Unidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:

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1 Uidad 5 Aualidades vecidas Objetivos Al fializar la uidad, el alumo: Calculará el valor de la reta de ua perpetuidad simple vecida. Calculará el valor actual de ua perpetuidad simple vecida. Calculará el moto producido por ua aualidad vecida. Calculará el valor presete o actual de ua aualidad vecida. Calculará el valor de la reta de ua aualidad vecida. Determiará el tiempo o plazo de ua aualidad vecida.

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3 Itroducció E la actualidad, la mayoría de la població de cualquier ciudad está sujeta a compras, pago de deudas o sistemas de ahorro a plazo, por lo cual es de gra utilidad saber realizar cálculos para este tipo de situacioes, y poder determiar por ejemplo: Cuáto tedré ahorrado si deposito catidades iguales durate cierto tiempo? Cuál es el costo de cotado de u artículo comprado a crédito co pagos fijos, cuado coocemos el úmero de pagos y el valor de los mismos? De cuáto debe ser los depósitos para ahorrar determiada catidad e u cierto tiempo? Cuátos pagos iguales de cierta catidad se debe realizar para liquidar u crédito? Éstos so alguos ejemplos de lo que e matemáticas fiacieras se cooce como aualidades, auque existe muchas situacioes más. A lo largo de esta uidad revisaremos las perpetuidades y las aualidades vecidas, y los cálculos que ellas implica Aualidades Iiciaremos la uidad dado alguas defiicioes y coceptos básicos para poder eteder las aualidades, sus características y clasificació. E primer térmio ecesitamos defiir lo que es ua aualidad. La aualidad es u cojuto de pagos iguales realizados a itervalos iguales de tiempo. Estamos muy acostumbrados a pesar que si se trata de ua aualidad, es porque los pagos so cada año, y que si los pagos se realiza cada mes, etoces se debe tratar de ua mesualidad, de ser aboos semestrales, decimos que se trata de ua semestralidad, auque e realidad, desde el puto de vista de las matemáticas fiacieras e Ua serie de pagos iguales, realizados cada semaa, se cosidera como ua aualidad? 147

4 matemáticas fiacieras los tres casos estaríamos hablado de aualidades o importado el tiempo trascurrido etre cada pago, siempre que éste sea el mismo etre todos los pagos. Las aualidades depede de 3 factores: valor de cada pago, úmero de pagos y tasa de iterés. A cada uo de los pagos, depósitos o retiros (segú sea el caso) que se realiza de maera periódica, se le cooce como reta, la cual se represeta co la letra R. Al tiempo trascurrido etre u pago y otro se le llama itervalo o periodo de pago; el úmero de retas al cual represetaremos co la letra, depede del tiempo durate el cual se va a pagar y el itervalo de pago, por ejemplo: Para ua deuda que se liquida e 3 años co pagos bimestrales, cuátos pagos hay que realizar? Solució Como los pagos so bimestrales durate 3 años, mediate ua regla de tres se determia cuátos bimestres hay e 3 años: 6 bimestres u año x bimestres x= 3(6) 1 =18 bimestres 3 años Sigifica etoces que durate 3 años se realiza 18 pagos bimestrales. Además de la reta y el úmero de pagos de ua aualidad, la tasa de iterés es muy importate, la cual ormalmete se expresa aualizada capitalizable periódicamete, es decir, como ua tasa omial ( j). De acuerdo co estos tres factores, las aualidades se clasifica como lo muestra el siguiete diagrama: 148

5 uidad 5 Ciertas Cotigetes Simples Aualidades Geerales Vecidas de los pagos Aticipadas Imediatas del primer pago Diferidas Las aualidades ciertas so aquellas dode las fechas del primer pago y hasta el último se establece desde la firma del coveio, por ejemplo: u crédito hipotecario, e el cual se establece cuátos pagos se va a realizar y cuádo se debe hacer. Las aualidades cotigetes so aquellas dode el iicio o el térmio de la aualidad o puede ser fijados desde el pricipio, y depede de algú acotecimieto extero. U ejemplo claro de esto so los plaes de jubilació, los cuales se termia de pagar cuado la persoa fallece, lo cual o se sabe cuádo ocurrirá. Las aualidades simples so aquellas dode los periodos de capitalizació que idica la tasa de iterés, so iguales al periodo de pago, por ejemplo u crédito para la compra de u automóvil, dode los pagos so mesuales y la tasa de iterés pactada es aual capitalizable mesualmete. Las aualidades geerales so aquellas dode los periodos de capitalizació de la tasa de iterés o coicide co el periodo de pago, u ejemplo puede ser ua deuda que se liquida co pagos bimestrales y ua tasa pactada aual co capitalizació semestral. Las aualidades imediatas so aquellas e las que el primer pago se realiza e el periodo imediato a la formalizació del coveio, u ejemplo es la compra de electróicos a crédito, dode el primer pago se realiza al mometo de la compra. 149

