2 Concepto de Capital Financiero. 3 Comparación de capitales financieros. 3 Ley financiera. 14 Capitalización compuesta. 23 Descuento comercial simple

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3 MODULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Ídice oceptos básicos de la iversió 2 ocepto de apital Fiaciero 3 omparació de capitales fiacieros 3 Ley fiaciera apitalizació 8 apitalizació simple 4 apitalizació compuesta Descueto 22 Itroducció 23 Descueto comercial simple 24 Descueto racioal simple 26 Descueto racioal compuesto Tipos de iterés y retabilidad 32 Tipos de iterés 34 Retabilidad Retas Fiacieras 46 Defiicioes 47 lasificacioes 48 Retas Fiacieras ostates 49 Retas Fiacieras Variables fikai AULA FINANIERA

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5 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN apítulo. oceptos básicos de la iversió. Feómeo fiaciero. ocepto de apital Fiaciero.2 omparació de capitales fiacieros.3 Ley fiaciera.3. Operació fiaciera fikai AULA FINANIERA

6 . Feómeo fiaciero. ocepto de apital Fiaciero apítulo : oceptos básicos de la iversió uado se dispoe de ua catidad de diero (capital) se puede destiar, o bie a gastarlo (satisfaciedo algua ecesidad), o bie a ivertirlo para recuperarlo e u futuro más o meos próximo, segú se acuerde. De la misma maera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer ua ecesidad, estaremos dispuestos a ivertir siempre y cuado la compesació ecoómica os resulte suficiete. E este setido el pricipio básico de la preferecia de liquidez establece que a igualdad de catidad los biees más cercaos e el tiempo so preferidos a los dispoibles e mometos más lejaos. La razó es el sacrificio del cosumo. Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de diero le asiga u valor objetivo fijado u precio por la fiaciació que se llama iterés. El iterés se puede defiir como la compesació por la reucia temporal del diero o coste de oportuidad de o dispoer del diero durate u tiempo. Esta compesació ecoómica se exige, etre otras, por tres razoes básicas: Por el riesgo que se asume. Por la falta de dispoibilidad que supoe desprederse del capital durate u tiempo. Por la depreciació del valor del diero e el tiempo. La cuatificació de esa compesació ecoómica, de los itereses, depede de tres variables, a saber: La cuatía del capital ivertido. El tiempo que dura la operació. El tato de iterés al que se acuerda la operació. uado se habla de capital fiaciero (; t) os referimos a ua cuatía () de uidades moetarias asociada a u mometo determiado de tiempo (t). 2 fikai AULA FINANIERA

7 .2 omparació de capitales fiacieros apítulo : oceptos básicos de la iversió E ua operació fiaciera o tiee setido hablar de capitales iguales (aquellos e los que coicide cuatías y vecimietos), sio que siempre estaremos refiriédoos a capitales equivaletes. Hay equivalecia etre dos capitales cuado a su propietario le resulta idiferete ua situació u otra. Es decir, si resulta idiferete cobrar hoy.000 euros a cobrar.050 euros detro de u año, etoces diremos que ambos capitales (.000; 0) y (.050; ) so equivaletes. De ua maera más geeral, dos capitales cualesquiera, co vecimieto e t y 2 co vecimieto e t 2, so equivaletes cuado se está de acuerdo e itercambiar uo por otro. El cocepto de equivalecia o sigifica que o haya gaacia o coste e la operació. Todo lo cotrario, la equivalecia permite cuatificar ese beeficio o pérdida que estamos dispuestos a asumir e ua operació cocreta..3 Ley fiaciera apítulo : oceptos básicos de la iversió Para que ua operació fiaciera se realice es ecesario que a los iterviietes las cuatías que da y recibe les resulte equivaletes. Es ecesario que deudor y acreedor se poga de acuerdo e cuatificar los capitales de los que se parte y a los que fialmete se llega. Esto implica elegir u método matemático que permita dicha sustitució: ua ley fiaciera. La ley fiaciera se defie como u modelo matemático (ua fórmula) para cuatificar los itereses por el aplazamieto y/o aticipació de u capital e el tiempo. oociedo las diferetes leyes fiacieras que existe y cómo fucioa se podrá sustituir uos capitales por otros, pudiédose formalizar las diferetes operacioes fiacieras..3. OPERAIÓN FINANIERA ONEPTO: Se etiede por operació fiaciera la sustitució de uo o más capitales por otro u otros equivaletes e distitos mometos de tiempo, mediate la aplicació de ua ley fiaciera. E defiitiva, cualquier operació fiaciera se reduce a u cojuto de flujos de caja (cobros y pagos) de sigo opuesto y distitas cuatías que se sucede e el tiempo. Así, por ejemplo, la cocesió de u préstamo por parte de ua etidad bacaria a u cliete supoe para este último u cobro iicial (el importe del préstamo) y uos pagos periódicos (las cuotas) durate el tiempo que dure la operació. Por parte del baco, la operació implica u pago iicial úico y uos cobros periódicos. fikai AULA FINANIERA 3

8 La realizació de ua operació fiaciera implica, por tato, que se cumpla tres putos:. Sustitució de capitales. Ha de existir u itercambio de u(os) capital(es) por otro(s). 2. Equivalecia. Los capitales ha de ser equivaletes, es decir, debe resultar de la aplicació de ua ley fiaciera. 3. Aplicació de ua ley fiaciera. Debe existir acuerdo sobre la forma de determiar el importe de todos y cada uo de los capitales que compoga la operació, resultado de la cosideració de los itereses geerados. ELEMENTOS - Persoales E ua operació fiaciera básica iterviee u sujeto (acreedor) que poe a disposició de otra (deudor) uo o más capitales y que posteriormete recuperará, icremetados e el importe de los itereses. La acció de etregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor se cosiderará la prestació de la operació fiaciera. La operació cocluirá cuado el deudor termie de etregar al acreedor el capital (más los itereses); a esta actuació por ambas partes se le deomia la cotraprestació de la operació fiaciera. E toda operació fiaciera las catidades etregadas y recibidas por cada ua de las partes o coicide. El aplazamieto (o adelatamieto) de u capital e el tiempo supoe la producció de itereses que formará parte de la operació y que habrá que cosiderar y cuatificar. Por tato, prestació y cotraprestació uca so aritméticamete iguales. No obstate, habrá ua ley fiaciera que haga que resulte fiacieramete equivaletes, es decir, que si valorásemos prestació y cotraprestació e el mismo mometo, co la misma ley y co el mismo tato, etoces sí se produciría la igualdad umérica etre ambas. Tato la prestació como la cotraprestació puede estar formadas por más de u capital que icluso se puede solapar e el tiempo. - Temporales Al mometo de tiempo dode comieza la prestació de la operació fiaciera se le deomia orige de la operació fiaciera. Dode cocluye la cotraprestació de la operació fiaciera se le llama fial de la operació fiaciera. Al itervalo de tiempo que trascurre etre ambas fechas se le deomia duració de la operació fiaciera, durate el cual se geera los itereses. - Objetivos La realizació de la operació fiaciera exige u acuerdo sobre aspectos tales como: la cuatía del capital de partida, la ley fiaciera que se va a emplear y, fialmete, el tato de iterés (coste/gaacia) uitario acordado. 4 fikai AULA FINANIERA

