SISTEMA DE EDUCACIÓN ABIERTA

Transcripción

1 --- UNIVERSIDAD LOS ÁNGELES DE CHIMBOTE SISTEMA DE EDUCACIÓN ABIERTA DOCENTE : Julio Lezama Vásquez. fervas@yahoo.es TELÉFONO : ATENCIÓN AL ALUMNO : sea@uladech.edu.pe TELEFAX : MATEMÁTICA FINANCIERA II ESCUELAS PROFESIONALES DE CONTABILIDAD Y ADMINISTRACIÓN CICLO IV

2 --- Copyright SISTEMA DE EDUCACION ABIERTA - ULADECH Julio Lezama Vásquez. Modelo Pedagógico de la Guía: Mg. Ruth Sativáñez Vivaco. Edició: Lic. Mauel Atoio Cardoza Seraqué. Uiversidad Los Ágeles de Chimbote. Leocio Prado 453. Chimbote (Perú) editorial@hotmail.com Prohibida la reproducció total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimieto, si previa autorizació escrita de los titulares de copyright. 2

3 --- C O N T E N I D O CAPÍTULO I: INTERÉS COMPUESTO. Fució del tiempo 9.2 La escala de tiempo. 9.3 Valor del diero e el tiempo Periodo de capitalizació.0.5 Valor futuro de u capital 0.6 Capitalizació. 0.7 Iterés compuesto.8 Cálculo del moto.9 Deducció de fórmulas..0 Factor simple de capitalizació.2. El moto e fució de la tasa omial 3.2 El moto e periodos fraccioarios. 5.3 Capitalizació caledaria. 5.4 Moto co pricipal costate y tasa efectiva variable 6.5 Moto co capital y tasa efectiva variable 6.6 Cálculo del iterés compuesto..7.7 Problemas propuestos 8 CAPÍTULO II: VALOR ACTUAL A INTERÉS COMPUESTO 2. Cálculo del valor actual Factor simple de actualizació Valor actual e fució de la tasa omial Tasa de iterés Tasa omial Tasa efectiva Coversió de tasas Coversió de ua tasa efectiva e otra efectiva de diferete periodo Coversió de ua tasa efectiva e ua tasa omial Tasa de iflació 32 2.Cálculo de la tasa real Cálculo del tiempo Listado de fórmulas Problemas propuestos.38 3

4 --- CAPÍTULO III: DESCUENTO COMPUESTO Y ECUACIONES DE VALOR 3. Descueto racioal o verdadero Cálculo del descueto Cálculo del valor omial y valor efectivo Descueto bacario compuesto Ecuacioes de valor Ecuacioes de valor a iterés compuesto Valor equivalete Vecimieto medio de obligacioes Listado de fórmulas Problemas propuestos 50 CAPÍTULO IV: ANUALIDADES 4. Clasificació de las aualidades Moto de ua aualidad simple ordiaria Valor presete de ua aualidad Cálculo del valor de las retas e ua aualidad Reta ordiaria e fució del moto Reta ordiaria e fució del valor actual Cálculo del tiempo e ua aualidad Cálculo de la tasa de iterés de ua aualidad Listado de fórmulas Problemas propuestos 66 CAPÍTULO V: ANUALIDADES ANTICIPADAS 5.Moto de ua aualidad simple aticipada Valor actual de ua aualidad aticipada Valor de la reta aticipada Reta aticipada e fució del moto Reta aticipada e fució del valor actual Cálculo del tiempo e ua aualidad aticipada Cálculo del tiempo e fució del moto Cálculo del tiempo e fució del valor actual Cálculo de la tasa de iterés de ua aualidad aticipada Listado de fórmulas Problemas propuestos. 8 4

5 --- CAPÍTULO VI: ANUALIDADES DIFERIDAS Y RENTAS PERPETUAS 6. Valor del moto de ua aualidad diferida Moto de ua aualidad vecida simple diferida Moto de ua aualidad simple aticipada diferida Valor actual de ua aualidad diferida Valor de la reta de ua aualidad diferida Reta de ua aualidad ordiaria diferida e fució del moto Reta de ua aualidad aticipada diferida e fució del moto Reta de ua aualidad ordiaria diferida e fució del valor Actual Reta de ua aualidad aticipada diferida e fució del valor actual Cálculo de y t e ua aualidad simple diferida Retas perpetuas o vitalicias Valor actual de ua reta perpetua ordiaria Valor actual de ua reta perpetua aticipada Valor de la reta perpetua Valor de la reta perpetua ordiaria Valor de la reta perpetua aticipada Listado de fórmulas Problemas propuestos.. 98 CAPÍTULO VII: ANUALIDADES GENERALES 7. Moto co varios periodos de capitalizació por periodo de tiempo Moto co varios periodos de pago por período de capitalizació Valor presete de ua aualidad geeral Valor de las reta de ua aualidad geeral ordiaria Valor de la reta de ua aualidad geeral aticipada Problemas propuestos 06 CAPÍTULO VIII: AMORTIZACIÓN, DEPRECIACIÓN Y AGOTAMIENTO 8. Amortizacioes Amortizacioes vecidas a cuota costate Amortizacioes aticipadas a cuota costate 8..3 Amortizacioes vecidas a cuota costate, cuado el 5

6 --- préstamo se desembolsa e partes Depreciacioes Métodos de cálculo de las depreciacioes Depreciació a cuota costate Depreciació a cuota decreciete Depreciació a cuota creciete Agotamieto Método del factor o costo de agotamieto Método del fodo de amortizació Problemas propuestos 27 CAPÍTULO IX: EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN 9. Evaluació ecoómica Valor actual eto Tasa itera de retoro Relació beeficio costo Periodo de recuperació de capital 33. 6

7 --- INTRODUCCIÓN Las matemáticas fiacieras, proporcioa herramietas que permite evaluar las diferetes alterativas de fiaciamieto empresarial; de maera que se costituye e istrumetos técicos, que orieta a los ejecutivos e la toma de decisioes, para asigar recursos moetarios a las operacioes más retables y que mejor covega a las orgaizacioes. Como cualquier otra actividad cietífica las matemáticas fiacieras evolucioa, utiliza uevas formas y, a medida que se amplía el campo de sus aplicacioes, se profudiza los coceptos. Por tato e este curso estudiamos los fudametos teóricos de las matemáticas fiacieras, la lógica de sus diferetes métodos y las herramietas que os permite dar solució a la ifiidad de problemas que e este campo se preseta. Uo de los pricipales objetivos del trabajo, es que el estudiate adquiera destrezas e la iterpretació y maejo de los coceptos y las fórmulas de acuerdo a cada tema, a fi de afiazar sus coocimietos e la materia, los mismos que le permitirá ua aplicació exitosa e el ejercicio profesioal. Co el propósito de diamizar y hacer más compresible el estudio de la asigatura de Matemáticas Fiacieras, diseñamos el presete texto, e el que el lector ecotrará las respectivas istruccioes para su eficiete maejo y las estrategias de estudio de todos y cada uo de los temas, permitiedo el desarrollo de u apredizaje de calidad. Cocietes de que ua de las características mas relevates del mudo globalizado, so los cambios vertigioso e todos sus ámbitos, como e el tecológico, ecoómico y fiaciero, iduciedo ua evolució permaete de estas áreas del coocimieto y e particular de las matemáticas fiacieras que cambia al compás de los escearios e los cuales actúa. Los capítulos se ha estructurado desarrollado u ivel de complejidad ascedete, de modo que la compresió de uo facilita la compresió del siguiete, cada capítulo desarrolla la parte teórica, ejemplos y problemas de aplicació correspodietemete resueltos. 7