6 matemáticas fiacieras Las aualidades diferidas so aquellas dode el primer pago se pospoe uo o más periodos después de la firma del coveio, u ejemplo es la compra de ua casa e preveta, e la cual se iicia los pagos al mometo de la etrega del imueble, lo cual puede ser 6 o 12 meses después de la firma del cotrato. Las aualidades vecidas, coocidas tambié como ordiarias, so aquellas dode el aboo se realiza al fial del periodo de pago, por ejemplo los salarios quiceales, que se paga al fializar la quicea, esto es, los días 15 y 30 de cada mes. Las aualidades aticipadas so aquellas dode el pago se realiza al iicio de cada periodo de pago, por ejemplo, la reta de u departameto, la cual se pagará al iicio de cada mes. Estos tipos de aualidades o so excluyetes uos de otros; pesemos e u crédito para automóvil, que se liquida co 18 pagos iguales al pricipio de cada mes co ua tasa de iterés de 24% aual capitalizable mesualmete. Ua aualidad puede ser de dos tipos diferetes simultáeamete? E este ejemplo se puede observar que se trata de ua aualidad cierta (so 18 pagos), simple (pagos mesuales co tasa capitalizable mesualmete), aticipada (al pricipio del mes) e imediata (el primer pago se realiza al mometo de la compra). A lo largo de esta uidad se revisará las perpetuidades que so u tipo de aualidad cotigete, y las aualidades vecidas Perpetuidades Qué tipo de aualidades so las perpetuidades? Las retas perpetuas o perpetuidades so aquellas aualidades cuyo plazo o tiee fi, se paga idefiidamete salvo que suceda algú imprevisto. E el caso de las retas perpetuas se trata de aualidades cotigetes, si embargo tambié puede presetarse retas perpetuas vecidas, aticipadas o diferidas; e esta uidad efocaremos uestro estudio úicamete a las perpetuidades simples y vecidas. Debido a que las retas perpetuas o perpetuidades o tiee fi, es imposible calcular el moto de ellas. 150

7 uidad Valor actual o presete de ua reta perpetua simple Debido a que las perpetuidades se paga de maera ifiita, el valor actual de ellas debe ser tal que el iterés que se geere e cada periodo de pago sea mayor o igual al valor de la reta, por lo que el valor actual de ua reta perpetua simple y vecida está dado por la siguiete fórmula: A = R i dode: A es el valor presete o actual de la perpetuidad R es la reta perpetua i es la tasa efectiva de iterés Ejemplos 1. Cuál es el valor actual de ua reta perpetua de $ auales, si se cosidera ua tasa efectiva de 11% aual? Solució Se idetifica los datos: R=$ i=11% = 0.11 Se sustituye los valores e la fórmula para el valor actual de ua perpetuidad: A= R i = = El valor actual es $

8 matemáticas fiacieras 2. Ua persoa dejó e su testameto ua catidad para que se distribuya e becas a perpetuidad, asigado retas mesuales de $ Si la tasa de iterés es de 24% aual capitalizable mesualmete, cuál es el valor actual de la herecia? Solució Se idetifica los datos: R=$ j=24% aual capitalizable mesualmete Como la tasa de iterés que se proporcioa es omial, y lo que se requiere es tasa efectiva, se realiza la coversió utilizado la misma relació que e las uidades ateriores (i= j k ). i= j k = = 002. Se sustituye los valores: A= R i = = El valor actual es $ Hay ocasioes e las que se cooce el valor actual de la perpetuidad, y lo que se requiere saber es el valor de las retas, el cual se puede determiar despejádolo de la fórmula para el valor actual (A= R i ). Por lo tato: R=Ai 152

