5. Crecimiento, decrecimiento. y Economía

Transcripción

1 5. Crecimieto, decrecimieto y Ecoomía

2 Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales I. Sucesioes. Matemática fiaciera 3. Fució epoecial y logarítmica 4. Modelos de crecimieto 80

3 Crecimieto, decrecimieto y Ecoomía. SUCESIONES SUCESIONES Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros. Los térmios de ua sucesió se represeta co subídices. Así: a es el primer térmio, a es el segudo térmio, a 3 es el tercer térmio, etc. Al úmero que ocupa el lugar e la sucesió, esto es, a se le llama térmio geeral o térmio eésimo de la sucesió. La fórmula que da el térmio geeral de la sucesió permite obteer todos los térmios de la misma, de forma que, haciedo e ella = debemos obteer el primer térmio; haciedo = obtedremos el segudo; haciedo = 3 obtedremos el tercero, etc. Halla los térmios geerales de las siguietes sucesioes: a), 4, 7, 0, 3,... b),, 3, 4,,... c), 4, 9, 6, 5,... 5 d), -, 3, - 4,,... e) 5, 9, 3, 7,,... f ), 6,, 0, 30, 4,... 5 TERMINO GENERAL Escribe los seis primeros térmios de las sucesioes cuyos térmios geerales se idica a cotiuació: + a = 3 a = a 5 + = 5 a = a = a = a = - RECURRENCIA a - = a = + Escribe los diez primeros térmios de las siguietes sucesioes, dadas por recurrecia: ) a ) a = ; = 3; a a = 3; = 5; a a = a a = a - 8

4 Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales I CRECIENTES Y DECRECIENTES Ua sucesió a se dice que es creciete si cada térmio de la sucesió es mayor que cualquiera de los ateriores, es decir, si se cumple: a - a. Los térmios de ua sucesió creciete va aumetado. La gráfica de esta sucesió es creciete. Ua sucesió a se dice que es decreciete si cada térmio de la sucesió es meor que cualquiera de los ateriores, es decir, si se cumple: a - a. Los térmios de ua sucesió decreciete va dismiuyedo. La gráfica de esta sucesió es decreciete. SUCESION CRECIENTE SUCESION DECRECIENTE Idica cuáles de las siguietes sucesioes so crecietes y cuáles decrecietes: a),, 3, 4, 5,... b) 0, 0'3, 0'33, 0'333, 0'3333,... c) Sucesió de térmio geeral a d) a =, a = 3, a = + a e) Sucesió de térmio geeral + f ) 0'9, 0'99, 0'999, 0'9999,... SUCESIONES ACOTADAS Se dice que ua sucesió a está acotada superiormete si todos los térmios de la sucesió se coserva iferiores a u cierto úmero M, es decir: a M. El úmero M se llama cota superior de la sucesió. Se dice que la sucesió a está acotada iferiormete si todos los térmios de la sucesió se coserva superiores a u cierto úmero N, es decir: N a. El úmero N se llama cota iferior de la sucesió. Averigua cuáles de las siguietes sucesioes está acotadas: a),,, 34, 47, 6,... b) Sucesió de térmio + geeral c),,,,... e),,,, 3, 3,

5 Crecimieto, decrecimieto y Ecoomía SUCESIONES ARITMETICAS Ua sucesió aritmética es aquella e la que cada térmio se obtiee sumado al aterior u úmero fijo, llamado razó o diferecia. Sea a, a, a 3, a 4,..., a,... ua sucesió aritmética de diferecia d. Etoces se cumple: a = a + d a 3 = a + d = a + d + d = a + d a 4 = a 3 + d = a + d + d = a + 3 d E geeral, se cumple: =a + d a que es la epresió del térmio geeral de ua sucesió aritmética. a) Halla el térmio geeral de las sucesioes aritméticas: 4, 8,, 6, 0,..., 4, 0, 6,,... 5,,, 4, 7,... b) Halla los térmios 8 o y 7 o de la sucesió aritmética: 5, 8,, 4,... c) Halla el octavo térmio de la sucesió aritmética:, 3,, 8,... d) Halla el úmero de térmios de ua sucesió aritmética si se sabe que el primer térmio es, el último 6 y la diferecia 3. e) Halla la diferecia de ua sucesió aritmética si el térmio 4 o es, y el térmio o es 4. f) Halla la diferecia de ua sucesió aritmética de 7 térmios, si se sabe que el último térmio es la uidad y el tercero es /5. SUMAS ARITMETICAS FINITAS Sea a, a, a 3,..., a -, a -, a,... ua sucesió aritmética de diferecia d. Para calcular la suma de los primeros térmios: S = a + a + a a - + a - + a, utilizamos el llamado método de Gauss: S = a + a + a a - + a - + a Todas las sumas idicadas vale lo mismo. Por lo tato, la suma buscada será: S = a + a o bie: S = a + - d a) Calcula las siguietes sumas fiitas:

6 Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales I b) Halla la suma de los térmios de la sucesió aritmética: 5,, 6, 3, 8,... que tiee 7 4 térmios. c) E ua sucesió aritmética es a = 0, a = 50, y la suma de sus térmios, 300. Halla el úmero de térmios y la diferecia. d) E ua sucesió aritmética el primer térmio es, el úmero de térmios, 5, y la suma de los térmios, 90. Halla la diferecia. CUATRO CIUDADES Cuatro ciudades se ecuetra al borde de ua misma carretera. Las distacias etre dos ciudades cosecutivas forma ua sucesió aritmética. Si la logitud total de la carretera es de 0 km., y la tercera ciudad se ecuetra eactamete a mitad de camio, cuáles so las distacias que separa a estas ciudades?. ENTRENAMIENTO U atleta debe participar e ua carrera de 40 km. Iicia su etreamieto corriedo 4 km, y cada día corre km más. Cuátos días tardará e estar e codicioes de correr los 40 km?. Cuátos kilómetros habrá recorrido e total durate el etreamieto?. CARRETERA U obrero trabaja e las obras de la carretera. Su misió cosiste e tomar piedras idicadoras de distacia y trasladarlas al lugar que debe ocupar. Para ello, coge ua piedra del camió y, camiado, llega al primer puto de destio. Vuelve e busca de otra piedra y la sitúa e el segudo puto, y así sucesivamete. La distacia etre cada piedra es de 00 m y la velocidad, cosiderado e ella el tiempo que pierde e coger las piedras del camió y e dejarlas bie colocadas e su sitio, es de 4 km / h. Cuáto tiempo tarda e colocar piedras por este procedimieto?. SUCESIONES GEOMETRICAS Ua sucesió geométrica es aquella e la que cada térmio se obtiee multiplicado el aterior por u úmero fijo llamado razó. Sea a, a, a 3, a 4,..., a,... ua sucesió geométrica de razó r. Etoces se cumple: a = a. r a 3 = a. r = a. r. r = a. r a 4 = a 3. r = a. r. r = a. r 3 E geeral, se cumple que: - a = a r que es la epresió del térmio geeral de ua sucesió geométrica. a) Halla el térmio geeral de las sucesioes geométricas:, 4, 8, 6,..., 6, 8, 54,... 3,, 48, 9,... b) Forma ua sucesió geométrica sabiedo que a =, a 5 = 04, a = c) Forma ua sucesió geométrica sabiedo que a 3 =, = 5, r = 3. 84

7 Crecimieto, decrecimieto y Ecoomía d) Halla el térmio 0 o de la sucesió geométrica: 5, 4,... e) Halla la razó de ua sucesió geométrica si el quito térmio es 3768 y el octavo térmio es f) Halla la razó de ua sucesió geométrica de cico térmios si se sabe que el último térmio es la uidad y el tercero es 49. SUMAS GEOMETRICAS FINITAS Si la sucesió geométrica a, a, a3, a4,... tiee de razó r, sigifica que cada térmio es igual al aterior multiplicado por r. Etoces, el cociete de cada térmio etre la razó r dará el térmio aterior. Es decir, si a4 r a3 etoces a 4 a. 3 r La suma de los primeros térmios es: S a a a... a 3 a Multiplicado los dos miembros de esta igualdad por r resulta: a S r r a a a 3 P... a Observa que la parte P de S es eactamete S a. Por tato: r a S S a. Multiplicado por r queda: S a r S r a. De dode: r r a a r r S a a r. Despejado resulta fialmete: S r P a) Halla la suma de los 0 primeros térmios de la sucesió geométrica:, 5,... b) Halla la suma de los 8 primeros térmios de la sucesió geométrica: 8, 54, 36,... c) Halla la suma de los 9 primeros térmios de la sucesió geométrica: 3,,,... 3 d) Halla las siguietes sumas fiitas: e) La suma de cuatro térmios cosecutivos de ua sucesió geométrica es 45 y el segudo de ellos es 0. Calcula los otros tres. f) La suma de tres térmios cosecutivos de ua sucesió geométrica es 43, y su producto 6. Calcula estos tres térmios. 85