9 LASIFIAIÓN Segú la duració: A corto plazo: la duració de la operació o supera el año. A largo plazo: aquéllas co ua duració superior al año. Segú la ley fiaciera que opera: Segú la geeració de itereses: ) E régime de simple: los itereses geerados e el pasado o se acumula y, por tato, o geera, a su vez, itereses e el futuro. 2) E régime de compuesta: los itereses geerados e el pasado sí se acumula al capital de partida y geera, a su vez, itereses e el futuro. Segú el setido e el que se aplica la ley fiaciera: ) De capitalizació: sustituye u capital presete por otro capital futuro. 2) De actualizació o descueto: sustituye u capital futuro por otro capital presete. Segú el úmero de capitales de que costa: Simples: costa de u solo capital e la prestació y e la cotraprestació. omplejas (o compuestas): cuado costa de más de u capital e la prestació y/o e la cotraprestació. Segú el iterés: A iterés explícito: cuado e la operació fiaciera se produce los itereses al aplicar el tipo de iterés. Por ejemplo, u boo a 5 años co pago aual de itereses. A iterés implícito: cuado los redimietos se calcula sobre el valor omial y se descueta de dicho valor omial. Por ejemplo, ua Letra del Tesoro a 2 meses. fikai AULA FINANIERA 5

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11 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN apítulo 2. apitalizació 2. apitalizació simple 2.. Defiició y fórmula geeral 2..2 Magitudes derivadas 2..3 Tatos equivaletes e capitalizació simple 2..4 Números comerciales: cocepto y cálculo 2..5 Iterés simple aticipado 2.2 apitalizació compuesta 2.2. Defiició y fórmula geeral Magitudes derivadas Tatos equivaletes e capitalizació compuesta fikai AULA FINANIERA 7

12 2. apitalizació simple apítulo 2: apitalizació 2.. DEFINIIÓN Y FÓRMULA GENERAL Las operacioes e régime de capitalizació simple se caracteriza porque los itereses, a medida que se va geerado, o se acumula y o geera itereses e períodos siguietes (o so productivos). De esta forma los itereses que se produce e cada período se calcula siempre sobre el mismo capital el iicial, al tipo de iterés vigete e cada período. Este régime fiaciero es propio de operacioes a corto plazo (meos de u año), salvo que las codicioes de la operació idique lo cotrario. ONEPTO: Operació fiaciera cuyo objeto es la sustitució de u capital presete por otro equivalete co vecimieto posterior, mediate la aplicació de la ley fiaciera e régime de simple. DESRIPIÓN DE LA OPERAIÓN: Partiedo de u capital ( 0 ) del que se dispoe iicialmete capital iicial, se trata de determiar la cuatía fial ( ) que se recuperará e el futuro sabiedo las codicioes e las que la operació se cotrata (tiempo y tipo de iterés i ). ARATERÍSTIAS DE LA OPERAIÓN: Los itereses o so productivos, lo que sigifica que: A medida que se geera o se acumula al capital iicial para producir uevos itereses e el futuro y, por tato Los itereses de cualquier período siempre los geera el capital iicial ( 0 ), al tato de iterés vigete e dicho período. Así pues, la fórmula geeral del valor de los itereses e capitalizació simple, e el caso de que el tipo de iterés sea costate, es: I = 0 i dode: i = Tipo de iterés omial expresado e tato por uo y referido a u año. = Duració de la operació, expresada e años. 8 fikai AULA FINANIERA

13 DESARROLLO DE LA OPERAIÓN: El capital al fial de cada período es el resultado de añadir al capital existete al iicio del mismo los itereses geerados durate dicho período. De esta forma, la evolució del motate coseguido es el siguiete: = o + I sustituyedo los itereses por la expresió = i = o + ( o i ) I 0 Por tato: = ( + i ) 0 Siedo el factor de capitalizació = ( + i ) Expresió aplicable cuado el tipo de iterés de la operació se matiee costate todos los períodos. A partir de la expresió aterior (deomiada fórmula fudametal de la capitalizació simple) o solamete se puede calcular motates sio que, coocidos tres datos cualesquiera, se podría despejar el cuarto restate. Fialmete, hay que teer e cueta que lo que idica es el úmero de veces que se ha geerado (y acumulado) itereses al capital iicial, por tato, esa variable siempre ha de estar e la misma uidad de tiempo que el tipo de iterés (o importado cuál sea). ASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE: Si el tipo de iterés es variable la expresió para obteer el capital fial o motate sería: = 0 ( + i + i 2 + i i ) = 0 ( + j= i j ) fikai AULA FINANIERA 9

14 EJEMPLO RESUELTO álculo del motate e.s. i = cte alcular el motate obteido al ivertir euros al 8% aual durate 4 años e régime de capitalizació simple. o = =? 0 4 años i = 8% = 0,08 Para calcular el motate utilizamos la expresió: = ( + i ) 4 = ( + 0,08 x 4 ) = EJEMPLO RESUELTO álculo del motate e.s. i = vble Se quiere coocer qué capital podremos retirar detro de 3 años si hoy colocamos.000 euros al 5% de iterés aual simple para el primer año y cada año os sube el tipo de iterés simple u puto porcetual. E este caso al ser el tipo de iterés variable, para calcular el capital fial, aplicaremos la expresió: = 0 ( + i + i 2 + i i ) = 0 ( + j= 3 = 0 ( + i + i 2 + i 3 ) = 000 ( + 0,05 + 0,06 + 0,07 ) = 80 i j ) 0 fikai AULA FINANIERA

15 2..2 MAGNITUDES DERIVADAS ÁLULO DEL APITAL INIIAL: Partiedo de la fórmula del capital fial o motate y coocidos éste, la duració de la operació y el tato de iterés (cte), bastará co despejar de la misma: despejado 0 resulta: = o ( + i ) 0 = + i EJEMPLO RESUELTO álculo del capital iicial e.s. i = cte uáto deberé ivertir hoy si quiero dispoer detro de 2 años de.500 euros para comprarme u coche, si me asegura u 6% de iterés aual simple para ese plazo? o =? = años i = 6% = 0,06 0 = 0 ( + i).500 = ( = =.339,29 ( + 2 0,06) 2 0,06) ÁLULO DE LOS INTERESES TOTALES: Bastará co calcular los itereses de cada período, que siempre los geera el capital iicial y sumarlos. Itereses totales = I + I I = 0 i + 0 i i Luego: Itereses totales = Si i = i 2 = = i = i = cte 0 ( i + i i ) = 0 i j j= Itereses totales = I + I2 + + I = 0 i + 0 i i = 0 i Por último, si coocemos los capitales iicial y fial: I = - 0 fikai AULA FINANIERA

