La sucesión de Fibonacci

Transcripción

1 La sucesió de Fiboacci María Isabel Viggiai Rocha Sea la sucesió {a } defiida por: a = a -1 + a -2 si 3 y a 1 = a 2 = 1. Esta sucesió es coocida como la sucesió de Fiboacci y la aparició de la misma brota por doquier. Es decir, está e ifiidad de ejemplos: tato e las platas, como e los aimales, e la Física, e la Matemática, etc. El ombre de esta sucesió se debe al más destacado matemático de la Edad Media: Leoardo de Pisa, coocido como Fiboacci (filius Boacci = hijo de Boacci), quie ació e y murió e la primera mitad del siglo XIII. El mismo, relata que su padre ocupaba u cargo cosular e Argelia y que lo llevó para iiciarlo e los cálculos aritméticos de los árabes pues Leoardo se había educado co la umeració alfabética de los griegos y de los latios, y co el uso del ábaco. Co los uevos coocimietos se etusiasmó y viajó a diversos países árabes, recibiedo ahí leccioes de sabios musulmaes. De vuelta a Pisa, compuso 5 obras: la primera de ellas e 1.202, revisada y aumetada e es Liber Abaci (Libre del Abaco). Co ella itroduce el uso del cero e Occidete y preseta al mudo la famosa sucesió mediate u problema referido a los coejos: "Alguie puso e u corral ua pareja de coejos recié acidos co el propósito de averiguar cuátas parejas habrá al cabo de u año. La prolífica aturaleza de estos aimalitos idica que cada pareja recié acida requiere u mes de maduració, durate el cual o se reproduce, pero al fializar el segudo mes da a luz ua ueva pareja, y luego sigue pariedo cada mes otra pareja. Cuátas parejas habrá al térmio de u año, supoiedo que igú coejo muere e esta feliz experiecia?" La solució es simple. Al empezar teemos ua pareja. Al fializar el primer mes seguimos co ua sola pareja. Al térmio del segudo mes, el corral ya cueta co 2 parejas. Al cabo del tercer mes la pareja iicial da a luz otra pareja: ya hay 3 parejas ua ueva. Al fial del cuarto mes, procrea la pareja iicial y la primogéita: teemos 5 parejas. Al fial del quito mes: 8 parejas y así sucesivamete. Al culmiar el año el corral tedrá 233 parejas de coejos. 29

2 A pesar de figurar este problema e el libro, Fiboacci o le prestó mayor ateció. Fue recié e el siglo XIX que la llamada sucesió de FIboacci comezó a comover al mudo matemático. El fracés Edouard Lucas (cuya biografía la R.E.M. publicó e el V8-2 y e los V8-1 y V8-3 apareciero sedos artículos dode se estudiaba el Teorema de Lucas - R.J.Miatello y M.I.Viggiai Rocha) fue autor de ua obra e 4 tomos, de recreacioes matemáticas y le dedicó a esta sucesió u exteso aálisis y mostró que la misma es u grifo abierto de curiosidades. E E.E.U.U., desde 1.963, se publica "The Fiboacci Quarterly" (revista cuatrimestral), cuya edició está a cargo de la Fiboacci Associatio; esta revista tambié trata de sucesioes geeralizadas de la de Fiboacci y de otras sucesioes aálogas (al fializar este artículo habrá ua breve referecia a alguas de ellas). Coozcamos los primeros 25 térmios de esta sucesió: a 1 =1 a 2 =1 a 3 =2 a 4 =3 a 5 =5 a 6 =8 a 7 =13 a 8 =21 a 9 =34 a 10 =55 a 11 =89 A 12 =144 a 13 =233 a 14 =377 a 15 =610 a 16 =987 a 17 =1.597 a 18 =2.584 a 19 =4.181 a 20 =6.765 a 21 = a 22 = a 23 = a 24 = a 25 = La R.E.M. y la sucesió de Fiboacci La R.E.M. e úmeros ateriores mecioó esta sucesió. Así por ejemplo: a) V6-3: "Eseñado ua Matemática más Novedosa y Divertida" 2ª parte (N. Coseza, N. Gurruchaga y M.J. Vigoli). E este artículo se cometa u truco co el cual se adivia u úmero "al estilo Fiboacci", como así tambié platea el caso de los 30