8 Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales I SUMAS GEOMETRICAS INFINITAS Si la sucesió geométrica a, a, a3, a4,... tiee de razó r, sigifica que cada térmio es igual al aterior multiplicado por r. Etoces, el cociete de cada térmio etre la razó r dará el térmio aterior. Es decir, si a4 r a3 etoces a 4 a. 3 r La suma de los ifiitos térmios es: a a a a... S 3 4 Multiplicado los dos miembros de esta igualdad por resulta: r a S a a a3... Observa que ua parte de S es eactamete S. Por tato: r r r a S S r r. Multiplicado por r queda: S a r S. De dode: r S a. a Despejado resulta fialmete: S r Esta fórmula sólo es valida si la razó r verifica: r 0 r Calcula las siguietes sumas: a) b) c) REPARTO U padre reparte diero etre sus cuatro hijos, e sucesió geométrica, desde los 5 euros que recibe el hijo meor, hasta las 000 euros que recibe el hijo mayor. Cuáto diero se repartió?. POBLACION La població de ua aldea, al fial de cuatro décadas cosecutivas, era de 73, 8, 395 y 54 persoas, respectivamete. La població, aumeta e sucesió aritmética o e sucesió geométrica?. TENIS Ua pelota de teis se deja caer desde 3 m de altura y cada vez que rebota, alcaza ua altura que es la mitad de la altura desde la que cayó. Qué distacia habrá recorrido cuado alcace el suelo por décima vez?. Cuál hasta que queda defiitivamete parada?. CUADRADO Se ue los putos medios de los lados de u cuadrado de lado uidad, obteiédose de ese modo otro cuadrado. Se ue los putos medios de éste último, obteiédose u tercer cuadrado, y así sucesivamete, hasta costruir 0 cuadrados. Cuál es el área de cada uo de ellos?. Cuál la suma de las áreas?. EDADES Ua familia tiee 3 hijos cuyas edades forma ua sucesió aritmética de suma 36. Si a la edad del segudo hijo le añadimos, y a la del mayor le añadimos, los tres úmeros forma ua sucesió geométrica. Halla las edades de los tres hijos. 86

9 Crecimieto, decrecimieto y Ecoomía CONVERGENTES Y DIVERGENTES La sucesió,, 4, 8,,... es covergete de límite 0, ya que sus térmios va 6 dismiuyedo, acercádose cada vez más a 0. La sucesió, 33333, 5, 6, 66666,... cuyos térmios se obtiee a partir de la epresió a = es covergete de límite, ya que sus térmios va aumetado, + acercádose cada vez más a. La sucesió, 3, 9, 7, 8,... es divergete o tiee límite, ya que sus térmios va aumetado si cesar, si acercarse a igú úmero. Averigua cuáles de las siguietes sucesioes so covergetes e idica su límite: a) 0 9, 0 99, 0 999, ,... b) 0, 00, 000, 0000,... c),, 4, 8, 6, 3,... d),,,,,,... e), 9, 99, 999, 9999,... f) / 3, / 9, / 7, / 8,... NUMERO e Y LIMITES Co la calculadora hallamos térmios de la sucesió de térmio geeral: Para = a = + = a = + Para = 3 a = + = = '5 Para = a = + = = ' Para = 4 a4 = + = = ' Para = a5 = + = = ' Para = a0 = + = = ' Para = a00 = + = = ' Para = a000 = + = = ' Para = a = = '

10 Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales I Observa que los térmios de la sucesió se va acercado cada vez más a u cierto úmero compredido etre y 3. Este úmero se puede obteer co la calculadora de la siguiete forma: SHIFT LN La sucesió es, pues, covergete y su límite es el úmero e = Observa que para calcular el límite de ua sucesió, hay que obteer térmios avazados de la misma. Los primeros térmios o da iformació sobre el posible límite. Co ayuda de tu calculadora, averigua si las siguietes sucesioes so o o covergetes y halla el límite, si eiste: 5 a) a = + b) a 5 = + c)a + = d) a =. MATEMÁTICA FINANCIERA INTERES SIMPLE Si depositamos u capital iicial C e u baco co ua tasa de iterés r (epresada e tato por uo), los itereses devegados e u año I será I = C. r El capital obteido al fializar el año será: C + I = C + C. r = C ( + r) Si el período de tiempo es iferior a u año, hay que calcular la fracció de año que correspode a ese tiempo y multiplicar por r esa fracció de tiempo. Por ejemplo, e seis meses los itereses so Cr/ y al fial del período hay u capital de C+Cr/=C(+r(/)); e tres meses los itereses so Cr/4 y el capital fial es C+Cr/4=C(+r(/4)); etc. E geeral, si t es el tiempo epresado e años, se cumple que el capital fial e el período t es: C F =C +r t a) Ua persoa pide prestados euros co iteció de devolverlas al cabo de los seis meses. E ese mometo paga euros. Cuál fué la tasa de iterés?. b) Se presta u cuarto de milló de euros a ua tasa del 0 % aual. Si se devuelve el préstamo al cabo de ueve meses, qué catidad habrá que pagar e cocepto de itereses?. 88