16 EJEMPLO RESUELTO álculo de los itereses e.s. i = cte Qué itereses producirá 300 euros ivertidos 4 años al 7% simple aual? Por suma de los itereses de cada período: Itereses totales = I + I 2 + I 3 + I 4 = 0 i + 0 i + 0 i + 0 i = 0 x i x 4 = = 300 x 0,07 x 4 = 84 Tambié se puede obteer por diferecias etre el capital fial y el iicial: 4 = 300 x ( + 0,07 x 4) = 384 I = = 84 EJEMPLO RESUELTO álculo de los itereses e.s. i = cte Qué iterés producirá euros ivertidos 8 meses al % simple mesual? I = 0 i = x 0,0 x 8 = 480 ÁLULO DEL TIPO DE INTERÉS: Si se cooce el resto de elemetos de la operació: capital iicial, capital fial y duració, basta co teer e cueta la fórmula geeral de la capitalizació simple y despejar la variable descoocida. = 0 ( + i) 0 = + i - = i 0 i = 0 - EJEMPLO RESUELTO álculo del tipo de iterés e.s. i = cte Determiar el tato de iterés aual a que debe ivertirse.000 euros para que e 5 años se obtega u motate de.500 euros. DATOS: o = 000 = 500 = 5 años.500 alculamos i: = 0 (+ i).500 =.000 ( + 5 i) = + 5 i = 5 i i = 0, 0 = 0%.000 ÁLULO DE LA DURAIÓN: Por último, coociedo 0, y el tipo de iterés i, podemos calcular la duració mediate la expresió: I = = = i i i fikai AULA FINANIERA

17 2..3 TANTOS EQUIVALENTES EN APITALIZAIÓN SIMPLE Dos tatos cualesquiera, expresados e distitas uidades de tiempo, so tatos equivaletes cuado aplicados a u mismo capital iicial y durate u mismo período de tiempo produce el mismo iterés o geera el mismo capital fial o motate. RELAIÓN DE EQUIVALENIA etre el tipo de iterés aual ( i ) y el tipo de iterés efectivo fraccioado ( i k ): El motate obteido utilizado i : = 0 ( + i) y utilizado i k : = 0 ( + k i k ) dode k es la frecuecia de capitalizació, que idica el úmero de partes iguales e las que se divide el período de referecia que se tome (habitualmete el año). Igualamos 0 ( + i) = 0 ( + k i k ) Y simplificado obteemos la relació de equivalecia: i = k i k Por tato, los tatos de iterés equivaletes e simple so proporcioales NÚMEROS OMERIALES: ONEPTO Y ÁLULO E el caso de ua cueta corriete bacaria es frecuete que, debido a los movimietos de diero, el capital (saldo) sea variable. uado se da esta circustacia, para calcular los itereses usamos los úmeros comerciales, siedo estos el producto del capital (saldo) por la duració de su periodo: N = i i i De esta forma los itereses de ua cueta corriete, co saldos i, podemos calcularlos de la siguiete maera: I = i + 2 i i = i ( Luego: I = i (N + N +... N ) 2 + ) 2..5 INTERÉS SIMPLE ANTIIPADO El tipo iterés simple es aticipado (prepagable), y lo deotaremos i*, cuado los itereses so prepagables, es decir, al pricipio del periodo. La relació etre el tipo de iterés simple aticipado ( i* ) y el tipo de iterés al vecimieto ( i ) para operacioes a u año es la siguiete: * ( i ) ( + i) =, de dode i * i = +, o bie, i i = i * - i * Para u plazo distito al año se obtiee: i i * =, o bie, + i i * = - i i * fikai AULA FINANIERA 3

18 2.2 apitalizació compuesta apítulo 2: apitalizació 2.2. DEFINIIÓN Y FÓRMULA GENERAL Las operacioes e régime de compuesta se caracteriza porque los itereses, a diferecia de lo que ocurre e régime de simple, a medida que se va geerado pasa a formar parte del capital de partida, se va acumulado, y produce a su vez itereses e períodos siguietes (so productivos). E defiitiva, lo que tiee lugar es ua capitalizació periódica de los itereses. De esta forma los itereses geerados e cada período se calcula sobre capitales distitos (cada vez mayores ya que icorpora los itereses de períodos ateriores). ARATERÍSTIAS DE LA OPERAIÓN: Los itereses so productivos, lo que sigifica que: A medida que se geera se acumula al capital iicial para producir uevos itereses e los períodos siguietes. Los itereses de cualquier período siempre los geera el capital existete al iicio de dicho período. DESARROLLO DE LA OPERAIÓN: El capital al fial de cada período es el resultado de añadir al capital existete al iicio del mismo los itereses geerados durate dicho período. De esta forma, la evolució del motate coseguido e cada mometo es el siguiete: Mometo 0: 0 Mometo : = 0 + I = i = 0 ( + i) Mometo 2: 2 = + I 2 = + i = ( + i) = 0 ( + i) ( + i) = 0 ( + i) 2 Mometo 3: 3 = 2 + I 3 = i = 2 ( + i) = 0 ( + i) 2 ( + i) = 0 ( + i) 3 Geeralizado: = 0 ( i) siedo (+ i ) el factor de capitalizació + Al igual que e capitalizació simple, la duració () siempre ha de estar e la misma uidad de tiempo que el tipo de iterés (i). Esta expresió: - Permite calcular el capital fial o motate ( ) e régime de compuesta, coocidos el capital iicial ( 0 ), el tipo de iterés (i) y la duració () de la operació. - Es aplicable cuado el tipo de iterés de la operació es costate. E caso cotrario habrá que trabajar co el tipo vigete e cada período. 4 fikai AULA FINANIERA

19 ASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE: Si el tipo de iterés es variable la expresió para obteer el capital fial o motate sería: = 0 ( + i) (+ i2 ) (+ i3 )...(+ i ) = 0 ( + ij ) j= EJEMPLO RESUELTO álculo del motate e.. i = cte alcular el motate obteido al ivertir 200 euros al 5% aual durate 0 años e régime de capitalizació compuesta. o = =? 0 0 años i = 5% = 0,05 0 = 200 ( + 0,05 ) 0 = 325,78 Si se hubiese calculado e simple: 0 = 200 ( + 0,05 0) = 300 La diferecia etre los dos motates (25,78 ) so los itereses producidos por los itereses geerados y acumulados hasta el fial. EJEMPLO RESUELTO álculo del motate e.. i = vble Se quiere coocer qué capital podremos retirar detro de 3 años si hoy colocamos.000 euros al 5% de iterés aual compuesto para el primer año y cada año os sube el tipo de iterés compuesto medio puto porcetual. E este caso al ser el tipo de iterés variable, para calcular el capital fial, aplicaremos la expresió: = 0 ( + i) (+ i2 ) (+ i3 )...(+ i ) = 0 (+ ij ) j= 3 3 = 0 (+ i) (+ i2 ) (+ i ) = 000 (+ 0,05) (+ 0,055) (+ 0,06) =.74,2 fikai AULA FINANIERA 5

20 2.2.2 MAGNITUDES DERIVADAS ÁLULO DEL APITAL INIIAL: Partiedo de la fórmula de cálculo del capital fial o motate y coocidos éste, la duració de la operació y el tato de iterés, bastará co despejar de la misma: = 0 ( + i) de dode se despeja 0 : 0 = (+ i) EJEMPLO RESUELTO álculo del capital iicial e.. i = cte uáto deberé ivertir hoy si quiero dispoer detro de 2 años de.500 euros para comprarme u coche, si me asegura u 6% de iterés aual compuesto para ese plazo? o =? = años i = 6% = 0,06 = 0 ( i) + 2 = 0 ( 0,06) = =.334,99 ( + 0,06) ÁLULO DE LOS INTERESES TOTALES: oocidos los capitales iicial y fial, se obtedrá por diferecia etre ambos: I = - 0 E el caso de i = cte: [ I = (+ i) - = ( i) -) ] I = 0 ( + i j ) - 0 = 0 ( + i j ) - E el casi de i = vble [ ] j= j= EJEMPLO RESUELTO álculo de los itereses e.. i = cte Qué itereses producirá 300 euros ivertidos 4 años al 7% compuesto aual? alculamos primero el motate 4 = 300 ( + 0,07) 4 = 393,24 Luego, los itereses geerados será I = 393, = 93,24 6 fikai AULA FINANIERA