9 uidad 5 Ejemplo Se deposita e u fodo para mateimieto de u edificio $ , e u baco que paga 8.5% aual efectivo. De cuáto se puede dispoer aualmete para mateimieto? Solució Se idetifica los datos: A=$ i=8.5%=0.085 Se sustituye valores: R=Ai= (0.085)= Se puede dispoer de $ auales para mateimieto. Ejercicio 1 1. Cuál es el valor actual de ua reta perpetua de $ auales si se tiee ua tasa de iterés de 11.5% efectivo aual? 2. Cuáto se tedrá que depositar e el baco el día de hoy si se espera poder recibir $ auales y el baco ofrece u iterés de 18% efectivo aual? 3. Cuál es el valor presete de ua reta perpetua de $ semestrales si el fodo e el cual se tiee paga ua tasa de iterés de 28% aual capitalizable semestralmete? 4. Qué catidad aual perpetua se podrá retirar de ua cueta bacaria dode se depositaro el día de hoy $ y el baco ofrece ua tasa de 15% efectiva aual? 5. Cuál es la reta perpetua aual de que se puede dispoer co ua cueta bacaria e la que se deposita el día de hoy $ , co ua tasa de iterés de 31% aual? 153

10 matemáticas fiacieras 5.3. Aualidades vecidas Como ya se mecioó, las aualidades vecidas so aquellas e las que los pagos se realiza al fializar el periodo de pago, como lo muestra la figura 5.1. R R R R R Iicio del periodo de pago Fial del periodo de pago periodo de pago figura 5.1. E esta uidad os referiremos úicamete a aualidades vecidas, ciertas simples e imediatas Cálculo del moto Se puede defiir al moto de ua aualidad vecida como el valor acumulado de ua serie de pagos periódicos, efectuados al fial de cada itervalo de pago, cuya fecha de evaluació se cosidera al térmio del plazo de la aualidad, como lo muestra la gráfica de la figura 5.2. moto = Σ retas R1 R 2 R figura

11 uidad 5 Si observas la gráfica de la figura 5.2 e realidad os represeta ua ecuació de valor, por lo cual primeramete es ecesario trasladar todas las retas a la fecha de evaluació (fecha focal); realicemos este procedimieto utilizado la fórmula para el moto o valor futuro, M=C(1+i). Para la primera reta (R 1 ) tedríamos que el moto es: M 1 =R(1+i) 1 Para la seguda reta (R 2 ): M 2 =R(1+ i) 2 Para el peúltimo pago (R 3 ) el moto es: M 3 =R(1+ i) 3 Como puedes observar, e la gráfica la última reta o hay que trasladarla, ya que está ubicada e la fecha focal, por lo tato: M =R(1+i) =R(1+i) 0 =R Cosiderado que el moto de ua aualidad es la suma de los pagos e la fecha de evaluació, tedríamos: M=R(1+ i) 1 +R(1+ i) R(1+i)+R Se aplica la propiedad comutativa, para ivertir el orde de los sumados, co lo que obteemos: M=R+R(1+i)+...+R(1+i) 2 +R(1+i) 1 Si observas el resultado del moto, e realidad es la suma de los térmios de ua progresió geométrica, dode r represeta la razó comú, que e este caso está dada por 155

12 matemáticas fiacieras (1+ i); a es el primer térmio que correspode a R y es el úmero de térmios de la progresió, que correspode al úmero de pagos. Sustituimos los valores e la fórmula para calcular la suma de los térmios de ua progresió geométrica, que se aplicó e la uidad 1: a( r 1) S = r 1 M=R ( ) 1+ i 1 ( 1+ i) 1 Simplificado teemos: M=R ( 1 ) + i 1 1+ i 1 M=R ( 1+ i) 1 i dode: M es el moto de la aualidad R es la reta i es la tasa por periodo de capitalizació es el úmero de pagos Ejemplo Ua persoa ahorra $2 500 al fializar cada semestre durate 3 años a 13% capitalizable semestralmete. Cuáto recibe e total al cabo de 3 años? Solució Idetificamos los datos: Como los pagos se realiza al fial de cada semestre, sigifica que so pagos vecidos, por lo tato se trata de ua aualidad vecida. Dode: R=$