11 Crecimieto, decrecimieto y Ecoomía INTERES COMPUESTO E el iterés simple, los itereses o se añade al capital, por lo que el capital que produce itereses es siempre el capital iicial. Si los itereses se acumula al capital y éste, por tato, va creciedo co el tiempo, decimos que el capital está depositado a iterés compuesto. Al fializar el primer año, el iterés será C. r, y el capital total, C + C. r = C( + r). El capital que produce itereses el º año es C( + r), los itereses al fializar el º año so C( + r). r y el capital total será: C( + r) + C( + r). r = C( + r)( + r) = C( + r). Al fializar el tercer año, el capital total será: C( + r) 3 t E geeral, para u tiempo de t años, el capital acumulado es C F = C(+ r) t Los itereses totales devegados e este tiempo so: I = C+r - C = C +r Los itereses y los capitales acumulados forma ua sucesió geométrica de razó +r. t - a) Se ivierte euros al 8 % de iterés compuesto durate 0 años. Cuál es el capital acumulado al cabo de ese tiempo?. Cuáles so los itereses producidos por el capital ivertido?. b) Repite el apartado aterior, si la tasa de iterés es trimestral, e lugar de aual. Qué le iteresa más al iversor?. c) Cuál es el tiempo míimo ecesario para triplicar u capital colocado al 5 % aual?. Y si los itereses se capitaliza semestralmete, al 5 %?. d) Cuál es la tasa de iterés aual de u capital que se duplica e 0 años?. VENTAS Ua empresa co vetas de de euros al año espera crecer al 8 % aual. Determia el ivel de vetas esperado a los seis años. AUTOMOVIL U automóvil tiee ua depreciació e su valor del 3 % mesual durate el primer año. Cuál es su valor cotable al termiar el año, si hoy vale 5000 euros?. AUMENTO DE SUELDO Ua empresa se compromete a subir el sueldo a sus empleados e u 6 % durate los cuatro próimos años. Cuál será la subida bruta mesual, año a año, para u empleado que gaa actualmete 000 euros al mes?. COCHE USADO U automóvil deprecia su valor u 5 % aual. Si uevo costó 6000 euros, cuáto valdrá a los cico años?. LETRAS DEL TESORO Si el iterés que se paga e las letras del tesoro es del 7 %, cuáto costará ua letra si al cabo de u año el Estado devuelve al comprador 0000 euros? 89

12 Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales I PRECIOS U fabricate aumeta el precio de sus productos segú el IPC, que e los últimos años ha teido u crecimieto aual medio del 6%. Cuál es el precio actual de u producto que hace 0 años costaba 00 euros?. MANHATTAN Se cueta que e 66 Peter Miuit compró la isla de Mahatta a los idios por 4 dólares. Imagíate que Miuit hubiera puesto e el baco los 4 dólares al 6% de iterés compuesto. Cuáto diero tedría e 998?. Sabes cuál es el precio actual de la isla de Mahatta?. VALOR ACTUAL Determia el valor actual de euros pagaderos detro de 4 años, cuado r = 0 % y la acumulació de iterés es mesual. INVERSIONES U pla de desarrollo de 5 años eige que se eleve las iversioes de 6 milloes al año a 4 milloes. Qué icremeto aual de promedio de las iversioes se ecesita aualmete?. ANUALIDADES Depositamos aualmete e ua etidad bacaria cierta catidad A. Al cabo de t años retiraremos el capital total acumulado, que ha estado capitalizado a ua tasa de iterés compuesto r. Cada aualidad hay que añadirla al capital más los itereses acumulados para que a su vez produzca itereses. Nos iteresa saber qué catidad C podremos retirar al cabo de esos t años. Si la etrega iicial la hacemos ahora, y la fial e el mometo de retirar la totalidad, habremos hecho e total t+ etregas. De ellas: la primera acumula u capital de A + r t la seguda acumula u capital de t- A + r t- la tercera acumula u capital de A + r... la peúltima acumula u capital de A +r la última acumula u capital de A Si sumamos todos los térmios tedremos el capital total acumulado. Es la suma de los térmios de ua sucesió geométrica de razó +r, úmero de térmios t+ y primer térmio A. Etoces: t+ + r C = A será el capital dispoible al fial del proceso. r 90

13 Crecimieto, decrecimieto y Ecoomía a) Ua persoa etrega aualmete, durate 0 años, ua catidad de 000 euros, que capitaliza a ua tasa aual del %. Qué capital ha acumulado al cabo de los diez años?. b) Si las etregas so de 500 euros trimestrales, cuál es ahora la catidad si la tasa de iterés o varía, pero se aboa itereses trimestralmete?. TESTAMENTO E el testameto de ua persoa figura ua cláusula por la que lega a u familiar 0 milloes de euros, aportado u milló más cada año, a u 0 % de tasa aual, durate 0 años, mometo e que el legatario recibe la catidad total acumulada. A cuáto asciede ésta?. PAGO MENSUAL Queremos recibir, detro de 5 años, dos milloes de euros, para lo que capitalizamos cierta catidad, al % mesual durate ese tiempo. De cuáto debe ser cada pago mesual?. PADRINO U recié acido recibe de su padrio ua libreta de ahorro al % mesual de iterés compuesto, co u depósito iicial de 000 euros. Cada año, hasta la mayoría de edad, deposita la misma catidad. De qué diero dispodrá el recié acido cuado alcace la mayoría de edad?. PLAN DE AHORRO Igresamos ua cierta catidad de diero C, que al cabo de cierto tiempo os será devuelta, pero o toda de ua vez, sio parcelada e cierto úmero de etregas durate cierto tiempo. Supodremos períodos de tiempo de u año. Si etregamos ahora la catidad, recibiremos el primer plazo detro de u año, el siguiete detro de dos, y así sucesivamete. Sea R la catidad que se etrega e cada plazo. El R valor actual de esa catidad es siedo r la tasa de iterés aual. La seguda etrega + r R tiee u valor actual de, ya que se etrega detro de dos años. La suma de los + r valores actuales de todas las etregas recibidas debe coicidir co el capital igresado iicialmete: R + r + R + R R 3 + r + r + r t = C siedo t el úmero de años. El primer miembro es la suma de t térmios de ua sucesió geométrica de razó. Por tato: + r t R + r C = de dode resulta r + + r C = R + r r t fórmula que relacioa el capital ivertido C co las etregas auales R. 9