21 ÁLULO DEL TIPO DE INTERÉS: Si se cooce el resto de elemetos de la operació: capital iicial, capital fial y duració, basta co teer e cueta la fórmula geeral de la capitalizació compuesta y despejar la variable descoocida. = 0 ( + i) 0 = (+ i) = (+ i) 0 i = 0 - EJEMPLO RESUELTO álculo del tipo de iterés e.. i = cte Determiar el tato de iterés aual a que debe ivertirse.000 euros para que e 2 años se obtega u motate de.60,03 euros. DATOS: o = 000 = 60,03 = 2 años alculamos i: = 0 ( i) +, ,03 =.000 (+ i) 2.60, = (+ i) i =,60032 = 0, 04 = 4% = (+ i) 2 ÁLULO DE LA DURAIÓN: Por último, coociedo 0, y el tipo de iterés i, podemos calcular la duració: = 0 ( + i) l 0 = (+ i) l ( ) = l(+ i) ( ) = l (+ i) 0 0 ( ) l = l( + i) 0 EJEMPLO RESUELTO álculo de la duració e.. i = cte U capital de euros colocado a iterés compuesto al 4% aual asciede a euros. Determiar el tiempo que estuvo impuesto. DATOS: o = 2000 = 3202 i = 4% = ( + 0,04) (+ 0,04) = l ( ) = l(,04) (,60) l (,04) l = = 2 años fikai AULA FINANIERA 7

22 2.2.3 TANTOS EQUIVALENTES EN APITALIZAIÓN OMPUESTA La defiició de tatos equivaletes es la misma que la vista e régime de simple, esto es, dos tatos cualesquiera, expresados e distitas uidades de tiempo, so tatos equivaletes cuado aplicados a u mismo capital iicial y durate u mismo período de tiempo produce el mismo iterés o geera el mismo capital fial o motate. E capitalizació simple se comprobó que los tatos de iterés equivaletes so proporcioales, es decir, cumple la siguiete expresió: i = k i k Si embargo, esta relació de proporcioalidad o va a ser válida e régime de compuesta, ya que al irse acumulado los itereses geerados al capital de partida, el cálculo de itereses se hace sobre ua base cada vez más grade; por tato, cuato mayor sea la frecuecia de capitalizació ates se acumulará los itereses y ates geerará uevos itereses, por lo que existirá diferecias e fució de la frecuecia de acumulació de los mismos al capital para u tato de iterés dado. Este carácter acumulativo de los itereses se ha de compesar co ua aplicació de u tipo más pequeño que el proporcioal e fució de la frecuecia de cómputo de itereses. Todo esto se puede apreciar e el siguiete ejemplo, cosistete e determiar el motate resultate de ivertir.000 euros durate año e las siguietes codicioes: a) Iterés aual del 2% =.000 x ( + 0,2) =.20,00 b) Iterés semestral del 6% =.000 x ( + 0,06) 2 =.23,60 c) Iterés trimestral del 3% =.000 x ( + 0,03) 4 =.25,5 Los resultados o so los mismos, debido a que la capitalizació de los itereses se está realizado co diferetes frecuecias mateiedo la proporcioalidad e los diferetes tipos aplicados. Para coseguir que, cualquiera que sea la frecuecia de capitalizació, el motate fial siga siedo el mismo es ecesario cambiar la ley de equivalecia de los tatos. RELAIÓN DE EQUIVALENIA etre el tipo de iterés aual ( i ) y el tipo de iterés efectivo fraccioado ( i k ): El motate obteido utilizado i : y utilizado i k : = 0 ( + i) = 0 ( + i k ) k dode k es la frecuecia de capitalizació, que idica el úmero de partes iguales e las que se divide el período de referecia que se tome (habitualmete el año). Igualamos 0 ( + i) = 0 ( + i k ) k 8 fikai AULA FINANIERA

23 Simplificamos: ( + i) = ( + i k ) k ( + i) = ( + i k ) k k Despejado: i (+ ik ) / k =, o bie, i = ( i) k + TANTO NOMINAL: El tato omial j k es u tipo de iterés aual proporcioal al tipo de iterés efectivo fraccioado i k e capitalizació compuesta. uado os de el valor del tato omial j k, calcularemos el efectivo fraccioado de la siguiete forma: i k = jk k EJEMPLO RESUELTO Tatos equivaletes e.. i = cte U capital de euros se ivierte durate 0 años al 4% aual omial devegado los itereses mesualmete. Determiar: a) el tipo de iterés efectivo mesual b) el tipo de iterés efectivo aual. c) el motate al cabo de los 0 años. DATOS: o = 2000 = 0 años j 2 = 4% j2 0,04 a) i2 = = = 0,00333 = 0,33% ,04 2 b) i = (+ i2 ) = ( + ) = 0,04074 = 4,074% 2 K 0,04 20 c) 0 = 0 (+ i) = 0 (+ ik ) = 2000 ( + ) = 298,66 2 EJEMPLO RESUELTO Tatos equivaletes e.. i = cte Ua etidad ofrece u depósito a 2 años co pago de itereses al fial de la operació. Si el efectivo aual que aucia es u 5% cuál será el omial aual? Se pide calcular j / 2 ya que la frecuecia de capitalizació K=/2 ( año es la mitad del periodo de capitalizació). / 2 / / = alculamos e primer lugar i = ( + i) 2 = ( + 0,05) 2 0, 025 Ahora calculamos el omial j/ 2 = i/ 2 = 0, 0525 = 5,25% 2 fikai AULA FINANIERA 9

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25 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN apítulo 3. Descueto 3. Itroducció 3.2 Descueto comercial simple 3.3 Descueto racioal simple 3.3. Tipo de iterés e las letras del tesoro 3.4 Descueto racioal compuesto 3.4. Defiició y fórmula geeral Actualizació periódica de los itereses fikai AULA FINANIERA 2

26 3. Itroducció apítulo 3: Descueto El descueto bacario es ua operació de activo para las etidades fiacieras y uo de los servicios bacarios de fiaciació a corto plazo más utilizados por las empresas. La operació cosiste e que la etidad fiaciera adelata el importe de u título de crédito o vecido (letra de cambio, pagaré, factura, recibo ), descotado los itereses que correspode por el tiempo que media etre la fecha del aticipo y la fecha de vecimieto del crédito, las comisioes y demás gastos. Las figuras que aparece e la operació so: librador es la persoa que emite el documeto, teedor o tomador es la persoa legitimada para cobrarlo y librado es la persoa obligada al pago. E térmios fiacieros, la etidad aticipa al cliete, el valor actual descotado de u efecto comercial, y a vecimieto, el baco obtedrá el omial. Se deomia geéricamete efecto comercial a todo tipo de documeto que evidecie que existe u crédito a favor de la persoa que lo posee, como cosecuecia de la práctica habitual de la empresa, cotra otra que ha cotraído dicha obligació o deuda. Por tato, las operacioes de descueto o de descapitalizació so operacioes fiacieras e las que se cambia u capital futuro por u capital presete, es decir, se aticipa u capital (,t ) hasta (o,t 0 ). Al capital que figura e el documeto (letra, factura, pagaré ) o capital futuro se le deomia valor omial ( ). El capital e el mometo presete, se le llama valor actual, valor efectivo o valor descotado ( 0 ). La diferecia etre el valor omial y el valor descotado es el descueto. D = 0 El descueto depede, además de la cuatía del valor omial, del tipo de iterés omial aplicado y del tiempo. Para el cálculo del descueto comercial e días se suele cosiderar el año comercial de 360 días. Si embargo, para operacioes de pasivo las etidades fiacieras utiliza el año atural de 365 días. Vamos a estudiar tres sistemas fiacieros de descueto:. Descueto comercial simple. 2. Descueto racioal simple. 3. Descueto racioal compuesto o actualizació compuesta. 22 fikai AULA FINANIERA