13 uidad 5 i= =0.065 (recuerda que i= j, para este caso k=2, por ser semestral) k =3 años=3 (2)=6 pagos M=R ( 1+ i) 1 i M=2 500 (. ) Realizado las operacioes: M=2 500 (. ) (. ) = = M= = 2 500( ) = Sigifica que recibe e total al fial de los 3 años $ Cálculo del valor actual Muchas veces se hace ecesario calcular el valor actual o presete de ua aualidad, que es la suma de los valores actuales de todos los pagos (reta o aualidad) aplicado ua cierta tasa de iterés compuesto. E otras palabras, es el valor al cotado de ua catidad costate. Tomado la defiició que dice que el valor actual de ua aualidad vecida es el valor actual del moto de dicha aualidad, y utilizado la fórmula para el valor actual co M iterés compuesto: C = ( 1 + i) Cosiderado que M es el moto de la aualidad, (M=R ( 1+ i) 1 ) se sustituye i y se simplifica: ( 1+ i) 1 R C = i ( 1 + i) ( 1+ i) 1 = R = R i( 1 + i) ( 1+ i) 1 (1 + i) 1 ( 1+ i) = R i i 157

14 matemáticas fiacieras Por lo tato la fórmula para calcular el valor actual de ua aualidad vecida es: 1 ( 1+ i) C= R i dode: C es el valor actual de la aualidad R es la reta i es la tasa por periodo de capitalizació es el úmero de pagos Ejemplo Ua compañía vede equipos de cómputo mediate pagos mesuales vecidos de $800 durate 1.5 años. Si e estos pagos se está cargado ua tasa de iterés de 14% aual capitalizable mesualmete, cuál es el precio de cotado de cada computadora? Solució Se idetifica los datos: R=$800 i= = =1.5(12)=18 pagos mesuales durate dos años Como la preguta es cuál es el precio de cotado de cada computadora?, y el precio de cotado represeta el valor actual, sigifica que se busca el valor presete de los pagos (retas), por lo tato al sustituir los datos e la fórmula para el valor presete de ua aualidad vecida se tiee: 1 ( 1+ i) C= R i C=800 1 ( )

15 uidad 5 Realizado las operacioes: C=800 1 ( ) (. = ) = = = = C = 800 ( ) = El precio de cotado de cada equipo es $ Ejercicio 2 1. Cuáto se acumulará e u año si se deposita $ pesos al fializar cada mes e ua cueta bacaria que ride 22% aual covertible mesualmete? 2. Cuál es el moto de ua reta vecida de $ pesos trimestrales depositados durate dos años y medio, e u baco que paga ua tasa de iterés de 23% capitalizable e forma trimestral? 3. Cuál sería el valor presete de ua aualidad de $ pesos al fial de cada trimestre durate 30 meses, si se acuerda ua tasa de iterés de 18% covertible trimestralmete? 4. Cuál es el precio de cotado de ua máquia de iyecció para plásticos, comprada mediate 12 pagos mesuales vecidos de $ c/u, co ua tasa de 9% de iterés capitalizable mesualmete? 5. Ua persoa deposita $5 000 vecidos cada 6 meses a 12% de iterés capitalizable semestralmete. Cuáto tedrá al fial de 5 años? 6. Calcula el valor de cotado de u equipo idustrial comprado co 16 pagos trimestrales de $25 000, co 10% de iterés capitalizable trimestralmete. 159

16 matemáticas fiacieras Cálculo de la reta Frecuetemete se requiere coocer el valor de la reta de ua aualidad simple cierta vecida, e casos como: El pago mesual que debe efectuarse para cacelar ua deuda e u determiado itervalo de tiempo. La catidad de diero que hay que colocar periódicamete e u fodo de amortizació e u cierto plazo. Las cuotas periódicas co las cuales se puede cacelar ua mercacía, coociedo su valor de cotado y la tasa de iterés. Cuátas formas se puede presetar para calcular el valor de la reta? Los problemas que da lugar al cálculo de la reta puede ser de dos tipos: aquellos e los que el moto es u valor coocido y aquellos dode el valor actual a cubrir es el dato que se cooce. E ambos casos se parte de las dos fórmulas que ya se cooce, la que calcula el moto: M=R ( 1+ i) 1 i Y la que os permite calcular el valor actual: 1 ( 1+ i) C= R i Despejado e ambos casos el valor de la reta para obteer las siguietes fórmulas: Cálculo de la reta cuado se cooce el moto Mi R = ( 1+ i) 1 dode: R es la reta M es el moto de la aualidad i es la tasa por periodo de capitalizació es el úmero de pagos 160