8 --- El capítulo. Preseta los coceptos básicos de las matemáticas fiacieras, deducció de las fórmulas correspodietes al moto y al iterés compuesto, dado solució a problemas de casos tipos. El capitulo 2. E este capítulo se toca lo referete al valor actual a iterés compuesto, se estudia además la tasa de iterés e sus diferetes modalidades, fializado co el cálculo del tiempo E el capítulo 3 se estudia lo referete al descueto, tato el racioal como el bacario y las ecuacioes de valor a iterés compuesto E los capítulos 4, 5, 6 y 7 se estudia las aualidades e sus diferetes formas, como las aualidades ordiarias, aticipadas, diferidas, perpetuas o vitalicias y las aualidades geerales. El capítulo 8, trata respecto a las amortizacioes de deudas, depreciació de activos fijos y agotamieto de recursos o reovables. Fialmete, el capítulo 9 desarrolla los temas respecto a la evaluació de alterativas de iversió, aalizado los pricipales idicadores de evaluació como el valor actual eto, la tasa itera de retoro, el período de recuperació de capital y la relació beeficio costo. 8

9 --- C A P Í T U L O I. INTERÉS COMPUESTO Las matemáticas fiacieras como cualquier otra actividad cietífica utiliza categorías e istrumetos técicos que amerita su defiició teórica para ua mejor compresió de sus coteidos. E cosecuecia, iiciamos el estudio de uestra materia co el aálisis de los coceptos básicos referetes a las categorías utilizadas e el cálculo fiaciero. Es evidete que alguos de ellos, ya os so familiares por haberse tocado e Matemática Fiaciera I, pero es ecesario mateerlo vigete para su aplicació correspodiete e la presete asigatura.. Fució del Tiempo El crecimieto atural es ua variació proporcioal de la catidad presete e cualquier orde de cosas e fució del tiempo, tal es el caso de los vegetales, aimales etc. que crece e fució cotiua al tiempo, situació que tambié se preseta e la capitalizació a iterés compuesto..2 La Escala de Tiempo La escala de tiempo es idispesable para visualizar el flujo previsto de efectivo resultate de ua iversió propuesta. La escala de tiempo muestra periodos de cálculo del iterés, como puede ser: meses, trimestres, semestres, años o cualquier otro período de tiempo. Por ejemplo si el iterés se calcula y se capitaliza trimestralmete, por u espacio de 0 años, la escala de tiempo mostrará 40 periodos y si se capitaliza semestralmete la escala mostrará 20 períodos. Gráficamete la escala de tiempo, lo ilustramos e la figura siguiete: Fig.. 9

10 } La Fig.. represeta ua serie uiforme de desembolsos auales que tiee lugar al fial de cada año durate u periodo de años..3 Valor del Diero e el Tiempo El cocepto del valor del diero e el tiempo, se susteta e el hecho de que el diero dispoible ahora, vale más que la expectativa de la misma catidad e u período futuro. Debido a que ua uidad moetaria ahora se puede colocar e ua alterativa que permita u redimieto e el futuro, covirtiédose e ua catidad mayor que la actual. De maera que o es lo mismo recibir ua uidad moetaria ahora, a recibir la misma catidad detro de u mes. El valor del diero e el tiempo es diferete, por efecto de la tasa de iterés y la tasa iflacioaria; la tasa de iterés permite medir el valor ecoómico del diero y la tasa iflacioaria su capacidad adquisitiva. Por lo tato u sol de hoy o es el mismo que el de ayer o el de mañaa. La explicació del valor del diero e el tiempo, os llevaría a afirmar que o os atreveríamos a otorgar diero e calidad de préstamo, si exigir como pago ua catidad adicioal que compese la pérdida de la capacidad adquisitiva o coservar su valor equivalete e el tiempo. La tasa exigible por el préstamo es la tasa de iterés; e cosecuecia, el tiempo y la tasa de iterés so factores eseciales que os permite coocer el valor croológico del diero. Ahodado u poquito más, el iterés puede defiirse ya como u costo o como ua gaacia. Será u costo, cuado se pide fodos prestados a terceros y por su utilizació coveimos pagar ua cierta catidad de diero; se defie como gaacia cuado el préstamo se utiliza e la compra de materiales y equipos co la fialidad de desarrollar ua actividad ecoómica que os permita geerar gaacias.4 Periodo de Capitalizació Es el itervalo de tiempo coveido, para capitalizar los itereses formado u valor futuro o moto..5 Valor Futuro de u Capital Es el valor fial o moto acumulado, después de trascurridas sucesivas capitalizacioes durate el horizote temporal 0

11 ---.6 Capitalizació Capitalizar sigifica sumar el iterés al capital al fial de cada período, formado u uevo capital mayor al aterior, sobre el cual se calculará el iterés del siguiete período y así sucesivamete hasta el último, de maera que se capitalizará, tatas veces como el úmero de períodos permaezca el capital ivertido..7 Iterés Compuesto Es el proceso mediate el cual el iterés geerado por u capital calculado al fial de cada período o se retira sio que se suma al capital (se capitaliza) para formar u uevo capital y sobre la base de este, calcular el iterés del siguiete período y así sucesivamete, etoces dicha operació fiaciera toma el ombre de iterés compuesto. Cuado los itereses se paga periódicamete, o puede haber iterés compuesto, puesto que el capital se matiee costate.8 Cálculo del Moto E cualquier iversió o colocació de diero se espera recibir, el capital más sus itereses. Se compra boos, accioes u otros títulos, para recibir después de u determiado periodo de tiempo ua catidad mayor. E este caso el moto es igual a la suma del capital más el iterés compuesto, calculado a ua tasa de iterés ( e () periodos de tiempo; operació que lo ilustramos e la escala de tiempo: Fig..2 P S =? Deducció de la fórmula del Moto Para el efecto utilizaremos la simbología siguiete: S = Moto o catidad de diero e ua fecha futura, costituido por la suma del capital más el iterés. P = Capital actual o valor presete del diero por el cual se paga itereses. E la escala de tiempo se ubica e el puto cero, o cualquier otro puto e que se iicia el cómputo del tiempo. i = Tasa de iterés de u capital o tasa de redimieto de ua iversió. = Número de periodos e los que u capital se ecuetra colocado. m = Frecuecia de capitalizació I = Importe del iterés