27 3.2 Descueto comercial simple apítulo 3: Descueto El descueto comercial simple es el más utilizado e la práctica bacaria y se lleva a cabo para periodos iferiores a u año. Fórmula geeral del valor descotado: 0 = (- i) siedo (- i) el factor de actualizació. Fórmula geeral del descueto: D = 0 = (- i) = i Dode: i = tipo de iterés de descueto omial = tato de descueto omial = d = valor omial 0 = valor descotado = periodo de descueto EJEMPLO RESUELTO Descueto comercial simple Ua etidad fiaciera descueta ua letra de cambio de 800 euros de omial 80 días ates de su vecimieto. Sabiedo que el tipo de descueto omial aplicado es del 9% aual, se pide: a) Valor del descueto realizado. b) Valor descotado o efectivo que aboa la etidad. DATOS: = 800 = 80 días d=i= 9% 80 a) D = i = 800 0,09 = b) 0 = D = = 784 EJEMPLO RESUELTO Descueto comercial simple Ua etidad fiaciera descueta ua letra de cambio de 5000 euros de omial 00 días ates de su vecimieto. Sabiedo que valor descotado o efectivo que aboa la etidad es 4785, calcular el tipo de iterés omial utilizado. DATOS: = 5000 = 00 días 0 = 4785 D = i i = D = / 360 = 0,548 = 5,48% EJEMPLO RESUELTO Descueto comercial simple Ua etidad fiaciera descueta ua letra de cambio de 500 euros de omial 90 días ates de su vecimieto. Sabiedo que el tato de descueto es del 8% aual, que la comisió del 0,5% y que los impuestos asciede a 30 euros, calcular el valor efectivo de la letra. E 0, =.500 ( 0,08) =.432,5 fikai AULA FINANIERA 23

28 3.3 Descueto racioal simple apítulo 3: Descueto Fórmula geeral del valor descotado: Partimos de la capitalizació simple: = o ( + i ) y despejamos el valor de 0, que sería el valor descotado: siedo el factor de actualizació. ( + i) 0 = ( + i) Fórmula geeral del descueto: D = 0 = i = (+ i) (+ i) 3.3. TIPO DE INTERÉS EN LAS LETRAS DEL TESORO Las Letras del Tesoro so títulos de Deuda Pública emitidos por el Estado para su fiaciació. Su plazo de vecimieto suele ser iferior a 8 meses, su valor omial es de.000 euros y preseta la peculiaridad de que se emite al descueto. Es decir, el suscriptor al comprar paga meos que el valor omial del título, mietras que e el mometo del vecimieto recibe dicho valor omial. Este meor precio e el mometo de la compra es la retabilidad que ofrece el título. De esta maera, el capital ivertido será el precio pagado por la letra adquirida y los itereses que se obtiee será la diferecia etre ese precio de adquisició y el precio que se obtega por la letra cuado se veda o cuado se amortice (.000 euros). El tipo de iterés e las Letras del Tesoro o se redodea, si o que se truca e el quito decimal (o tercero del porcetaje). Para calcular la retabilidad que obtiee el iversor hay que distiguir etre Letras co vecimieto a meos de año y a más de año: a) Si se emite a plazos iferiores o iguales a los 2 meses: Se calcula aplicado las fórmulas del descueto racioal simple. Las emitidas a 2 meses (o 52 semaas) tiee ua vida exacta de 364 días. b) Si se emite a 8 meses: Se aplica las fórmulas del descueto racioal compuesto. 24 fikai AULA FINANIERA

29 EJEMPLO RESUELTO Descueto racioal simple Las Letras del Tesoro a 2 meses se adjudicaro a u tipo de iterés margial del 2,975%. uál es el precio margial de la subasta o precio míimo aceptado? DATOS: Valor omial = =.000 d = de días = 364 i = 2,975% Utilizamos la ley de descueto racioal simple: 0 = ( + i) 0 =.000 P = = 970,79 euros , EJEMPLO RESUELTO Descueto racioal simple El importe que se aboó por ua Letra del Tesoro a 2 meses fue de 980,75 euros. alcula el tipo de iterés de la subasta. DATOS: Valor omial = =.000 d = de días = 364 P = 0 = 980,75 Utilizamos la ley de descueto racioal simple: 0 = ( + i) Sustituimos: 980, = y despejamos i = 0,094 =,94% 364 ( + i) 360 EJEMPLO RESUELTO Descueto racioal simple U capital de 5000 euros se descueta 30 días ates de su vecimieto a u 7% aual. alcular el descueto racioal simple y el descueto comercial simple. DATOS: Valor omial = = 5000 d = de días = 30 i = 7% ,07 i 360 Descueto racioal simple: D = = = (+ i) 30 (+ 0,07) Descueto comercial simple: D = i = ,07 = 29,7 360 fikai AULA FINANIERA 25

30 3.4 Descueto racioal compuesto apítulo 3: Descueto 3.4. DEFINIIÓN Y FÓRMULA GENERAL E esta ley fiaciera el descueto se calcula sobre el valor del capital actualizado al iicio de cada periodo. Fórmula geeral del valor descotado: Partimos de la capitalizació compuesta: = 0 ( + i) y despejamos el valor de 0, que sería el valor descotado: Siedo (+ i) el factor de actualizació 0 = ( + i) Fórmula geeral del descueto: D = 0 = = ( ) ( + i) ( + i) EJEMPLO RESUELTO Descueto racioal compuesto Sea u capital de 5000 euros que vece detro de 0 años. alcular el valor descotado y el descueto utilizado la ley de actualizació compuesta, siedo el tipo de iterés el 5% omial aual. DATOS: Valor omial = = 5000 duració = 0 años i = 5% 5000 Valor descotado: 0 = = = 0 (+ i) ( + 0,05) 3069,57 Descueto = 0 = ,57 = 930, ATUALIZAIÓN PERIÓDIA DE LOS INTERESES EJEMPLO RESUELTO Descueto racioal compuesto Sea u capital de 5000 euros que vece detro de 3 años y medio. alcular el valor actual de dicho capital siedo el tipo de iterés u 6% omial actualizable semestralmete. DATOS: Valor omial = = 5000 j 2 = 6% duració = 7 semestres 0 = (+ j2 2 ) = (+ 0,03) 7 = 4.065,45 26 fikai AULA FINANIERA

