7 c) x = / Halla el valor de x e los siguietes casos: a) = x b) x = 8 c) x = / Sabiedo ue log = 0,00, calcula el logaritmo de si utilizar la calculadora. 0 log = log = log 0 log = 0,00 = 0,990 A P L I C A L A T E O R Í A Utilizado las propiedades de los logaritmos y la calculadora, halla los siguietes logaritmos. Redodea el resultado a cuatro decimales. a) log 7 b) log c) log (0, 0 7 ) 7 Halla metalmete los siguietes logaritmos: a) log 00 b) log 0 c) log 0,00 8 Halla metalmete los siguietes logaritmos: a) log b) log c) log /8 9 0 Utilizado la calculadora, halla los siguietes logaritmos. Redodea el resultado a cuatro decimales. a) log, b) log 7 c) log 0,0 Utilizado la calculadora, halla los siguietes logaritmos. Redodea el resultado a cuatro decimales. a) L b) L,7 c) L 0, Sustituye los putos suspesivos por igual, =, o distito,?: a) log (7 + ) log 7 + log b) log log c) log log log d) log log Sabiedo ue log = 0,990, halla: a) log b) log 0. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 9

11 Profudizació: demostracioes Cuadro comparativo de las propiedades de las potecias y de los radicales Potecias Radicales a = a a ) a = = 8 a = b ï b = a = Ï 0 = 0,? 0 0 = 0 a = b ï b = a 8 = = = a = b ï b = a = ; 8 = Ï a 0 =, a? 0 0 = a = ( a ) = a 7 = ( 7 ) = 7 a = a = s a ps = a p 0 7 = 7 = 7 a a p = a + p = 7 a b = a b = = 0 a : a p = a p 8 : = a b = a b = (a ) p = a p ( ) = a : b = a : b : = : (a b) = a b ( ) = ( a ) p = a p ( 7 ) = 7 (a : b) = a : b ( : 7) = : 7 p a = p a 7 = 7 a =, a? 0 a = a / = a / = a =a / = / a / =, a? 0 a / = a =a /, a? 0 = / a p/ = a p 7 / = 7 a p/ =, a? 0 / = a p a p =a p/ = / =a p/, a? 0 =7 / a p 7 0 BLOQUE I: ARITMÉTICA

12 Profudizació: demostració de las propiedades de los logaritmos Propiedad del producto El logaritmo de u producto es la suma de los logaritmos: (p ) = p + Demostració Supogamos ue: p = x ï a x = p = y ï a y = (p ) = (a x a y ) = a x + y = x + y = p + Propiedad del cociete p El logaritmo de u cociete es la diferecia de los logaritmos: = p Demostració Supogamos ue: p = x ï a x = p = y ï a y = p = log a x a = a x y = x y = p a y Propiedad de la potecia El logaritmo de ua potecia es el expoete multiplicado por el logaritmo de la base: p = p Demostració Supogamos ue: p = x ï a x = p p = (a x ) = a x = x = p Propiedad de la raíz p El logaritmo de ua raíz es el logaritmo del radicado dividido por el ídice: p = Demostració Supogamos ue: p = x ï a x = p = = a x/ x = = p p a x. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

13 Ejercicios y problemas. Potecias de expoete atural y etero Calcula metalmete los cico primeros cubos perfectos. Calcula metalmete: a) b) ( ) c) d) ( ) Calcula metalmete: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) 7 Calcula metalmete: a) 0 0 b) ( ) 0 c) d) ( ) 8 Utilizado la calculadora, realiza las siguietes operacioes y redodea los resultados a dos decimales: a) 0, b) 7, c), 0 d),7 0 8 : 9, Escribe e forma de potecia de base : a) 8 b) c) d) 7 Utilizado la calculadora, realiza las siguietes operacioes y redodea los resultados a dos decimales: a) (7,,) 7, b) (, + 7,8,7) : 9 c) (,, : 7,8),7 Calcula metalmete: a) ( + ) b) + c) (0 8) d) 0 8 Expresa el resultado e forma de ua sola potecia utilizado las propiedades de las potecias: a) x x b) x :x 7 c) (x ) d) x x :x a) 000 b) 00 c), d), Escribe e forma de radical las siguietes potecias: a) x / b) / c) a / d) 7 / Escribe e forma de potecia los siguietes radicales: a) a b) c) d) a 7 7 Simplifica los siguietes radicales: 9 a) b) x c) a d) 9 8 Itroduce detro del radical el factor ue está delate: a) b) a c) a d) x a y x y 9 Extrae todos los factores posibles de los siguietes radicales: a) 8 b) 8x c) a 7 b 9 d) 8x 9 y x 0. Operacioes co radicales 0 Realiza las siguietes sumas y restas de radicales: a) b) Utilizado la calculadora, halla la siguiete suma y resta de radicales. Redodea el resultado a dos decimales: Realiza los siguietes productos: a) b) 0 c) d). Radicales Calcula metalmete el valor de los siguietes radicales: a) b) c) 8 d) 9 Utilizado la calculadora, halla las siguietes raíces. Redodea los resultados a dos decimales. Realiza los siguietes cocietes: a) : b) 0 : c) 9 : d) : Sustituye los putos suspesivos por igual, =,o distito,?: 7 a) ( 7 ) b) BLOQUE I: ARITMÉTICA