14 Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales I Geeralmete se combia este pla de ahorro co la capitalizació: durate cierto úmero de años se capitaliza uas catidades depositadas periódicamete y llegado u mometo, el capital acumulado empieza a revertir a su propietario, e forma de u salario mesual (por ejemplo, e el mometo de la jubilació). De este modo, ua pérdida de poder adquisitivo puede compesarse co esta aportació suplemetaria de igresos. a) Mediate u igreso úico de 0 milloes de euros, qué aualidad se puede recibir, durate 0 años, a u % de iterés compuesto aual?. b) La catidad aterior se igresa hoy, pero se comieza a cobrar la aualidad detro de 5 años. Cuál será ahora ésta?. PLAN DE PENSIONES a) Ua persoa tiee 30 años. Decide capitalizar mediate etregas mesuales de 00 euros durate los próimos 30 años, de maera que, alcazada la jubilació puede obteer ua reta mesual durate otros 0 años. Cuál será el importe de esta reta mesual si la tasa mesual de iterés es del % durate el período de capitalizació, y de u % durate el período de recepció de la pesió?. b) E el apartado aterior, se itercambia los valores de las tasas de iterés. Cuál es ahora la reta mesual percibida?. Aaliza, comparativamete, este resultado y el del apartado aterior. QUINIELA El señor Rodriguez recibe u premio de milloes de euros de las quiielas de fútbol. Decide gastar u milló e sus vacacioes de verao, y depositar el resto, de maera que a partir del año siguiete reciba u milló aual para las vacacioes, durate años. Cuál debe ser la tasa de iterés aual para que el señor Rodriguez pueda ir de vacacioes cada año e las codicioes que él desea?. OTRO PLAN DE PENSIONES Ua persoa puede ahorrar mesualmete u % de su sueldo. E el mometo de la jubilació, su sueldo, actualizado e u porcetaje aual que coicide co la tasa de iflació, se verá reducido e u y%. Previedo esto, se desea capitalizar, durate los diez años que queda hasta la jubilació, ua parte de los ahorros mesuales, de maera que, al llegar el mometo de la jubilació, se pueda percibir ua reta suplemetaria que cosiga igualar su poder adquisitivo co el actual. Si la tasa de iflació prevista es del 5 % aual, y la tasa de iterés aplicada e todos los casos es del % aual, qué porcetaje de los ahorros debe ivertir e la capitalizació?. AMORTIZACION Pedimos u crédito al baco. Este os presta la catidad C, y, lógicamete hemos de devolver al baco uas cuotas R que se calcula eactamete de la misma maera que e los plaes de ahorro: R = C r + r t o lo que es lo mismo: R = t C r + r t + r a) Se obtiee u crédito de ua etidad bacaria por importe de u milló de euros, co el compromiso de devolverlo e 3 años, a ua tasa de iterés mesual del 5 %. Cuál será el importe de las cuotas?. b) E qué caso so más elevadas esas cuotas: a iterés compuesto o a la misma tasa de iterés simple?. 9

15 Crecimieto, decrecimieto y Ecoomía COMPRA DE UN PISO Ua pareja de recié casados adquiere u piso por 0 milloes de euros. Etrega 5 milloes como etrada, que es la totalidad de sus ahorros, y se compromete a pagar el resto al 9 % e 5 años. Qué aualidad debe pagar?. HIPOTECA Se amortiza ua hipoteca de euros e cuotas trimestrales durate 0 años, a u % de iterés compuesto mesual. Cuál es el importe de las cuotas?. OTRO PISO Se vede u piso por euros. Las cuotas mesuales so de 500 euros más ua etrada. Cuál debe ser el importe de ésta si el iterés cargado es del % aual: a) a iterés simple; b) a iterés compuesto?. TU ABUELO a) Supogamos que tu abuelo abrió ua cueta corriete a tu ombre, co euros., a u iterés del 7 8 %, cuado tu aciste. Ahora tiees 8 años y deseas comprarte ua moto que vale euros. Tedrás suficiete diero e tu cueta?. b) Si decides comprarte la moto y o tiees i u euro (a tu abuelo se le olvidó abrirte la cueta corriete), pides u préstamo a u baco, que te lo cocede a u %. Cuáto tedrás que pagar mesualmete para amortizar el crédito e tres años?. PRESTAMO Maolo decide pedir u préstamo a u Baco. U empleado le hace el siguiete cometario: el iterés es del por 00 aual, o si prefiere del 6 por 00 semestral, o bie del por 00 mesual. Crees que es cierta la afirmació hecha por el empleado?. Razoa la respuesta. 3. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA POTENCIAS a) Calcula, co ayuda de ua calculadora, las siguietes potecias: 3 8 π e b) Epresa e forma de potecia las catidades siguietes: c) Qué diferecia eiste etre 4 y 3 4 y?. E geeral, es lo mismo z y z que?. 93