31 UESTIONARIO apítulos - 3: APITALIZAIÓN Y DESUENTO. uáto vale ua Letra del Tesoro, e tato por cieto de omial, si calculamos su valor al 3% de iterés y falta 45 días para su vecimieto? A) 97,20 % B) 99,63 % ) 98,30 % D) 00 % 2. Si se realiza u igreso de euros a plazo fijo durate 5 años al 4% omial aual. Los itereses se aboa trimestralmete y se reivierte uál es el saldo fial de la operació? A) 0.98,7 B).025,85 ) 0.949,87 D) 0.988,97 3. Si adquiriese Letras del Tesoro a año (exactamete a 360 días e base a 360) por 946, siedo su valor omial.000 qué retabilidad obtedría e cada ua de las Letras a año? A) 5,400% B) 5,708% ) 5,630% D) 5,880% 4. Nos ofrece u depósito e el que se estima ua retabilidad omial aual del 6% y que trimestralmete aboa los itereses al depósito. Si decidimos aportar euros, uál será el capital detro de 4 años? A) 5.309,86 B) 5.227,83 ) 5.49,72 D) 5.245,87 5. E ua iversió fiaciera a u año y a efectos de coseguir la mejor retabilidad al fializar la operació, uál de las siguietes operacioes escogería, supoiedo que las codicioes de la operació se matega durate todo el año? A) Iterés omial del 4,5% pagadero aualmete. B) Iterés omial del 4,05% pagadero bimestralmete. ) Iterés omial del 4,0% pagadero trimestralmete. D) Iterés omial del 4,07% pagadero mesualmete. 6. E las operacioes de capitalizació: A) Se adelata el cobro de u capital. B) Se retrasa la dispoibilidad de u diero. ) Se realiza u descueto sobre el valor omial. D) Se geera itereses que se va acumulado siempre al capital iicial. 7. Si depositamos u capital de Qué capital fial obtedremos, si dicha imposició es a u plazo de 6 meses y es remuerada al 3% aual? A) B) ) 75 D) Nigua de las ateriores. fikai AULA FINANIERA 27

32 8. Ua empresa descueta ua letra de 6.000,00 que vece detro de 90 días. La etidad bacaria aboa por la Letra alcula el tipo de iterés omial que aplica la etidad, supoiedo que o existe gastos. A) 9,67 % B) 0 % ) 8,32 % D) Nigua de las ateriores. 9. Sabiedo que el tipo de iterés omial resultate e ua subasta de Letras del Tesoro a 2 meses es 3,645%, calcular el valor efectivo de dicha Letra. A) 35,55 B) 964,45 ) 963,55 D) 96, Qué capital hay que colocar al 4% de iterés omial aual para obteer, al cabo de cuatro años, otro de 0.000? Se supoe que el aboo de itereses es trimestral y se va acumulado al capital iicial. A) 8.528,2 B).47,78 ) 8.874,49 D) 5.339,08. U depósito a plazo de 3 años permite recuperar al iversor por cada de iversió. alcula el tipo de iterés omial de dicho depósito, sabiedo que los itereses se geera cada semestre y se acumula al capital. A) 8,0 % B) 5,20 % ) 0,54 % D) 5,50 % 2. E ua operació de actualizació a iterés compuesto, el valor efectivo dismiuye a medida que se hace meor: A) La duració de la operació. B) El tipo de iterés omial. ) La frecuecia aual de actualizació. D) Nigua es cierta. 3. alcular el tipo de iterés omial aual que se está aplicado e u boo cupó cero a 0 años, co cálculo semestral de itereses, si por u omial de.000 se debe pagar 60. A) 6 % B) 4 % ) 5 % D) Nigua de las ateriores. 4. El tipo de iterés omial de ua imposició a plazo de 3 años es el 4% si los itereses se acumula mesualmete al capital. alcular el tipo de iterés efectivo aual correspodiete. A) 4 % B) 4,07 % ) 3,33% D) 6,0 % 28 fikai AULA FINANIERA

33 5. U depósito a plazo ofrece u 5% de iterés aual omial co acumulació trimestral de itereses. Por u capital iicial de 8.000, a los dos años y tres meses obtedrá u capital fial de: A) 8.952,58 B) 8.928,24 ) D) 8.946,34 6. Ua operació de iversió de a cuatro años al 3,75% omial co capitalizació mesual obtedrá u capital fial de: A) ,06 B) ,00 ) 2.522,74 D) ,86 7. E ua operació e que se descueta u efecto comercial de omial y vecimieto a los 60 días a ua tasa de descueto del 5% aual, el valor efectivo a percibir es, supoiedo que se aplica la fórmula del descueto simple comercial: A) B) ) D) Nigua de las ateriores 8. E la misma operació de la preguta aterior, qué valor efectivo se percibirá si el descueto es por modalidad matemática o racioal? A) 5.700,00 B) 5.950,00 ) 5.950,4 D) Nigua de las ateriores. 9. A que tipo de iterés habría que ivertir u capital hoy para que se duplique e 0 años: A) 6,25 % B) 5,53 % ) 7,8 % D) 8, % 20. E ua operació fiaciera de año, el tipo de iterés a vecimieto es del 3%, cuál es el tipo de iterés simple aticipado? A) 3,09 % B) 3 % ) 2,9 % D) Nigua de las ateriores. 2. U cliete abre ua cueta corriete bacaria igresado El tipo de iterés aual simple es del 4%. Al cabo de 0 días igresa otros 000 más y 40 días después retira 500. Si 30 días después la etidad fiaciera liquida los itereses, cuál será su importe? A) 800 B) 32,33 ) 6,03 D) Nigua de las ateriores. fikai AULA FINANIERA 29

34 22. uál es el criterio para aplicar la ley simple o la compuesta e las operacioes de capitalizació? A) El plazo. B) La frecuecia de pago de itereses. ) La reiversió de itereses. D) No existe igú criterio. 23. ual es el criterio para la aplicació de la ley simple o la compuesta e operacioes de descueto? A) El plazo. B) La frecuecia de pago de itereses. ) La reiversió de itereses. D) No existe igú criterio. 30 fikai AULA FINANIERA

35 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN apítulo 4. Tipos de iterés y retabilidad 4. Tipos de iterés 4.. Tasa omial y efectiva e iterés compuesto 4..2 Tipos de iterés spot y forward 4.2 Retabilidad 4.2. Retabilidad omial y real Retabilidad Simple Tasa Aual Equivalete (TAE) Tasa Itera de Retabilidad (TIR) Tasa de Retabilidad Efectiva (TRE) Tasa Geométrica de Retabilidad (TGR) fikai AULA FINANIERA 3

36 4. Tipos de iterés apítulo 4: Tipos de iterés y retabilidad 4.. TASA NOMINAL Y EFETIVA EN INTERÉS OMPUESTO El tato omial j k es u tipo de iterés aual proporcioal al tipo de iterés efectivo fraccioado i k e capitalizació compuesta. Por tato, la relació etre el tato omial capitalizable k-esimalmete j k y el tato efectivo k-esimal es: jk ik = dode k es la frecuecia de capitalizació. k omo vimos e el capítulo 2, el tipo efectivo aual compuesto = i = ( + i ) k k Luego sustituyedo: Tipo efectivo aual compuesto i = ( + j k k ) k - y despejado j k e fució de i : Tato omial [ ] jk = k ( + i) k - Si k > el tipo de iterés efectivo aual (i) es mayor que el tato omial (j k ) Si k =, etoces i = j Si k < el tipo de iterés efectivo aual (i) es meor que el tato omial (j k ) EJEMPLO RESUELTO Tato omial y tato efectivo alcular el tipo de iterés efectivo aual correspodiete a ua operació de capitalizació al 0% omial pagadero semestralmete. DATOS: Tato omial pagadero semestralmete = j 2 = 0% SE PIDE: Tato efectivo aual = i jk k Utilizamos la expresió: i = ( + ) - para k = 2 k j2 2 0,0 i = ( + ) - = 2 2 ( ) 2 + = 0,025 = 0,25% >0% = j 2 32 fikai AULA FINANIERA