3 coejos, prueba alguas propiedades de esta sucesió y cometa uo de los vículos directos etre los coeficietes biomiales y los úmeros de Fiboacci (el cual y otro más será tratados más adelate). b) V9-2: "Sucesioes defiidas de maera recurrete" (L.Cagliero). E el artículo uo de sus párrafos se refería justamete a la sucesió de Fiboacci. c) V10-1: "Pricipio de Iducció" (M.I. Viggiai Rocha y G.P. Ovado). El párrafo VIII trataba sobre esta sucesió, ya que cada úmero de Fiboacci (cada térmio de la sucesió dada) puede obteerse como: a = d) V11-2: "Problemas para resolver" (D. Peazzi) ejercicio 8. Desarrollo del tema E este artículo trataré de hacer coocer alguas de las propiedades matemáticas más coocidas, como tambié distitas aplicacioes e el reio vegetal, e el aimal y e la Física. 1- Alguos resultados sobre esta sucesió, los cuales puede ser verificados por el lector, o cuya demostració se ecuetra e el libro Kmuth. 1 1 a a) Para la matriz A =, obteemos que: A k = 1 2 a 2 k k a a 2 k 2 k + 1, k. b) a y a + 1 so coprimos. a + 2 a - 1 c) a 2 / a = 1 1 = 1 31

4 d) m N, existe ua colecció ifiita de úmeros de Fiboacci exactamete divisibles por m, cuya aparició ocurre co u período muy bie determiado. Por ejemplo: a = ṁ, si =. k e) Dada u úmero de Fiboacci (a ), para calcular el úmero siguiete (a +1 ) o es a a preciso coocer los dos ateriores, pues a +1 =, [x] = parte 2 etera de f) a. a +2 - (a +1 ) 2 = ± 1, (+ 1 si es impar, - 1 si es par). g) a 2+1 = (a ) 2 + (a +1 ) 2 h) a. a +3 = (a +2 ) 2 - (a +1 ) 2 i) a i i = 1 i = 1 = a +2 1 j) a 2 i -1 k) a 2 i = a i = 1 = a 2 l) Otra propiedad de la sucesió de Fiboacci, quizás sea la más otable es: la razó etre cada par de úmeros cosecutivos va oscilado por ecima y por debajo de la 1+ 5 razó áurea y coforme se va avazado e esta sucesió, la diferecia 2 co ésta va haciédose cada vez meor. Es decir, si defiimos ua sucesió {b } por e a + 1 b = co 1, podemos probar que: a 32

5 1 b = 1+ b - 1 co 2 y etoces deducir lim b = m) El Triágulo de Tartaglia o Pascal es rico e curiosidades matemáticas, recordemos que dicho triágulo está costruído co los úmeros combiatorios o coeficietes biomiales. Etre ellas: m i) la suma de los úmeros situados e las diagoales de meor pediete, forma la sucesió de Fiboacci = 1 1 = = = = = = 13 m ii) si excluímos ua de las diagoales co los 1s, las sumas de las diagoales de Fiboacci aquellas que origiaro cada térmio de la sucesió so las sumas parciales de la sucesió de Fiboacci. Así si elimiamos k diagoales cosecutivas y paralelas a las de los 1s icluyedo a ésta, las de Fiboacci da las sumas parciales de orde k de la sucesió de Fiboacci (las sumas parciales de las sumas parciales de orde k - 1) 33

6 = 1 = = 2 = = 4 = = 7 = = 12 = = 20 = ) Si cosideramos ua sucesió {c } tal que: c = a +2 - a +1, co 1, esta ueva sucesió es tambié la sucesió de Fiboacci, a partir de a 2. Por lo tato la sucesió de Fiboacci es ua sucesió autogeerate, cosiderado la salvedad ateriormete mecioada! 2- Alguos ejemplos del reio vegetal so: a) La forma e que ciertos árboles va echado sus ramas, os trasporta a uestra sucesió: Supogamos u troco iicial que crece el primer año si echar igua rama, pero que geera ua ueva rama al segudo año y cada uevo año otra rama. Cada rama, a su vez, prosigue co la misma ley. Co el correr de los años, el árbol va produciedo de este modo la sucesió de Fiboacci. 34