12 --- De coformidad co la defiició del valor futuro de u capital, como la suma del capital más el iterés, al que se le deomia tambié moto, deducimos la fórmula mediate el siguiete razoamieto: Si u capital P, al fial del primer período se ha covertido e P + Pi Factorizado dicha expresió se habrá covertido e: P(+. al fializar el segudo periodo, este uevo capital se habrá covertido e P(+(+ = P(+ 2 ; y al fializar el tercer periodo e P(+ 2 (+ = P(+ 3. esto implica que al fial de periodos, el capital se habrá covertido e : P(+ E dicha expresió se ecuetra sumado el capital co los itereses obteidos e períodos. Luego la fórmula del moto será: S = P(+ La fórmula permite calcular el moto e ua cueta as iterés compuesto, cuado el capital y la tasa de iterés efectiva so costates, o se produce icremetos i reduccioes del capital, i se realiza retiros de itereses durate el horizote temporal. E esta fórmula y las demás referetes al cálculo fiaciero, i y debe estar expresados e períodos de tiempo de la misma duració; es decir si i es aual es úmero de años, si i es trimestral será umero de trimestres y así sucesivamete para cualquier otro periodo de tiempo..0 Factor Simple de Capitalizació La expresió (+ que multiplica al capital se llama Factor Simple de Capitalizació, simbólicamete lo podemos expresar por FSC. Por lo tato la formula podría tambié expresarse como: S = P i-.fsc y se lee el moto es igual al producto del capital por el factor simple de capitalizació a ua tasa de iterés i e períodos de tiempo. 2

13 --- El FSC es el moto a iterés compuesto, geerado por u capital de ua uidad moetaria, durate períodos de tiempo y a ua tasa de iterés i por período. Dicho factor tiee por fució llevar al futuro cualquier catidad presete o traer al presete cualquier catidad del pasado. Ejemplo. Se deposita e u baco de Ahorros S/.5,000 a iterés compuesto a la tasa efectiva del 20% aual. A cuáto ascederá el moto al cabo de 4 años? S = P(+ S = 5,000(+0.20) 4 S = 5,000(.20) 4 S = 5,000(2.0736) S = 0,368 Como la tasa efectiva esta dado aualmete, sigifica que el cálculo de los itereses y las correspodietes capitalizacioes se da aualmete. Es decir al fial de cada año.. El Moto e Fució de la Tasa Nomial Para solucioar problemas de carácter fiaciero co aplicació de la tasa omial que puede ser aual TNA, tasa omial semestral TNS o e cualquier otro periodo de tiempo, co diferetes periodos de capitalizació pudiedo ser mayor o meor al periodo dado para la tasa omial, es ecesario determiar la tasa proporcioal dividiedo o multiplicado segú el caso.. Por ejemplo, puede darse los casos: Ua tasa omial aual TNA co capitalizació mesual; ua tasa omial trimestral TNT co capitalizació mesual o tambié la capitalizació puede estar dado e u periodo mayor al de la tasa omial, como el siguiete: Ua tasa omial mesual TNM co capitalizació trimestral. E estos casos la fórmula aterior se ve afectado por la frecuecia de capitalizació (m); para el efecto es ecesario covertir la tasa omial j capitalizable m veces e ua tasa efectiva i del período capitalizable. Cuado la frecuecia de capitalizació se efectúa e u período meor al establecido para la tasa omial, la tasa efectiva del período capitalizable se obtiee dividiedo la tasa omial por la frecuecia de capitalizació. 3

14 --- i = j m De maera que la fórmula del moto estaría dado por :. j S = P ( + ) m Cuado el período de la frecuecia de capitalizació esta dado e u período mayor al de la tasa omial, es ecesario adecuar la tasa multiplicádolo correspodietemete. Por ejemplo, si se tiee ua tasa omial j mesual co capitalizació semestral, es ecesario multiplicar a la tasa omial j por seis, por que e u semestre hay seis meses. Es decir la tasa i y el úmero de períodos debe estar referidos a la misma uidad de tiempo, efectuado de ser ecesario las coversioes apropiadas cuado dichas variables correspode a diferetes períodos de tiempo. Ejemplo.2 U comerciate coloca la catidad de S/. 0,000 al 26% aual co capitalizació trimestral durate 5 años y desea saber de cuato dispodrá al fial del período S = 0,000( ) 20 S = 0,000 ( + ) 20 S = 0,000(.065 ) 20 S = 35, E este caso si la frecuecia de capitalizació es trimestral el valor de m se obtiee respodiedo a la preguta. Cuátos trimestres tiee el año?. Al dividir a la tasa y multiplicar al úmero de períodos por la frecuecia de capitalizació, se ha covertido ambas variables e la uidad de tiempo trimestral. Ejemplo.3 U baco paga por depósitos e ahorro ua tasa omial mesual del 2% co capitalizació trimestral. Cual será el moto acumulado si el capital es de S/.2,000, colocado durate 9 meses?. Para obteer la tasa efectiva por período de capitalizació, multiplicamos la tasa omial mesual 0.02 por 3 meses que trae el trimestre, de maera que al térmio del primer período de capitalizació, la tasa de iterés efectiva será de 0.06 y luego os pregutamos: Cuatos trimestres hay e 9 meses?, la respuesta es 3, remplazado los datos e la fórmula obteemos:.. S = 2,000 ( + 06 ) 3 4

15 --- S = 2, El Moto e Periodos Fraccioarios Aalizado los diferetes casos las operacioes fiacieras, a meudo o coicide co los periodos de capitalizació o de vecimieto. Por ejemplo: U capital P se colocó por u período de cico años a ua tasa de iterés aual i; pero por razoes imprevistas se iterrumpe faltado cuatro meses para su vecimieto, fecha e la que se debe calcular el moto y liquidar la operació. Comercialmete se acostumbra, calcular el moto a iterés compuesto e años completos (4) y por la fracció de tiempo que falta se determia el iterés simple sobre moto ecotrado y luego se suma obteiédose el moto total. Pero cosideramos oportuo remarcar, que desde el puto de vista técico el moto debe calcularse a iterés compuesto para el total de períodos, icluido la fracció. Este tipo de problemas lo solucioamos colocado e el expoete de la fórmula, el úmero de periodos eteros más ua fracció. Es decir: x la fórmula será: S = P ( ) y i x,de maera que Ejemplo.4 Determiar el moto a iterés compuesto de S/.5,870 depositado e u baco durate 3 años y 4 meses a la tasa del 6% aual. + x + S = P ( ) y i 3+ 4 S = 5,870 ( ) S = 5,870 ( ) 3 S = 5,870 ( ) S = 9, Capitalizació Caledaria Las capitalizacioes: aual, semestral, trimestral, mesual, etc. está referidos a períodos bacarios establecido por el BCR, e los cuales todos lo meses está coformados de 30 días. E cambio la capitalizació caledaria, abarca períodos y 5

