LOGARITMOS. Ejercicio 1 Determine los respectivos dominios de existencia de las siguientes funciones: 2

Transcripción

1 LOGARITMOS Como seguramete el estudiate recordará, e cuarto año apredió a traajar co los aritmos, y allí se eteró de que éstos se defie a partir de la ecesidad de despejar el expoete de ua potecia. Vamos ahora a dar algo más de rigor formal a aquellos elemetos ya estudiados e el curso aterior. Defiició 1 Dados dos úmeros reales: a (positivo) y (positivo y diferete de 1), diremos que el aritmo de a e ase es el úmero real que utilizado como expoete de la ase os da el úmero a. = c = a co las siguietes codicioes de existecia: a > 0 > 0 1 Ejemplo 1 Sea f: f (x) = x + 5(x + 6) Verifique el estudiate que su domiio de existecia es D(f) = {x: x R / -3 < x < 5, x 4} Ejercicio 1 Determie los respectivos domiios de existecia de las siguietes fucioes: i) f: f (x) = x + 4 ( x + 5) ii) g: g(x) = (x + 8) x 1 Represetació gráfica de la fució aritmo Tamié e este caso, apelamos a la memoria del estudiate para que recuerde lo que ya apredió e el curso aterior. Si la ase de ua cierta fució f: f (x) = (x) es >1, etoces su represetació gráfica será de la forma: c 63

2 Ejercicio Oservado la represetació gráfica aterior, justifique el estudiate las siguietes dos afirmacioes: i) la fució f es iyectiva ii) la fució f es estrictamete creciete Si ahora, por el cotrario, la ase fuera <1, para la misma fució, etoces la represetació gráfica sería: Ejercicio 3 Oserve el estudiate la ueva represetació gráfica e idique si la fució sigue siedo iyectiva y si sigue siedo estrictamete creciete. Justifique amas respuestas. Sigo de la fució aritmo Si oservamos co ateció las dos gráficas precedetes, podremos oservar que, e el caso >1 el sigo de la fució respode al siguiete esquema: 0 + E el caso <1, por el cotrario, el esquema del sigo es: 1 [1] [] Podríamos razoar así: detro de su domiio, el sigo de la fució f: f (x) = (x) se comporta como el sigo de g: g(x) = x 1 si >1 y como su opuesto si es <1. Es decir que, atediedo a la regla sore el producto de los sigos, el sigo de f se comporta como el sigo del producto (x 1)( 1) o del cociete de las mismas expresioes. Teiedo e cueta que f o existe si =1, etoces preferimos elegir el caso del cociete, y podemos decir etoces que el sigo de f es, detro de su domiio, como el sigo de x 1 h: h(x) = 1 64

3 Si ahora geeralizamos, podemos estalecer la siguiete fórmula para estudiar el sigo de ua fució arítmica: Ejercicio 4 f (x) 1 ( ) = sg sg [ f (x)] g (x) = x+ 5 i) Estudie domiio y sigo de f: f (x) (x 1) ii) Estudie domiio y sigo de f: f(x) = x 4 x + 6 x+ 3 g(x) 1 Propiedades de los aritmos A los efectos del plateo y la demostració de cada ua de las propiedades que estudiaremos a cotiuació, vamos a cosiderar de atemao que se cumple las codicioes de existecia. Es decir, que los argumetos so positivos y que las ases so positivas y diferetes de 1. Propiedad 1 Si utilizamos como expoete de u cierto úmero el aritmo de u úmero a e ase, otedremos el úmero a. = a Por defiició saemos que = c = a Etoces, sustituyedo c e la seguda igualdad oteemos el resultado que queríamos demostrar: = a Propiedad Logaritmo de u producto El aritmo de u producto es igual a la suma de los respectivos aritmos de los factores. (a1.a ) = + (a ) asádoos e la Propiedad 1 podemos escriir las siguietes dos igualdades: c Etoces, su producto será: a 1 = (a ) a = 65

4 (a ) 1.a. Y aplicado la propiedad apredida e cursos ateriores sore producto de potecias de la misma ase: a + (a ) 1.a = Y ahora, por defiició de aritmo, llegamos a la igualdad que queremos demostrar: ( (a1.a ) = + (a )) Propiedad 3 Logaritmo de u cociete El aritmo de u cociete es igual a la resta de los respectivos aritmos de los factores. (a1 : a ) = (a ) asádoos otra vez e la Propiedad 1 volvemos a escriir las siguietes dos igualdades: Etoces, el cociete será: a 1 = (a ) a = (a ) 1 : a : Y aplicado la propiedad apredida e cursos ateriores sore divisió de potecias de la misma ase: a (a ) 1 : a = Otra vez, por defiició de aritmo, llegamos a la igualdad que queremos demostrar: Propiedad 4 ( (a1 : a ) = (a ) ) Logaritmo de ua potecia El aritmo de ua potecia es igual al producto del expoete por el aritmo de la ase de la potecia. ( (a ) =. ) Tomamos otra vez como puto de partida la igualdad que surge de la Propiedad 1: 66

5 Si elevamos amos miemros al mismo expoete, otedremos: ( ) Aplicaremos ahora la propiedad sore potecia de ua potecia:. Nos astará ahora aplicar, como e los casos ateriores, la defiició de aritmo para llegar a la fórmula que queremos demostrar: Propiedad 5 ( (a ) =. ) Camio de ase El aritmo de u úmero a e ua cierta ase, es igual al cociete de los respectivos aritmos de a y e cualquier otra ase. = () Como ya a esta altura hará adiviado el estudiate, tomamos otra vez como puto de partida la igualdad que surge de la Propiedad 1: Pasamos ahora a traajar e u sistema de aritmos de ase, y calculamos el de amos miemros de la igualdad: = ( ) Como e el segudo miemro teemos el aritmo de ua potecia, podemos aplicar la Propiedad 4:. () = Dijimos al comiezo de esta secció sore las propiedades, que asumíamos el cumplimieto de todas las codicioes de existecia. Por lo tato, por ser ua ase, es diferete de 1. Su aritmo e ase es, etoces, diferete de 0. Etoces podemos dividir amos miemros de la igualdad precedete por (), lo que os permite llegar a la igualdad que queríamos demostrar: = () 67