14 Ejercicios y problemas Racioaliza: 8 7 a) b) c) 7 7 Racioaliza: 0 a) b) c). Logaritmos 7 Halla metalmete el valor de x e los siguietes casos: a) = x b) x = c) x = / Halla metalmete el valor de x e los siguietes casos: a) = x b) x = c) x = Halla metalmete los siguietes logaritmos: a) log 000 b) log c) log 0 Halla metalmete los siguietes logaritmos: a) log 9 b) log /7 c) log Utilizado la calculadora, halla los siguietes logaritmos. Redodea el resultado a cuatro decimales: a) log 0,7 b) log,9 c) log 0,000 Utilizado la calculadora, halla los siguietes logaritmos. Redodea el resultado a cuatro decimales. a) L b) L,8 c) L 0,0 Utilizado las propiedades de los logaritmos y la calculadora, halla los siguietes logaritmos. Redodea el resultado a cuatro decimales. a) log 0 87 b) log c) log ( :, ) Sustituye los putos suspesivos por igual, =,o distito,?: a) log ( : 9) log log 9 b) log 7 log 7 c) log ( + 8) log + log 8 d) log ( + 8) log 0 Sabiedo ue log = 0,00, halla: a) log b) log 0 Para ampliar Escribe e forma de radical las siguietes potecias y halla metalmete el resultado: a) 8 / b) 9 / c) / d) 8 / Efectúa las siguietes operacioes: 7 8 a) ( + ) b) ( ) ( + )( ) a) b) a) b) 7 a) b) a) b) : 7 a) b) 7 : 7 7 Escribe co u solo radical: a) a b) x Racioaliza: a) b) 7 a) b) + 78 a) b) Reduce al logaritmo de ua sola expresió: log + log log log 7 + log + log b log c log x log y + log z log x + log y +. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

15 Ejercicios y problemas Co calculadora Utilizado la calculadora, halla el valor de la siguiete expresió. Redodea el resultado a dos decimales. (, 8, 7,8), a) π 7, 8 b) π 7, 8 a), b) 7,, 87 a) π e b) e π Utilizado la calculadora, halla los siguietes logaritmos. Redodea el resultado a cuatro decimales a) log π b) log c) log e 89 + a) L π b) L c) L 0 Problemas Calcula el volume de u cubo de área m Ua escalera está apoyada sobre la fachada de u edificio. Si la escalera mide m de logitud y el pie de la escalera está a m de la pared, a ué altura de la pared llega la escalera? Ua població crece segú la fució dada por P(t) = p,00 t, dode t es el tiempo e años. Si e el año 000 teía u milló de habitates, siedo p la població iicial, cuátos habitates tedrá e el año 00? Halla la arista de u cubo cuyo volume es 7 m. Redodea el resultado a dos decimales. La catidad de madera de u bosue crece segú la fució y = x,0 t, dode t es el tiempo e años y x es la catidad de madera iicial. Si e el año 000 el bosue tiee 000 km de madera, cuáta madera tedrá e el año 00? Halla el volume de u coo e el ue el radio de la base mide m, y la geeratriz, m La fórmula del capital fial e el iterés compuesto es C = c( + r) t, dode C es el capital fial, c es el capital iicial, r es el tato por uo y t es el tiempo e años. Calcula e cada caso la icógita ue falta: a) c = 0 000, r = 0,0, t = años b) C = 000, r = 0,0, t = 8 años c) C = 0 000, c = 000, t = 0 años d) C = 0 000, c = 000, r = 0,07 Las medidas de las tarjetas de crédito está e proporció áurea, es decir, el cociete etre la medida del largo y la medida del acho es + f =. Si mide mm de acho, cuáto mide de largo? Ua ameba es u ser uicelular ue se reproduce por bipartició. Si partimos de u cultivo de 000 amebas ue se reproduce cada hora, cuáto tiempo tiee ue trascurrir para ue tegamos 0 amebas? Supogamos ue, e cada uo de los 0 años siguietes, el IPC es de u %. Si u producto cuesta actualmete 00, cuáto costará al cabo de los 0 años? Para profudizar 00 Racioaliza: a+ b a b a) b) a b a+ b 0 Ua moto se devalúa u % cada año. Si os ha costado 000, ué valor tedrá al cabo de 0 años? 0 Halla el área y el volume de ua esfera de radio R =, m 0 Se ha obteido experimetalmete ue la presió atmosférica viee dada por la fució p(x) = 0,9 x, dode x es la altura sobre el ivel del mar.la altura se mide e kilómetros, y, la presió, e atmósferas. a) Halla la presió e lo alto de ua motaña de 00 m b) Halla la altura a la ue hay ue subir para ue la presió sea de 0,8 atmósferas. 0 La masa de u cuerpo radioactivo viee dada por la fució M = m(/) t, dode t es el úmero de períodos. U período de semidesitegració es el tiempo ecesario para ue la masa se covierta e la mitad. Si teemos 0 g de u cuerpo radioactivo ue tiee u período de años, cuátos años tiee ue trascurrir para ue tegamos g de dicho cuerpo? BLOQUE I: ARITMÉTICA