16 --- capitalizables e fechas fijas, icluyedo períodos de capitalizació variables, depediedo del úmero de días coteidos e cada mes del año. Ejemplo.5 Determiar el moto a pagar de u préstamo obteido el 3 de marzo por S/.20, 000, el mismo que deberá pagarse el 27 de Septiembre del mismo año a ua tasa efectiva aual del 6%. 80 S = 20,000 ( ) S = 20,000 ( ) 5.6 S = 2, Moto co Pricipal Costate y Tasa Efectiva Variable Si e ua operació fiaciera o se produce aumetos o dismiucioes del pricipal, durate el horizote temporal, después del primer depósito o colocació iicial, estamos frete a ua operació co pricipal costate. Si la tasa efectiva aumeta o dismiuye durate el horizote temporal. Se produce ua variació e la magitud de la tasa de iterés; por ejemplo cuado ua TEA del 6 % aumeta al 8% o dismiuye al 4 %. Además el plazo de la tasa es variable, cuado durate el horizote temporal la tasa de iterés se expresa e diferetes uidades de tiempo; por ejemplo, tasa efectiva aual, tasa efectiva semestral, tasa efectiva trimestral. etc. Ejemplo.6 Calcular el moto e la que se trasformó u capital de S/. 6,800, colocado a plazo fijo durate 9 meses. E el trascurso de período la tasa de iterés es del 8% los primeros tres meses, del 20 % durate los tres meses siguiete y bajado al 6% los últimos 3 meses. Fig..3 6,800 0 i = i = i = S = 6,800 (.8) (.20) (.6) S = 7, Moto co Capital y Tasa Efectiva Variables Durate el horizote temporal de ua cueta, se preseta casos e los que se produce variacioes e la tasa de iterés cojutamete co el capital. La 6

17 --- variació e el capital se preseta cuado se realiza depósitos o retiros geerado aumeto o dismiució del capital segú el caso y a la vez la tasa de iterés varía de acuerdo a las variacioes del sistema fiaciero. E este caso, ua forma de solucioar es fraccioado la operació e tramos, durate los cuales el capital y la tasa permaece costates. Ejemplo.7 Se deposita e ua cueta de ahorros S/. 2,000 y cuatro meses después se efectúa u uevo depósito por S/. 800 y se liquida la cueta cuatro meses después, e dicho período la tasa efectiva mesual del.5 % se matiee costate los primeros cuatro meses, fecha e el que se icremeta a 2.5 % hasta el térmio de la operació. Calcular el moto al térmio del horizote temporal. Fig..4 2, S =? 0 i = i = S = 2000 ( ) 2.02 S = S = 3, Cálculo del Iterés Compuesto (.05) 4 + (.025) (.025) 4 Hemos visto que ua iversió colocada a iterés compuesto a ua tasa dada, se covierte e ua catidad mayor llamada moto a u plazo determiado. La diferecia etre dicho moto y el capital iicial, costituye el iterés, que podemos represetarlo por: I= S P La relació aterior os idica que para determiar el iterés, es ecesario primero determiar el moto, para luego sustraer el capital. Pero se puede determiar directamete deduciedo la siguiete fórmula: De: I = S P reemplazamos S por P( + i ) obteemos I = P( + i ) P Sacamos factor comú y obteemos la fórmula: [ + ] I = P ( 7

18 --- Ejemplo.8 Determiar el iterés compuesto de S/. 20,000. Impuesto a ua tasa efectiva del 20% aual durate 4 años. [ + ] I = P ( i ) I = 20,000 [(+0.20) 4 ] I = 20,000 [(.20) 4 ] I = 20,000 [( )] I = 20,000 (.0736) I = 2,472 Para determiar el iterés compuesto co aplicació de la tasa omial. Es decir cuado el período de capitalizació es diferete al período de la tasa, la fórmula sufre ua modificació co la iterveció de la frecuecia de capitalizació (m).. i I = P [ ( + ) ] m Ejemplo.9 Determiar el iterés compuesto de u depósito a plazo fijo de S/. 4,000 efectuado e u baco, al 4% aual, capitalizable semestralmete durate 5 años. 0.4 I = 4,000 [ ( + ) 0 ] 2 I = 4,000 [ ( ) 0 ] I = 4,000( ) I = 3,540.2 Cosideramos oportuo remarcar, que para determiar el valor de la frecuecia de capitalizació se debe respoder a la preguta: Cuátos semestres tiee el año?, e este caso y de acuerdo al euciado, puede ser cuatos meses, bimestres o cualquier otro periodo de tiempo..7 Problemas propuestos. Determiar el moto a pagar detro de u año y cico meses, por u préstamo bacario de S/. 32,000 a ua tasa efectiva mesual del 3% 2. Hallar el valor futuro de S/. 6,000 e u período de 5 años: a. A la tasa efectiva del 6 % semestral b. A la tasa del 6 % semestral co capitalizació mesual 8

19 Ua empresa obtiee u préstamo por S/. 8,000para cacelarse detro de 4 años y 6 meses, a la tasa del 6% aual co capitalizació trimestral. Cuáto pagará a la fecha de liquidació? 4. Ua cueta se apertura el 30 de Abril co S/.5, 000, a ua tasa omial del 3% mesual co capitalizació diaria. Qué moto se acumulará desde la fecha de su apertura hasta el 8 de setiembre del mismo año, fecha de su liquidació 5. Calcular el moto e el que se trasformó u capital de S/. 6,000, colocado a plazo fijo durate 8 meses, período e el que la tasa de iterés sufre las siguietes variacioes: Los primeros 6 meses ua tasa efectiva mesual del 2.5%, los 6 meses siguietes el 3 % mesual co capitalizació diaria y los últimos 6 meses el 2 % efectivo mesual. 6. Se deposita e ua cueta de ahorros S/. 2,000 y ocho meses después se efectúa u uevo depósito por S/. 8,000, liquidádose la cueta después de diez meses más. E dicho periodo la tasa efectiva del 3 % bimestral se matiee costate los primeros ocho meses, fecha e el que se icremeta a 3.5 % hasta el térmio de la operació. Calcular el moto al térmio del período. 7. Calcular el iterés producido por u capital de S/. 0,000, a ua tasa efectiva trimestral del 4.5 %, e u período de u año y 0 meses 8. Cuáto se pagará de itereses por u préstamo de S/. 40,000 a la tasa del 8% aual co capitalizació bimestral. 9. Determiar el iterés compuesto de u depósito a plazo fijo de S/. 25,000 efectuado e u baco, al 4% efectivo aual, durate 2 años y 4 meses. 0. Determiar el iterés compuesto de ua colocació de S/. 24,000 efectuado e u baco, al 2% mesual co capitalizació trimestral durate 4 años. 9