37 4..2 TIPOS DE INTERÉS SPOT Y FORWARD Las operacioes al cotado se liquida a u tipo de iterés al cotado o spot y las operacioes a plazo, es decir, cotratadas e ua fecha pero materializadas e ua fecha futura, se liquida a u tipo de iterés a plazo o forward. Para vecimietos superiores al año se aplica el iterés compuesto, y para vecimietos iferiores a u año el iterés simple. La curva de tipos de iterés o curva de redimietos (yield curve) es la represetació gráfica e u eje de coordeadas, de los tipos spot observados e el mercado (eje vertical) asociadas a los vecimietos de los activos (eje horizotal); e u mometo dado. La Estructura Temporal de los Tipos de Iterés (ETTI) es la curva costruida co los tipos de iterés correspodietes a los boos cupó cero si riesgo. Esta curva os proporcioa hoy las expectativas sobre la evolució de tipos futuros, es decir, si la expectativa es de evolució de tipos al alza (curva ascedete), a la baja (curva descedete) o de o variació (curva plaa). EJEMPLO RESUELTO Tipo de iterés spot alcular el tipo spot correspodiete a ua operació fiaciera de duració 2 años, siedo el omial del activo 000 euros y el valor efectivo hoy 90,55 euros. DATOS: Valor omial = = 000 Valor efectivo = 0 = 90,55 = 2 años El vecimieto del activo fiaciero es superior al año, luego utilizaremos iterés compuesto: = 0 (+i) sustituyedo: 000 = 90,55 (+i) 2 Y despejado: tipo spot asociado al plazo de 2 años = i = 0,0479 = 4,79% EJEMPLO RESUELTO Tipo de iterés forward Sea dos activos A y B, el primero co u redimieto del 6% a año y el B co u redimieto del 7% a dos años. uál será el tipo forward o implícito para ua iversió a u año, detro de u año? i A = 6% i forward =? 0 2 i B = 7% Plateamos la siguiete igualdad: 2 A ) ( + iforward ) = ( ib ) ( + i + Sustituimos forward 2 ( + 0,06) ( + i ) = ( + 0,07) y despejamos i forward = 0,08 = 8% fikai AULA FINANIERA 33

38 4.2 Retabilidad apítulo 4: Tipos de iterés y retabilidad 4.2. RENTABILIDAD REAL La retabilidad real de ua iversió cosidera, además de la retabilidad fiaciera, otras variables tales como la fiscalidad, los gastos de gestió, las comisioes y la tasa de iflació. Para calcular la retabilidad real, teiedo e cueta estas variables, utilizaremos la siguiete expresió: ( REAL + FF + r ) (+ Π ) = ( r ) siedo r REAL = La retabilidad real Π = La tasa de iflació r FF = La retabilidad fiaciero fiscal + r FF Así pues, rreal = + Π EJEMPLO RESUELTO Retabilidad REAL alcular la retabilidad real de ua iversió que ha teido ua retabilidad fiacierofiscal del 4%, siedo la tasa de iflació del 4,5%. DATOS: r FF = 4% Π = 4,5% SE PIDE: r REAL =? Para calcular la retabilidad real utilizamos la expresió : r REAL + rff + 0,04 = = - = + Π + 0,045-0,0048 = - 0,48 % Retabilidad real egativa. EJEMPLO RESUELTO Retabilidad REAL alcular la tasa de iflació sabiedo que ua iversió que ha teido ua retabilidad fiaciero-fiscal del 6% y ua retabilidad real del 3%. DATOS: r FF = 6% r REAL = 3% SE PIDE: Π =? Para calcular la tasa de iflació utilizamos la expresió + r ) (+ Π ) = ( r ),06 ( + 0,03) (+ Π ) = (+ 0,06) Π = = 0, ,9%,03 ( REAL + FF 34 fikai AULA FINANIERA

39 4.2.2 RENTABILIDAD SIMPLE ( RS ) La expresió para determiar la retabilidad simple RS T es: PT +DT - P0 RS T = dode P T :precio del título al fial del periodo T P 0 D T :suma de los igresos percibidos durate el periodo T P 0 :precio del título al iicio del periodo La retabilidad simple supoe que los dividedos y otros redimietos se percibe al fial del periodo, o que se reivierte a ua tasa del 0% si se percibe ates. EJEMPLO RESUELTO Retabilidad simple Hace dos años se adquiriero accioes de ua compañía, siedo su cotizació 5. alcular la retabilidad simple de cada uo de los dos años de ua acció, sabiedo que su cotizació al fial del primer año fue 8 y al fial del segudo año 7, , 0 2 Para coocer e qué porcetaje se ha revalorizado aualmete la acció calculamos la retabilidad simple: RS 8-5 = = 5 20% 7,- 8 RS = 8 = 2-5% EJEMPLO RESUELTO Retabilidad simple Hace 6 meses compramos 00 accioes a 35 /acció, pagado 44 de comisió y hoy la acció cotiza a 36,50. alcular la retabilidad simple de la acció, sabiedo que hace 3 meses se cobró u dividedo de,20 por acció. P 0 = = P = 00 36,50 = D = 00,20 = RS = = 6,37% fikai AULA FINANIERA 35

40 4.2.3 TASA ANUAL EQUIVALENTE ( TAE ) El Baco de España, obliga a todas las etidades fiacieras a icluir este ídice desde el año 990, e que publica la orma 8/990 sobre Trasparecia de las operacioes y protecció de la clietela. El sigificado exacto es Tasa Aual Equivalete o Tasa Aual Efectiva. Es u idicador que, e forma de tato por cieto aual, revela el coste o redimieto efectivo de u producto fiaciero, ya que icluye el iterés y los gastos y comisioes bacarias. Así, si ua operació fiaciera o tiee comisioes i gastos, su TAE coicidiría co el tipo de iterés efectivo aual. La TAE se calcula de acuerdo co ua fórmula matemática estadarizada que tiee e cueta el tipo de iterés omial de la operació, la frecuecia de los pagos (mesuales, trimestrales, etc.), las comisioes y alguos gastos de la operació. E el caso de los créditos, o se icluye e el cálculo del coste efectivo alguos coceptos, como los gastos que el cliete pueda evitar e uso de las facultades que le cocede el cotrato, los gastos a aboar a terceros o los gastos por seguros o garatías (salvo que la etidad impoga su suscripció para la cocesió del crédito). El cálculo de la TAE está basado e el tipo de iterés compuesto e la hipótesis de que los itereses obteidos se vuelve a ivertir al mismo tipo de iterés y debe calcularse co importes brutos (si teer e cueta aspectos fiscales). La TAE es muy útil porque permite comparar distitos productos u opcioes de iversió, co idepedecia de sus codicioes particulares. Esto es así especialmete etre productos de igual aturaleza, e los que los restates elemetos, y e particular el riesgo que tiee, so idéticos. Las etidades está obligadas a iformar sobre la TAE de sus operacioes e la publicidad que haga de sus productos, e los cotratos que formalice co sus clietes, e las ofertas viculates que realice y e los documetos de liquidació de operacioes activas y pasivas. EJEMPLO RESUELTO TAE U cliete solicita u préstamo por que debe devolver a fial de año e u sólo pago que comprede el capital más los itereses (calculados mesualmete). El tipo de iterés omial del préstamo es del 6% y la etidad fiaciera deduce los gastos de gestió, por lo que realmete se etrega al cliete alcular la TAE. Primero calculamos la cotraprestació e t= (devolució del capital más itereses, siedo j 2 = 6%): otraprestació = + = + 2 0,06 0 ( i) P ( i2 ) = = 4246,7 2 = 2 Y a cotiuació, calculamos la TAE plateado la siguiete equivalecia fiaciera: 4246, = Despejado: TAE = 7,5% + TAE 36 fikai AULA FINANIERA