16 Aplica tus competecias Crecimieto de la població La fórmula del crecimieto de ua població, sea persoas, aimales o vegetales, viee dada por: P = p( + r) t dode p es la població iicial, r es el tato por uo al cabo de u año, t es el úmero de años y P es la població fial. 0 0 Ua ciudad tiee habitates, y su població crece u,% cada año. Cuátos habitates tedrá al cabo de 0 años? Ua població de algas e u lago cubre ua superficie de m. Si se reproduce a razó de 0, m cada año, cuátos metros cuadrados cubrirá al cabo de 0 años? 07 Teemos ua població iicial de 00 coejos e ua gra llaura co comida abudate. Si se reproduce a razó de 0 coejos cada año, cuátos coejos habrá al cabo de años? Comprueba lo ue sabes 7 8 Defie ué es u logaritmo decimal y po u ejemplo. Escribe e forma de potecia de base : a) b) c) d) Extrae todos los factores posibles de los siguietes radicales: a) 98 b) 8x 8 c) 8a b 0 d) x 8 y z 0 Racioaliza: 8 a) b) c) Halla metalmete el valor de x e los siguietes casos: a) = x b) x = 8 c) x = /8 Sabiedo ue log = 0,00, halla: a) log b) log 0 + Halla la diagoal de u cubo de forma exacta, es decir, da el resultado e forma de u radical, cuado el volume mide m Ua célula se reproduce por bipartició cada horas. Si se parte iicialmete de 00 células, cuáto tiempo tiee ue trascurrir para ue haya milló de células? 8. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

17 Paso a paso. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 08, Solució: Solució: a) Para escribir la potecia e elige Potecia b) Haz clic e Calcular Racioaliza: Solució: ( 9) 8,09 Solució: a) Para escribir la raíz cuadrada e elige Raíz cuadrada b) Haz clic e Calcular 7 Solució: a) Para escribir la raíz e elige Raíz b) Detro de la raíz, después del 7 se escribe u puto para ue dé el resultado como decimal. 0 8 Solució: log, Solució: L 8, Solució: E Wiris, logaritmo eperiao se escribe l Platea los siguietes problemas y resuélvelos co ayuda de Wiris: U coche cuesta y se devalúa cada año u 7%. Cuátos años tardará e valer meos de 000. Solució: Para resolver la ecuació e elige Racioaliza: 7 Iteret. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. BLOQUE I: ARITMÉTICA

18 Liux/Widows Así fucioa Meú operacioes Parétesis Potecia Raíz Fracció Raíz cuadrada Logaritmos El logaritmo decimal es log(x) El logaritmo eperiao es l(x) Cometarios Para escribir cada líea de cometario e se elige Cometar (Ctrl + T) Se cooce los cometarios porue aparece escritos de color rojo. Si ya teemos escrita parte de ua líea, e icluso si la teemos escrita etera y os hemos olvidado de ue era u cometario, aparecerá de color egro. Para hacer ue sea u cometario y aparezca de color rojo o es ecesario borrarla y volverla a escribir; es suficiete co teer el cursor e cualuier posició de dicha líea y hacer clic e Cometar (Ctrl + T) Por el cotrario, si hemos escrito ua operació como cometario y aparece de color rojo, co hacer clic e Cometar (Ctrl + T) se volverá e egro. Practica a) (,7 + 8), b) (,, 7,) :, a),7 b) c) 89, d) a) b) , 000 Racioaliza: 0 a) b) c) + a) log, b) log 7 c) log 0,0 a) L b) L,7 c) L 0, a) log 7 b) log c) log (0, 0 7 ) Platea los siguietes problemas y resuélvelos co ayuda de Wiris: Ua pecera tiee forma cúbica y la arista mide 7 cm. Si está llea, cuátos litros de agua cotiee? Supogamos ue e cada uo de los 0 años siguietes el IPC es de u %. Si u producto cuesta hoy 00, cuáto costará al cabo de los 0 años? 7 Ua ameba es u ser uicelular ue se reproduce por bipartició. Si partimos de u cultivo de 000 amebas ue se reproduce cada hora, cuáto tiempo tiee ue trascurrir para ue tegamos 0 amebas?. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 7