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21 --- C A P Í T U L O II 2. VALOR ACTUAL A INTERÉS COMPUESTO Si ua catidad actual llamado capital lo llevamos al futuro mediate el FSC, ua catidad futura llamada moto lo podemos traer al mometo actual mediate el factor simple de actualizació FSA. Fig. 2. P =? S Para clarificar el sigificado de valor actual o presete, hagamos la siguiete reflexió: Ua empresa co la que egocia usted, le adeuda S/.0,000 pagaderos detro de 5 años, pero existe la posibilidad de ser liquidada ahora, la preguta es cual es el valor actual de dicha catidad de acuerdo al sistema fiaciero vigete. El tratamieto de este tema e el texto base se ecuetra e las págias 37,38 y 39 respectivamete, iiciádose co el título: Cálculo del Capital Iicial; capital iicial es equivalete a decir valor actual o valor presete. El valor actual o presete a iterés compuesto, de u diero a recibirse e ua fecha futura, es el valor equivalete al diero que se recibirá e dicha fecha, pero e el período actual. 2. Cálculo del Valor Actual Para el cálculo del valor actual o presete se hace uso del factor simple de actualizació FSA, factor que multiplicado por el moto, a ua tasa de iterés compuesto i, a u determiado período de tiempo se obtiee el valor actual. La fórmula lo deducimos del moto a iterés compuesto. S = P ( + 2

22 --- Lo que buscamos es el capital P y lo obteemos despejado de la ecuació: P = S ( ) + i El factor etre corchetes es el factor simple de actualizació, de maera que podemos decir tambié: P = S FSA i El valor actual se obtiee multiplicado el valor del moto por el factor simple de actualizació a ua tasa de iterés compuesto i e períodos de tiempo. 2.2 Factor Simple de Actualizació La expresió + ( ) i que multiplica al moto se llama factor simple de actualizació FSA, El factor simple de actualizació, es el valor actual de ua uidad moetaria a ua tasa i por período, durate períodos y su fució es traer al presete cualquier catidad futura o llevar al pasado cualquier catidad actual. Ejemplos 2. Qué catidad de diero deberá depositarse para que capitalizado al 20% de iterés efectivo aual durate 3 años se obtega u moto de S/. 24,46. Remplazado datos e la fórmula: P = S ( ) i P = 24,46 ( ) P = 24,46 ( ) P = 72, Valor Actual e Fució de la Tasa Nomial Para solucioar cualquier problema a iterés compuesto, e el que se utilice ua tasa omial capitalizable m veces, se sugiere covertir previamete la tasa omial a ua tasa efectiva, dividiedo la tasa omial j por la frecuecia de capitalizació m y trabajar como si fuera origialmete ua tasa efectiva, remplazado dicha tasa e cualquiera de las formulas de acuerdo al caso 22

23 --- Ejemplo 2.2 Hallar el valor presete de S/. 8,000 pagaderos e 5 años a la tasa omial aual del 6% capitalizable trimestralmete.. Remplazado datos e la seguda fórmula: P = 8, ( ) P = 8,000 x P = 3, Tasa de Iterés Tasa, es el iterés geerado por ua uidad moetaria e u determiado período de tiempo. La tasa de iterés se defie tambié como la razó geométrica etre el iterés obteido e u período de tiempo que por lo geeral es u año y el capital o stock iicial de diero. La tasa toma diferetes ombres de acuerdo al tipo de actividad fiaciera e el que se le ivolucra, como las siguietes: j = Tasa omial i = Tasa efectiva f = Tasa de iflació r = Tasa real d = Tasa de descueto La tasa omial y efectiva, de acuerdo a las etidades fiacieras, puede ser activas o pasivas, segú se derive de las operacioes fiacieras activas o pasivas efectuadas por las mecioadas istitucioes. So activas las colocacioes de diero que realiza las etidades fiacieras, tales como: préstamos, descuetos, sobregiros, etc. So pasivas las operacioes realizadas por las istitucioes fiacieras, parta captar recursos fiacieros tales como: las captacioes e ahorros, depósitos a la vista, depósitos a plazo fijo, etc. 2.5 Tasa omial La tasa de iterés omial (j) es aquella que tiee como base u año y muestra el úmero de veces (m) que capitaliza al año; o idica el costo real del diero o la retabilidad de ua iversió. 23

24 --- Cuado ua tasa es susceptible de trasformarse e ua tasa proporcioal o periódica, dividiédose o multiplicádose para ser expresada e otra uidad de tiempo diferete a la origial, recibe el ombre de tasa omial. Dicho de otra maera, es la que se aplica directamete a operacioes de iterés simple y lo represetamos por j, y es susceptible de dividirse o multiplicarse m veces e u año, para ser expresado e otra uidad de tiempo a la que se cooce j como tasa proporcioal o j x, segú el caso.. m La tasa proporcioal derivada de la tasa omial puede ser capitalizada veces durate el horizote temporal de ua operació fiaciera; dode m es la frecuecia de capitalizació durate u año. E las operacioes a iterés compuesto el cocepto de tasa omial por lo geeral surge cuado la tasa coveida es aual y el periodo de capitalizació es meor a u año; de maera que podemos decir, tasa aual co capitalizació semestral trimestral, mesual u otro período. Además la tasa omial, puede darse e diferetes períodos de tiempo como por ejemplo, tasa semestral co capitalizació trimestral, tasa trimestral co capitalizació mesual, etc. Reiterado además que la tasa omial tambié puede estar dado e u período meor al período de capitalizació, esto os autoriza a propoer por ejemplo, ua tasa omial mesual co capitalizació trimestral. Al resultado de dividir o multiplicar la tasa segú sea el caso se le deomia tasa proporcioal, de acuerdo a lo maifestado líeas arriba.. Ejemplo 2.3. Si la tasa de iterés omial es del 24% aual, las tasas proporcioales e períodos meores lo obteemos de la siguiete maera: 0.24 Para u semestre j = x = J = 2% 0.24 Para u trimestre j = x = J = 6% 0.24 Para u mes j = x = J = 2% 24