7 b) Tambié esta sucesió aparece e la implatació espiral de las semillas e ciertas variedades de girasol. Hay e ellas 2 haces de espirales logarítmicas: uo e setido horario y otro e setido atihorario. Los úmeros so distitos e cada familia, pero siempre so úmeros de Fiboacci cosecutivos. Lo mismo ocurre co los florúsculos de las margaritas. A cotiuació observamos 2 esquemas: uo de ellos correspode a u girasol gigate (co 55 y 89 espirales), el otro a ua margarita (21 y 34). c) Co las escamas de las piñas, aparece 5 espirales e u setido y 8 e el otro. 3- E el reio aimal, además de e la reproducció de los coejos, la sucesió de Fiboacci aparece e distitos ejemplos referetes a abejas: 35

8 a) Al cotar el úmero de las distitas rutas que puede seguir ua abeja al ir recorriedo las celdillas hexagoales del paal, siempre de ua celdilla a ua celdilla cotigua a la derecha, resulta ser que el úmero obteido es u úmero de Fiboacci ( hay ua sola ruta a la celdilla 0, 2 a la 1, 3 a la 2, 5 a la 3, etc.). b) Las abejas machos (zágaos) o tiee padre. Cada zágao tiee madre (la abeja reia), 2 abuelos (los padres de la madre), 3 bisabuelos (pues el padre de la madre o tuvo padre), 5 tatarabuelos, etc. P M P M P M \_/ \_/ \_/ P M P M \ / \ / P M \ / P M \ / Z Tatarabuelos Bisabuelos Abuelos Padres Zágao 4- E la Física: Dadas 2 lámias de vidrio plaas y e cotacto, el úmero de trayectorias de rayos lumiosos que icide sobre ellas va ajustádose a los úmeros de Fiboacci: para reflexioes, hay a +2 trayectorias posibles. 36

9 Alguas geeralizacioes de esta sucesió 1- La sucesió de Lucas Sea la sucesió {L } defiida por: L = L -1 + L -2, 3 co L 1 = 1 y L 2 = 3 (1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47,... ). Cada térmio de la sucesió dada tambié puede obteerse como: L = Alguos resultados obteidos de esta sucesió (los cuales puede ser verificados por el lector) so por ejemplo: a) L y L + 1 so coprimos. b) (L +1 ) 2 - L. L +2 = ± 5, (+ si es impar, - si es par). = L -2 3 c) Li i = 1 Existe muchas fórmulas secillas que iterrelacioa la sucesió de Fiboacci y la de Lucas: a) L = a -1 + a +1 b) a 2 = a. L c) La ecuació diofática 5 x = y 2 sólo tiee solucioes eteras cuado x es u úmero de Fiboacci e y el correspodiete úmero de Lucas por ejemplo: x = a 2 =1, y = L 2 = 3; x = a 4 = = 3, y = L 4 = 7. E geeral (a, L ) es solució. 2- La sucesió de Fitriacci Sea la sucesió {F } defiida por: F = F -1 + F -3, 4 co F 1 = F 2 = F 3 = 1 ( 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9,... ). 3- La sucesió de Triboacci. Sea la sucesió {t } defiida por: t = t -1 + t -2 + t -3, t 3 = 2 4 co t 1 = t 2 = 1 y 37

10 (1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44,... ). t + 1 Si u = 1, {u } coverge hacia la raíz real de x 3 + x x - 1 = 0, t cuyo valor es aproximadamete 0, La sucesió de Tetraacci. Sea la sucesió {T } defiida por: T = T -1 + T -2 + T T -4, 5 co T 1 = T 2 = 1, T 3 = 2 y T 4 = 4 (1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56,... ). Bibliografía * R.E.M. : # V 6-3 (1.991) # V 8-1, 2 y 3 (1.993) # V 9-2 (1.994) # V 10-1 (1.995) # V 11-2 (1.996). * Curso "Ecuacioes Diofáticas", dictado por el Dr. José Araujo e Octubre'95 e Uiversidad Nacioal de Tucumá. * Kmuth, P.E. El arte de computar, Vol 1, e español. * Marti Garder (Aliaza Editorial, Madrid): # Caraval matemático (1.983) # Circo matemático (1.983). * Colecció Cietífica de LIFE e Español: Matemática (México ). * Revista QUID, Tomo 2, Nº 18. Lic. María Isabel Viggiai Rocha. Facultad de Ciecias Exactas y Tecología. Uiversidad Nacioal de Tucumá. 38