17 uidad 5 Cálculo de la reta cuado se cooce el valor actual Ci R = + 1 ( 1 i) dode: R es la reta C es el valor actual de la aualidad i es la tasa por periodo de capitalizació es el úmero de pagos Ejemplos 1. La empresa Plásticos Mexicaos, S. A. de C. V. plaea comprar ua máquia detro de 3 años, la cual se espera tedrá u costo de $ La compañía puede dispoer de pequeñas catidades al corte semestral, si deposita estas catidades e ua cueta bacaria que paga 16% de iterés co capitalizació semestral. Cuáto se debe dispoer e el cierre semestral para depositarlo e el baco? Solució Se idetifica los datos: M=$ Se trata de u problema de moto ya que es el ahorro al fial de 3 años. i= = 008. =3(2)=6 pagos semestrales durate 3 años El valor que se va a buscar es la reta, y como uo de los datos co los que se cueta es el moto de la aualidad, etoces se utiliza la fórmula que tiee como referecia el moto: Mi R = ( 1+ i) 1 161

18 matemáticas fiacieras Se sustituye los valores y se simplifica: ( ) ( 0. 08) R = = = = (. ) Cada depósito debe ser de $ por semestre. 2. Ua persoa adquiere ua lavadora cuyo precio es de $9 200, y la tieda le da la oportuidad de pagarla co 18 mesualidades vecidas. De cuáto será cada mesualidad si le carga 28% de iterés capitalizable mesualmete? Solució Se idetifica los datos: C=$9 200 Se trata de u problema de valor actual ya que se tiee precio de cotado. i= = =18 pagos mesuales El valor que se va a buscar es la reta, y debido a que uo de los datos co los que se cueta es el precio de cotado, se utilizará la fórmula que pide como referecia el valor actual. Ci R = + 1 ( 1 i) Se sustituye los valores y simplificado: ( 9 200)( ) R = = = = ( ) El pago debe ser de $ cada mes. 162

19 uidad Cálculo del tiempo Cuado se requiere determiar el úmero de pagos o de depósitos que se requiere para cubrir ua cierta catidad, se preseta la misma situació que co la reta, se puede utilizar tato la fórmula para calcular el moto como la que permite calcular el valor actual, depediedo de los datos co los que se cuete. Si el moto es uo de los datos co los que se cueta, etoces se despeja de la fórmula para su cálculo el valor de que represeta el úmero de pagos a realizar. Despejado de la fórmula del moto: M=R ( 1+ i) 1 i R ( 1+ i) 1 =M i R ( 1+ i) 1 =Mi ( 1+ i) 1= Mi R Mi ( 1+ i) = + 1 R Mi log( 1+ i) = log + 1 R Mi log(1 1 + i)= ) = log + 1 R Mi log + 1 R = log( 1 + i) 163

20 matemáticas fiacieras Cálculo del úmero de retas cuado se cooce el moto Mi log + 1 R = log( 1+ i) dode: es el úmero de pagos o retas M es el moto de la aualidad R es la reta i es la tasa por periodo de capitalizació De la misma maera podemos despejar el úmero de pagos cuado se cooce el valor presete. i C = R 1 ( 1 + ) i 1 ( 1+ i) R i = C R 1 ( 1+ i) = Ci 1 ( 1+ i) = Ci R Ci 1 = ( 1 + i) R ( 1+ i) = 1 Ci R log ( 1+ i) = log 1 log(1 1 + i)= ) = log 1 Ci R Ci R = Ci log 1 R log( 1 + i) 164

21 uidad 5 Cálculo del úmero de retas cuado se cooce el valor actual = Ci log 1 R log ( 1+ i) dode: es el úmero de pagos o retas C es el valor actual de la aualidad R es la reta i es la tasa por periodo de capitalizació Ejemplos 1. Cuátos pagos mesuales de $120 debe efectuarse para cacelar ua deuda de $2 032 co 36% de iterés aual capitalizable mesualmete? Solució Se idetifica los datos: C=$2 032 Se trata de u problema de valor actual ya que se tiee el valor de la deuda. R=$120 mesuales i= = 003. El valor que se va a buscar es el úmero de pagos, y debido a que uo de los datos co los que se cueta es el valor actual, se utilizará la fórmula que pide como referecia el valor actual: = Ci log 1 R log ( 1 + i) Se sustituye los valores: 165