25 Para 8 días j = x 8 = J =.2 % Cosecuetemete, si la tasa omial es.5% mesual la tasa proporcioal e u período mayor lo obteemos multiplicado: Para u trimestre j = 0.05 x 3 = J = 4.5 % Para u semestre j = 0.05 x 6 = 0.09 J = 9 % Para u año j = 0.05 x 2 = 0.8 J = 8 % El moto a iterés compuesto aplicado ua tasa omial J capitalizable m veces durate u determiado espacio de tiempo que por lo geeral es u año, durate periodos que costituye el horizote temporal de ua operació fiaciera, se calcula co la formula:.j S = P ( + m ) De la cual deducimos ua fórmula que os permite calcular la tasa omial.j + = m ( ) S P J + = S m P J m j = = P S - S m P Ejemplos 2.4 Si la catidad de 00,000 capitalizado trimestralmete durate 4 años, asciede a S/. 80,000 cuál es la tasa de iterés omial aual?. 25

26 --- j = 80, ,000 j = j = 4.97 % Ejemplo 2.5 Al cabo de 3 años y 8 meses, se retira los itereses de u depósito, los mismos que asciede a S/.33,78, si la capitalizació es semestral, A qué tasa de iterés se depositó la catidad de S/. 45,000?, Reemplazado valores e la fórmula, ecotramos que el moto es descoocido; pero por su defiició sabemos que éste está costituido por el capital más los itereses, luego teemos:. j = m S P 44 78,78 45, j = 2 [ 2 ] 22 j = 2 3 ( ) j = 2 x j = j = 5.85 % 2.6 Tasa Efectiva Es aquella que idica cual es efectivamete cual es la retabilidad de ua iversió o cual es el costo de u crédito por periodo. Es el verdadero redimieto que produce u capital e ua operació fiaciera; es la que efectivamete actúa sobre el capital, refleja el tiempo o frecuecia de capitalizació o coversió de los itereses e capital. El hecho de capitalizar el iterés dos o más veces durate u año, da lugar a ua tasa efectiva aual mayor a la tasa omial aual. Dicha tasa deota u redimieto o u costo efectivo, segú se trate de ua operació activa o pasiva. 26

27 --- Para deducir la fórmula, partimos del razoamieto siguiete: la tasa efectiva es igual al iterés dividido por el capital (I/P) y el iterés es igual al moto meos el capital (S P), luego teemos: i = S P P Reemplazado S por su fórmula a partir de ua tasa omial j y ua frecuecia de capitalizació m se tiee: i = j P + m P P Simplificado el segudo miembro obteemos la formula requerida e base a la tasa omial: j i = + - m Ejemplo 2.6 U ahorrista desea saber, cuál el la tasa efectiva de iterés aual de u depósito efectuado e u baco que paga el 2% de iterés co capitalizació diaria i = i = ( ) 360 i = i = 2.75% De acuerdo a los datos de los que se dispoga, la fórmula de la tasa efectiva tambié lo podemos expresar de la siguiete maera: I + P i = Ejemplo 2.7 Calcular la tasa efectiva aual, que se impuso a u depósito efectuado e ua cueta de ahorros por S/. 6,000 y geeró u iterés compuesto de 360 e u período de tres meses ,000 i = i =

28 --- i = % Ejemplo 2.8 U capital de S/. 40,000 es colocado por u período de 5 años a ua tasa de iterés covertible trimestralmete, geerado u moto de S/. 83, Calcular la tasa efectiva aual i = 43, ,000 5 i = ( ) / i = i = 5.865% tasa efectiva aual E este caso cuado se cooce el moto, el capital, el período de tiempo y la frecuecia de capitalizació, tasa efectiva aual tambié lo calculamos de la siguiete maera: Primero calculamos la tasa efectiva de acuerdo a la frecuecia de capitalizació, e este caso trimestral, co la fórmula: 4 i = S P 83, i = 20 40,000 i = i = 3.75% tasa efectiva trimestral Luego calculamos la tasa efectiva aual, de la siguiete maera i = ( ) 4 i = i = 5.865% tasa efectiva aual Ejemplo 2.9 Calcular la tasa efectiva trimestral de ua colocació de S/. 5,000 por u período de año, espacio de tiempo e el cual se obtuvo por cocepto de itereses la catidad de S/ i = + 4 5,000 28

29 --- 4 i = (.69858) / i = 0.04 i = 4 % Trimestral O tambié: 5, i = 4 5,000 i = 0.04 i = 4% Trimestral 2.7 Coversió de Tasas Ya hemos visto que a partir de ua tasa omial se obtiee ua tasa efectiva, e cosecuecia se puede obteer cálculos iversos, o cálculos relacioados como el caso de covertir ua tasa efectiva e otra tasa efectiva de diferete período. 2.8 Coversió de ua Tasa Efectiva e otra Efectiva de diferete Período A partir de ua tasa efectiva se puede obteer otra tasa efectiva de diferete período. Cuado dos o más tasas efectivas correspodietes a diferetes uidades de tiempo, se le deomia equivaletes cuado se covierte e la misma tasa efectiva e el mismo horizote temporal. Ejemplo 2.0 Covertir la tasa efectiva mesual del.5% e tasa efectiva trimestral, semestral y aual. TET = ( + TEM ) 3 TET = (.05) TET = TET = 4.57% TES = ( + TEM ) 6 TES = (.05) TES =

30 --- TES = 9.34 % TEA = ( + TEM ) 2 TEA = (.05) TEA = TEA = % Ejemplo 2. Covertir la tasa efectiva aual del 6.986% e tasa efectiva semestral y trimestral. TES = + TEA TES = TES = TES = 8.6 % TET = + TEA TET = TET = 0.04 TET = 4 % 2.9 Coversió de ua Tasa Efectiva e ua Tasa Nomial Si a para calcular la tasa efectiva iterviee la tasa omial, efectuado cálculos iversos, lógico es que obtegamos la tasa omial j capitalizable m veces. La fórmula lo deducimos de la tasa efectiva. j + m i = j + = + I m j + m = + i j m = + i - j = m ( + i ) 30

31 --- Ejemplo 2.2 Si u baco paga por depósitos e cuetas de ahorro ua tasa efectiva aual del 2.75% Cuál será la tasa omial aual co capitalizació diaria? TNA = m ( + TEA ) TNA = 360 ( ) TNA = 0.2 TNA = 2 % aual Ejemplo 2.3 Cuál será la tasa omial semestral capitalizable trimestralmete, si la tasa efectiva aual es 20.7%? TNS = m ( + TEA ) TNS = 2 ( ) TNS = TNS = 9.4 % semestral Para deducir la fórmula que os permita covertir ua tasa efectiva e ua tasa omial, tambié podemos utilizar el siguiete razoamieto: El moto de a la tasa efectiva i, trascurrido u período es +i, y el moto de a la tasa omial j e el mismo período a ua frecuecia de capitalizació m es (+j/m) ; la ecuació de equivalecia etre estos dos motos es: + i = j + m Despejado j de la ecuació: j + = + i m j = + i m j = m( + i ) 2.0 Tasa de Iflació La tasa de iflació es ua tasa efectiva, idicadora del crecimieto sosteido de los precios de los biees y servicios de la ecoomía, e u período de tiempo determiado, (calculada por Istituto Nacioal de Estadística e Iformática INEI) sobre la base de ua caasta básica de cosumo familiar, tomada e ua fecha cuya estructura de costos e la actualidad esta referido al año base