16 Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales I Propiedades de las potecias: ) a ) a 3) a 6 ) a 4 ) a 0 5 ) a = = a a : a z z z = a = a = a = a +z z z Compruébalas co tu calculadora dado a, z y a valores arbitrarios. Distitos tipos de úmeros: a) Base y epoete eteros: 3, -3. b) Base etera y epoete fraccioario: / 3, 0 3. c) Base fraccioaria y epoete etero: (0 ), ( / ) 3. d) Base y epoete reales: (0 3), 3, e 0 9. E (a) y (c) se puede iterpretar la potecia como u producto reiterado: 3 =.. ; 3 = ( / ) ( / ) ( / ). Pero esta iterpretació o es válida e los casos (b) y (d). GRAFICAS Represeta gráficamete las siguietes fucioes epoeciales: y = 3 ; crecietes?. So decrecietes?. So cotiuas?. Razoa las respuestas. y = 3. So Propiedades de las fucioes epoeciales: Las fucioes del tipo y = a co a > 0 se llama fucioes epoeciales ( de base a ) y tiee las siguietes propiedades: Todas las fucioes epoeciales pasa por el puto (0, ), e el que corta al eje de ordeadas. La gráfica de la fució y = a, co a > 0 está situada por ecima del eje de abcisas: los valores de y so siempre positivos. Todas las fucioes del tipo y = a, co a > 0 tiee como asítota horizotal el eje de abcisas: Si a >, etoces cuado, y 0. Si 0 < a <, etoces cuado, y 0. Las fucioes del tipo y = a,co a > so crecietes. Las fucioes del tipo y = a, co 0 < a < so decrecietes. 94

17 Crecimieto, decrecimieto y Ecoomía IMPORTANTE: ) Si la base de la potecia es egativa, los valores de la fució y = a o está defiidos. Puedes comprobar co tu calculadora que: (3) 0 5 = E, (3) 5 = E, (3) 75 = E. Esto ocurre porque las potecias citadas represeta raíces de ídice par y o se puede hallar la raiz de ídice par de u úmero egativo. ) E el caso particular de tomar como base de la potecia el úmero e = lim = '78.. obteemos la fució epoecial de base e, y = e. 3) La forma más geeral de ua fució epoecial es y = k a b reales. co a > 0, b y k úmeros MAS GRÁFICAS Represeta las siguietes fucioes: a) f()= 5 d) f()= 0 b) f()= 0 e) f()=00 c) f()= 5 f) f()= 0'0 ANESTESIA Se admiistra 50 mg. de aestesia a u paciete al pricipio de la operació. Sabiedo que la cocetració e la sagre humaa dismiuye epoecialmete co arreglo a la fució f () = k 0'95, dode k es la catidad iicial y el tiempo e miutos que ha trascurrido desde su admiistració. Haz u estudio de dicha fució. Cuátos miligramos de aestesia queda e la sagre del paciete a la hora y media de su admiistració?. DUPLICACION Cuáto tiempo tardará u capital de C euros e duplicarse al 0% aual?. Depederá del capital iicial? 95

18 Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales I POBLACION Ua població tiee ua tasa de crecimieto aual del %. Se pide: a) La fució epoecial del crecimieto. b) Si se matiee ese ritmo de crecimieto, cuáto tiempo tardará e duplicarse la població?. CALCULADORA a) Halla co la calculadora, por esayo y error, los valores de e las siguietes ecuacioes: 3'4 =0 0'6 = '37 = 3 4'8 = b) Calcula los valores de que verifica las siguietes igualdades: 4 = 64 4 = 8 5 = 30 = 0'35 = 56 = 35 3 = 8 + = 6 ' ECUACIONES EXPONENCIALES Resuelve las siguietes ecuacioes: a) 5 d) =5 = 8 3 b) e = e c)e = e +3-3 e) 5 5 = 9 f)e = e LOGARITMOS Tu calculadora dispoe de las teclas log y l. Co ellas puedes hallar los valores de la llamada fució logarítmica decimal, y = log, y de la llamada fució logarítmica eperiaa, y = l. a) Calcula, co ayuda de tu calculadora: log 63, log 5, log 0, l 8, l, l 3. b) Halla los logaritmos decimales de los úmeros, 0, 00, 000. Hay algua relació etre ellos?. Observa la relació etre las teclas 0 y log: log = y 0 y = E muchas calculadoras la fució log se obtiee pulsado las teclas INV 0. Se dice que las fucioes y = log e y = 0 so fucioes iversas. De la misma forma, se cumple que: l = y e y = E la calculadora, la fució y = l se obtiee pulsado las teclas INV e, es decir, las fucioes y=l e y=e so fucioes iversas. c) Calcula, previa descomposició e factores primos, y utilizado posteriormete la calculadora: 3850 log, log 63504, l, l