19 Paso a paso , Solució: E la Etrada de Expresioes escribe:.^ Elige Itroducir y Aproximar. ( 9) 8,09 Solució: E la Etrada de Expresioes escribe: (^ 9) 8.09 Elige Itroducir y Aproximar Solució: E la Etrada de Expresioes escribe: 7^(/) Elige Itroducir y Aproximar Solució: E la Etrada de Expresioes escribe: 0 8 Elige Itroducir y Simplificar Racioaliza: Solució: E la Etrada de Expresioes escribe: / Elige Itroducir y Simplificar Racioaliza:. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS Ajusta la cofiguració: e la barra de meús elige: Opcioes/Ajustes de Modo /Simplificació/Restablecer 7 + Solució: E la Etrada de Expresioes escribe: /( 7 + ) Elige Itroducir y Simplificar log, Solució: E la Etrada de Expresioes escribe: log(., 0) Elige Itroducir y Aproximar.0 L 8, Solució: E la Etrada de Expresioes escribe: l(8.) Elige Itroducir y Aproximar.9 Platea los siguietes problemas y resuélvelos co ayuda de DERIVE: 7 U coche cuesta y se devalúa cada año u 7%. Cuátos años tardará e valer meos de 000. Solució: Plateamieto: ,8 x = 000 E la Etrada de Expresioes escribe: ^x = 000 Elige Itroducir Expresió E la barra de herramietas elige Resolver o despejar, activa el botó Real y haz clic e el botó Resolver E la barra de herramietas elige Aproximar x = 8.7 Tardará 8, años. 7 Iteret. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. 8 BLOQUE I: ARITMÉTICA

20 Así fucioa Potecias Sigo de potecia, se escribe ^ El sigo ^ es el aceto circuflejo fracés. Se puede obteer e el teclado mateiedo pulsada la tecla [ ] Mayúsculas y pulsado la tecla [^]. Cuado se hace esto o aparece el aceto ^, pues, como todos los acetos, está esperado la vocal correspodiete para poerse ecima; si embargo, como lo ue escribimos a cotiuació es u úmero y o se puede poer ecima, aparecerá al mismo tiempo el sigo ^ y el úmero. Tambié se puede obteer e la Vetaa de Símbolos El sigo de potecia, ^, es el ue está e la primera fila e el uito lugar. No se debe cofudir co el sigo de cojució, ue es ì. Éste es muy parecido, pero es más grade y está más bajo; se ecuetra e la seguda fila. Raíces Sigo de raíz cuadrada. Se obtiee e la Vetaa de Símbolos Para hallar ua raíz cúbica o de orde superior, hay ue expresarla como potecia. 7 = 7 / e DERIVE se escribe 7^(/) Si e el radicado hay ua operació, ésta hay ue poerla etre parétesis. Logaritmos El logaritmo eperiao es l(x), o bie log(x). Cualuier otro logaritmo, icluido el decimal, se escribe log(x, b), dode b es la base. Practica Widows Derive a) (,7 + 8), b) (,, 7,) :, a),7 b) c) 89, d) a) b) , 000 Racioaliza: 0 a) b) c) + a) log, b) log 7 c) log 0,0 a) L b) L,7 c) L 0, a) log 7 b) log c) log (0, 0 7 ) Platea los siguietes problemas y resuélvelos co ayuda de DERIVE: Ua pecera tiee forma cúbica y la arista mide 7 cm. Si está llea, cuátos litros de agua cotiee? Supogamos ue e cada uo de los 0 años siguietes el IPC es de u %. Si u producto cuesta hoy 00, cuáto costará al cabo de los 0 años? 7 Ua ameba es u ser uicelular ue se reproduce por bipartició. Si partimos de u cultivo de 000 amebas ue se reproduce cada hora, cuáto tiempo tiee ue trascurrir para ue tegamos 0 amebas?. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 9

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