32 --- Para el cálculo de la tasa de iflació se utiliza el ídice de precios al cosumidor IPC, debido a que es uo de los idicadores ecoómicos más importates que permite coocer el comportamieto iflacioario e ua determiada ecoomía; debido a que mide la variació promedio de precios de los biees y servicios cosumidos habitualmete por u cojuto de familias co diversos iveles de igreso, e ua determiada arrea geográfica. Para calcular la tasa de iflació a la que lo represetamos por f hacemos uso de la fórmula: IPC = IPC actual f = IPC IPC - IPC0 = IPC base 0 EVOLUCIÓN DE LA INFLACIÓN EN EL PERÚ Variació porcetual aual Año IPC Iflació % 56.73% 39.48% 5.39% 0.23%.84% 6.46% 6.0% 3.73% 3.73% (0.3%).52% 2.48% 3.48% Ejemplo 2.4 Calcular la tasa de iflació para el año 2004, co los ídices de precios al cosumidor de la tabla. E este caso cosideramos que los ídices de precios está dados al 3 de diciembre de cada año. f = IPC IPC - 0 f = f = f = 3.48 % Co la fórmula podemos calcular la iflació aual, semestral, trimestral, mesual etc. Utilizado correspodietemete los ídices de precios. 2. Cálculo de la Tasa Real 32

33 --- Es la tasa de iterés efectiva aual deflactada. Es decir la tasa efectiva aual deducida el efecto de la iflació o de la elevació de los precios. E el estudio de las tasas hasta el mometo, hemos obviado el efecto de la iflació, tal es así que e el valor omial de la uidad moetaria o se tomó e cueta la variació de su poder adquisitivo a través del tiempo por el icremeto geeral de los precios de los biees y servicios. La tasa real permite medir el grado e el que los valores omiales que se ubica e el futuro será erosioados por la iflació. Cuado la iflació e u país es alta, la variació de los precios de los biees y servicios geera dismiució e la capacidad adquisitiva del diero. Para ajustar el valor omial del diero a fi de que refleje su valor real, hacemos uso de la tasa deflactada, deduciedo el efecto de la tasa iflacioaria del mismo período; llamada tasa real: o tambié r = + i r = + f i f + f E el que i = Tasa efectiva aual f = Tasa de iflació r = Tasa real Ejemplo 2.5 Las empresas más importates del Departameto de Acash ha efectuado aumetos de sueldos y salarios a sus trabajadores e el orde del 22 %, 8 %, 4 % y 0 %, e ua ecoomía co ua tasa aual promedio de iflació del 4 %. Determiar la tasa real de icremeto de sueldos y salarios. Co el uso de la primera fórmula: r = r = r = 7.02 % de aumeto real r = r = r = 3.5 % de aumeto real 33

34 r = r = 0 r = 0% de aumeto real Cuado por disposicioes legales se establece que los sueldos y salarios está idexados a la tasa iflacioaria, los aumetos debe ser equivaletes al aumeto de la tasa de iflació, eutralizado los efectos de la iflació mateiedo estable el ivel de vida de los trabajadores, si mejorarlo i empeorarlo realmete. Pero cuado porcetualmete los aumetos moetarios de sueldos y salarios so iferiores a la tasa iflacioaria, la tasa real es egativa, idicador que refleja ua pérdida del poder adquisitivo del diero recibido por cocepto de remueracioes r = r = r = 3.5 % de dismiució real Por cosiguiete u aumeto del 0 % o compesa la pérdida del valor real de los sueldos y salarios por estar por debajo de la tasa iflacioaria. Ejemplo 2.6 Calcular la tasa real de u préstamo que debe ser revertido e seis meses a ua tasa efectiva aual del 20% y la tasa iflacioaria acumulada durate el período se estima e el 4%. Previamete determiamos la tasa efectiva semestral TES = TES = TES = 9.54 % Remplazamos datos e la formula y obteemos la tasa real r = r = r = 5.33 % e seis meses 2.. Tasas Reajustadas por Efectos de Iflació 34

35 --- De acuerdo a los resultados: la tasa efectiva semestral es del 9.54% y ua tasa real del 5.33% y la tasa de iflació de acuerdo a los datos del 4%. Observamos que la tasa real es meor a la tasa efectiva. Pero si se requiere mateer el valor de la tasa real equivalete a la tasa efectiva lo reajustamos de la siguiete maera: Calculamos la ueva tasa efectiva i = ( + ( + f ) - i = ( ) ( ) - i = La ueva tasa real ajustada por efectos de iflació r = r = r = 9.54 % 2.2 Cálculo del Tiempo La variable tiempo, es otro elemeto determiate e el maejo de las operacioes fiacieras. El símbolo idica el úmero de uidades de tiempo a la que hace referecia la tasa; esto implica, que si la tasa es aual es el úmero de años, si la tasa es trimestral es el úmero de trimestres y así sucesivamete. El tiempo es el úmero de periodos de capitalizació que comprede el horizote temporal de ua operació fiaciera. Es ecesario teer claro que matemáticamete el valor del tiempo es aproximado o exacto, dado a que las fraccioes decimales cetesimales o cualquier otra fracció so aproximacioes a u determiado período. La fórmula lo deducimos partiedo de la fórmula del moto S = ( + Aplicado logaritmos Log S = Log P + Log (+ Log P + Log (+= Log S. Log. S log. P = Log.( + 35

36 --- Ejemplo 2.7 Qué, tiempo será ecesario para que u capital de S/. 00,000 soles colocado al 20% aual se covierta e S/. 72,800? = = = =. Log. S log. P Log.( +. Log.72,800 log.00,000 Log.( ). Log.72,800 log.00,000 Log.(.20) = 3 años Ejemplo 2.8 Se deposita S/. 20,000 al 24% aual co capitalizació trimestral recibiedo S/. 20,900 después de cierto tiempo; cuáto duró el depósito? E este caso, estamos frete a u problema e la que la tasa es omial co capitalizació frecuete, de maera que e el deomiador de la fórmula, hacemos participar a la frecuecia de capitalizació m a fi de que el umero de períodos os arroje e años. = = = = =. Log. S log. P i mlog.( + ) m. Log.20,900 log 20, Log.( + ) 4. Log.20,900 log 20,000 4Log.(.06) x x = 0. años. Equivalete a 0 años mes y 9 días 2.3. Listado de Formulas Fórmula Factor Obtiee 36