19 Crecimieto, decrecimieto y Ecoomía VERDADERO O FALSO? Verdadero o falso?. Por qué?. a) b) log + log 3 = log 5 log + log 3 = log 6 c) log 5 - log 5 = log 0 d) e) log 5 - log 5 = log 3 log f) log 3 3 = log 3 log 3 Propiedades de la fució logarítmica decimal: ) log = 0 ) log 0 = 3) log (.z) = log + log z 4) log ( / z) = log log z 5) log z = z log 6) 0 log = 7) log 0 = 8) Si 0, log o eiste 9) log < 0 si 0 < < Propiedades de la fució logarítmica eperiaa: So las mismas que para la fució logarítmica decimal, co la codició de cambiar 0 por e y log por l. MAS LOGARITMOS Cómo podemos resolver la ecuació = ? Podemos resolverla por aproimacioes sucesivas. Pero tambié se puede resolver usado la fució que permite obteer el epoete cuado se cooce el valor de la fució epoecial de base. Esta fució se llama fució logarítmica de base. Se escribe así: = log y y sigifica que debe ser y =. Cómo puedes hallar co tu calculadora log si solamete dispoes de las teclas log y l?. Si = log y etoces debe ser y =. Como estos úmeros so iguales, sus logaritmos decimales tambié será iguales. Por lo tato, tomado logaritmos decimales, debe ser: log y = log = log. De dode: = log y log. Es decir: log y = log y log. E geeral, llamamos fució logarítmica de base a a la que permite obteer el epoete cuado se cooce el valor de la fució epoecial de base a. Se escribe así: = log a y y sigifica que debe ser y = a La fució logarítmica de base a cumple las mismas propiedades que las fucioes logarítmicas decimal y eperiaa, a saber: ) log a = 0 ) log a a = 3) log a (.z) = log a + log a z 4) log a ( / z) = log a - log a z 5) log a z = z log a 6) a log a = 7) log a a = 8) Si 0, log a o eiste 9) log a < 0, si 0 < < E geeral, se cumple: log a y = log y log a o bie: log a y = l y l a, que so las llamadas fórmulas del cambio de base. 97

20 Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales I a) Calcula los siguietes logaritmos: log 4 log 64 log log 6 log 3 8 log 04 log 5 35 log b) Calcula: log 3 8, log 5 3, log 0' 0'4, 4'99 log, log '00 60 '00 log 5, log 44, log 3 6 c) El logaritmo de 7, e cierta base, es 3. Cuál es la base?. El logaritmo de u úmero e cierta base, puede ser u úmero egativo?. Razoa la respuesta. ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES Resuelve las siguietes ecuacioes: a) log 5 + log 7 = log + - b) = 3 c)log = log + = d) log e)0 + = f) log +log + =log + ECUACIONES Resuelve las siguietes ecuacioes epoeciales. (Toma logaritmos e los casos que sea ecesario). 3 = 9 ; 0 +5 =7 3 ; = 8 ; 3 0 = ; 4 = 0 ; 3 5 = 7 ; 5 = log + =log = 3 3 log =log 3 + log log 6 log + 3 log = log8 4 GRAFICAS LOGARITMICAS a) Represeta gráficamete e los mismos ejes de coordeadas las fucioes Qué relació eiste etre las gráficas?. y = 3, y = log 3. b) Represeta gráficamete las fucioes = log y /3, y = 3. c) So crecietes o decrecietes las fucioes de los apartados ateriores?. So cotiuas?. 98

21 Crecimieto, decrecimieto y Ecoomía Propiedades de las fucioes logarítmicas: Las fucioes del tipo y = log a co a > 0 (fucioes logarítmicas) tiee las siguietes propiedades: Todas las fucioes logarítmicas pasa por el puto (, 0) e el que corta al eje de las. Todas las fucioes logarítmicas tiee como asítota vertical el eje de ordeadas, cumpliédose: Si a > etoces cuado 0 +, y. Si 0 < a < etoces cuado 0 -, y. Las fucioes y = log a co a > so crecietes. Las fucioes y = log a co 0 < a < so decrecietes. Todas las fucioes logarítmicas tiee domiio = R + Las gráficas de las fucioes y = log a, y = log /a so simétricas respecto al eje de las. Las gráficas de las fucioes y = log a, y = a so simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrate ( recta de ecuació y = ). Dichas fucioes so fucioes iversas. TRIPLICAR U capital de euros ha estado produciedo a iterés compuesto del 8 por 00 aual. Cuátos años tiee que pasar para coseguir triplicar dicho capital?. BACTERIAS Bajo codicioes iiciales el úmero de bacterias e u cultivo crece epoecialmete. Si e u cultivo hay 000 bacterias iicialmete, y al cabo de 0 miutos hay 6000, cuátas bacterias habrá al cabo de ua hora?. 99