22 matemáticas fiacieras = ( 2 032)(. 003) log log( 1 = ) log = = log( ) log 103. log = ( ) = Sigifica que se requiere 24 pagos para cubrir la deuda. ota: cuado el resultado es decimal, ormalmete se ajusta el valor del último pago y se redodea el úmero de pagos al etero imediato. e este curso o se realizará el ajuste del último pago, simplemete se redodeará al etero imediato. 2. Cuátos depósitos trimestrales vecidos de $7 000 deberá realizarse para reuir $ si la cueta dode se deposita paga 24% aual capitalizable trimestralmete? Solució Se idetifica los datos: M=$ Se trata de u problema de moto. R=$7 000 i= = 006. El valor que se va a buscar es el úmero de depósitos, y como uo de los datos co los que se cueta es el moto de la aualidad, se utiliza la fórmula que tiee como referecia el moto. Mi log + 1 R = log( 1 + i) Se sustituye los datos: 166

23 uidad (. 006) log + 1 = log( ) log = = = log( ) log( 106. ) log 106. = = = =. Se requiere 15 depósitos para reuir $ ota: cuado el resultado es decimal, ormalmete se ajusta el valor del último pago y se redodea el úmero de pagos al etero imediato. e este curso o se realizará el ajuste del último pago, simplemete se redodeará al etero imediato. Ejercicio 3 1. Cuáto se debe depositar al fial de cada bimestre e ua cueta de ahorros para que al fial de 5 años se tega acumulados $ , si el baco paga 16% de iterés capitalizable bimestralmete? 2. De cuáto debe ser los pagos semestrales vecidos que se paga por u crédito para la compra de u equipo idustrial cuyo costo es $ , si se carga 23% de iterés capitalizable semestralmete, y la compañía que lo compra coviee liquidarlo e 2 años 6 meses? 3. Calcula el valor de cada pago trimestral vecido, para cacelar ua deuda de $ , costo de ua propiedad adquirida a 15 años de plazo, co 18% de iterés capitalizable trimestralmete. 4. Ua escuela requiere reparar uo de sus edificios detro de 5 años. Se estima que el costo de la reparació para etoces será de $260,000, catidad que se reuirá co depósitos bimestrales vecidos. Si el baco dode se hace el ahorro paga 12% aual capitalizable bimestralmete, cuál deberá ser la reta que se pague al fial de cada bimestre? 5. Cuátos pagos de $4 900 al fial de cada mes deberá realizar u fabricate de zapatos a su proveedor por cubrir u crédito de $98 000, si acuerda pagar 36% de iterés capitalizable mesualmete? 167

24 matemáticas fiacieras 6. Cuátos depósitos semestrales vecidos de $ deberá realizarse para reuir la catidad de $ si se cosigue ua tasa de 28% capitalizable semestralmete? Problemas resueltos 1. Cuál es el valor actual de ua reta perpetua de $ auales, si se cosidera ua tasa efectiva de 39% aual? Solució Se idetifica los datos: R= i=39%=0.39 Se sustituye los valores e la fórmula para el valor actual de ua perpetuidad: R A= = = i 0.39 El valor actual es $ El Señor Gómez deja e su testameto ua catidad para que se distribuya e becas a perpetuidad, asigado retas semestrales de $ Si la tasa de iterés es de 36% aual capitalizable semestralmete, cuál es el valor actual de la herecia? Solució Se idetifica los datos: R= j=36% aual capitalizable semestralmete 168

25 uidad 5 Como la tasa de iterés que se proporcioa es omial, y lo que se requiere es tasa efectiva, se realiza la coversió utilizado la misma relació que e las uidades ateriores (i= j k ). i= j k = = 018. Se sustituye los valores: A = R i = = El valor actual es $ Ua persoa ahorra $ al fializar cada año durate 8 años a 11% aual capitalizable aualmete. Cuáto recibe e total al cabo de los 8 años? Solució Se idetifica los datos: R=$ i= = 011. =8 pagos auales M=R ( 1+ i) 1 i ( M= ) Realizado las operacioes: 8 M= (. ) (. ) = 5 =

26 matemáticas fiacieras M= = ( ) = 358 $ Sigifica que recibe e total al fial de los 8 años $ Ua compañía vede equipos de cómputo mediate pagos mesuales vecidos de $1 800 durate 9 meses. Si e estos pagos se acuerda ua tasa de iterés de 24% aual capitalizable mesualmete, cuál es el precio de cotado de cada computadora? Solució Se idetifica los datos: R=$1 800 i= = 002. =9 pagos mesuales Como la preguta es: cuál es el precio de cotado de cada computadora?, y el precio de cotado represeta el valor actual, esto sigifica que se busca el valor presete de los pagos (retas), por lo tato al sustituir los datos e la fórmula para el valor presete de ua aualidad vecida se tiee: 1 ( 1+ i) C= R i C = (. 02) 002. Realizado las operacioes: C= ( ) (. = 102 ) = = =