37 --- S = P ( + FSC Moto compuesto j S = P + m FSA Valor actual o0 capital P = S ( ) + i i = S P i = I + P Logs - logp = log( + [ ] I = P ( + Iterés Tasa de iterés efectiva Número de periodos de capitalizació P = ( i = I Capital + j m Tasa efectiva por periodo de capitalizació J = P = m S P S + j m + i r = + f Tasa omial capitalizable m veces Capital co tasa omial Tasa real 2.4 Problemas propuestos. Hallar la catidad ecesaria a depositar e ua cueta que paga el 20 % aual co capitalizació trimestral, para dispoer de S/. 22,00 al térmio de 8 años. 2. Ua persoa debe pagar S/ 30,000 detro de 2 años y acuerda co su acreedor pagar S/. 0,000 de imediato y por el resto firmar u pagaré co vecimieto a 3 años. Cuál será el valor del pagaré?. 3. Hace 8 meses se depositó e u baco u capital al 2.5 % efectivo mesual. Determiar el valor del depósito si el moto acumulado es de S/. 3,

38 Cuato será ecesario depositar e ua cueta que paga el 8 % aual co capitalizació diaria, para dispoer de S/. 8,000 detro de 80 días?. 5. U capital de S/. 28,000 se coloca e dos partes; la primera a ua tasa efectiva aual del 8 % y la seguda a ua tasa efectiva aual del 20 % y al térmio de 0 años, el moto de la primera es el triple del moto de la seguda. Determiar cuato se colocó e cada caso. 6. Calcular la tasa efectiva trimestral ecesaria aplicar a ua colocació de S/.4000 para geerar u iterés de S/ durate u año. 7. Al cabo de 2 años y 6 meses, se dispoe de u fodo de S/. 6,66.0. A qué tasa de iterés omial co capitalizació trimestral se depositó la catidad de S/. 4,500?, 8. Cuál será la tasa omial aual que capitalizable mesualmete, sea equivalete a ua tasa efectiva aual del Qué tasa capitalizable semestralmete es equivalete al 2% capitalizable trimestralmete?. 0. Cuáto tiempo será ecesario para que u capital de S/. 6,000 se covierta e S/. 9, a ua tasa omial aual del 24 % co capitalizació mesual?. 38

39 --- 39

40 --- C A P Í T U L O III 3. DESCUENTO COMPUESTO Y ECUACIONES DE VALOR Ua operació de descueto cosiste e obteer el pago aticipado de u título valor o de u documeto de crédito como el pagaré, letra de cambio, boo, etc. deduciedo el iterés llamado descueto, por el tiempo que falta para su vecimieto. E el tema del descueto se preseta dos casos: a. El descueto compuesto racioal o descueto verdadero y; b. El descueto compuesto bacario. 3. Descueto Racioal o Verdadero Este tipo de descueto compuesto es la diferecia etre el valor futuro por pagar y su valor actual o efectivo y lo represetamos por D. El descueto compuesto racioal, equivale a la suma de los réditos que geera los valores efectivos parciales, a ua tasa de iterés que para el efecto lo llamamos tasa de descueto. La tasa de descueto es la diferecia del valor omial de u sol y su valor actual e u periodo determiado y lo represetamos por d. 3.2 Cálculo del Descueto De la defiició se deduce que el descueto compuesto es la diferecia etre el valor omial o futuro y el valor actual de ua deuda especificada de u 40

41 --- documeto de crédito. Esto lo represetaremos matemáticamete co la relació siguiete: D = V - Va Si por equivalecia hacemos al V = S y al Ve = P tedremos que el descueto compuesto es equivalete a la diferecia etre el valor omial o moto a iterés compuesto y el valor actual o importe recibido e el presete. D = V Ve Etoces podemos expresar las relacioes siguietes: V = Ve (+d) y; Ve = V ( + d ) Remplazado e la defiició del descueto teemos Factorizado: D = V - V ( ) D = V + d ( + d ) Ejemplo 3. Cuál es el descueto compuesto que se obtedría de u pagaré cuyo valor omial es de S/. 00,000 sometido a descueto 4 años ates de su vecimieto a la tasa de descueto del 24% aual? Aplicado la fórmula: D = 00,000 D = 00,000 4 ( ) 4 (.24) D = 00,000 ( ) D = 57, Aplicado la defiició que el descueto es la suma de los réditos geerados por los efectivos parciales lo explicamos mediate la escala de tiempo determiado el valor efectivo para cada período y luego calculamos los descuetos parciales, que sumados os da el descueto total. Fig. 3. 4

42 --- 42, , , , ,000 Réditos parciales: 42, x 0.24 = 0, , x 0.24 = 2, , x 0.24 = 5, ,645.6 x 0.24 = 9, , Descueto Ejemplo 3.2 Si el ejercicio aterior estuviera afectado por ua tasa de descueto compuesto co ua capitalizació semestral, el descueto sería: D = V D = 00,000 D = 00,000 d + m ( ). 8.2 D = 00,000 ( ) D = 59, Cálculo del Valor Nomial y Valor Efectivo El valor omial lo podemos obteer e base al descueto o e base al valor efectivo. Para el primer caso deducimos la fórmula a partir del descueto y utilizamos los datos del ejercicio aterior D = V ( + d ) D = V ( + d ) ( + d ) V = D ( + d ) ( + d ) 42

43 --- (.2) V = 59,6.68 ( ) 8.2 V = 00, E base al valor efectivo: V = Ve (+d) y; Ejemplo 3.3 Calcular el valor omial de u pagaré sometido a descueto compuesto 4 años ates de su vecimieto a la tasa de descueto del 24% aual, si se cooce que el valor efectivo es de S/.42, V = 42, (+0.24) 4 V = 42, ( ) V = 00,000 El valor efectivo lo obteemos a partir de la fórmula del valor omial Ve = V ( + d ) Ejemplos 3.4 Hallar el valor efectivo racioal compuesto de ua letra de valor S/.00, 000, si se le somete a descueto 4 años ates de su vecimieto, a ua tasa de descueto del 24% aual co capitalizació semestral Ve = 00,000 Ve = 00, Ve = 00,000( ) Ve = 40, Descueto Bacario Compuesto E el descueto bacario el valor líquido de u título valor es meor que su valor presete calculado a ua tasa de iterés vecida, debido a que el descueto bacario se obtiee sobre el valor omial, es decir sobre el valor futuro de u documeto de crédito o título valor. E cosecuecia el descueto bacario es mayor que el iterés. 43