41 EJEMPLO RESUELTO TAE_RETRIBUIÓN EN ESPEIE U cliete cotrata el Depósito iphoe. El producto cosiste e que el cliete realiza ua imposició de euros y e el mometo de la cotratació se lleva u smartphoe de los que lleva impresa ua mazaita. Al cabo de u año recupera los euros. Si la TAE auciada es del 3%, hallar el valor del iphoe. El cliete aporta euros pero se lleva el iphoe, por lo que realmete está reuciado a meos el valor del regalo (X). Hallamos X para que X capitalizados u año se covierta e : ( X) ( + 0,03) = X = 582,52 fikai AULA FINANIERA 37

42 4.2.4 TASA INTERNA DE RENTABILIDAD ( TIR ) La Tasa Itera de Retoro o Tasa Itera de Retabilidad (TIR) de ua iversió, está defiida como la tasa de iterés co la cual el valor actual eto o valor presete eto (VAN o VPN) es igual a cero. El VAN o VPN es calculado a partir de los flujos positivos y egativos de capital, trasladado todas las catidades futuras al presete. La expresió que permite calcular el VAN es: VAN = D 0 + N Q ( + j= j i) j Dode: VAN = Valor Actual Neto. D o = Desembolso iicial. Q j = Flujo de aja e el periodo j. i = tasa de descueto o actualizació La obteció del VAN costituye ua herramieta fudametal para la evaluació y gerecia de proyectos, así como para la admiistració fiaciera. La Tasa Itera de Retoro (TIR) es el tipo de descueto que hace igual a cero el VAN. Así pues, para calcular la TIR platearemos la siguiete ecuació: D N Qi + ( + TIR) 0 = i i= 0 TIR Esta tasa itera de retabilidad TIR correspode a la retabilidad del iversor, asumiedo que los flujos periódicos se reivierte a ua tasa igual a la TIR. EJEMPLO RESUELTO álculo de la TIR U cliete adquirió participacioes de u fodo de iversió que cotizaba a 4. Al cabo de u año vedió 600 participacioes que e ese mometo cotizaba a 5. Si al cabo de dos años la cotizació de la participació del fodo es de 6, calcular la TIR de esta iversió. El desembolso iicial de la iversió = D o = = E t =, cobra Q = = E t = 2, cobra Q 2 = = Para calcular la TIR de este flujo de cobros y pagos plateamos la siguiete ecuació: D N Qi + ( + TIR) 0 = i i= = 0 TIR = 22,92% ( + TIR) ( + TIR) 8 2 Nota: La ecuació que resulta, e geeral, es muy complicada de resolver maualmete por lo que el cálculo se realiza por tateo o usado calculadora fiaciera. 38 fikai AULA FINANIERA

43 4.2.5 TASA DE RENTABILIDAD EFETIVA ( TRE ) E el cálculo de la Tasa de Retabilidad Efectiva (TRE) se cosidera que u capital cobrado puede reivertirse al tipo de iterés vigete. Para calcular la TRE: Primero, calculamos el motate ( ) de la iversió capitalizado los flujos de caja al tipo de iterés correspodiete. A cotiuació, plateamos la siguiete ecuació: = + y despejamos la tasa TRE TRE = 0 ( TRE) 0 Si el tipo de iterés de reiversió es meor que la TIR TRE < TIR Si el tipo de iterés de reiversió es mayor que la TIR TRE > TIR EJEMPLO RESUELTO álculo de la TRE uál ha sido la retabilidad efectiva de la siguiete operació si supoemos que el iversor reivierte los cupoes auales y amortiza el boo a vecimieto? ompra: Tipos de iterés a u año Vecimieto: : 3,50% upó aual: 4,5% : 3,80% Valor omial: : 4,70% TIR de adquisició: 6,25% : 5,25% Precio de compra: 93,97% Primero calculamos el valor fial de los cupoes percibidos y del omial a vecimieto utilizado los tipos de iterés dados: =45 (+0,038) (+0,047) (+0,0525)+45 (+0,047) (+0,0525)+45 (+0,0525)+045= = 93,42 A cotiuació, plateamos la siguiete ecuació: 0 ( TRE) = + y sustituyedo: 93,42 = 939,7 (+TRE) 4 Despejado la tasa de retabilidad efectiva: TRE = 0,0657 = 6,6 % < TIR ya que los tipos de iterés de reiversió ha sido iferiores a la TIR. fikai AULA FINANIERA 39

44 4.2.6 TASA GEOMÉTRIA DE RENTABILIDAD ( TGR ) La Tasa Geométrica de Retabilidad (TGR) (Time-weighted rate of retur) es la retabilidad del gestor de la cartera y se calculará realizado la media geométrica de las retabilidades simples de los diferetes periodos. Para ello seguiremos los siguietes pasos: Primero, determiamos las retabilidades simples para cada subperiodo de iversió. A cotiuació, plateamos la igualdad: ( + TGR) = ( + RS) (+ RS2 )... ( + RS ) Y por último despejamos la TGR: TGR = [( + RS ) (+ RS )... (+ RS )] 2 Esta es la retabilidad que mide sólo la actuació del gestor quitado la ifluecia de las decisioes del iversor de aportar o retirar fodos de la cartera. omparado la TIR y la TGR se puede aalizar el grado de acierto de la política de etradas y salidas de capital de la iversió llevada a cabo: Si TIR > TGR, el iversor ha acertado e sus decisioes. Si TIR = TGR, el resultado es idiferete de la política llevada a cabo. Si TIR < TGR, el iversor se ha equivocado e su política EJEMPLO RESUELTO álculo de la TGR U gestor acosejó a u iversor adquirir participacioes de u fodo de iversió que cotizaba a 4. Al cabo de u año las participacioes cotiza a 6 y a los dos años cotiza a 5. alcular la tasa geométrica de retabilidad. Primero, determiamos las retabilidades simples para cada año: RS = = 0,5 = 50% RS = = 4 2-0,667 = - 6,67% 6 A cotiuació, hallamos la media geométrica: = [( + RS ) ( RS )] [( + 0,50) (- 0,667) ] 2 TGR = =,8 % 40 fikai AULA FINANIERA