27 uidad 5 C = ( ) = El precio de cotado de cada equipo es $ La compañía Alumiios Idustrializados, S. A. plaea comprar equipo detro de u año, el cual se espera tedrá u costo de $ La compañía puede dispoer de pequeñas catidades al corte mesual, si deposita estas catidades e ua cueta bacaria que paga 18% de iterés co capitalizació mesual. Cuáto se debe dispoer e el cierre mesual para el depósito e el baco? Solució Se idetifica los datos: M=$ i= 018. = =1(12)=12 pagos mesuales El valor que se va a buscar es la reta, y como uo de los datos co los que se cueta es el moto de la aualidad, etoces se utiliza la fórmula que tiee como referecia el moto: Mi R = ( 1+ i) 1 Se sustituye los valores y se simplifica: ( )( ) R = ( +. ) = = = Cada depósito debe ser de $ cada mes. 6. Cuátos pagos mesuales de $890 debe efectuarse para cacelar ua deuda de $ co 18% de iterés aual capitalizable mesualmete? 171

28 matemáticas fiacieras Solució Se idetifica los datos: C=$ R=$890 mesuales i= = El valor que se va a buscar es el úmero de pagos, y debido a que uo de los datos co los que se cueta es el valor actual, se utilizará la fórmula que pide como referecia el valor actual: Ci log 1 R = log( 1 + i) Se sustituye los valores: ( )( ) log 1 = 890 log ( ) log = = log ( ) log log = = ( ) = Sigifica que se requiere 13 pagos para cubrir la deuda. Problemas propuestos 1. Calcula el moto de ua serie de pagos semestrales vecidos de $4 000 c/u, durate 3 años y medio, co ua tasa de iterés de 9% aual capitalizable semestralmete. 2. Calcula el precio de cotado de u equipo de cómputo comprado co mesualidades vecidas de $1 500 c/u durate 12 meses, e los cuales se cargó 11% de iterés aual covertible mesualmete. 172

29 uidad 5 3. Calcula el úmero de pagos trimestrales vecidos de $20 000, ecesarios para cacelar ua hipoteca de $ , co ua tasa de iterés de 12.5% aual capitalizable trimestralmete. 4. El señor Ramírez desea reuir $ para detro de 3 años, si realiza depósitos iguales los días primero de cada mes, y el baco paga ua tasa de 18% aual capitalizable mesualmete. De cuáto debe ser los depósitos mesuales? 5. Cuál es el valor actual de ua reta perpetua de $ auales, si la tasa efectiva de iterés promedio es de 12%? Respuestas a los ejercicios ejercicio 1 1. $ $ $ $ $ ejercicio 2 1. $ $ $ $ $ $

30 matemáticas fiacieras ejercicio 3 1. $ $ $ $ retas retas. Respuestas a los problemas propuestos 1. $ $ pagos. 4. $ $

31 Matemáticas iacieras Uidad 5. Aualidades vecidas Nombre: Grupo: Profesor: Número de cueta: Campus: Autoevaluació 1. El señor López deposita $300 mesuales e ua cueta de ahorros que paga 12.5% de iterés aual capitalizable mesualmete. La catidad que habrá reuido e 2 años 2 meses es: a ) $ b) $ c ) $ d) $ El pago aual durate 10 años que debe hacer ua persoa para liquidar u préstamo de $ co iterés de 21% aual capitalizable aualmete es: a ) $ b) $ c ) $ d) $ El úmero de depósitos semestrales de $5 000 que se requiere hacer, para reuir $ si la tasa de iterés es de 8.27% covertible semestralmete: a ) 7 depósitos. b) 23 depósitos. c ) 9 depósitos. d) 10 depósitos. 4. El señor Martíez deja e su testameto u fideicomiso co valor actual de $ , del cual se debe otorgar retas auales perpetuas a ua istitució de salud metal. Si la tasa es de 18% efectivo, el valor de las retas es: a ) $ b) $

32 c ) $ d) $ Armado compró u automóvil co valor de $ , el cual acordó pagar co 48 mesualidades vecidas a ua tasa de iterés de 32% aual capitalizable mesualmete. El valor de cada uo de los pagos mesuales es: a ) $ b) $ c ) $ d) $

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