22 Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales I INTERES CONTINUO U capital C o se coloca a u 5 por 00 aual, aboádose los itereses cada año. Cuáto diero tedremos detro de t años?. Si los itereses se aboa semestralmete, qué catidad tedremos al fializar el período de t años?. Y si se aboa trimestralmete? Y si se aboa mesualmete? Y si se aboa diariamete?. Qué pasaría si se aboase los itereses cotiuamete, es decir, a cada istate?. INTERESES Qué itereses produce 000 euros al % co acumulació: a) trimestral; b) cotiua, e 3 años?. 4. MODELOS DE CRECIMIENTO MODELOS DE CRECIMIENTO E geeral, ua fució epoecial es de la forma y = a, dode a es u úmero positivo distito de la uidad. Si a es mayor que, la fució es creciete, mietras que si a es meor que, la fució es decreciete. U caso especial muy importate es el que resulta de hacer a igual al úmero e. Cómo éste es superior a la uidad, la gráfica correspode a ua fució creciete. De acuerdo co todo lo dicho, podemos resumir, tomado como caso sigularmete relevate el de ua base igual al úmero e: ) Fució de crecimieto ilimitado: y = a e b ) Fució de decrecimieto limitado: y = a e b 00

23 Crecimieto, decrecimieto y Ecoomía 3) Fució de crecimieto limitado: y = a e b 4) Fució de crecimieto logístico: C y = + ae b Todas estas fucioes so de iegable importacia práctica. Se ha costruido las gráficas solamete e el primer cuadrate, ya que los valores positivos de e y so los más frecuetes e los problemas y aplicacioes ecoómicosociales. Los factores a y b que aparece e las fórmulas so factores de correcció a teer e cueta e cada caso particular, que matiza la forma de la curva, cerrádola o abriédola co mayor o meor rapidez. Represeta gráficamete los siguietes modelos de crecimieto: 6 0' a) y = 3 e b) y =0 e c) y =00e 0'0 3 0 d) y = 0 e EPIDEMIA DE GRIPE La catidad de persoas afectadas por ua epidemia de gripe se ajusta a la fórmula C(t) = e ' t dode t es el úmero de semaas trascurridas desde el primer brote de la efermedad. Cuátas persoas habrá cotraído la efermedad a las dos semaas?. Si o se aplica igua vacua, cuátas persoas cotraerá la gripe?. 0

24 Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales I POBLACION MUNDIAL Asumamos que la Tierra tiee ua capacidad poblacioal de milloes de habitates, y que la població mudial desde 960 se ajusta a la fució: P(t) = + C e co C y k positivos; t, úmero de años desde 960. Ecuetra los valores de C y k para que esta fució se ajuste a los 3000 milloes de persoas de 960 y a los 4000 milloes de 975. Segú este modelo de crecimieto, cuál será la població e el año 000?. k t CURVAS DE APRENDIZAJE k Ua fució epoecial de la forma y = a e dode las costates a y k so positivas, recibe el ombre de curva de apredizaje. La forma geeral de ua curva de apredizaje se muestra e la siguiete figura: Dibuja las gráficas de las siguietes curvas de apredizaje, previa costrucció de las correspodietes tablas de valores: a) a =, k = 0 5 d) a = 0 5, k = b) a = 4, k = 0 5 e) a = 0 5, k = 4 c) a =, k = 0 f) a = 0, k =. NATACION Ua persoa está aprediedo a adar. Después de t horas de práctica, es capaz de adar, e u miuto, ua distacia de y metros, dada por: 50 y = 3 0'04 t e. a) Qué distacia es capaz de recorrer e u miuto después de 0 horas de práctica?. b) Cuátas horas de práctica so ecesarias para recorrer 0 metros e u miuto?. 0

25 Crecimieto, decrecimieto y Ecoomía EPIDEMIA Ua epidemia se declara e ua ciudad; t semaas después el úmero de persoas afectadas viee dado por la fórmula C(t) = B + A e k t, dode B es el úmero de persoas residetes e la ciudad susceptibles de cotagiarse. Si iicialmete u 0 % de esas persoas había cotraído la efermedad, y cuatro semaas después ya la había cotraído el 50 %, cuátas estará ifectadas a la octava semaa?. INFORMÁTICA E ua academia de iformática se ha averiguado eperimetalmete que la curva de apredizaje correspodiete a la destreza iformática viee dada por la epresió y 30 e, dode es el úmero de semaas de clase recibidas, a razó de ua hora diaria de lues a vieres, e y es el úmero de palabras tecleadas por miuto, por térmio medio. A partir de estas iformacioes, resuelve las siguietes cuestioes: a) Determia si la fució es válida para ua persoa que adquirió previamete ua práctica reducida de iformática. b) Se podrá alcazar las 40 palabras por miuto?. c) Averigua qué úmero de palabras se escribe después de 0 semaas de etreamieto. d) Averigua e qué catidad de palabras se ha icremetado la habilidad a lo largo de la décima semaa. e) Dibuja la gráfica de la fució. 03

26 Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales I 04